2022-2023学年甘肃省武威市民勤一中、天祝一中、古浪一中高二（下）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年甘肃省武威市民勤一中、天祝一中、古浪一中高二（下）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 131.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-08 15:07:51 | ||
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文档简介
2022-2023学年甘肃省武威市民勤一中、天祝一中、古浪一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.年月日，于西班牙博伊陶尔进行的年滑雪登山世锦赛落下帷幕，岁中国小将玉珍拉姆获得女子组短距离项目冠军在一次练习中，玉珍拉姆在运动过程中的重心相对于水平面的高度单位：与开始时间单位：存在函数关系，则此次练习中，玉珍拉姆在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱柱中，是与的交点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知曲线在点处的切线为，则实数( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，在长方体中，，，，分别为线段，的中点，，分别为线段，上的动点，若，则线段的长度的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 是函数的极大值点，是函数的极小值点
B. 是函数的极小值点
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的单调递减区间是
11.已知四边形是平行四边形，，，，则( )
A. 点的坐标是 B.
C. D. 四边形的面积是
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，在上单调递增
B. 当时，恒成立
C. “”是“恒成立”的充要条件
D. 若函数有两个零点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面的法向量，为上一点，则点到的距离为______．
14.已知函数，则 ．
15.在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则______．
16.设函数在区间上有零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知正四面体的棱长为，点是的重心，点是线段的中点．
用表示，并求出；
求证：．
18.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
求函数的极值．
19.本小题分
在正四棱柱中，，为的中点，为上靠近的三等分点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，为正三角形，平面平面，，分别是棱，的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
22.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设，当时，若对任意都成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，A错误，
，B错误，
，C错误，
，D正确．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以存在实数，使得，即，
所以，解得，，
所以．
故选：．
利用空间向量平行的性质得到关于，的方程组，解之即可得解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，即玉珍拉姆在时的瞬时速度为．
故选：．
利用导数的几何意义即可得解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为为三棱柱，，，，
所以，．
故选：．
由空间向量线性运算即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，所以，
又曲线在点处的切线为，
所以．
故选：．
利用导数的几何意义计算即可．
本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知得，
若函数在上有极值点，
则在上有解，即，
解得，即实数的取值范围是
故选：．
根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建系如图，
因为，分别为，的中点，所以，，
因为，分别为线段，上的动点，
所以可设，，
所以，．
由，得，即，即，
由，
得，
当时，．
故选：．
建立空间直角坐标系，写出相关的点坐标，设出，的坐标，利用，找出参数间的关系，再用空间两点间的距离公式表示出函数的形式，利用函数求最值．
本题考查坐标法求解空间两点间距离问题，函数思想的应用，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为满足，
设，则，
所以在上是减函数，
所以，
即，
即．
故选：．
根据题意，构造函数，求的导数，利用导数判断函数的单调性，即可比较、、的大小．
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了函数值的大小比较，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，满足空间共面向量定理，故A正确，
对于，，满足空间共面向量定理，故B正确，
对于，若，，共面，
则存在实数，，使得，故，，共面，
这与构成空间的一个基底，即，，不共面矛盾，不满足空间共面向量定理，故C错误，
对于，，满足空间共面向量定理，故D正确．
故选：．
根据空间共面向量定理可判断，，；采用反证的方法，推出矛盾，可判断．
本题主要考查空间共面向量定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由导函数图象可得，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，所以，C正确，，D错误．
故选：．
由导函数的图象，结合导数与单调性的关系可得函数的单调区间，从而可得极值点，逐项判断即可得解．
本题主要考查里用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：不妨设点坐标为，
因为四边形是平行四边形，
所以，即，
所以，，，
所以点坐标为，故A错误，
，故B正确，
，，
所以，故C错误，
因为，
所以四边形的面积，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合平行四边形的性质，以及向量相等的条件，求出点，即可依次求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：当时，，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
故A正确，B正确；
若恒成立，则在上是增函数，
所以在上恒成立，即恒成立，
又，所以，
所以“”是“恒成立”的充分不必要条件，C错误；
由题易得，不是函数的零点，令，得，
令，则，
令，得，令，得且，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
的极小值是，则的图象如图所示：
由图可得，若与的图象有两个交点，则，D正确．
故选：．
利用导数研究函数的单调性和最值可判定、；利用分离参数法及数形结合法结合导数研究函数的性质可判定、选项．
本题考查函数的单调性与零点问题，导数的综合应用，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：，则，
所以点到的距离为．
故答案为：．
先计算的夹角，再由点到平面的距离公式求解即可．
本题考查利用空间向量求解点到平面的距离，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，则，
则．
故答案为：．
先求导数，再求函数值．
本题考查导数的运算，函数求值，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，得，
