高中数学人教A版（2019）必修第一册 4.4.3 不同函数增长的差异（含答案）

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4．4.3　不同函数增长的差异
必备知识基础练
1．下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 022x B．y＝x2 022
C．y＝log2 022x D．y＝2 022x
2．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
3．某班两名同学在做物理实验时，收集到一组数据，如下表，则体现的函数关系式是(　　)
x 0.5 1 2 4 8 16 32
y －1 0 1 2 3 4 5
A.y＝x B．y＝2x
C．y＝log2x D．y＝x
4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
5．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为图中的(　　)
6．(多选)已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是(　　)
A．随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2
B．随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1
C．当x∈(0，＋∞)时，y1增长速度一直快于y3
D．当x∈(0，＋∞)时，y2增长速度有时快于y1
7．下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是________．
①y＝10×1.05x；
②y＝20＋x2；
③y＝30＋lg (x＋1)；
④y＝50.
关键能力综合练
1．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x h，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5 h以后跑在最前面的为(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
2．今有一组实验数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.1
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t－2
3．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x －2.00 －1.00 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a、b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
4．水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度h与时间t的函数关系是(　　)
5．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是(　　)
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x
6．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
7．某工厂8年来某种产品年产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年到第八年每年的年产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
8．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出C1，C2，分别对应的函数；
(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．
9．函数f(x)＝2x和g(x)＝3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，比较f(3)，g(3)，f(2 022)，g(2 022)的大小．
核心素养升级练
1．能使不等式log2xA．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(4，＋∞)
2．函数y＝x3与函数y＝x2ln x在区间(0，＋∞)上增长速度较快的一个是________．
3．假设有一套住房从2012年的20万元上涨到2022年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2012年以来经过的年数．
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
(1)求函数P1＝f(t)的解析式；
(2)求函数P2＝f(t)的解析式；
(3)完成题表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．
参考答案
必备知识基础练
1．答案：A
解析：y＝2 022x是一次函数，y＝x2 022是幂函数，y＝log2 022x是对数函数，y＝2 022x是指数函数，因为当x足够大时，指数函数增长速度最快．
2．答案：B
解析：函数的增长速度，指数函数y＝6x的增长速度越来越快，对数函数y＝log6x增长速度越来越慢，幂函数y＝x6的增长速度越来越快，一次函数y＝6x匀速增长．
3．答案：C
解析：对A，横纵坐标均不相同，故不是y＝x，故A错误；
对B，∵21＝2，22＝4，24＝16，不符合y＝2x，故B错误；
对C，可得表中数据符合y＝log2x，故C正确；
对D，∵1＝1，2＝，4＝2，8＝2，不符合y＝x，故D错误．
4．答案：A
解析：从所给的散点图可知，图象大约过(2，4)，(4，16)，(6，64)，所以该函数模型应为指数函数．
5．答案：D
解析：设初始年份的荒漠化土地面积为a(a≠0)，则1年后荒漠化土地面积为(1＋0.104)a，2年后荒漠化土地面积为[(1＋0.104)a]×(1＋0.104)＝(1＋0.104)2a，3年后荒漠化土地面积为[(1＋0.104)2a]×(1＋0.104)＝(1＋0.104)3a，所以x年后荒漠化土地面积为(1＋0.104)xa，依题意有y×a＝(1＋0.104)xa即y＝1.104x，∵1.104>1，由指数函数的图象可知，选D.
6．答案：BD
解析：如图，对于y1＝x2，y2＝2x，
从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，BD正确；
y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈(0，1)时，y3大于y1，当x∈(1，＋∞)时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误．
7．答案：①
解析：结合三类函数的增长差异可知指数增长性最快，所以①的预期收益最大．
关键能力综合练
1．答案：D
解析：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，结合指数增长越来越快可知：5 h后丁车在最前面．
2．答案：C
解析：对于选项A：当x＝4时，v＝log24＝2，与7.5相差较多，故选项A不正确；
对于选项B：当x＝4时，v＝log4＝－2，与7.5相差较多，故选项B不正确；
对于选项C：当x＝4时，v＝＝7.5，故选项C正确；
对于选项D：当x＝4时，v＝2t－2＝2×4－2＝6，与7.5相差较多，故选项D不正确．
3．答案：B
解析：∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A不成立；
∵C是偶函数，∴x＝±1的函数值应该相等，∴C不成立；
∵x＝0时，无意义，∴D不成立；
对于B，当x＝0时，y＝1，∴a＋1＝1，a＝0；当x＝1时，y＝a＋b＝2.02，经验证它与各数据比较接近．
4．答案：A
解析：容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A符合；B选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快；C选项容器中水的高度是匀速增加；D选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快．
5．答案：A
解析：如图所示，结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x>x>lg x，本题选择A项．
6．答案：D
解析：对于A，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如y＝x和y＝2x＋1在x∈(1，＋∞)时，所以A错误；
对于B，当a＝时，由幂函数和对数函数的性质知，对任意的x>0，xn>logax不成立，所以B错误；
对于C，当a＝时，由指数函数和对数函数的性质知，对任意的x>0，ax>logax不成立，所以C错误；
对于D，当a＝时，由幂函数和指数函数、对数函数的性质知，不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax，所以D正确．
7．答案：②④
解析：由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确；综合所述，正确的为：②④.
8．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1；C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
9．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝3x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(3)＝8，g(3)＝9，∴f(3)又f(4)>g(4)，∴3从图象上可以看出，当x>x2时，f(x)>g(x)，
∴f(2 022)>g(2 022).
又g(2 022)>g(3)，∴f(2 022)>g(2 022)>g(3)>f(3).
核心素养升级练
1．答案：D
解析：作出y＝log2x、y＝x2、y＝2x图象，
由图象可知，当x>4时，log2x2．答案：y＝x3
解析：∵＝，∴比较y＝x3与y＝x2ln x的增长速度只需比较y＝x与y＝ln x增长速度即可，
由图象可知：y＝x的增长速度快于y＝ln x，
∴函数y＝x3与函数y＝x2ln x在区间(0，＋∞)上增长速度较快的是y＝x3.
3．解析：(1)因为P1是按直线上升的房价，设f(t)＝kt＋b，t≥0，
由f(0)＝k×0＋b＝20，f(10)＝k×10＋b＝40，
可得k＝2，b＝20，
即P1＝2t＋20，t≥0.
(2)因为P2是按指数增长的房价，设g(t)＝a0at，t≥0，
由g(0)＝a0a0＝20，g(10)＝a0a10＝40，
可得a0＝20，a＝2，
即P2＝20×2t，t≥0.
(3)由(1)和(2)，当t＝5时，P1＝30，P2＝20；
当t＝15时，P1＝50，P2＝40；
当t＝20时，P1＝60，P2＝80，
则表格如下：
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 30 40 50 60
P2/万元 20 20 40 40 80
则图象为：
根据表格和图象可知：
房价按函数P1＝f(t)呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数P2＝g(t)呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例．
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