2023-2024学年辽宁省葫芦岛市绥中第一高级中学高一（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省葫芦岛市绥中第一高级中学高一（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，且，则为( )
A. 第一或二象限角 B. 第二或三象限角 C. 第一或三象限角 D. 第二或四象限角
4.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为或”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是( )
A. 与互斥 B. 与对立 C. D.
5.在中，为边上的中线，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为参考数据：，则下列各数中与最接近的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，且，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 化成弧度是
B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为
C. 若是第二象限角，则是第一象限角
D. 第一象限角是锐角
10.下列命题中是真命题的有( )
A. 有，，三种个体按：：的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为
B. 一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同
C. 若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲
D. 某一组样本数据为，，，，，，，，，，则样本数据落在区间内的频率为
11.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 当时，函数的定义域为
B. 函数有最小值
C. 当时，函数的值域为
D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
12.设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”若函数，则下列结论正确的是( )
A. B. 的值域为
C. 在上单调递减 D. 函数为偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.幂函数在上单调递增，则 ______．
14.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为，，，若甲、乙、丙各投篮一次三人投篮互不影响，则至多有一人命中的概率为______．
15.已知点，，，若，与交于点，则点的坐标为______．
16.已知函数的最小值为，则实数的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，集合，，或．
求，；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
若，，求扇形的弧长；
已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
19.本小题分
某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了位推销员上个月的月销售额单位：万元，绘制成如图所示的频率分布直方图求：
根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务．
该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率．
第一组中推销员的销售金额的平均数为，方差，第七组中推销员的销售金额的平均数为，方差，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差．
20.本小题分
已知函数，，
求实数的值；并方程的解集．
当，求的最小值、最大值及对应的的值．
21.本小题分
已知二次函数的图像与直线只有一个交点，且满足，．
求二次函数的解析式；
若对任意，，恒成立，求实数的范围．
22.本小题分
已知函数，．
直接写出时，的最小值；
时，在是否存在零点？给出结论并证明；
若，存在两个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为命题：，为存在量词命题
而存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题的否定为，．
故选：．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，是对基本知识的考查．
3.【答案】
【解析】解：，即，在二三象限，
，在二四象限，
因此在第二象限，即，，
则，，即在第一或三象限．
故选：．
根据已知条件判断出所在象限，进而可得的象限．
本题考查三角函数值的符号的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为或”，事件为“向上的点数为奇数”，
对于，事件与事件能同时发生，故A错误；
对于，事件与事件能同时发生，故B错误；
对于，抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数，
包含的基本事件个数为，
，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
事件与事件能同时发生，从而与不是互斥事件，也不是对立事件；抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数，包含的基本事件个数为，从而．
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
由已知可得，，
，
．
故选：．
根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案．
本题考查平面向量的基本定理，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，且，
则，当且仅当，即，时取等号．
故选：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
．
故选：．
根据指数式与对数式的互化以及对数的运算法则即可求出结果．
本题考查指数式与对数式的互化以及对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
关于对称，
和都在上是减函数，在上是增函数，
在上为减函数，在上为增函数，
又，，
即或，解得或，
的取值范围为．
故选：．
根据的解析式可得出，从而得出的图象关于对称，并可得出在上是减函数，在上是增函数．这样即可由得出，从而解出的范围即可．
本题考查了指数函数和二次函数的单调性，当时，可得出的图象关于对称，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对，根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；
对，易知终边在直线上的角的取值集合可表示为，即B错误；
对，，
的终边和相同，
为第二象限角，
是第一象限角，
为第一象限角，故C正确；
对，是第一象限角，但不是锐角，即D错误．
故选：．
