高中数学人教A版（2019）必修第一册 3.3 幂函数（含答案）

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3．3　幂函数
必备知识基础练
1．下列函数是幂函数的是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝x3 D．y＝2x
2．幂函数y＝x的大致图象是(　　)
3．下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点(0，0)、(1，1)的是(　　)
A．y＝x B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x
4．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(3)＝(　　)
A． B．
C．3 D．9
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．当α＝0时，y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)
C．幂函数的图象不可能出现在第四象限
D．若幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上单调递减，则α<0
6．已知幂函数f(x)＝xα过点(2，8)，若f(x0)＝－5，则x0＝________．
7．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则该函数的图象关于________对称．
关键能力综合练
1．已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则(　　)
A．a>b>c>d B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>b>d>a
2．已知幂函数f(x)＝(a2－3a＋3)xa＋1为偶函数，则实数a的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．1或2
3．幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm－2在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．3
C．－1或3 D．－3
4．已知幂函数f(x)＝(3m2－2m)x－m满足f(2)>f(3)，则m＝(　　)
A．　　　B．－ C．1　　　 D．－1
5．已知函数f(x)＝xn的图象经过点(3，)，则f(x)在区间[，4]上的最小值是(　　)
A．4　　　 B． C．2　　　 D．
6．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(，2)，则(　　)
A．f(x)的图象经过点(2，4)
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．f(x)在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)
7．已知幂函数f(x)＝mxn＋k的图象过点(，)，则m－2n＋3k＝________．
8．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋2m的图象不经过原点，则实数m的值为________．
9．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3，)，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．
10．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)在区间(0，＋∞)上是减函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)讨论函数f(x)的奇偶性和单调性．
核心素养升级练
1．(多选)某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是{y|y∈R且y≠0}；③在(－∞，0)上是减函数．则以下幂函数符合这三个性质的有(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x
C．f(x)＝x－1 D．f(x)＝x－
2．写出一个具有性质①②③的函数f(x)＝________．
①f(x)定义域为{x|x≠0}；
②f(x)在(－∞，0)单调递增；
③f(ab)＝f(a)·f(b).
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)满足条件f(2－a)>f(a－1) ，试求实数a的取值范围．
参考答案
必备知识基础练
1．答案：C
解析：形如y＝xα的函数为幂函数，则y＝x3为幂函数．
2．答案：B
解析：∵>0，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A，C，D.
3．答案：B
解析：由于函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，所以函数y＝x图象不关于y轴对称，故A错误；
由于函数y＝f(x)＝x4的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝(－x)4＝f(x)，所以函数y＝x4关于y轴对称，且经过了点(0，0)、(1，1)，故B正确；
由于y＝x－2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数y＝x－2不过点(0，0)，故C错误；
由于y＝f(x)＝x的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以y＝x图象关于原点中心对称，故D错误．
4．答案：B
解析：设幂函数y＝f(x)＝xα，
其图象经过点(2，)，
∴2α＝，解得α＝，
∴f(x)＝x＝，
∴f(3)＝.
5．答案：CD
解析：对于选项A，当α＝0时，y＝xα的定义域为：{x|x≠0，x∈R}，所以函数的图象不是一条直线，故A不正确；
对于选项B，由幂函数的性质可知幂函数图象一定经过(1，1)，但不一定经过(0，0)，如y＝x－1，故B不正确；
对于选项C，由幂函数的性质可知，幂函数在第四象限没有图象，故C正确；
对于选项D，若幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上单调递减，此时α<0，满足幂函数的性质，故D正确．
6．答案：－
解析：因为幂函数f(x)＝xα过点(2，8)，
所以2α＝8，得α＝3，
所以f(x)＝x3，
因为f(x0)＝－5，所以x＝－5，得x0＝－.
7．答案：y轴
解析：设y＝f(x)＝xα，由题意可得，2α＝，解得α＝－2，所以f(x)＝x－2，函数为偶函数，故该函数的图象关于y轴对称．
关键能力综合练
1．答案：B
解析：根据幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象知，b>c>1>d>0>a，即b>c>d>a.
2．答案：C
解析：∵幂函数f(x)＝(a2－3a＋3)xa＋1为偶函数，
∴a2－3a＋3＝1，且a＋1为偶数，则实数a＝1.
3．答案：A
解析：因为f(x)＝(m2－2m－2)xm－2是幂函数，
故m2－2m－2＝1，解得m＝3或－1，
又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递减，
所以需要m－2<0，则m＝－1.
4．答案：C
解析：由幂函数的定义可知，3m2－2m＝1，即3m2－2m－1＝0，解得：m＝1或m＝－，当m＝1时，f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递减，满足f(2)>f(3)；当m＝－时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，不满足f(2)>f(3)，综上：m＝1.
5．答案：B
解析：由题意知＝3n，∴n＝－1.
∴f(x)＝x－1在[，4]上是减函数．
∴f(x)＝x－1在[，4]上的最小值是.
6．答案：BD
解析：将点(，2)代入f(x)＝xα，可得α＝－1，则f(x)＝，因为f(2)＝，故f(x)的图象不经过点(2，4)，A错误；根据反比例函数的图象与性质可得：f(x)的图象关于原点对称， f(x)单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，f(x)在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)，故BD正确，C错误．
7．答案：0
解析：因为f(x)是幂函数，
所以m＝1，k＝0，又f(x)的图象过点(，)，
所以()n＝，解得n＝，
所以m－2n＋3k＝0.
8．答案：－1
解析：因为函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，
所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2；
当m＝－1时，f(x)＝x－1，图象不经过原点，满足题意；
当m＝2时，f(x)＝x8，图象经过原点，不满足题意；
所以m＝－1.
9．解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3，)，故可得3α＝，解得α＝－2，
故f(x)＝x－2，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称；
其函数图象如图所示：
数形结合可知，因为f(x)的图象关于y轴对称，故其为偶函数；
且f(x)在(0，＋∞)单调递减，在(－∞，0)单调递增．
10．解析：(1)依题意2m2－m－6<0，即(2m＋3)(m－2)<0，解得－因为m∈Z，所以m＝－1或m＝0或m＝1，
所以f(x)＝x－3或f(x)＝x－6或f(x)＝x－5.
(2)若f(x)＝x－3定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)＝x－3为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；
若f(x)＝x－6的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)＝x－6为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；
若f(x)＝x－5定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)＝x－5为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减．
核心素养升级练
1．答案：CD
解析：由已知可得，此函数为奇函数，而A选项f(x)＝x2为偶函数，不满足题意，排除选项；选项B，f(x)＝x的值域为{y|y∈R}，且该函数在R上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C、D同时满足三个条件．
2．答案：(答案不唯一)
解析：f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，在区间(－∞，0)递增，
且f(ab)＝＝·＝f(a)·f(b)，
所以f(x)＝符合题意．
3．解析：(1)因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(，2)，则有()α＝2，
所以α＝2，所以f(x)＝x2.
(2)因为f(－x)＝x2＝f(x)，所以函数f(x)＝x2为偶函数，
又函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上递增，且f(2－a)>f(a－1)，
所以|2－a|>|a－1|，
所以4－4a＋a2>a2－2a＋1，
解得a<，
所以满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为(－∞，).
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