沪科版八年级数学下册第18章《勾股定理》单元同步备课教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册第18章《勾股定理》单元同步备课教案（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-09 08:32:32 | ||
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文档简介
第18章 勾股定理
单 元 备 课
第 3单元 本单元所需课时数 5课时
课标要求 在研究图形性质和运动过程中，进一步发展空间观念. 在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题的方法的多样性.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
教材分析 本章是在学生学习了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的部分性质和一个直角三角形是直角三角形的条件的基础上学习的. 本章所研究的勾股定理是直角三角形非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，在实际生活中有极其广泛的应用，为以后学习解直角三角形奠定基础，
主要内容 本章主要内容是关于直角三角形的勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用. 主要包括2节：第18.1节“勾股定理”主要介绍勾股定理的发现与证明，运用勾股定理解决简单的实际问题；第17.2节“勾股定理的逆定理”主要探索勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
教学目标 1.经历对问题情景的观察、分析、一般化等思维活动，提出猜想，体验勾股定理的探索过程.2.了解勾股定理对的证明，培养学生良好的思维习惯；利用数学史话介绍，培养学生的爱国主义的思想.3.会运用勾股定理解决简单的实际问题.4.结合具体情景，了解逆定理（逆命题）的概念；理解勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
课时分配 18.1 勾股定理 2课时18.2 勾股定理的逆定理 2课时小结·评价 1课时
教与学建议 1.注重使学生经历探索勾股定理等活动过程.2.注重创设丰富的现实情境，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.3.尽可能多得介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值. 4.注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透.
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
课题 勾股定理 课型 新授课
教学内容 教材第52-54页的内容
教学目标 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容.2.会初步运用勾股定理进行简单的计算.3.在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.
教学重难点 教学重点：探索勾股定理.教学难点：利用数形结合的方法验证勾股定理.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题课件展示：这是1955年希腊为了纪念数学家毕达哥拉斯而发行的一枚纪念邮票. 【问题】观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？预设答案：两个小正方形中的小方格个数之和=大正方形中的小方格个数之和【追问】同学们知道这个图案的由来吗？今天我们将要学习与这个图形有关的一个重要定理——勾股定理.2.合作探究，探索新知活动一：在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积.【观察】观察图(1)，并填写： 观察图(2)，并填写：S1=____个单位面积； S1=____个单位面积；S2=____个单位面积； S2=____个单位面积；S3=____个单位面积. S3=____个单位面积.答案：图(1)：9；9；18. 图(2)：9；16；25.【猜想】图(1)，(2)中，三个正方形面积具有怎样的关系呢？用它们的边长表示是 .【学生活动】根据上表中的数据进行猜想，同桌之间进行交流.分析：面积之间的关系：图(1)中，S1=9 S2=9 S3=18 ，即9+9=18 → S1+S2=S3. 图(2)中，S1=9 S2=16 S3=25 ，即9+16=25 → S1+S2=S3. 用它们的边长表示：S1=a S2=b S3=c → a +b =c 【操作】下面请同学们在你们的方格纸上再画出几个不同的直角三角形，看一下这个关系“a +b =c ”是否依然成立.【学生活动】作图、计算并进行验证. 得出结论：依然成立【思考】问题：你能用自己的语言归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．追问：这个结论是由我们画的有限个直角三角形猜想推导出来的，是否正确呢？如何确定它的正确性呢？方法1：拼一拼以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图连在一起，通过剪、拼证明刚刚的猜想. 方法2：面积计算已知：如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.求证：a +b =c .证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图(2)所示的边长为a+b的正方形EFGH. 从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.