高中数学选择性必修第三册：7-1 条件概率与全概率公式- 课件（共24张PPT）
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修第三册：7-1 条件概率与全概率公式- 课件（共24张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 750.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-09 07:15:32 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
条件概率与全概率公式
（第一课时）条件概率
年 级：高二 学 科：数学（人教A版）
条件概率
1 问题导学
在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时发生（积事件AB）的概率的问题，当事件A与B相互独立时,有P(AB)=P(A)P(B) .
如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.
条件概率
2 新知探究
问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生
的人数及团员的人数如表所示，在班级里随机选一
人做代表，
（1）选到男生的概率是多大？
（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是
男生的概率是多大？
条件概率
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
2 新知探究
随机选择一人作代表，则样本空间 包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”， B表示事件“选到男生” ，根据表中的数据可以得出
条件概率
（1）根据古典概型知识可知选到男生的概率P(B)
（2）“在选择团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A）.此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，据古典概型知识可知：
P（B|A）
2 新知探究
问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
条件概率
2 新知探究
观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩,则样本空间且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩”,B表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩”， A B.
条件概率
（1） 可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率P(B)
（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A） ，A成为样本空间，事件B是积事件AB，可知P（B|A）
2 新知探究
分析：求P（B|A）的一般思想
因为知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A.因为在事件A发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B同时发生，即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P（B|A）
条件概率
2 新知探究
为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有P（B|A）
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A),而且P(B|A)=.
条件概率
2 新知探究
问题1. 如何判断条件概率
题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.
问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么
P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.
P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.
条件概率
2 新知探究
条件概率与事件独立性的关系
探究1：一般地， P（B|A）与P（B）不一定相等。若P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？
条件概率
当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P（B|A）=P（B）成立.事实上，若事件A与B相互独立，即P（AB）=P（A）P（B），且P（A）>0，则P(B│A)=(P(AB))/P(A) =P（A）P（B）/P(A) =P（B）；反之，若P(B│A)=P（B），且P（A）>0，
则P（B）=P（AB）/P(A) P（AB）=P（A）P（B）
2 新知探究
条件概率与事件独立性的关系
探究2：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则
P（AB）=P（A）P（B|A）.
我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.
条件概率
2 新知探究
条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.
设P（A）>0，则
（1）P（Ω|A）=1；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；
（3）设B和C互为对立事件，则P（ C|A）=1- P（B|A）.
条件概率
3 典例解析
例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:
(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
条件概率
3 典例解析
解法1：
条件概率
设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即n(Ω)=5×4=20。因为n(AB)=3×2=6，P（AB）= (n(AB))/(n("Ω" ))=6/20=3/10.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。显然P（A）=3/5.利用条件概率公式，得P（B|A）= (n(AB))/(n(A))=(3/10)/(3/5)=1/2.
3 典例解析
解法2：在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)=1/2.又P(A)= 3/5 ，可得P(AB)=P(A)P(B|A)= 3/5×1/2= 3/10
条件概率
从例1可知，求条件概率有两种方法：
方法一：基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求P（B|A）；
方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。
3 典例解析
例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
条件概率
解：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=.
因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。
3 典例解析
例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。
条件概率
3 典例解析
解:(1)设Ai=“第i次按对密码”（i=1，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为A=A1UA2.事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得P(A)=P(A1)+P(A2)= P(A1) +P P( A2 | =
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
(2)设B=“最后1位密码为偶数”，则P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B）== ；
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
条件概率
3 典例解析
跟踪训练1.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.
解:方法一(定义法)
设Ai={第i只是好的}(i=1,2).由题意知要求出P(A2|A1).因为P(A1)=,P(A1A2)=,所以P(A2|A1)=.
方法二(直接法)
因为事件A1已发生(已知),故我们只研究事件A2发生便可,在A1发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A2|A1)=.
条件概率
4 达标检测
1.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A.P(A|B)=P(B|A)
B.P(B|A)>1
C.P(A∩B)=P(A)·P(B|A)
D.P((A∩B)|A)=P(B)
条件概率
解析:P(B|A)=.
答案:A
解析:
由P(B|A)=知,P(A∩B)=P(A)·P(B|A).
答案:C
4 达标检测
3.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为 .
4.某气象台统计,该地区下雨的概率为,刮四级以上风的概率为,既刮四级以上的风又下雨的概率为.设A为下雨,B为刮四级以上的风,求P(B|A).
条件概率
解析:由题意知,P(A∩B)=,P(B|A)=.由P(B|A)=,得P(A)=.
