【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第23章第4课时《中心对称及其性质》（教师版）

一、学习目标 认识两个图形关于某个点中心对称的本质；理解中心对称的性质，并可以判断两个图形是否成中心对称；会画某图形关于某点对称的图形，会确定对称中心；会利用中心对称的性质求长度、角度和面积．
二、知识回顾 1．什么是两个图形成轴对称？成轴对称的两个图形有哪些性质？把一个图形沿着某一条直线折叠能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称或成轴对称．性质：成轴对称的两个图形是全等形，对称轴是对称点连线的垂直平分线．2．什么是旋转？旋转的特征是什么？在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定角度，这样的图形变换称为图形的旋转．性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等．
三、新知讲解 中心对称把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这个两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．中心对称的性质（1）中心对称的两个图形是全等形，对应角相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等；（2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分；中心对称的识别方法一：利用定义识别.方法二：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点中心对称．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．已知一个图形和对称中心点O，画关于点O对称的图形【例1】画出△ABC关于点O中心对称的图形． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：画一个点关于某点(对称中心)的对称点的画法是：先连接这个点与对称中心，再延长一倍即可.画一个图形关于某点的对称图形的画法是：先画 ( http: / / www.21cnjy.com )出图形中的几个特殊点（如多边形的顶点、线段的端点、圆的圆心等）关于某点的对称点，然后再顺次连结各对称点即可．练1．画出如图所示的两个半圆关于点B成中心对称的图形． ( http: / / www.21cnjy.com )2．已知中心对称的两个图形，画出对称中心【例2】如图所示，已知两个三角形成中心对称．请画出对称中心． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：确定对称中心的两种方法：（1）找出一对对应点，连线的中点即为对称中心；（2）找出两对对应点，连线的交点即为对称中心．练2．如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )3．根据中心对称的性质求角度【例3】如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，∠A=30°，∠ABC=70°，求∠DFE的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：当图形中出现中心对称时，要利用中心对称的性质解题.注意：中心对称的两个图形全等，所以对应线段相等，对应角相等，根据线段和角的相等关系可以求线段长度、角度以及面积等．练3．如图是△ABC和△AB’C’成中心对称，点A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB′的长　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称，则对称中心是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点二、填空题2．（2013秋 扶沟县期中）如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称，则AB　 　DE，BC∥　 　，AC=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题3．请你画出“箭头”关于点O中心对称的图形． ( http: / / www.21cnjy.com )4．（2014秋 景洪市校级月考）如图，画出△ABC关于点O对称的图形． ( http: / / www.21cnjy.com )5．（2012秋 兰坪县校级期中）如图，画出△ABC关于点O的对称图形． ( http: / / www.21cnjy.com )6．（2013秋 南丹县校级期中）如图，请你画出四边形ABCD关于O对称的图形． ( http: / / www.21cnjy.com )7．（2014 海沧区模拟）如图，画出△ABC关于点C对称的图形． ( http: / / www.21cnjy.com )8．如图所示，画出△ABC以O点为对称中心的图形． ( http: / / www.21cnjy.com )9．已知下列两个图形关于某点中心对称，画出对称中心． ( http: / / www.21cnjy.com )10．如图，画出半圆关于点O成中心对称的图形． ( http: / / www.21cnjy.com )11．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它 ( http: / / www.21cnjy.com )们的半径相等，A1、P、B1、B2、Q、A2在同一条直线上．这个图形中的两个半圆是否成中心对称？如果是，请找出对称中心O． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】分析：根据对称中心平分对应点连线，可得出各点的对应点，顺次连接即可得出△ABC关于点O中心对称的图形．
解答：解：所作图形如下：
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点评：本题考查了旋转作图的知识，解答本题的关键是根据对称中心平分对应点连线得到各点的对称点，难度一般．
练1．分析：分别找到A、C、D三点关于点B的中心对称点，继而确定两半圆的直径，作半圆即可．
解答：解：如图所示：
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点评：本题考查了旋转作图的知识，解答本题的关键是根据中心对称的性质找到各点的对应点．
【例2】分析：对应点连线的交点即是对称中心．
解答：解：如图所示：点O即是两三角形的对称中心．
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点评：本题考查了旋转作图的知识，若两个图形成中心对称关系，则对应点连线交于一点，这一点即是对称中心．
练2．分析：根据中心对称的性质，连接任意两对对应点，交点即为对称中心．
解答：解：如图所示，点O即为对称中心．
理由如下：∵四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，
∴BF过对称中心，CG过对称中心，
∴BF、CG的交点即为对称中心．
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点评：本题考查了利用旋转变换作图，中心对称图形的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
【例3】分析：利用关于某点对称的图形全等，这样可以得出対应边与对应角之间的关系，进而解决．
解答：解：∵△ABC与△DEF关于O点成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠DEF=∠ABC=70°，∠D=∠A=30°，
∴∠DFE=180°-∠DEF-∠D=80°．
点评：此题主要考查中心对称的性质，难度不大，比较典型．
练3．分析：利用中心对称图形关于A为对称中心，得出两图形全等，即可解决．
解答：解：∵此图是中心对称图形，A为对称中心，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=AC′
∵∠C=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB′=2AC′=2．
故答案为：2．
点评：此题主要考查了中心对称图形的性质，以及在直角三角形中30°，所对的直角边是斜边的一半．
课后小测答案：
一、选择题
1．解：∵此图形是中心对称图形，
∴对称中心是线段FC的中点．
故选：D．
二、填空题
2．解：∵△ABC与△DEF关于O点成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，AB=DE，AC=DF．
又∵BO=OE，CO=OF，∠BOC=∠FOE，
∴△BOC≌△EOF，
∴∠BCO=∠OFE，BC∥EF．
故填：=，EF，DF．
三、解答题
3．解：如图所示：即为所求．
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4．解：如图所示：△A′B′C′即为所求．
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5．解：如图，△A′B′C′即为所求图形．
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6．解：根据题意画出图形，如图所示：
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∴四边形A′B′C′D′为所求作的四边形．
7．解：△ABC关于点C对称的图形△A′B′C如图所示．
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8．解：
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9．解：如图所示：点O，W即为图形的对称中心．
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10．解：作半圆的直径的两外端与点O的连线并延长相同长度，确定旋转后的直径，然后画半圆．
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11．解：是中心对称图形，对称中心如图．
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