∵∠B1A1E+ ∠A1B1E=90°，而∠A1B1E=∠D1A1H，因此∠B1A1E+ ∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°.同理∠A1B1C1=∠B1C1D1 =∠C1D1A1=90°所以四边形A1B1C1D1 是一个边长为c 的正方形.则这样我们就证明了上述结论成立，即得定理.【归纳】定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．我国古代把直角三角形中较短的边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理.如果直角三角形的两直角边用a，b来表示，斜边用c来表示，那么勾股定理可表示为a + b = c .强调：①成立条件：在直角三角形中②公式变形：a = c b b = c a ③作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长【做一做】下列说法中正确的是( )A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2 = c2B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C = 90°，则a2+b2 = c2D.在Rt△ABC中，∠B = 90°，则a2+b2 = c2答案：C3.学以致用，应用新知【例1】求出图中字母所代表的正方形的面积.解：(1) SA22514481； (2) SA802456；SB245680.【例2】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1) 已知a＝5，b＝12，求c；(2) 已知a＝6，c＝0，求b；(3) 已知c＝25，b＝15，求a.解：(1) ；(2) ；(3) .【变式】若一个直角三角形的两条边长分别为3，4，则它的第三边长的平方是 .解：当3，4均是直角边长时，第三边是斜边，根据勾股定理，得第三边长的平方=32+42=25；当4是斜边长时，第三边是直角边，根据勾股定理，得第三边长的平方=42-32=7.综上，第三边的平方是25或7.4.随堂训练，巩固新知1.在△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.(1) a6，b=8，求c； (2) a8，c=17，求b. 解：(1)∵在Rt △ABC中，∠C=90°，∴.(2)∵在Rt △ABC中，∠C=90°，∴.2.如图，楼梯的高度为2m，楼梯坡面的长度为4m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到0.1m)解：如图，由勾股定理得AB AC + BC ，∴（米）.∴AC+BC=2+≈5.5(米)答：地毯的长度至少需要5.5米.3.已知：Rt△ABC中，AB=4，AC=3，则BC= . 解：5或.5.课堂小结，自我完善回顾思考，回答下面的问题勾股定理的内容是什么？如何证明勾股定理？在证明勾股定理时运用了什么思想方法？（3）在应用勾股定理时应注意什么？6.布置作业教科书P57习题18.1第1、2题. 通过故事创设情境，再加上多媒体的配合，激发了学生的求知欲.让学生独立完成观察、思考、交流等实践过程，由具体到抽象，形成关于勾股定理的猜想.通过猜想，让学生深入了解勾股定理的发现过程，加强对于勾股定理的理解.教师引导学生自主探究，发现结论.学生通过画图、观察、思考、归纳，从而得出勾股定理，教师及时予以总结.渗透从特殊到一般的数学思想，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法在拼接之前首先向学生说明图形拼接后只要没有重叠和空隙，面积不会发生改变探索勾股定理证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，有利于开阔学生的视野，增强论证的趣味性，以激发学生对数学证明的兴趣和掌握数学证明方法的信心，提高思维水平.利用等面积法进行证明通过推理证明，体会数学的严谨性和严密性.通过归纳让学生熟悉勾股定理，并了解勾股定理的相关背景知识.在直角三角形中已知两边求第三边长时，应先明确直角边和斜边，若不明确，则应进行分类讨论.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
板书设计 勾股定理一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边用a，b来表示，斜边用c来表示，那么勾股定理可表示为a + b = c .二、证明方法：面积法三、思想方法：（1）特殊——一般——特殊（2）数形结合思想；四、注意问题:（1）勾股定理的适用条件，在直角三角形中；（2）当不能确定那条边是斜边时，需分类讨论. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课从实际问题引入，激发学生的学习兴趣.勾股定理的发现之路也体现了数学来源于生活，又服务于生活，激发学生的研究热情.然后整个教学流程从特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形，从最初的猜想到最后的证明，既体现了数学的严谨，又符合学生的认知特点，便于学生接受和理解.其中勾股定理的证明方法多样化，利用数形结合，给出严密的证明.在给出证明方法的同时对学生进行数学史教育，中外都有所涉及，特别是通过中国古代对勾股定理的证明和利用，激发民族自豪感和爱国热忱.
18.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
课题 勾股定理的应用 课型 新授课
教学内容 教材第54、55页的内容
教学目标 1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题；2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力；3.经历探索勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的灵活应用；4.体会数学与实际生活的紧密联系，并在学习过程中感受成功的喜悦，提高学习数学的兴趣.