又，，，四点共面，则存在，，使得，
即，即，解得，所以．
故答案为：．
先由点的坐标求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程组即可求得．
本题考查了共面向量定理，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，则，
函数 在区间上有零点等价于直线与曲线在上有交点，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，，
显然，
，
即当时，函数在上有零点．
故答案为：．
参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：点是线段的中点，由平行四边形法则可得，
在正中，根据重心的性质可得，
，
在正四面体中，，，
，
；
证明：由知，，
在正四面体中，，，
，
．
【解析】由平行四边形法则可得，在正中，根据重心的性质可得，即可得出答案；
由知，，利用向量的数量积计算，即可证明结论．
本题考查空间向量的数量积和向量的三角形法则、平行四边形法则，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：函数的定义域为，且，
所以，
故在处的切线方程为，
即，
所以函数在处的切线方程为：；
令，则，解得，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
【解析】求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式写出直线方程，化成一般式即可；
令，求出两根，判断出函数的单调区间、极值点，代入计算即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
19.【答案】解：以为原点，分别以方向为，，轴，建立如下所示的空间坐标系，
则由题意可知：，，，，，，，
，，
设，
则，
为上靠近的三等分点，
，
，
，，，
，
，
，
设异面直线与所成角为且
则．
由可求得：，，，
设为平面的法向量，
则，解得：，，，
，
，
设直线与平面所成角为，
则．
【解析】根据空间向量的数量积计算求解；
根据线面角的正弦等于直线方向向量和平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
20.【答案】解：，
由题意得，
解得，，
经检验当，时，在处取得极大值，符合题意；
由得，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，函数取得极大值，
又，
故，
因为存在，使得成立，
所以成立，即，
所以，
故的取值范围为．
【解析】先对函数求导，结合函数极值存在条件可建立关于，的方程，进而可求；
问题可转化为，结合导数与单调性及最值关系可求．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了存在性问题中参数范围的求解，属于中档题．
21.【答案】证明：取的中点，连接，，
由点是棱的中点，所以，，
由四边形为矩形，是边的中点，得，，
因此，，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
解：取矩形的边，中点分别为，，连接，，
因为为正三角形，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
则，显然，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】取的中点，利用平行公理、线面平行的判定推理作答．
以的中点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面夹角的余弦作答．
本题考查了空间几何体中位置关系的证明和空间角的求解，属于中档题．
22.【答案】解：函数的定义域是，
．
当时，恒成立，
函数在区间上单调递增；
当时，令，得；令，得，
函数在区间上单调递减，在上单调递增．
综上可得：当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增．
，
．
，令，得；令，得．
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
．
若在上恒成立，则，
或，解得或．
实数的取值范围是．
【解析】，对分类讨论即可得出函数的单调性．
，利用导数的运算法则可得，利用导数研究函数的单调性与极值，根据在上恒成立，只需即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.年月日，于西班牙博伊陶尔进行的年滑雪登山世锦赛落下帷幕，岁中国小将玉珍拉姆获得女子组短距离项目冠军在一次练习中，玉珍拉姆在运动过程中的重心相对于水平面的高度单位：与开始时间单位：存在函数关系，则此次练习中，玉珍拉姆在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱柱中，是与的交点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知曲线在点处的切线为，则实数( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，在长方体中，，，，分别为线段，的中点，，分别为线段，上的动点，若，则线段的长度的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 是函数的极大值点，是函数的极小值点
B. 是函数的极小值点
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的单调递减区间是
11.已知四边形是平行四边形，，，，则( )
A. 点的坐标是 B.
C. D. 四边形的面积是
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，在上单调递增
B. 当时，恒成立
C. “”是“恒成立”的充要条件
D. 若函数有两个零点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面的法向量，为上一点，则点到的距离为______．
14.已知函数，则 ．
15.在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则______．
16.设函数在区间上有零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知正四面体的棱长为，点是的重心，点是线段的中点．
用表示，并求出；
求证：．
18.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
求函数的极值．
19.本小题分
在正四棱柱中，，为的中点，为上靠近的三等分点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，为正三角形，平面平面，，分别是棱，的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
22.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设，当时，若对任意都成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，A错误，
，B错误，
，C错误，
，D正确．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以存在实数，使得，即，
所以，解得，，
所以．
故选：．
利用空间向量平行的性质得到关于，的方程组，解之即可得解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，即玉珍拉姆在时的瞬时速度为．
故选：．
利用导数的几何意义即可得解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为为三棱柱，，，，
所以，．
故选：．
由空间向量线性运算即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，所以，
又曲线在点处的切线为，
所以．
故选：．
利用导数的几何意义计算即可．
本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知得，
若函数在上有极值点，
则在上有解，即，
解得，即实数的取值范围是
故选：．
