湖北省荆州市2023-2024学年九年级下学期月考数学试题(含解析）

2024年湖北省荆州市中考数学质检试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，为有理数的是( )
A. B. C. D.
2.下面哪个图象不是正方体的表面展开图( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 射击运动员射击一次，命中十环是必然事件．
B. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件．
C. 了解某品牌手机电池待机时间用全面调查．
D. 了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查．
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.若，下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.如图，，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.已知一次函数的图象如图所示，则的图象一定不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
9.若菱形的周长为，高为，则菱形两邻角的度数之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
10.已知二次函数为常数，的图象如图所示，有如下结论：；；；方程有两个不相等的实数根；
其中正确的个数为个．( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.据统计，年春节假日期间，荆州市累计接待游客人次，用科学记数法可表示为______．
12.若代数式有意义，则实数的取值范围为______．
13.分解因式： ______．
14.已知，，都在反比例函数图象上，且满足，则，，的大小关系是______用“”连接
15.如图，将圆形纸片折叠使弧经过圆心，过点作半径于点，点为圆上一点，则的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
已知，是方程的两根，求的值．
18.本小题分
，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，求型机器人每小时搬运多少化工原料．
19.本小题分
“除夕”是我国最重要的传统佳节，成都市民历来有“除夕”夜吃“饺子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉馅饺、素菜馅饺、羊肉馅饺、牛肉馅饺以下分别用、、、表示这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图尚不完整．
请根据以上信息回答：
本次参加抽样调查的居民有______人？
将两幅不完整的图补充完整；
若有外型完全相同的、、、饺各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他两个都吃到肉馅饺、、的概率．
20.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上按要求完成下列画图要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法
在图中画出一个，使，为格点点不在点处；
在图中的边上找一点，连接，使；
在图中的边上找一点，使点到和所在直线的距离相等．
21.本小题分
如图，已知为上一点，点在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点，且．
证明：是的切线；
若，，求的半径；求的长．
22.本小题分
某公司电商平台，在元旦期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量件是关于售价元件的一次函数，下表列出了该商品的售价，周销售量，周销售利润元的三组对应数据．
求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
若该商品进价元件，售价为多少时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润；
后来，该商品进价提高了元件，公司为回馈消费者，规定该商品售价不得超过元件，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足中的函数关系，若周销售最大利润是元，求的值．
23.本小题分
如图，已知正方形与正方形，将正方形绕点按逆时针方向旋转，求证：，且；
如图，将中的两个正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点顺时针方向旋转，连接，，在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．
24.本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
求抛物线的解析式；
在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，是无限不循环小数，它们不是有理数；
是分数，它是有理数；
故选：．
整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．
本题考查有理数的识别，熟练掌握相关定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由展开图的知识可知不可折叠成一个正方体，故B正确；
都可折叠成一个正方体，故ACD错误．
故选：．
正方体的展开图由六个正方形组成，且各个面不可重叠．
本题考查了正方体的侧面展开图的熟练掌握，由几何体的展开图形解题，较简单．
3.【答案】
【解析】解：、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法不正确，不符合题意；
B、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法不正确，不符合题意；
C、了解某品牌手机电池待机时间用抽样调查，故本选项说法不正确，不符合题意；
D、了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查，说法正确，符合题意；
故选：．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念、全面调查与抽样调查判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】
【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质与化简、同底数幂的除法、完全平方公式、幂的乘方法则分别计算判断即可．
本题考查了二次根式的性质与化简、同底数幂的除法、完全平方公式、幂的乘方，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．
根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】
解：、如果，，，；故A错误，符合题意；
B、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故B正确，不符合题意；
C、不等式的两边都除以，不等号的方向不变，故C正确，不符合题意；
D、不等式的两边都加，不等号的方向不变，故D正确，不符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
7.【答案】
【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：因为一次函数的图象经过一、三、四象限，
可得：，，
所以直线的图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限．
故选：．
根据是一次函数的图象经过一、三、四象限得出，的取值范围解答即可．
此题考查一次函数图象和一次函数的性质，关键是根据是一次函数的图象经过一、三、四象限得出，的取值范围．
9.【答案】
【解析】解：如图，为菱形的高，，
菱形的周长为，
，
在中，，
，
，
，
：：．