教学重难点 教学重点：会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题.教学难点：勾股定理的灵活应用.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题教师活动：教师引导学生回顾勾股定理的内容，并通过简单的练习巩固如何利用勾股定理求直角三角形的边长，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a b c .练习：设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1) 已知a5，b12，则c ；(2) 已知a6，c10，求b .答案：(1) 13；(2) 8.【情境】如图,在学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“路”,他们少走了多少路？ 学生讨论得出：由勾股定理，得(m),AC+BC-AB=3+4-5=2(m).师：今天我们来学习勾股定理应用.2.合作探究，探索新知我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？【问题1】你能用已学的知识解决上面的问题吗？教师活动：教师引导学生译出所给问题，然后提出问题让学生先思考，并分组作答，最后用课件展示解答过程.译：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？【思考】(1)水的深度与芦苇的长度有什么关系？水的深度、半个水池长与芦苇的长度有什么关系？学生活动：认真思考，探究交流预设答案：(1) 水池的深度1尺芦苇的长度(2)构成一个直角三角形 【师生活动】学生代表回答. 教师根据学生回答情况，引导学生通过设未知量的形式，表示出水的深度与芦苇的长度，进而利用勾股定理列出方程求解. 解：设水深ABx尺，则芦苇长AC(x1)尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x252(x1)2 .解得：x12，则AB12尺，AC13尺.所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.【追问】根据上面问题的解答过程，你能总结出解这类问题的解题思路吗？预设答案：在直角三角形中，若已知一边，又知另外两边的数量关系时，可设一边长为x，利用x再表示另外一边，最后根据勾股定理列方程.【归纳】利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形；（2）确定所求线段所在的直角三角形；（3）找准直角边和斜边，①若已知两边，求第三边，可以直接利用勾股定理；②若已知一边和另外两边的数量关系，根据勾股定理建立等量关系；（4）求得结果，解决实际问题.思路： 3.学以致用，应用新知【例1】现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图(1) .已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m. 救人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m) （1）【教师活动】引导学生分析问题的思路，巡视学生做题情况，纠正做题中出现的问题.【学生活动】两名学生到黑板上书写证明过程，其余学生先自主完成证明过程，再小组内交流合作，互相纠正.分析：如图(2)，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O .解：∵OE=3m，BE=9m，∴OB=93=6(m)，OD=123=9(m).∵OB=6m，AB=10m，在Rt△ABO中，AO =AB OB =10 6 =64.解得AO=8(m).设AC=x，则OC=8x，在Rt△DOC中，OC +OD =CD ，(8x) +9 =10 ，解得x=8±.∴ ≈12.4, ≈3.6.∵ AC＜AO＜AB，∴x=3.6(m).答：消防车要靠近约3.6米.【例2】已知：如图, 在Rt △ABC中，两直角边AC = 5，BC = 12. 求斜边上的高CD的长.【教师活动】分析题目所给的条件，引导学生分析做题的思路，即根据CD是△ABC边上的高，要求CD的长，已知AC，BC的长，如果能求出三角形ABC的面积就把问题解决了.【学生活动】根据老师的分析，先自己写出证明过程，再小组合作交流，总结做题的方法.解：在Rt △ABC中，AB =AC +BC =5 +12 =169 AB= =13. 又∵Rt △ABC的面积,【总结】由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这是已知直角三角形的两边，求斜边上高的常用方法，即“等积法”.4.随堂训练，巩固新知1.如果梯子的底端离一幢楼5米，那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是( )A.12米 B.13米 C.14米 D.15米答案：A2.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，ACAB=10，BC3，求AC的长．若设AC=x，则可列方程为_______________． 答案：3.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于点D，经测量∠ABD=135°135°，BD=800米，则应在直线l上距离点D多远的C处开挖？(≈1.414，结果精确到1米) 3.解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°.∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠BDC=45°，∴BC=CD.在Rt△DCB中，根据勾股定理，CD2BC2=BD2，即2CD2=8002，又∵CD的长为正值，∴CD=400≈566(米)．答：应在直线l上距离点D约566米的C处开挖．5.课堂小结，自我完善回顾思考，回答下面的问题（1）利用勾股定理解决实际问题的一般步骤是什么？（2）利用勾股定理解决实际问题时会用到哪些思想方法？6.布置作业教科书第57页习题18.1，第5、6、7题. 通过复习回顾上节课学习的勾股定理，为本节课要学习的内容作准备.通过情境引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望.通过探究让学生从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力.利用勾股定理建立方程，体现了数形结合和方程思想的应用.通过归纳让学生熟悉利用股勾定理解决实际问题的一般步骤和常见思路，并培养学生的归纳概括能力. 让学生在探究过程中进一步加深对从实际问题中抽象出直角三角形这一模型的认识和理解，强化转化思想，培养学生的应用意识不符合实际意义的根应舍去.这里要先应用勾股定理求出斜边的长，然后再利用面积法求出高.教师要及时对学生进行点拨指导.直接考查勾股定理根据勾股定理列方程求解由特殊角度135°得出△BCD出为等腰直角三角形即可解决问题.教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结.
板书设计 第2 课时 勾股定理的应用利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形；（2）确定所求线段所在的直角三角形；（3）找准直角边和斜边，①若已知两边，求第三边，可以直接利用勾股定理；②若已知一边和另外两边的数量关系，根据勾股定理建立等量关系；（4）求得结果，解决实际问题.思路： 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题转化抽象成几何图形的过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建模思想．在教学中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力．在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理.解决实际问题的意识和能力．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值.