根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建系如图，
因为，分别为，的中点，所以，，
因为，分别为线段，上的动点，
所以可设，，
所以，．
由，得，即，即，
由，
得，
当时，．
故选：．
建立空间直角坐标系，写出相关的点坐标，设出，的坐标，利用，找出参数间的关系，再用空间两点间的距离公式表示出函数的形式，利用函数求最值．
本题考查坐标法求解空间两点间距离问题，函数思想的应用，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为满足，
设，则，
所以在上是减函数，
所以，
即，
即．
故选：．
根据题意，构造函数，求的导数，利用导数判断函数的单调性，即可比较、、的大小．
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了函数值的大小比较，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，满足空间共面向量定理，故A正确，
对于，，满足空间共面向量定理，故B正确，
对于，若，，共面，
则存在实数，，使得，故，，共面，
这与构成空间的一个基底，即，，不共面矛盾，不满足空间共面向量定理，故C错误，
对于，，满足空间共面向量定理，故D正确．
故选：．
根据空间共面向量定理可判断，，；采用反证的方法，推出矛盾，可判断．
本题主要考查空间共面向量定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由导函数图象可得，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，所以，C正确，，D错误．
故选：．
由导函数的图象，结合导数与单调性的关系可得函数的单调区间，从而可得极值点，逐项判断即可得解．
本题主要考查里用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：不妨设点坐标为，
因为四边形是平行四边形，
所以，即，
所以，，，
所以点坐标为，故A错误，
，故B正确，
，，
所以，故C错误，
因为，
所以四边形的面积，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合平行四边形的性质，以及向量相等的条件，求出点，即可依次求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：当时，，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
故A正确，B正确；
若恒成立，则在上是增函数，
所以在上恒成立，即恒成立，
又，所以，
所以“”是“恒成立”的充分不必要条件，C错误；
由题易得，不是函数的零点，令，得，
令，则，
令，得，令，得且，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
的极小值是，则的图象如图所示：
由图可得，若与的图象有两个交点，则，D正确．
故选：．
利用导数研究函数的单调性和最值可判定、；利用分离参数法及数形结合法结合导数研究函数的性质可判定、选项．
本题考查函数的单调性与零点问题，导数的综合应用，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：，则，
所以点到的距离为．
故答案为：．
先计算的夹角，再由点到平面的距离公式求解即可．
本题考查利用空间向量求解点到平面的距离，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，则，
则．
故答案为：．
先求导数，再求函数值．
本题考查导数的运算，函数求值，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，得，
又，，，四点共面，则存在，，使得，
即，即，解得，所以．
故答案为：．
先由点的坐标求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程组即可求得．
本题考查了共面向量定理，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，则，
函数 在区间上有零点等价于直线与曲线在上有交点，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，，
显然，
，
即当时，函数在上有零点．
故答案为：．
参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：点是线段的中点，由平行四边形法则可得，
在正中，根据重心的性质可得，
，
在正四面体中，，，
，
；
证明：由知，，
在正四面体中，，，
，
．
【解析】由平行四边形法则可得，在正中，根据重心的性质可得，即可得出答案；
由知，，利用向量的数量积计算，即可证明结论．
本题考查空间向量的数量积和向量的三角形法则、平行四边形法则，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：函数的定义域为，且，
所以，
故在处的切线方程为，
即，
所以函数在处的切线方程为：；
令，则，解得，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
【解析】求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式写出直线方程，化成一般式即可；
令，求出两根，判断出函数的单调区间、极值点，代入计算即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
19.【答案】解：以为原点，分别以方向为，，轴，建立如下所示的空间坐标系，
则由题意可知：，，，，，，，
，，
设，
则，
为上靠近的三等分点，
，
，
，，，
，
，
，
设异面直线与所成角为且
则．
由可求得：，，，
设为平面的法向量，
则，解得：，，，
，
，
设直线与平面所成角为，
则．
【解析】根据空间向量的数量积计算求解；
根据线面角的正弦等于直线方向向量和平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
20.【答案】解：，
由题意得，
解得，，
经检验当，时，在处取得极大值，符合题意；
由得，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，函数取得极大值，
又，
故，
因为存在，使得成立，
所以成立，即，
所以，
故的取值范围为．
【解析】先对函数求导，结合函数极值存在条件可建立关于，的方程，进而可求；
问题可转化为，结合导数与单调性及最值关系可求．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了存在性问题中参数范围的求解，属于中档题．
21.【答案】证明：取的中点，连接，，
由点是棱的中点，所以，，
由四边形为矩形，是边的中点，得，，
因此，，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
解：取矩形的边，中点分别为，，连接，，
因为为正三角形，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
则，显然，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】取的中点，利用平行公理、线面平行的判定推理作答．
以的中点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面夹角的余弦作答．
本题考查了空间几何体中位置关系的证明和空间角的求解，属于中档题．
22.【答案】解：函数的定义域是，
．
当时，恒成立，
函数在区间上单调递增；
当时，令，得；令，得，
函数在区间上单调递减，在上单调递增．
综上可得：当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增．
，
．
，令，得；令，得．
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
．
若在上恒成立，则，
或，解得或．
实数的取值范围是．
【解析】，对分类讨论即可得出函数的单调性．
，利用导数的运算法则可得，利用导数研究函数的单调性与极值，根据在上恒成立，只需即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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