根据角度制与弧度制的转化可判定，由终边相同的角的概念可判定，根据为第二象限角以及即可判断，举反例可判定．
本题考查了角度制与弧度制的转化，终边相同的角的概念，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由分层抽样原理知，样本容量为，所以选项A错误；
对于，数据，，，，，的平均数为，
众数为，中位数也是，所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项B正确；
对于，甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，；
它的平均数是，
方差为，
这两组数据中较稳定的是乙，所以选项C错误；
对于，由题意知样本容量为，样本数据落在区间内的频数是，
所以频率为，选项D正确．
故选：．
中，由分层抽样原理求出样本容量的值；
中，计算这组数据的平均数、众数、中位数即可；
中，计算乙组数据的方差，与甲组数据的方差比较即可；
中，由样本容量、频数和频率的关系，计算即可．
本题考查样本的数字特征应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：当时，，
则，解得或，A正确；
因为的开口向上，，与轴至少一个交点，即可取所有正数，
故的值域为，B错误，C正确；
若在区间上单调递增，则，解得，D错误．
故选：．
由已知结合二次函数及对数函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次函数及对数函数性质的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，由，解得，
，
所以，故A错误；
当时，，
且在上单调递减，在上单调递增，
，，所以，即的值域为，故B、C正确；
因为，则的图象如下所示：
由图可知的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故D正确．
故选：．
令求出不等式的解，即可求出的解析式，即可判断、、，再求出的解析式，画出图象，即可判断．
本题考查函数的性质，考查新定义，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由幂函数的定义可知，，
解得．
故答案为：．
根据幂函数的定义和性质求解．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，恰有人命中的概率．
三人都没有命中的概率．
因此，至多有一人命中的概率．
故答案为：．
根据相互独立事件的概率公式，计算出恰有人命中的概率与三人都没有命中的概率，再相加即可得到本题的答案．
本题主要考查事件与样本空间、相互独立事件的概率乘法公式等知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：结合题意，设，，则，，
，，解得，，，
，∽，
，
，，
解得，，点坐标为，
故答案为：．
设，，利用，求出，再利用相似得到，进而求出点的坐标．
本题考查向量坐标运算法则、相似三角形等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：时，在递增，
，不是最小值，
时，，对称轴，
时，在递减，，不合题意，
时，在递减，在递增，
故，解得：，
故答案为：．
根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于的方程，解出即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
17.【答案】解：集合中，，化为，则，
集合中，，，，则，
所以，所以，；
，所以，又因为，则或，所以或，所以的取值范围为．
【解析】根据集合点运算计算即可；，所以，由此可得的范围．
本题考查集合的运算，集合间的关系，属于基础题．
18.【答案】解；由题意知，所以弧长．
由题意得，解得舍，，故扇形圆心角为．
由题意知，
所以，
所以当时，取得最大值，此时，．
【解析】根据扇形的弧长公式进行计算即可．
根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解；
根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可．
本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键，属于中档题．
19.【答案】解：月销售额在小组内的频率为，
若要使的推销员能完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成该目标，
根据频率分布直方图知，和两组的频率之和为，
故估计月销售额目标应定为万元；
根据频率分布直方图可知，月销售额为的人数为人，记为，，，
月销售额为的人数为人，记为，，
从这位推销员中选取位推销员，样本空间，共个样本点，
其中选出的推销员来自不同小组的有，共个样本点，
所以所求概率为；
第一组的人数为人，第七组的人数为人，
所以两组中所有推销员的销售金额的平均数为，
方差为．
【解析】利用各组的频率和为求出月销售额在小组内的频率，由题意可得的推销员不能完成该目标，而前两组的频率和，前三组的频率和为，所以月销售目标应在第组，从而可求得结果；
利用古典概型的概率公式求解；
利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，以及分层随机抽样的均值和方差公式，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
所以，
即，解得，
所以，
所以，
当时，即，
所以，
即，
所以或，
解得或，
所以；
因为，
令，
则有，
当时，，
因为开口向上，对称轴为，
所以，
此时，；
又因为，，
所以，
此时，，
所以，．
【解析】由题意可得，代入即可求得的值；由可得，从而得或，即可求得；
令，可得，由，可得，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了对数函数、二次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：因为二次函数的图像与直线只有一个交点，
，
所以二次函数的对称轴为，
设，
由题意可得，
所以，解得，
所以．
由得，
因为在区间单调递增，
所以，
所以，对恒成立，
即，对恒成立，
所以且，
所以或或．
所以．
【解析】由已知可得二次函数的对称轴和最值，设出函数解析式，再由求得结论；
由的单调性得出的最小值，而关于的不等式是一次时的，只要和时成立即可，由此可解得的范围．
本题考查了二次函数的性质、转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，的最小值为．
时，在上存在零点，证明如下：
当时，，
令，
所以函数在 上单调递增，又因为在上单调递增，
所以在区间上单调递增，
所以，而，
所以，
又，，，
则，
所以，
在区间上单调递增，
所以在上存在零点．
由，解得，
则．
存在两个零点等价于在上存在一个零点或两个零点为和，
令，
则在上存在一个零点或两个零点为和，
零点为和，代入解得，
当，对称轴，
则只需，
解得，
，，满足题意，
，对称轴，
则只需，
解得，
综上所述，．
【解析】根据基本不等式可以判断的最小值，直接写出答案即可；
判断的单调性，结合零点存在性定理判断；
由题意，求出的值，将存在两个个零点转化为在上存在一个零点或两个零点为和，结合二次函数分情况讨论即可．
本题主要考查函数的单调性和零点，属于中档题．
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