18.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
课题 勾股定理的逆定理 课型 新授课
教学内容 教材第58-59页的内容
教学目标 1. 通过具体情景（古埃及人的绳子上所打的结）向学生介绍了一些特殊的三角形，这类三角形的各边长都满足a2+b2=c2.2.通过对这类三角形的观察让学生猜想勾股定理的逆定理的成立.3.经历直角三角形判别条件的探究过程，用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.4.培养数学思维及合情推理意识，感悟勾股定理逆定理的应用价值.
教学重难点 教学重点：用勾股定理的逆定理判定直角三角形.教学难点：理解运用勾股定理及其逆定理在推理格式上的区别．
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题【问题1】直角三角形有哪些性质 预设答案：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.【问题2】一个三角形，满足什么条件是直角三角形 预设答案：(1)有一个角是直角；(2)有两个角的和是90°.教师活动：教师提出问题，引导学生回顾直角三角形的性质，以及如何判断一个三角形是直角三角形.全班学生回答.然后教师让学生观察第2问的结果，引导学生发现，目前的两种方法都是从角度出发判断一个三角形是不是直角三角形的.进一步追问：能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗？学生活动：学生回顾并根据老师的提问进行思考,并回答.【思考】据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个结与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图.这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.按照这种做法真的能得到一个直角三角形吗？合作探究，探索新知【操作】动手画一画. 用圆规、直尺作△ABC，使得AB=5，AC=4，BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？(1)画射线AM，然后以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点B;(2)分别以点A，B为圆心，线段AC、BC长为半径画弧，两弧相交于点C；(3)分别连接AC、BC，得△ ABC.通过测量∠C=90°.教师活动：引导学生观察三角形的各边长，同时观察探讨思考和画出的两个三角形的共同之处，猜测勾股定理的逆定理？学生活动：用直尺和量角器进行操作，交流测量的结果，猜测勾股定理的逆定理成立.【探究】为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的数量关系？猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【证明猜想】已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形.师生活动：学生分组探究，讨论如何证明. 教师学生积极发言，讲述证明过程.分析：证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.由勾股定理可得A'B'2=a2+b2.∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2，A'B'=c.在△ABC和△A'B'C'中，∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).即△ABC是直角三角形.【归纳】勾股定理的逆定理文字描述：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.符号语言：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a +b =c ，则△ABC是直角三角形，∠C=90°.【思考】既然学了勾股定理，还学勾股定理的逆定理干什么呢？★用于根据三角形三边关系判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据.★注意：勾股定理及其逆定理的联系①勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关.②勾股定理与其逆定理是互逆定理.勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化.【追问】判断一个三角形是否为直角三角形的方法有哪些呢？方法一：利用定义若已知条件与角度有关，可运用三角形的内角和定理求出最大的角，只有当最大的角是直角时，才是直角三角形.方法二：利用勾股定理的逆定理若已知条件与边有关，可通过计算推出三角形的三边关系，只有当c是最大边长，且满足a +b =c 时，才能运用勾股定理的逆定理得出这个三角形是直角三角形.学以致用，应用新知【例1】根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角.a=7，b=24，c=25； a=7，b=8，c=11.分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.解：∵最大边是c=25， c =625，a +b =7 +24 =625，∴a +b =c .∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.(2)∵最大边是c=11， c =121，a +b =7 +8 =113，∴a +b ≠c .∴ △ABC不是直角三角形.【归纳】运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：①找：确定三角形的最长边;②算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和;③比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等;④判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.【例2】已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n 1，b=2n，c=n +1(n＞1). 求证：△ABC为直角三角形.分析：已知条件与边有关，可通过证明a +b =c得出这个三角形是直角三角形.证明：∵a +b =(n 1) +(2n) =n4 2n +1+4n =n4 +2n +1=(n +1) =c ∴ △ABC是直角三角形.(勾股定理的逆定理)【总结】勾股数：像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.思考：除3，4，5外，找出5组勾股数.看看例2，想想可以怎么找？归纳：常见的勾股数，除了3，4，5外，还有5，12，13；7，24，25；8；25；17等.4.随堂训练，巩固新知判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形.(1) a=2，b=3，c=4； ( )(2) a=6，b=9，c=11； ( )(3) a=25，b=20，c=15. ( )
