2022-2023学年河北省秦皇岛市昌黎县文汇学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省秦皇岛市昌黎县文汇学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知中，，，，那么角等于
( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
( )
A. B. C. D.
5.若是的中线，已知，，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知，为锐角，，则( )
A. B. C. D.
7.的三个内角，，所对的边分别为，则( )
A. B. C. D.
8.在中，已知：：：：，那么( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量，，则( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
10.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 若终边上有一点，则
D. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为
12.以下关于正弦定理或其变形正确的有( )
A. 在中，：：：：
B. 在中，若，则
C. 在中，若，则，若，则都成立
D. 在中，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______．
14.已知向量，，若，则 ．
15.在区间上的最小值为______．
16.已知向量满足且，则在方向上的投影向量为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，．
求的坐标；
求．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ当时，求函数的最大值及相应的的值．
19.本小题分
已知不共线的向量满足．
求；
是否存在实数，使得与共线？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知，，与的夹角为．
求与的值；
为何值时，与垂直？
21.本小题分
已知中，．
求角
若，，求的面积．
22.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式及对称中心；
先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，再将图象右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．
先根据正弦定理将题中所给数值代入求出的值，进而求出，再由确定、的关系，进而可得答案．
【解答】
解：由正弦定理得：，
则，
，
或，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由已知得
．
故选：．
直接利用向量的加减法和数量积的运算性质求解．
本题考查了向量的加、减法和数量积的运算性质．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积运算，关键是向量垂直的条件．属于基础题．
可先由向量垂直得到数量积等于零，再结合夹角计算公式求解即可．
【解答】
解：设向量与的夹角为，则由，
得，
所以，
因为，
所以，
故选B．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
因为是的中线，
所以
故选：．
根据是的中线可得，进一步结合，即可求解．
本题考查平面向量的线性运算，考查学生直观想象与数形结合的能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
由题意利用同角三角函数的基本关系式，两角差的余弦公式，计算求得结果．
【解答】
解：，为锐角，，，，
则，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由题意，，
故选：．
先利用正弦定理，将边转化为角，化简即可得到结论．
本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：中，：：：：，
所以设，，，且；
所以．
故选：．
根据：：：：，利用余弦定理求出的值．
本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题目．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根据向量的坐标求向量模，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
可以求出，从而判断A错误；得出，从而判断B错误，C正确；求出，从而判断D正确．
【解答】
解：，A错误；
，，，B错误，C正确；
，且，
与的夹角为，D正确．
故选CD．
10.【答案】
【解析】解：由向量的数乘运算可知，，故A正确．
由向量的数乘运算可知，，故B正确．
由向量的数乘运算可知，，故C错误．
由向量的数乘运算可知，，故D正确．
故选：．
根据向量的加减和数乘运算，即可得出结论．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，故A错；
对于，，故B正确；
对于，若终边上有一点，则，故C不正确；
对于，若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为，面积为，故D正确．
故选：．
利用诱导公式可判断，利用弧度与角度之间的转化公式可判断，利用任意角的三角函数定义可判断，利用扇形的弧长和面积公式可判断．
本题主要考查了三角函数定义，诱导公式，角度与弧度的相互转化及扇形的面积公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由正弦定理，
可得：：：：：：：，故正确；
对于，由，可得，或，即，或，
，或，故B错误；
对于，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，正确；
对于，由正弦定理，
可得右边左边，故正确．
故选：．
由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项即可求解．
本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
利用诱导公式和两角和差公式即可．
本题考查两角和差公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的加法、减法以及数乘运算，是基础题．
利用向量坐标运算法则求出，再由向量平行的性质能求出的值．
【解答】解：向量，，
，
，，
，解得．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：因为，所以
所以当时，函数．
故答案为：．
根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解．
本题主要考查三角函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，且，
则，解得，
故在方向上的投影向量为．
故答案为：．
先根据数量积的运算律求，进而求在方向上的投影向量．
本题主要考查投影向量的运算，属于基础题．
17.【答案】解：因为，．
所以；
．
【解析】利用向量加法、数乘以及数量积的坐标运算公式计算即可．
本题考查坐标条件下的数量积、向量加法、减法以及数乘运算法则，属于基础题．
18.【答案】解：因为函数，
所以函数的最小正周期为，
当，
，
所以当，
即时函数取得最小值，
当，即时，函数取得最大值
综上所述：当时，函数取得最小值，
当时，函数最得最大值．
【解析】由三角函数的解析式，分析周期，
由三角函数的解析式，求最值即可．
本题考查三角函数的周期和最值，属于中档题．
19.【答案】解：由题知，
，
．
存在．理由如下：假设存在实数，使得与共线，
则，即，
不共线，，
解得，
即存在实数，使得与共线．
【解析】根据平面向量数量积概念即可求解；
通过平面向量共线定理建立方程即可求解．
本题考查面向量数量积概念，平面向量共线定理，方程思想，属基础题．
20.【答案】解：，，与的夹角为．
；
；
与垂直，
可得，
所以，
，
解得．
【解析】本题考查了向量的数量积，向量的模的求法，向量垂直条件的应用，是基础题．
利用向量的数量积以及向量的模的运算法则化简求解即可．
利用向量的数量积为，列出方程求解即可．
21.【答案】解：Ⅰ因为在中，，
所以由余弦定理可得，
又，
可得．
Ⅱ因为，
所以由正弦定理可得，
又，，
所以由余弦定理，可得，
解得，，
所以的面积．
【解析】Ⅰ由已知利用余弦定理可得的值，结合范围，可求的值．
Ⅱ由正弦定理化简已知等式可得，进而利用余弦定理解得的值，可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：由函数图象知，，
由函数图象可知过和，
则，解得，，
所以；
函数的对称中心的横坐标满足：，，解得，
即的对称中心为；
先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，
得到函数图象，即，
再将图象右平移个单位后得到的图象，
即，
函数的单调递减区间区间满足：，，则，，
因为，
再由时满足条件，且，
即函数在上的单调减区间为
【解析】由图知，，，由求得的值，将点代入的解析式中，可得的值，再根据正弦函数的中心对称性，得解；
根据三角函数图象的变换规律可求得的解析式，结合余弦函数的性质即可求得答．
本题考查由函数的部分图象求解析式及余弦函数的性质的应用，属于中档题．
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