第十七章 勾股定理 单元同步检测试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第十七章 勾股定理 单元同步检测试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 472.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-08 17:23:56 | ||
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文档简介
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第十七章《勾股定理》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列是勾股数的有（ ）
①3，4，5 ②5、12、13 ③9，40，41④13、14、15 ⑤
⑥11、60、61
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
2．一个直角三角形的两条边长分别为3cm，5cm，则该三角形的第三边长为（ ）
A．4cm B．8cm C．cm D．4cm或cm
3. 在中，，则下列说法错误的是（ ）.
A． B． C． D．
4．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2
.
4题图 5题图 6题图
5. 如图，若等边△ABC的边长为2cm，则△ABC的面积为（ ）
A.cm2 B.2cm2 C.3cm2 D.4cm2
6. 如图，，且，，，则线段AE的长为（ ）.
A. B. C. D.
7．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
7题图 8题图 9题图
8．在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（ ）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
10．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 若△ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12，则BC的长是 .
12．在ABC中，，且，则 .
13．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m．
13题图 14题图 15题图
14．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________
15．如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）
16．如图，数轴上的点P，A表示的数分别为 1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______．
16题图 17题图 18题图
17．如图，△ABC 中，AB=AC=15，BC=18，AD为BC边上的中线，则AD= ．
18．如图OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，连接OP2，得OP2=；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OPn2= ．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19. 如图，正方形，边上有一点，在上有一点，使 为最短， 求的最短距离．
20. 已知：如图，四边形中，，与相交于，且，则之间一定有关系式：，请说明理由．
21. 在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边. 另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高的高度.
22．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．
试求： （1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
24．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求原路线的长．
参考答案
一.选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C A B A A C C
二.填空题:
11. 4或14 12. 6 13.
14．8
15．
16．
17．如图，△ABC 中，AB=AC=15，BC=18，AD为BC边上的中线，则AD= 12 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出BD=CD=BC=9，AD⊥BC，由勾股定理求出AD即可．
【解答】解：∵AB=AC=15，AD为BC边上的中线，
∴BD=CD=BC=9，AD⊥BC，
∴AD==12；
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是关键．
18．如图OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，连接OP2，得OP2=；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OPn2= ．
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP1=，
由勾股定理得：OP2==，
OP3==，
…
OPn=，
∴OP12+OP22+OP32+OP42+…+OPn2=2+3+4+5+…+n+1=．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
三.解答题:
19. 的最短距离为5．
20. 在和中
∵
∴
在和中
∵
∴
∴
21. 这棵树高的高度为15米.
22．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．
试求：（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，
（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；
（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB⊥CB于B，
∴∠B=90°，
在△ABC中，∵∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
又∵AB=CB=，
∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，
∵CD=，DA=1，
∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．
∴AC2+DA2=CD2，
由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；
（2）∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，
∴S△ABC=，S△DAC=，
∵AB=CB=，DA=1，AC=2，
∴S△ABC=1，S△DAC=1
而S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC，
∴S四边形ABCD=2．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．
23．1
24．(1)是直角三角形，
(2)原来的路线的长为千米
1
第十七章《勾股定理》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列是勾股数的有（ ）
①3，4，5 ②5、12、13 ③9，40，41④13、14、15 ⑤
⑥11、60、61
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
2．一个直角三角形的两条边长分别为3cm，5cm，则该三角形的第三边长为（ ）
A．4cm B．8cm C．cm D．4cm或cm
3. 在中，，则下列说法错误的是（ ）.
A． B． C． D．
4．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2
.
4题图 5题图 6题图
5. 如图，若等边△ABC的边长为2cm，则△ABC的面积为（ ）
A.cm2 B.2cm2 C.3cm2 D.4cm2
6. 如图，，且，，，则线段AE的长为（ ）.
A. B. C. D.
7．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
7题图 8题图 9题图
8．在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（ ）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
10．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 若△ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12，则BC的长是 .
12．在ABC中，，且，则 .
13．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m．
13题图 14题图 15题图
14．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________
15．如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）
16．如图，数轴上的点P，A表示的数分别为 1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______．
16题图 17题图 18题图
17．如图，△ABC 中，AB=AC=15，BC=18，AD为BC边上的中线，则AD= ．
18．如图OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，连接OP2，得OP2=；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OPn2= ．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19. 如图，正方形，边上有一点，在上有一点，使 为最短， 求的最短距离．
20. 已知：如图，四边形中，，与相交于，且，则之间一定有关系式：，请说明理由．
21. 在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边. 另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高的高度.
22．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．
试求： （1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
24．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求原路线的长．
参考答案
一.选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C A B A A C C
二.填空题:
11. 4或14 12. 6 13.
14．8
15．
16．
17．如图，△ABC 中，AB=AC=15，BC=18，AD为BC边上的中线，则AD= 12 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出BD=CD=BC=9，AD⊥BC，由勾股定理求出AD即可．
【解答】解：∵AB=AC=15，AD为BC边上的中线，
∴BD=CD=BC=9，AD⊥BC，
∴AD==12；
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是关键．
18．如图OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，连接OP2，得OP2=；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OPn2= ．
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP1=，
由勾股定理得：OP2==，
OP3==，
…
OPn=，
∴OP12+OP22+OP32+OP42+…+OPn2=2+3+4+5+…+n+1=．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
三.解答题:
19. 的最短距离为5．
20. 在和中
∵
∴
在和中
∵
∴
∴
21. 这棵树高的高度为15米.
22．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．
试求：（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，
（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；
（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB⊥CB于B，
∴∠B=90°，
在△ABC中，∵∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
又∵AB=CB=，
∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，
∵CD=，DA=1，
∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．
∴AC2+DA2=CD2，
由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；
（2）∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，
∴S△ABC=，S△DAC=，
∵AB=CB=，DA=1，AC=2，
∴S△ABC=1，S△DAC=1
而S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC，
∴S四边形ABCD=2．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．
23．1
24．(1)是直角三角形，
(2)原来的路线的长为千米
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