第十八单元《平行四边形》单元复习试题（含答案） 2023--2024学年人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第十八单元《平行四边形》单元复习试题（含答案） 2023--2024学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 457.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-08 17:10:36 | ||
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文档简介
人教版数学八年级下第十八单元《平行四边形》复习试题
一．选择题（共10小题）
1．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（ ）
A．3 B． C． D．
3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BC＝4，EF＝1，则AB为（ ）
A．3 B．2.5 C．3.5 D．4
5．如图，菱形ABCD中，点M为BC的中点，点N为对角线AC上一个动点，连接BN，MN．若MN+BN＝5，则AB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（ ）
A． B． C．12 D．16
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
8．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH+EG的值是（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或4﹣4．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠AOD＝120°，AB＝3，则BC的长是 ．
12．如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的一动点，R是边CD上的一固定点，E，F分别是AP，RP的中点．当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长 .（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”）
13．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝18，AB＝7．则△OCD的周长为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是 ．
15．如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 ．
16．如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和18，则△CDE的面积为 ．
17．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F．若BE＝3，DF＝6，则EF的长为 ．
18．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②EF＝BD；③四边形ADFE为平行四边形；④AB＝4AG．其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共10小题）
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝5，AB＝6，求 ABCD的面积．
20．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝4，BC＝2，求四边形DEBF的面积．
21．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC上的点E和F满足AE＝CF．
证明：四边形EBFD为平行四边形．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
23．如图，DE是△ABC的中位线，延长CB至点F，使，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交BC、AD边于点E、F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求菱形AECF的边长．
25．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CF，CG．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值．
26．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．
27．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若AB＝2，，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．C．
2．B．
3．A．
4．B．
5．C．
6．B．
7．B．
8．A．
9．B．
10．D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠AOD＝120°，AB＝3，则BC的长是．
12．如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的一动点，R是边CD上的一固定点，E，F分别是AP，RP的中点．当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长 不变 .（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”）
13．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝18，AB＝7．则△OCD的周长为 16 ．
14．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是 16．
15．如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 ﹣1 ．
16．如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和18，则△CDE的面积为 2．
17．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F．若BE＝3，DF＝6，则EF的长为 9 ．
18．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②EF＝BD；③四边形ADFE为平行四边形；④AB＝4AG．其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
三．解答题（共10小题）
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝5，AB＝6，求 ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝，
∵OA＝OB＝5，
∴AC＝BD＝10，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴BC＝＝8，
∴ ABCD的面积＝BC AB＝8×6＝48．
20．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝4，BC＝2，求四边形DEBF的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
又∠BOE＝∠DOF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，且OB＝OD
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF垂直平分BD
∴BE＝DE
∴四边形BEDF是菱形；
（2）∵四边形BEDF是菱形
∴BE＝DE，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+DA2，
∴BE2＝（4﹣BE）2+22，
∴
∴四边形DEBF的面积＝．
21．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC上的点E和F满足AE＝CF．
证明：四边形EBFD为平行四边形．
证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF．
∴∠BEF＝∠DFE．
∴BE∥DF．
∴四边形EBFD为平行四边形．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
23．如图，DE是△ABC的中位线，延长CB至点F，使，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∵，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：△ABC为直角三角形；理由如下：
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴DF＝BE，
∵，
∴，
∵DE是△ABC的中位线，
∴．
∴AE＝EC＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠ECB＝∠EBC，
∵∠EAB+∠EBA+∠ECB+∠EBC＝180°，
∴∠EBA+∠EBC＝90°，即∠ABC＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
24．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交BC、AD边于点E、F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求菱形AECF的边长．
（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴FA＝EC，
∴AE＝EC＝CF＝FA，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：设AE＝CE＝x，则BE＝5﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
即AE＝．
∴菱形的边长为．
25．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CF，CG．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵EG＝AE，AO＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，OE＝CG，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝OB＝OD＝OF，
∴OE＝EF，
∴EF＝CG，FE∥CG，
∴四边形EFCG是平行四边形；
（2）解：过A作AH⊥BD于H，如图：
设OE＝m，由（1）可知BE＝OE＝OF＝DF＝m，
∴OB＝OD＝OA＝OC＝2m，
∵四边形EFCG是菱形，
∴EF＝EG＝AE＝2m，
∴OA＝AE＝2m，
∵AH⊥BD，
∴HE＝HO＝OE＝，
∴AH2＝AE2﹣EH2＝（2m）2﹣（m）2＝m2；BH＝BE+HE＝m+＝m，DH＝OD+HO＝2m+＝m，
∴AB＝＝＝m，AD＝＝＝m，
∴AB：AD＝（m）：（m）＝；
∴AB：AD的值为．
26．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．
1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，，
∴，AB＝2BO，
∴，
∴AB2＝AO2+BO2，
∴4BO2﹣BO2＝12，
∴BO＝2（负值舍去），
∴BD＝4，
∴菱形ABCD的面积＝．
27．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若AB＝2，，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，即：t＝8﹣t，
解得t＝4．
答：当t＝4时，四边形ABQP是矩形；
