2022-2023学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一（下）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一（下）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 84.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-08 14:47:32 | ||
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文档简介
2022-2023学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.在中，，则是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则下列结论成立的是( )
A. B. C. D.
5.在中，，则角的大小为( )
A. B. C. D.
6.一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为，则河水的流速为( )
A. B. C. D.
7.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的( )
A. 横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花图中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则或
D. 若，则
10.已知函数，当时单调递增，若角，，是锐角三角形的内角，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则
C. 若：：：：，则是钝角三角形
D. 若，，，则只有一解
12.定义为，中较大的数，已知函数，给出下列命题：其中正确的为( )
A. 为非奇非偶函数
B. 是以为最小正周期的周期函数
C. 的值域为
D. 当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是______．
14.若向量，则与平行的单位向量是______．
15.函数的单调递增区间是______．
16.已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，点在边上且，以向量，为基底，表示向量．
已知空间向量，且，，，求证：、、三点共线．
18.本小题分
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
求，，；
．
19.本小题分
在中，已知，，．
求．
求的面积．
20.本小题分
已知向量，，，且；
求与的夹角；
若，求的值．
21.本小题分
已知函数，
若，则的最小值为，求的解析式．
在的条件下，若在上的值域是，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为；最大值为；；
给出函数的解析式，并说明理由；
已知，求的最值及相应的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式的应用，属于基础题
直接按照诱导公式转化计算即可．
【解答】
解：
故选B
2.【答案】
【解析】解：根据三角形法则可得：，，，
在中，
，
即三条边相等，
是等边三角形．
故选：．
根据向量加减法法则及模的定义判断．
本题考查向量的线性运算，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
由已知根据诱导公式计算．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，又，且在上递增，
，而，所以，
．
故选：．
根据正弦定理与正切函数的单调性判断．
本题主要考查三角函数线，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
又为三角形的内角，
则．
故选C
利用余弦定理表示出，将已知的等式代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，船在处，，
实际航程为，
则，，，
所以，
故选：．
根据题意求得，，，然后通过解直角三角形得到河水的流速．
本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形模型的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，可得的图象；
再向右平行移动个单位长度，可得函数的图象，
故选：．
由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，显然，
，
因为点在正六边形的边上运动，是其中心，
因此的最大值等于其边长，
所以的最大值为．
故选：．
由，，然后由数量积的运算计算，结合正六边形性质可得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：已知向量，，是三个非零向量，
对于，若，当反向时，，故A错；
对于，依题意，，，若，，
则存在实数，使得，，从而，因此也有，故B正确；
对于，若，则的长度相等，但它们的方向不确定，不一定同向或反向，故C错；
对于，若，则，化简得，所以，故D正确．
故选：．
根据数量积的定义判断，由向量平行的定义判断，结合向量模的定义判断，由向量垂直的数量积表示判断．
本题考查了平面向量数量积的定义及其运算，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，是锐角三角形，则，且，，
因此，则有，
而在上递增且，，
则有，则A正确，B错误；
同理，则D正确，C错误．
故选：．
根据题意，由锐角三角形的定义可得，变形有，根据正弦函数的单调性可得，结合的单调性可得A正确，B错误，同理可得D正确，C错误，综合可得答案．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，，即，，是锐角，但，是否都为锐角，不确定，错；
选项B，由正弦定理，因此，B正确；
选项C，由正弦定理，：：：：，则：：：：，设，，，
则，为钝角，是钝角三角形，C正确；
选项D，由正弦定理，得，
而，又由，得，因此或，有两解，错．
故选：．
由数量积定义判断出的真假；由正弦定理判断出的真假；由正弦定理、余弦定理判断出的真假；由正弦定理判断出的真假．
本题考查三角形形状的判断，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，
显然且，因此是非奇非偶函数，A正确；
，因此不是函数的周期，错；
由定义知，当，时，
