同角三角函数的基本关系
学习目标 1.理解同角三角函数基本关系及其推导． 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
学习活动 学习活动
目标一：理解同角三角函数基本关系式及其推导． 任务：结合三角函数的定义，借助单位圆探究同角三角函数的基本关系. 如图：设点是角的终边与单位圆的交点，过作轴的垂线，交轴于点，则是直角三角形，且. 问题： 1.、之间有什么数量关系？ 2.与、之间有什么数量关系（其中）？ 【归纳总结】
目标二：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 任务1：求解下列三角函数值，并尝试归纳求解的方法及注意事项. 若，求cos α，tan α的值； 【归纳总结】 任务2：利用同角三角函数的基本关系化简、求值. 若角α是第二象限角，化简：tan α. 【归纳总结】 任务3：利用同角三角函数基本关系证明关系式. 求证： 【归纳总结】 练一练： 求证：＝.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.同角三角函数的基本关系有哪些？ 2.我们应用同角三角函数的基本关系都解决了哪些问题？解题思路和技巧分别有哪些？
2同角三角函数的基本关系
学习目标 1.理解同角三角函数基本关系及其推导． 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
学习活动 路径与学法
目标一：理解同角三角函数基本关系式及其推导． 任务：结合三角函数的定义，借助单位圆探究同角三角函数的基本关系. 如图：设点是角的终边与单位圆的交点，过作轴的垂线，交轴于点，则是直角三角形，且. 问题： 1.、之间有什么数量关系？ 2.与、之间有什么数量关系（其中）？ 参考答案： 解：1.由图利用勾股定理可知：，结合三角函数的定义可知：，当的终边与坐标轴重合时，公式也成立. 2.当时，由三角函数的定义可知. 【归纳总结】 平方和关系：. 商关系：. 围绕任务： 组织学生独立思考，作答（教师可以引导学生利用勾股定理列出等式）； 随机点名，学生回答，其他学生评价补充； 教师点评，展示结论，然后提问：在讨论商的关系时，为什么要强调？，学生思考回答.
目标二：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 任务1：求解下列三角函数值，并尝试归纳求解的方法及注意事项. 若，求cos α，tan α的值； 参考答案： 解：∵sin α＝－，α是第三、第四象限角， 当α是第三象限角时， cos α＝－＝－，tan α＝＝. α是第四象限角时， cos α＝＝，tan α＝＝- 【归纳总结】 1.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系． 2.若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果． 注意：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号． 任务2：利用同角三角函数的基本关系化简、求值. 若角α是第二象限角，化简：tan α. 参考答案： 解：原式＝tan α＝tan α＝· ，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝. 【归纳总结】 1.切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简. 2.对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的 3.对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的. 注意：应用平方关系式求sin α或cos α时，牢记其正负号是由角α所在的象限决定的. 任务3：利用同角三角函数基本关系证明关系式. 求证： 参考答案： 证明：，，左边= =右边. 所以原式成立. 【归纳总结】 1.证明恒等式的一般思路如下： (1)从一边证到另一边，一般由繁到简； (2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者； (3)比较法(作差，作比法)． 2.常用的技巧有： (1)巧用“1”的代换； (2)化切为弦； (3)多项式运算技巧的应用(分解因式)． 3.证明或求解时要有整体代换思想． 练一练： 求证：＝. 参考答案： 证明：右边＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立． 围绕任务1： 组织学生独立作答，并拍照上传； 教师巡屏，典型展示，学生回答，其他学生评价、补充； 教师点评，并追问：“求解这类求值问题，要注意什么？”学生思考、回答； 教师总结、展示. 围绕任务2： 1.学生独立思考，然后小组讨论，作答并拍照上传； 教师巡屏，典型展示，学生回答，其他学生评价、补充； 教师点评、讲解，并追问：“遇到这类既带有根式又含有正切和正、余弦的关系式，在化简时，应当如何处理”；学生思考讨论； 教师评价、归纳（过程中视情况引导学生思考去根号方法，以及减少变量的意义）. 围绕任务3： 组织学生思考，然后小组讨论作答，并拍照上传； 教师巡屏，典型展示，小组代表回答，其他学生评价补充； 教师点评，并追问：“证明恒等式有哪些方法？”学生思考讨论； 教师评价，归纳展示. 围绕练一练： 随机选择两名学生台上作答，其他学生台下独立作答，并拍照上传； 教师巡屏，标记典型（视情况展示）； 台上学生讲解解题思路，其他学生评价补充； 教师点评，并追问：“本题用的是哪一类证明恒等式思路？”学生回答.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.同角三角函数的基本关系有哪些？ 2.我们应用同角三角函数的基本关系都解决了哪些问题？解题思路和技巧分别有哪些？ 围绕任务： 学生思考问题，画出知识导图，小组交流； 2.自主展示，教师点评、展示.
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