三角函数的概念
学习目标 理解任意角三角函数的定义，并能初步运用定义求解简单的三角函数值.
学习活动 路径与学法
问题引入： 在前面的学习中我们已经知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而匀速圆周运动是一种典型的周期现象，那么这种运动规律该用什么函数模型刻画呢？如图所示，如何去刻画点P的位置呢？ 围绕引入： 随机点名，学生回答； 教师点评，引入本课内容.
目标：理解任意角三角函数的定义，并能初步运用定义求解简单的三角函数值. 任务1：构造单位圆模型，探究并理解任意角三角函数的定义. 如图，以单位圆的圆心为坐标原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标是，点的坐标是. 射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为． 问题： 1.当=时，点的坐标是什么？当=或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 2.任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标能唯一确定吗？ 3.结合函数的定义，如何用点P的坐标来表示任意角α的函数吗？ 参考答案： 当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为，它们都是唯一确定的. 唯一确定. 略 【归纳总结】 设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点， 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记做，即； 把点的横坐标叫做的余弦函数，记做，即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记做，即. 我们将正弦函数，余弦函数，正切函数统称为三角函数. 通常将它们记为： 正弦函数 ；余弦函数 ； 正切函数 . 任务2：先完成下列作图，再解答问题，探究任意角三角函数与锐角三角函数之间的关系. 1.作Rt△ABC ，其中∠A=x ° ，∠C=90° . 2.以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OM为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，以射线OM从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转x°，终止位置为OP． 问题：结合作出的两个图形，找出sinA与sin∠POM、cosA与cos∠POM、tanA 与 tan∠POM之间的关系. 参考答案： 相等. 练一练： 1.利用三角函数定义，求的三个三角函数值； 2.已知角θ的终边过点P(－12，5)，求角θ的三角函数值． 参考答案： 1.sin＝－，cos＝－，tan＝； 2.sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－． 任务3：利用三角函数的定义，证明下列命题，理解三角函数比值的定义. 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．以原点为圆心，作单位圆与α的终边交于点P0 (x0，y0)．分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0. （1）根据三角函数的定义，思考如何表示、、？ （2）根据图象结合三角函数的定义证明：sin α=，cos α=，tan α=. 参考答案： （1）由三角函数的定义可知 . （2）由图可知，|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，△OMP∽△OM0P0．于是，即|y0|=．因为y0与y同号，所以y0=，即sin α=．同理可得cos α=；tan α=． 【归纳总结】 比值定义法: 建立直角坐标系，对于任意角，角终边上的任意一点的坐标为，它到原点的距离为 ，那么， ，. 练一练： 已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求的值. 参考答案： 解：由题可知，，所以，，. 围绕任务1： 组织学生独立思考、作答问题1、2； 随机点名，学生回答，其他学生评价； 教师评价，追问问题3：“结合函数的定义，能否用点的坐标来表示任意角的函数？学生回答； 教师点评，并引出三角函数概念，追问：正切函数的定义域为什么是，学生思考； 随机点名，学生回答，其他学生评价、补充. 围绕任务2： 组织学生动手画图操作，然后独立思考问题； 随机点名，学生回答； 教师点评. 围绕练一练： 组织学生独立完成，并拍照上传； 教师巡屏，典型展示，学生回答，其他学生评价补充； 教师点评，展示答案. 围绕任务3： 组织学生先独立思考问题（1）（2），然后小组讨论，作答（教师问题（2）引导：同一个角,若其想应边的长度不同，其三角函数值一样吗？）； 教师巡屏，找出正确答案展示，相应小组成员回答，讲解思路，其他小组成员评价；3.教师点评，并归纳展示三角函数的比值定义. 围绕练一练： 随机点名，组织3位学生上讲台作答；台下学生独自完成，并拍照上传； 教师巡屏，标记典型（视情况展示），台上学生讲解思路，其他学生评价补充； 教师点评，展示答案.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.什么是三角函数，它是如何分类的？ 2.设是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点，那么如何表示正弦函数、余弦函数、正切函数呢？ 围绕任务： 学生思考问题1、2，画出知识导图，小组交流； 自主展示，教师点评.
2三角函数的概念
学习目标 1.理解任意角三角函数的定义，并能初步运用定义求解简单的三角函数值.
学习活动 学习笔记
问题引入： 在前面的学习中我们已经知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而匀速圆周运动是一种典型的周期现象，那么这种运动规律该用什么函数模型刻画呢？如图所示，如何去刻画点P的位置呢？
目标：理解任意角三角函数的定义，并能初步运用定义求解简单的三角函数值. 任务1：构造单位圆模型，探究并理解任意角三角函数的定义. 如图，以单位圆的圆心为坐标原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标是，点的坐标是. 射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为． 问题： 1.当=时，点的坐标是什么？当=或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 2.任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标能唯一确定吗？ 3.结合函数的定义，你认为能用点P的坐标来表示任意角α的函数吗？ 【归纳总结】 任务2：先完成下列作图，再解答问题，探究任意角三角函数与锐角三角函数之间的关系. 1.作Rt△ABC ，其中∠A=x ° ，∠C=90° . 2.以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OM为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，以射线OM从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转x°，终止位置为OP． 问题：结合作出的两个图形，找出sinA与sin∠POM、cosA与cos∠POM、tanA 与 tan∠POM之间的关系. 练一练： 1.利用三角函数定义，求的三个三角函数值； 2.已知角θ的终边过点P(－12，5)，求角θ的三角函数值． 任务3：利用三角函数的定义，证明下列命题，理解三角函数比值的定义. 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．以原点为圆心，作单位圆与α的终边交于点P0 (x0，y0)．分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0. （1）根据三角函数的定义，思考如何表示、、？ （2）根据图象结合三角函数的定义证明：sin α=，cos α=，tan α=. 【归纳总结】 练一练： 已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求的值. 参考答案：
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.什么是三角函数，它是如何分类的？ 2.设是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点，那么如何表示正弦函数、余弦函数、正切函数呢？
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