，
当，时，
，
综上可得值域是，错；
由上讨论知当时，，
当时，，因此D正确．
故选：．
根据奇偶性定义判断；
周期性定义判断；
结合正弦函数、余弦函数性质判断．
本题属于新概念题，考查了正、余弦函数的性质，属于中档题．
13.【答案】或
【解析】解：设扇形的中心角为，半径为．
则，，
解得，；，．
故答案为：或．
利用弧长公式、扇形面积计算公式即可得出．
本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：向量，则与平行的单位向量是，
即或，
故答案为：或
由题意，根据与平行的单位向量是，得出结论．
本题主要共线向量与单位向量的定义，属于基础题．
15.【答案】，
【解析】解：因为函数的单调递增区间，即函数的单调递减区间，
由，，
解得 ，，
故函数的单调递增区间是，，
故答案为，．
利用诱导公式可得本题即求函数的单调递减区间，由，，求得的范围，即可求得函数的单调递减区间．
本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调减区间的求法，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，可得，
由题意，解得．
故答案为：．
先求得的范围，然后由正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
17.【答案】解：，则，
所以，
证明：，即，
又与过同一点，、、三点共线．
【解析】由得，然后由向量的线性运算求解；
由向量的运算求得，然后由向量平行得证三点共线．
本题考查平面向量和空间向量的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为的终边过点，
则，
由三角函数的定义可得，，；
．
【解析】由题意根据三角函数的定义求解；
用诱导公式、同角关系式化简后，代入中结论可得．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：，，
由正弦定理可得，
即；
由余弦定理可得，
即，
解得舍去或，
．
【解析】由正弦定理求解；
由余弦定理求得，再由面积公式计算．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为向量，，，
又，
所以，
解得，
所以，，
得，
所以，
即与夹角的余弦值为．
又，
所以，
即与的夹角为．
由知，，，
所以，，，
所以，
即，
解得，
所以的值为．
【解析】利用向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解；
根据的结论及向量的数量积的坐标运算，结合向量的模公式即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属中档题．
21.【答案】解：由题意可得：，
，故的解析式为；
由可得，令，则，如图所示，
的值域是，，
，即：，
由图可知，解得，
实数的取值范围为．
【解析】由已知得函数周期，由周期求得参数得解析式；
求出的范围，结合余弦函数的图象可得结论．
本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：若函数满足条件，则，
这与，矛盾，故不能满足条件，
所以函数只能满足条件，，．
由条件，得，
又因为，
所以，
由条件，得
由条件，得，
又因为，
所以，
所以函数的解析式为；
由，知，
当，时；此时，
当，时；此时．
【解析】利用已知条件及三角函数的周期公式，结合特殊值对应特殊角即可求解；
利用复合函数的求最值的方法及三角函数的性质即可求解．
本题考查三角函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.在中，，则是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则下列结论成立的是( )
A. B. C. D.
5.在中，，则角的大小为( )
A. B. C. D.
6.一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为，则河水的流速为( )
A. B. C. D.
7.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的( )
A. 横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花图中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则或
D. 若，则
10.已知函数，当时单调递增，若角，，是锐角三角形的内角，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则
C. 若：：：：，则是钝角三角形
D. 若，，，则只有一解
12.定义为，中较大的数，已知函数，给出下列命题：其中正确的为( )
A. 为非奇非偶函数
B. 是以为最小正周期的周期函数
C. 的值域为
D. 当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是______．
14.若向量，则与平行的单位向量是______．
15.函数的单调递增区间是______．
16.已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，点在边上且，以向量，为基底，表示向量．
已知空间向量，且，，，求证：、、三点共线．
18.本小题分
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
求，，；
．
19.本小题分
在中，已知，，．
求．
求的面积．
20.本小题分
已知向量，，，且；
求与的夹角；
若，求的值．
21.本小题分
已知函数，
若，则的最小值为，求的解析式．
在的条件下，若在上的值域是，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为；最大值为；；
给出函数的解析式，并说明理由；
已知，求的最值及相应的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式的应用，属于基础题
直接按照诱导公式转化计算即可．
【解答】
解：
故选B
2.【答案】
【解析】解：根据三角形法则可得：，，，
在中，
，
即三条边相等，
是等边三角形．
故选：．
根据向量加减法法则及模的定义判断．
本题考查向量的线性运算，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
由已知根据诱导公式计算．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，又，且在上递增，
，而，所以，
