第17章 勾股定理4类题型型 讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册（含答案）

勾股定理4题型
勾股定理好用题型
题型1、最短路径问题
【模型1】蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A点到B点的最短路径？
(1) AB==
(2)AB==
(3) AB==
由此可见，ab、bc、ac谁小，则路径就最小。
结论：最短路径=
【模型2】蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A点到C点的最短路径？
【模型3】蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A点爬行n圈到B点的最短路径？
结论：最短路径可分圈计算，亦可整体计算。注意：异侧半周长、同侧整周长
【模型4】蚂蚁吃蜂蜜问题：蚂蚁从圆柱体的外壁A处爬行到内壁B处的最短路径？
题型2、折叠模型
【模型1】 如图所示，在Rt△ACB中，已知AC=a，BC=b，D为BC边上一点，沿AD对折，C刚好落在AB边上E点处，求CD的长度。
【解决思路】CD=DE，在Rt△DEB中，利用勾股定理建立方程即可求解。
【模型2】如图，已知ABCD为长方形纸片，CD＝3，在CD上存在一点E，沿直线AE将△AED折叠，D恰好落在BC边上的点F处，求EF的长。
【解决思路】DE=DF，在Rt△ECF中，利用勾股定理建立方程即可求解。
【模型3】如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，求FC′。
题型3、赵爽弦图
【结论1】如图所示，在正方形ABCD的四边AB、BC、CD、AD上分别取点E、F、G、H中，使得BE=CF=DG=AH，则四边形EFGH为正方形。
【结论2】如图所示，EQ//NG，FM//HP，则四边形PQMN为正方形。
【结论3】
S正方形ABCD=4S△EAH+S正方形EFGH
S正方形EFGH=4S△EQH+S正方形PQMN
2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN
解决方法：
①赵爽弦图可以证明勾股定理也可以研究如何拼正方形；②一个小正方形加上四个全等的直角三角形能拼成一个大正方形
③大正方形的边长为直角三角形的斜边，小正方形的边长为直角三角形长直角边减去短直角边
题型4、垂美四边形
【结论】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB2+CD2＝AD2+BC2
【证明】∵AC⊥BD
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,
由勾股定理得：AB +CD =AO +BO +CO +DO ,AD +BC =AO +DO +BO +CO ,∴AB +CD =AD +BC