故选：．
如图，为菱形的高，，利用菱形的性质得到，利用正弦的定义得到，则，从而得到：的比值．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
10.【答案】
【解析】解：该抛物线的对称轴位于轴的右侧，
、异号．
．
抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，
故结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，
，，
故结论不正确；
由图象可知，当时，，
，
故结论不正确；
求方程的根的问题可以转化为抛物线与直线交点问题．
观察函数图象知：抛物线与直线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根．
故结论正确．
综上所述，正确的结论有个．
故选：．
利用抛物线对称轴与抛物线与轴的交点位置可以判定、的符号，可判断；由抛物线对称轴公式可以判断；由图象上的特殊点，，可判断；结合根与系数的关系，可判断抛物线与轴的交点问题，进而判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等问题，主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
11.【答案】
【解析】解：用科学记数法可表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法，关键是掌握的值的确定方法，当原数大于等于时，等于原数的整数数位减．
12.【答案】且
【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
提公因式后利用完全平方公式计算即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，
、两点在第四象限，点在第二象限，
．
故答案为：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，
由题意知垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
连接，由题意知垂直平分，得到，判定是等边三角形，得到，由由圆周角定理得到．
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，关键是由轴对称的性质推出是等边三角形．
16.【答案】解：原式
．
【解析】先根据负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后进行分母有理化，最后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
17.【答案】解：，是方程的两根，
，
即；
，
．
【解析】根据两根之和等于，表示出的值；再将代入方程中，得到关于的式子；最后将进行变形，将数值代入，求出结果．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是求出式子的数值，再运用数值代入法来解答．
18.【答案】解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型机器人每小时搬运化工原料．
【解析】设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，利用工作时间工作总量工作效率，结合型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出型机器人每小时搬运化工原料的重量，再将其代入中即可求出型机器人每小时搬运化工原料的重量．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：本次参加抽样调查的居民有人．
故答案为：；
，
，
，
将两幅不完整的图补充完整如图所示：
列表如下：
共有种等可能，符合条件的有种，
他两个都吃到肉馅饺．
根据类有人，所占的百分比是即可求解；
利用总人数减去其他类型的人数即可求得类型的人数，然后根据百分比的意义求出组和组所占的百分比，将两幅不完整的图补充完整即可；
画树状图或列出表，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：如图，即为所求答案不唯一．
如图，点即为所求．
由勾股定理得，，
如图，取格点，使，再取的中点，连接，交于点，
可知为的平分线，
则点到和所在直线的距离相等，
则点即为所求．

【解析】根据题意，使格点到直线的距离等于个小正方形边长即可．
根据垂线的定义可得答案．
结合角平分线的性质，取格点，使，再取的中点，连接，与的交点即为点．
本题考查作图应用与设计作图、角平分线的性质、垂线、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：如图，连接．
，，
，，
是的切线，是半径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
设，
，
，
，
的半径为；
在中，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
在中，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
设，
负值舍去．
．
【解析】如图，连接是的切线；只要证明即可；
根据，构建方程求解即可；
证明∽，推出，设，，利用勾股定理求解即可．
本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：关于的函数解析式为，
由表格可得，
解得：，
关于的函数解析式为．
由得，
由表知时，得
，
，
，
当时，最大值为．
由题意，其对称轴，
当时，的值随的增大而增大，
当时周销售利润最大，
，
．
【解析】利用待定系数法求解即可；
由题意得，将，代入即可求得，再化为顶点式即可求得；
由题意得，再根据对称轴及增减性即可求得．
本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解题的关键．
23.【答案】证明：如图，延长交于，交于点，
四边形与为正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
即；
解：如图，连接，，设与交于，与交于点，与交于点，
四边形与为矩形，
，
，
又，，，
∽，，，
，
，
，
，
，
．
【解析】由正方形的性质得出，，，，得出，证明≌，则可得出结论；
设与交于，与交于点，证明∽，得出，得出，连接，，由勾股定理可求出答案．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．
24.【答案】直线，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，
将点、的坐标分别代入抛物线表达式得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
在该抛物线的对称轴上存在点，使以，，为顶点的三角形为直角三角形；理由如下：
，抛物线顶点的坐标为，对称轴为直线，
设，
又，
，，，
当时，，
，
解得，
点坐标为；
当时，则，
点坐标为；
当时，此时直角三角形不存在，
综上，点坐标为或；
图象翻折后点的对应点的坐标为，
当直线经过点时，与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时，，三点共线，；
当直线与该“”形状的图象在，两点之间不包含点的部分只有一个交点时，直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，由题意得，向下翻折的那部分抛物线在翻折后的解析式为：
，令，，
解得：，
综上所述，的值为或．
【解析】求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
求出抛物线的顶点坐标及对称轴，设，分，，三种情况讨论求解即可；
依据题意，分两种情况，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质，解答本题的关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大．
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