．
故选：．
根据正弦定理与正切函数的单调性判断．
本题主要考查三角函数线，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
又为三角形的内角，
则．
故选C
利用余弦定理表示出，将已知的等式代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，船在处，，
实际航程为，
则，，，
所以，
故选：．
根据题意求得，，，然后通过解直角三角形得到河水的流速．
本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形模型的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，可得的图象；
再向右平行移动个单位长度，可得函数的图象，
故选：．
由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，显然，
，
因为点在正六边形的边上运动，是其中心，
因此的最大值等于其边长，
所以的最大值为．
故选：．
由，，然后由数量积的运算计算，结合正六边形性质可得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：已知向量，，是三个非零向量，
对于，若，当反向时，，故A错；
对于，依题意，，，若，，
则存在实数，使得，，从而，因此也有，故B正确；
对于，若，则的长度相等，但它们的方向不确定，不一定同向或反向，故C错；
对于，若，则，化简得，所以，故D正确．
故选：．
根据数量积的定义判断，由向量平行的定义判断，结合向量模的定义判断，由向量垂直的数量积表示判断．
本题考查了平面向量数量积的定义及其运算，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，是锐角三角形，则，且，，
因此，则有，
而在上递增且，，
则有，则A正确，B错误；
同理，则D正确，C错误．
故选：．
根据题意，由锐角三角形的定义可得，变形有，根据正弦函数的单调性可得，结合的单调性可得A正确，B错误，同理可得D正确，C错误，综合可得答案．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，，即，，是锐角，但，是否都为锐角，不确定，错；
选项B，由正弦定理，因此，B正确；
选项C，由正弦定理，：：：：，则：：：：，设，，，
则，为钝角，是钝角三角形，C正确；
选项D，由正弦定理，得，
而，又由，得，因此或，有两解，错．
故选：．
由数量积定义判断出的真假；由正弦定理判断出的真假；由正弦定理、余弦定理判断出的真假；由正弦定理判断出的真假．
本题考查三角形形状的判断，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，
显然且，因此是非奇非偶函数，A正确；
，因此不是函数的周期，错；
由定义知，当，时，
，
当，时，
，
综上可得值域是，错；
由上讨论知当时，，
当时，，因此D正确．
故选：．
根据奇偶性定义判断；
周期性定义判断；
结合正弦函数、余弦函数性质判断．
本题属于新概念题，考查了正、余弦函数的性质，属于中档题．
13.【答案】或
【解析】解：设扇形的中心角为，半径为．
则，，
解得，；，．
故答案为：或．
利用弧长公式、扇形面积计算公式即可得出．
本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：向量，则与平行的单位向量是，
即或，
故答案为：或
由题意，根据与平行的单位向量是，得出结论．
本题主要共线向量与单位向量的定义，属于基础题．
15.【答案】，
【解析】解：因为函数的单调递增区间，即函数的单调递减区间，
由，，
解得 ，，
故函数的单调递增区间是，，
故答案为，．
利用诱导公式可得本题即求函数的单调递减区间，由，，求得的范围，即可求得函数的单调递减区间．
本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调减区间的求法，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，可得，
由题意，解得．
故答案为：．
先求得的范围，然后由正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
17.【答案】解：，则，
所以，
证明：，即，
又与过同一点，、、三点共线．
【解析】由得，然后由向量的线性运算求解；
由向量的运算求得，然后由向量平行得证三点共线．
本题考查平面向量和空间向量的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为的终边过点，
则，
由三角函数的定义可得，，；
．
【解析】由题意根据三角函数的定义求解；
用诱导公式、同角关系式化简后，代入中结论可得．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：，，
由正弦定理可得，
即；
由余弦定理可得，
即，
解得舍去或，
．
【解析】由正弦定理求解；
由余弦定理求得，再由面积公式计算．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为向量，，，
又，
所以，
解得，
所以，，
得，
所以，
即与夹角的余弦值为．
又，
所以，
即与的夹角为．
由知，，，
所以，，，
所以，
即，
解得，
所以的值为．
【解析】利用向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解；
根据的结论及向量的数量积的坐标运算，结合向量的模公式即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属中档题．
21.【答案】解：由题意可得：，
，故的解析式为；
由可得，令，则，如图所示，
的值域是，，
，即：，
由图可知，解得，
实数的取值范围为．
【解析】由已知得函数周期，由周期求得参数得解析式；
求出的范围，结合余弦函数的图象可得结论．
本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：若函数满足条件，则，
这与，矛盾，故不能满足条件，
所以函数只能满足条件，，．
由条件，得，
又因为，
所以，
由条件，得
由条件，得，
又因为，
所以，
所以函数的解析式为；
由，知，
当，时；此时，
当，时；此时．
【解析】利用已知条件及三角函数的周期公式，结合特殊值对应特殊角即可求解；
利用复合函数的求最值的方法及三角函数的性质即可求解．
本题考查三角函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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