正切函数的性质与图象
学习目标 1.理解并掌握正切函数的性质.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象. 2.能应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
学习活动
目标一：理解并掌握正切函数的性质.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象. 任务1：回答下列问题，探索正切函数的周期性和奇偶性. 三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象与性质就成为学习的必然.根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象及性质. 问题： 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数的周期是多少？ 2.正切函数具有奇偶性吗？ 参考答案： 1.由诱导公式tan(x＋π)＝tan x，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π；，. 2.由诱导公式可得，tan(－x)＝－tan x.故正切函数是奇函数. 【归纳总结】 性质周期性奇偶性奇函数
任务2：类比正弦、余弦函数图象的画法，画出正切函数的图象. 如图，设 ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）.过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A作轴的垂线与角的终边交于点T. 问题： 与、与、与是什么关系？ 如何在坐标轴上确定坐标为的点？ 画出的图象，并讨论交流作图方法. 参考答案： 由图可知：（正切线），（正弦线），（余弦线）. 略.（参考正弦函数图象的作法） 根据2中点的作法，画出多个正切函数点，然后用光滑的曲线连接即可.如图所示： 【归纳总结】 正切函数，其中图象： 任务3：观察正切函数图象，填写表格，了解正切函数的对称性、单调性和值域. 对称中心单调性值域
参考答案： 对称中心单调性单调递增值域
【归纳总结】 对称中心单调性单调递增值域
练一练： 比较下列正切值的大小 （1）；（2） 参考答案： 解：（1）因为，由正切函数的单调性可知， . （2）利用正切函数的周期性，可得，因为，所以根据正切函数的单调性可得，.
目标二：能应用正切函数的图象和性质解决相关问题. 任务：利用正切函数的性质，求（其中、、是常数，且）的相关性质. 求函数的定义域、最小正周期、对称中心和单调区间. 参考答案： 解：（1）根据正切函数的定义域，可知，解得，，即该函数的定义域为：； （2）令， ，所以该函数的最小正周期为； （3）令，则函数的对称中心为所以有，解得，所以该函数的对称中心为. （4）令，则函数在区间上单调递增，有，解得，所以该函数的单调增区间为. 【归纳总结】 正切函数（其中A、、为常数，且）的性质： 1.定义域:令，解不等式，即可求得该函数的定义域. 2.周期性：最小正周期. 3.对称中心：令，解得，即对称中心为. 4.单调性：令，解不等式，即可求得该函数的单调增区间. 练一练： 求函数的单调区间. 参考答案： 解：由正切函数的单调性可得，令，解不等式得，所以该函数的单调递增区间是：.
学习总结
任务：回顾本课所学知识，完成下列表格. 正切函数正切型函数定义域值域周期奇偶性对称中心单调增区间
参考答案： 正切函数正切型函数定义域值域周期最小正周期最小正周期奇偶性奇函数时，奇函数；否则非奇非偶对称中心单调增区间令，解不等式即可求出
2正切函数的性质与图象
学习目标 1.理解并掌握正切函数的性质.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象. 2.能应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
学习活动
目标一：理解并掌握正切函数的性质.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象. 任务1：回答下列问题，探索正切函数的周期性和奇偶性. 三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象与性质就成为学习的必然.根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象及性质. 问题： 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数的周期是多少？ 2.正切函数具有奇偶性吗？ 【归纳总结】 任务2：类比正弦、余弦函数图象的画法，画出正切函数的图象. 如图，设 ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）.过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A作轴的垂线与角的终边交于点T. 问题： 与、与、与是什么关系？ 如何在坐标轴上确定坐标为的点？ 画出的图象，并讨论交流作图方法. 【归纳总结】 任务3：观察正切函数图象，填写表格，了解正切函数的对称性、单调性和值域. 对称中心单调性值域
【归纳总结】 练一练： 比较下列正切值的大小 （1）；（2）
目标二：能应用正切函数的图象和性质解决相关问题. 任务：利用正切函数的性质，求（其中、、是常数，且）的相关性质. 求函数的定义域、最小正周期、对称中心和单调区间. 【归纳总结】 练一练： 求函数的单调区间.
学习总结
任务：回顾本课所学知识，完成下列表格. 正切函数正切型函数定义域值域周期奇偶性对称中心单调增区间
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