（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形
当AQ＝CQ，即＝8﹣t时，四边形AQCP为菱形．
解得：t＝3．
答：当t＝3时，四边形AQCP是菱形；
（3）当t＝3时，CQ＝5，则周长为：4CQ＝20cm，
面积为：4×8﹣2××3×4＝20（cm2）．
一．选择题（共10小题）
1．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（ ）
A．3 B． C． D．
3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BC＝4，EF＝1，则AB为（ ）
A．3 B．2.5 C．3.5 D．4
5．如图，菱形ABCD中，点M为BC的中点，点N为对角线AC上一个动点，连接BN，MN．若MN+BN＝5，则AB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（ ）
A． B． C．12 D．16
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
8．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH+EG的值是（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或4﹣4．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠AOD＝120°，AB＝3，则BC的长是 ．
12．如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的一动点，R是边CD上的一固定点，E，F分别是AP，RP的中点．当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长 .（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”）
13．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝18，AB＝7．则△OCD的周长为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是 ．
15．如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 ．
16．如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和18，则△CDE的面积为 ．
17．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F．若BE＝3，DF＝6，则EF的长为 ．
18．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②EF＝BD；③四边形ADFE为平行四边形；④AB＝4AG．其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共10小题）
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝5，AB＝6，求 ABCD的面积．
20．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝4，BC＝2，求四边形DEBF的面积．
21．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC上的点E和F满足AE＝CF．
证明：四边形EBFD为平行四边形．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
23．如图，DE是△ABC的中位线，延长CB至点F，使，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交BC、AD边于点E、F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求菱形AECF的边长．
25．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CF，CG．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值．
26．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．
27．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若AB＝2，，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．C．
2．B．
3．A．
4．B．
5．C．
6．B．
7．B．
8．A．
9．B．
10．D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠AOD＝120°，AB＝3，则BC的长是．
12．如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的一动点，R是边CD上的一固定点，E，F分别是AP，RP的中点．当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长 不变 .（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”）
13．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝18，AB＝7．则△OCD的周长为 16 ．
14．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是 16．
15．如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 ﹣1 ．
16．如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和18，则△CDE的面积为 2．
17．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F．若BE＝3，DF＝6，则EF的长为 9 ．
18．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②EF＝BD；③四边形ADFE为平行四边形；④AB＝4AG．其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
三．解答题（共10小题）
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝5，AB＝6，求 ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝，
∵OA＝OB＝5，
∴AC＝BD＝10，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴BC＝＝8，
∴ ABCD的面积＝BC AB＝8×6＝48．
20．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝4，BC＝2，求四边形DEBF的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
又∠BOE＝∠DOF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，且OB＝OD
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF垂直平分BD
∴BE＝DE
∴四边形BEDF是菱形；
（2）∵四边形BEDF是菱形
∴BE＝DE，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+DA2，
∴BE2＝（4﹣BE）2+22，
∴
∴四边形DEBF的面积＝．
21．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC上的点E和F满足AE＝CF．
证明：四边形EBFD为平行四边形．
证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF．
∴∠BEF＝∠DFE．
∴BE∥DF．
∴四边形EBFD为平行四边形．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
23．如图，DE是△ABC的中位线，延长CB至点F，使，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∵，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：△ABC为直角三角形；理由如下：
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴DF＝BE，
∵，
∴，
∵DE是△ABC的中位线，
∴．
∴AE＝EC＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠ECB＝∠EBC，
∵∠EAB+∠EBA+∠ECB+∠EBC＝180°，
∴∠EBA+∠EBC＝90°，即∠ABC＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
24．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交BC、AD边于点E、F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求菱形AECF的边长．
（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴FA＝EC，
∴AE＝EC＝CF＝FA，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：设AE＝CE＝x，则BE＝5﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
即AE＝．
∴菱形的边长为．
25．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CF，CG．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵EG＝AE，AO＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，OE＝CG，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝OB＝OD＝OF，
∴OE＝EF，
∴EF＝CG，FE∥CG，
∴四边形EFCG是平行四边形；
（2）解：过A作AH⊥BD于H，如图：
设OE＝m，由（1）可知BE＝OE＝OF＝DF＝m，
∴OB＝OD＝OA＝OC＝2m，
∵四边形EFCG是菱形，
∴EF＝EG＝AE＝2m，
∴OA＝AE＝2m，
∵AH⊥BD，
∴HE＝HO＝OE＝，
∴AH2＝AE2﹣EH2＝（2m）2﹣（m）2＝m2；BH＝BE+HE＝m+＝m，DH＝OD+HO＝2m+＝m，
∴AB＝＝＝m，AD＝＝＝m，
∴AB：AD＝（m）：（m）＝；
∴AB：AD的值为．
26．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．
1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，，
∴，AB＝2BO，
∴，
∴AB2＝AO2+BO2，
∴4BO2﹣BO2＝12，
∴BO＝2（负值舍去），
∴BD＝4，
∴菱形ABCD的面积＝．
27．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若AB＝2，，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，即：t＝8﹣t，
解得t＝4．
答：当t＝4时，四边形ABQP是矩形；
（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形
当AQ＝CQ，即＝8﹣t时，四边形AQCP为菱形．
解得：t＝3．
答：当t＝3时，四边形AQCP是菱形；
（3）当t＝3时，CQ＝5，则周长为：4CQ＝20cm，
面积为：4×8﹣2××3×4＝20（cm2）．