2023-2024学年数学八年级一元二次方程单元测试试题（京改版）基础卷含解析

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2023-2024学年数学八年级一元二次方程（京改版）
单元测试 基础卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．； B．；
C．； D．
2．（本题3分）若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，，则方程的一个根是线段（ ）的长度
A．或或 B．或 C． D．
6．（本题3分）若方程有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．4 B． C． D．
7．（本题3分）若整式 以下结论中正确的有（ ）
①不论m为何值，分式总有意义：
②若分式值为非负数，则；
③若分式 则 ；
④分式值为正整数时，整数m的值为2，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（本题3分）《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）已知一元二次方程，有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．（本题3分）已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ．
12．（本题3分）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为 ．
13．（本题3分）若是一元二次方程的两个实数根，且，则＝ ．
14．（本题3分）若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是 ．
15．（本题3分）关于的一元二次方程：有两根，其中一根为，则这两根之积为 ．
16．（本题3分）已知关于，是一元二次方程的两个根，，求的取值范围 ．
17．（本题3分）若关于、的方程组没有实数解，那么的取值范围是 ．
18．（本题3分）如图所示，中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么 秒后，线段将分成面积1：2的两部分．

评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值．
20．（本题8分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值．
21．（本题10分）已知关于的一元二次方程，如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
22．（本题10分）设，是方程的两个根，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
23．（本题10分）关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设此方程的两个根为与，若，求k的值．
24．（本题10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
25．（本题10分）2024年2月16日至2月25日，世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山举行，吉祥物“Chopy”和“Loopy”成为本次世乒赛的“显眼包”，某电商直播间在2月初以每套300元的成本价购进若干吉祥物玩偶进行销售．
(1)吉祥物玩偶的标价为每套400元，经过两次降价后的价格为每套324元，并且两次降价的百分率相同，求吉祥物玩偶每次降价的百分率；
(2)在（1）的条件下，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于4020元．问该电商第一次降价后至少要售出吉祥物玩偶多少套？
参考答案：
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程．
【详解】A选项符合一元二次方程的定义，符合题意；
B选项含有2个未知数，不符合题意；
C选项当时，不是一元二次方程，不符合题意；
D选项是分式方程，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵的两个根分别为、 ，
∴，
故选：．
3．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，以2022年该校学生数为等量关系列方程．
【详解】解：设这两年该校学生数平均增长率为，列方程为，
故选D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意；
B、，是分式方程，不符合题意；
C、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
5．A
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，勾股定理的应用，先求解，再解方程，从而可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
线段，，的长是方程的一个根；
故选A
6．C
【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式的意义得到，然后解的一元二次方程，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：根据题意得，
解得，，
即的值为4或．
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查分式和解一元二次方程，根据分式成立的条件、运算法则和解一元二次方程的步骤逐项判断即可．
【详解】根据题意可知
①，则分式总有意义，结论正确；
②若分式值为非负数，则，即，解得，结论错误；
③若分式 ，即，变形可得，解得，则，将变形，得，解得，结论错误；
④，可知当或时，分式值为正整数，结论错误．
综上所述，结论正确的为：①
故选：A
8．B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，设矩形门高为尺，则矩形门宽为尺，再根据勾股定理结合对角线的长为1丈列出方程即可．
【详解】解：设矩形门高为尺，则矩形门宽为尺，
由题意得，，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴且．
故选：D．
10．C
【分析】本题考查解含参数的一元一次不等式组、不等式的性质及利用判别式确定一元二次方程根的情况等知识，先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到，再结合一元二次方程的判别式，由不等式的性质确定即可得到答案，熟练掌握含参数的一元一次不等式组的解法及判别式与一元二次方程根的情况是解决问题的关键．
【详解】解：
由①得；
由②得；
不等式组有且仅有4个整数解，
；
关于的方程中，，
，即，
关于的方程无实数根，
故选：C．
11．9
【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程．
【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：，
解得：或（不合题意，应舍去）．
∴．
故答案为：9．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程即可求解，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题的关键．
【详解】解：把代入方程得，
，
解得：，
故答案为：.
13．/
【分析】本题考查一元二次方程的解，将将代入一元二次方程，解得，再求解即可．
【详解】解：将代入一元二次方程，
得，
解得，
∴一元二次方程为，
解方程得，，
∴，
故答案为：．
14．2
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得出且，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意得且，
解得．
故答案为：2．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为a，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为，
∵方程有两根，其中一根为，
∴，
解得：，
即两根之积为．
故答案为：
16．或
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，不等式组的应用，先解方程，再建立不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
当，则，
当，则；
∴的取值范围为或；
故答案为：或
17．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次不等式．先将方程组消去转化为关于的一元二次方程，再根据根的判别式求得的取值范围．
【详解】解：由得
整理得
方程无解
解得．
故答案为：．
18．2或4
【分析】考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．
【详解】解：根据题意，知，．
线段将分成面积1：2的两部分，
则根据三角形的面积公式，得，
整理得：．
解得，
即线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒．
故答案为：2或4．
19．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．
【详解】解：方程的两个实数根分别为，，
由根与系数的关系可知，，.
，
，即，
解得，
，
.
20．，a的最小整数值是
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，进而可得出结论．
【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得，
的最小整数值是．
21．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，由此列不等式，即可求解．
【详解】解：依题意得：，
解得．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．
（1）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可．
（2）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可．
【详解】（1）解：∵，是方程的两个根，
∴，
∴
；
（2）
；
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式；
（1）一元二次方程有实数根，则，求出k的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据即可求出k的值．
【详解】（1）解：由题意得：
解得：；
（2）解：由题意得：，，
∴，即，解得：
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系：
（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】（1）解：．
∵一元二次方程有两个实数根，
∴；．
∴；
∴
（2）解：由根与系数的关系可得，，
∵，
∴，
整理得：，
解得或．
∵，
∴不合题意，应舍去，
∴．
25．(1)每次降价的百分率为；
(2)为使两次降价销售的总利润不少于4020元，第一次降价后至少要售出吉祥物玩偶45件．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据数量关系列出方程或不等式是解决问题得关键．
（1）设吉祥物玩偶每次降价的百分率为，根据“两次降价后的售价原价”，列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出吉祥物玩偶件，则第二次降价后售出吉祥物玩偶件，根据“总利润第一次降价后的单件利润销售数量第二次降价后的单件利润销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，或（舍去）．
答：每次降价的百分率为；
（2）解：设第一次降价后售出吉祥物玩偶件，则第二次降价后售出吉祥物玩偶件，
第一次降价后的单件利润为：（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：（元/件）．
依题意得：，
解得：，
即：为使两次降价销售的总利润不少于4020元，第一次降价后至少要售出吉祥物玩偶45件．
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