解:由题意知P(A)=,P(A∩B)=, 故P(B|A)=.
4 小结
条件概率
条件概率
感谢各位的聆听！
条件概率与全概率公式
（第一课时）条件概率
年 级：高二 学 科：数学（人教A版）
条件概率
1 问题导学
在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时发生（积事件AB）的概率的问题，当事件A与B相互独立时,有P(AB)=P(A)P(B) .
如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.
条件概率
2 新知探究
问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生
的人数及团员的人数如表所示，在班级里随机选一
人做代表，
（1）选到男生的概率是多大？
（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是
男生的概率是多大？
条件概率
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
2 新知探究
随机选择一人作代表，则样本空间 包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”， B表示事件“选到男生” ，根据表中的数据可以得出
条件概率
（1）根据古典概型知识可知选到男生的概率P(B)
（2）“在选择团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A）.此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，据古典概型知识可知：
P（B|A）
2 新知探究
问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
条件概率
2 新知探究
观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩,则样本空间且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩”,B表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩”， A B.
条件概率
（1） 可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率P(B)
（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A） ，A成为样本空间，事件B是积事件AB，可知P（B|A）
2 新知探究
分析：求P（B|A）的一般思想
因为知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A.因为在事件A发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B同时发生，即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P（B|A）
条件概率
2 新知探究
为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有P（B|A）
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A),而且P(B|A)=.
条件概率
2 新知探究
问题1. 如何判断条件概率
题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.
问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么
P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.
P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.
条件概率
2 新知探究
条件概率与事件独立性的关系
探究1：一般地， P（B|A）与P（B）不一定相等。若P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？
条件概率
当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P（B|A）=P（B）成立.事实上，若事件A与B相互独立，即P（AB）=P（A）P（B），且P（A）>0，则P(B│A)=(P(AB))/P(A) =P（A）P（B）/P(A) =P（B）；反之，若P(B│A)=P（B），且P（A）>0，
则P（B）=P（AB）/P(A) P（AB）=P（A）P（B）
2 新知探究
条件概率与事件独立性的关系
探究2：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则
P（AB）=P（A）P（B|A）.
我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.
条件概率
2 新知探究
条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.
设P（A）>0，则
（1）P（Ω|A）=1；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；
（3）设B和C互为对立事件，则P（ C|A）=1- P（B|A）.
条件概率
3 典例解析
例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:
(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
条件概率
3 典例解析
解法1：
条件概率
设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即n(Ω)=5×4=20。因为n(AB)=3×2=6，P（AB）= (n(AB))/(n("Ω" ))=6/20=3/10.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。显然P（A）=3/5.利用条件概率公式，得P（B|A）= (n(AB))/(n(A))=(3/10)/(3/5)=1/2.
3 典例解析
解法2：在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)=1/2.又P(A)= 3/5 ，可得P(AB)=P(A)P(B|A)= 3/5×1/2= 3/10
条件概率
从例1可知，求条件概率有两种方法：
方法一：基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求P（B|A）；
方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。
3 典例解析
例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
条件概率
解：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=.
因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。
3 典例解析
例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。
条件概率
3 典例解析
解:(1)设Ai=“第i次按对密码”（i=1，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为A=A1UA2.事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得P(A)=P(A1)+P(A2)= P(A1) +P P( A2 | =
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
(2)设B=“最后1位密码为偶数”，则P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B）== ；
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
条件概率
3 典例解析
跟踪训练1.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.
解:方法一(定义法)
设Ai={第i只是好的}(i=1,2).由题意知要求出P(A2|A1).因为P(A1)=,P(A1A2)=,所以P(A2|A1)=.
方法二(直接法)
因为事件A1已发生(已知),故我们只研究事件A2发生便可,在A1发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A2|A1)=.
条件概率
4 达标检测
1.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A.P(A|B)=P(B|A)
B.P(B|A)>1
C.P(A∩B)=P(A)·P(B|A)
D.P((A∩B)|A)=P(B)
条件概率
解析:P(B|A)=.
答案:A
解析:
由P(B|A)=知,P(A∩B)=P(A)·P(B|A).
答案:C
4 达标检测
3.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为 .
4.某气象台统计,该地区下雨的概率为,刮四级以上风的概率为,既刮四级以上的风又下雨的概率为.设A为下雨,B为刮四级以上的风,求P(B|A).
条件概率
解析:由题意知,P(A∩B)=,P(B|A)=.由P(B|A)=,得P(A)=.
解:由题意知P(A)=,P(A∩B)=, 故P(B|A)=.
4 小结
条件概率
条件概率
感谢各位的聆听！