8.6.2直线与平面垂直-教学设计 (表格式)

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高一年级 学期 春季
课题 8.6.2直线与平面垂直（第二课时）
教学目标
1. 理解直线和平面所成角的定义、直线到平面的距离和两个平行平面间的距离. 2. 探索并能利用定义法求直线和平面所成角的简单问题. 3.了解用反证法证明直线与平面垂直性质定理的一般步骤，并会利用性质定理解决有关垂直与平行间的转化问题.
教学内容
教学重点： 1. 直线和平面所成角的定义，以及用定义法求线面角.
2. 直线与平面垂直性质定理的应用.
教学难点： 1. 用定义法求直线和平面所成角中找出斜线在平面上的射影.
2. 用反证法证明直线与平面垂直性质定理的理解.
教学过程
环节一：复习回顾、引出新知： 问题1：请同学们回顾一下：在空间中，直线与平面有哪些位置关系呢？(1)线在面内（2）线面相交（3）线面平行，写出“三语”. 设计意图：通过这三种位置的回顾，意识到第一课时研究的线面垂直关系是线面相交的一种特殊情况，使知识结构化和系统化，同时提出本课时的第一个重点:在线面相交这种位置关系中，除了垂直以外，更多的是不垂直的情况，我们怎样刻画与平面相交但不垂直的直线与平面的位置关系？ 给出平面的斜线的概念：若一条直线PA和一个平面α相交, 但不垂直, 那么这条直线就叫做这个平面的斜线, 斜线和平面的交点 A 叫做斜足. （一）直线和平面所成的角（GGB） 通过GGB软件给出概念：直线 AO 叫做斜线PA在α上的射影.斜线与它的射影所成的锐角, 叫做直线和平面所成的角θ. 借助GGB软件进一步探究这种位置关系. 探究： 1.设直线PA和平面内任意一条直线所成的角为 β，试比较 θ 与 β 的大小关系；得出“线面角最小”的结论：斜线与它的射影所成的角，是它与平面内所有直线所成的角当中最小的一个. 2.直线和平面所成的角θ的范围是什么？ 结合线在面内，线面平行和线面垂直三种特殊位置情况得出线面角的范围为:[0°,90°]. 环节二：应用举例、巩固新知：“定义法”求直线和平面所成的角 例1. 如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求:直线 A1B 和平面 A1DCB1 所成的角. 小结： 1.定义法求线面角的关键是:找出斜线在该平面上的射影.找出射影的关键是：证明线面垂直. 2.用定义法求线面角的步骤总结为： （1）先通过作辅助线，找到所求角； （2）证明并指出所求角； （3）在直角三角形中算出这个角. 环节三：定理探究、推理论证：“反证法”证明直线与平面垂直的性质定理 问题2：请同学们思考：在“已知线面垂直”的条件下，我们将得到什么结论？ 追问：你还能想到什么吗？请同学们观察下面这个长方体的四条侧棱所在直线，它们与底面有什么位置关系？四条侧棱之间又有什么位置关系？ 问题3：如果 a⊥α，b⊥α，那么直线 a,b 一定平行吗？ 这个问题从正面解释有点难度，我们不妨尝试从反面考虑：反证法 小结：用反证法证明一般分为三个步骤， （1）假设命题的结论不成立，也就是反设； （2）通过正确的推理得出与某个事实相矛盾的结果，也就是归谬； （3）得到假设不成立，从而原命题成立的结论. （二）直线和平面垂直的性质定理（本课时的第二个重点） 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言： 符号语言： 由此，我们可以看到：从线面垂直不仅能够得推得线线垂直，还能推得线线平行. 环节四：厘清关系、形成体系： 到目前为止，我们已经学习了（1）线面垂直的定义；（2）判定定理；（3）性质定理.我们不妨来整理一下：它们是怎样实现线线与线面之间的转化的. （1）通过定义（如果直线l,垂直于面内任意一条直线,那么它就垂直于这个平面），实现了线线垂直和线面垂直间的相互转化. （2）通过判定定理（如果直线l,垂直于面内两条相交线，那么它与该平面垂直），实现了从线线垂直到线面垂直的单向推导. （3）通过性质定理，又实现了从线面垂直推得线线平行.结合上一课时我们已经证明：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，又可以实现从线线平行推得线面垂直. 设计意图：以关系图的形式揭示：线线和线面，平行和垂直之间的内在联系，提醒同学们在课后进一步理解. 环节五：定理应用、巩固新知： 例2.直线 l 平行于平面 α，求证：直线 l 上各点到平面 α 的距离相等. 设计意图：在这个解题过程，我们通过构造平面β，将线面平行转化为线线平行，体现了降维的思想. （三）线面距和面面距 （1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离都相等，我们把它叫做这条直线到这个平面的距离，简称“线面距”. （2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离，简称“面面距”. 在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们的上、下底面间的距离. 设计意图：让学生直观感知该结论，进而给出线面距和面面距的概念，顺势介绍棱柱、棱台的高的概念，从而实现了感性认识到理性认知的转变，弥补了结构特征单元中概念不完备的遗憾. 环节六：归纳总结、反思提升： （1）本节课我们学到了哪些知识？ 我们学习了线面角，学习了线面垂直的性质定理，最后我们认识了两种距离：线面距和面面距； （2）用什么方法求线面角？本堂课我们采用了定义法，后续我们将学到更多求线面角的方法. 用什么方法证明线面垂直的性质定理？ 我们首次接触了“反证法”. （3）你能回顾一下研究线面垂直关系的整个过程吗？ 我们先研究了线面垂直的定义：定义给出了线面垂直的充要条件，在给出定义之后，我们又去探究了：在什么样的条件下， 我们可以得到线面垂直，也就是线面垂直的判定定理，这是线面垂直的一个充分条件.最后，我们又在已知线面垂直的情况下，得到了线线平行的结论，也就是得到了线面垂直的必要条件.在整个过程中，我们经历了直观感知，操作确认，推理论证等实践活动，这些都是我们研究数学对象的“基本之道”，值得同学们在以后的学习中慢慢品味. 设计意图：通过小结1，梳理本节课所学的知识，通过小结2，回顾本节课解决线面角和性质定理的方法，通过小结3回顾这两个课时（线面垂直关系）的学习过程，进一步体会立体几何的研究路径和方法，实现教学知识的系统化、结构化.