解析：(1)∵a +b =2 +3 =13，c =4 =16，a +b ≠c ，∴不是直角三角形.∵a +b =6 +9 =117，c =11 =121，a +b ≠c ， ∴不是直角三角形.∵c +b =15 +20 =625，c =25 =625，a +b =c ，∴是直角三角形.答案：×；×；√.2.在△ABC中，三边长a，b，c满足(a+c)(ac)=b ，则△ABC是什么三角形？解：∵ △ABC的三边长a，b，c满足(a+c)(ac)=b ，∴ a c =b ，即 a = b +c ∴ △ABC是直角三角形.5.课堂小结，自我完善通过本节学习，有哪些收货？（请学生自己总结）
（1）什么是勾股定理的逆定理？（2）勾股定理与勾股定理的逆定理之间的关系？（3）应用勾股定理逆定理判断直角三角形的一般步骤是什么？6.布置作业教科书P60习题18.2第1，2题 通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题.介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣.本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形，联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点.帮助学生回顾和梳理勾股定理的逆定理及相关知识和方法，为后面的综合应用勾股逆定理解决问题做好准备.在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和．第1题教师可以做示范引导，关键是掌握规范的步骤，第2题可以让学生仿照第1题的步骤自主完成，教师再根据学生出现的问题进行纠正和强调.加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步应用，掌握用其判定直角三角形的一般步骤.通过该例题使学生了解一种产生勾股数组的方法.理解勾股数，并能掌握一些常见的勾股数.及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生应用知识的能力.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
板书设计第1课时 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：文字描述：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.符号语言：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a +b =c ，则△ABC是直角三角形，∠C=90°. 勾股定理与其逆定理的关系： 运用勾股定理判定逆定理的步骤：①找；②算；③比；④判 提纲挈领，重点突出.
教后反思在本节课的教学设计中，要注意从学生的认知水平和亲身感受出发，通过创设认知和数学史的学习情境，提高学生学习数学的积极性、学习兴趣以及人文意识，设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手画图、测量、判断、找规律，猜想出一般的结论，然后由学生想、画、叠等验证结论、证明结论，使学生自始自终感悟、体验、尝试到了知识的生成与发展过程，品尝着成功后带来的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思维和方法，同时也体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.
18.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
课题 勾股定理的逆定理的应用 课型 新授课
教学内容 教材第60页的内容
教学目标 1.熟练掌握勾股定理及其逆定理.2.能灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．.
教学重难点 教学重点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.教学难点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题问题：前面我们学习了勾股定理及其逆定理，你能回忆一下它们的具体内容吗？预设答案：勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 教师活动：教师提出问题，师生共同回忆前两节课学习的勾股定理、勾股定理的逆定理的内容.教师可适当发挥，如让学生分别指出勾股定理、勾股定理的逆定理的题设和结论，并再次强调勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系，勾股定理的逆定理则是由边之间的数量关系，判断三角形是不是直角三角形.合作探究，探索新知教师活动：教师提出问题，启发学生联系生活实际思考.【思考】 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？预设答案： 在军事和航海上经常要确定方向和位置，常用到勾股定理的逆定理. 【探究】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 教师活动：带领学生读题，引导学生分析题意，明确已知条件、所求问题、如何求解.带领学生分析完思路后，让学生先尝试自行解决，完成答题过程.然后选派代表回答，教师汇总，并规范书写过程.学生活动：学生读题，根据教师提问，找出题目中的已知信息，并尝试用勾股定理逆定理计算并解决问题.问题1：题目已知了哪些信息？“远航”、“海天”号的速度，运行时间，QR30，“远航”号的航向.问题2：由题目信息，可以得出什么？PQ，PR， QR的长度，QPN45°(即图中∠145°).问题3：需要解决的问题是什么？求出两艘船航向所成的角∠QPR，结合图形，∠1已知，所以求∠QPR就可以转化为求∠2.问题4：已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？勾股定理的逆定理【师生活动】根据老师的分析，学生尝试书写解题过程，教师巡视学生做题情况。老师找学生复述解题步骤，针对学生回答情况进行补充，并呈现规范步骤，学生整理.解：由题意得：PQ161.524，PR121.518，QR30∵242182302，即PQ2PR2QR2∴QPR90°由“远航”号沿东北方向航行可知145°∴245°即“海天”号沿西北方向航行.【归纳】解决实际问题的步骤：1.标注有用信息，明确已知和所求；2.构建几何模型——从整体到局部；3.应用数学知识求解.追问：除了航海领域，勾股定理的逆定理在实际生活中还有哪些应用呢？【探究】 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格.解：∵ABDC8，ADBC6， ∴AB2BC28262100 又∵AC29281 ∴AB2BC2AC2 ∴ABC90° ∴该农民挖的不合格.学以致用，应用新知【例】工厂生产一批零件，如图所示，当BAD、BDC均为直角时才合格，经测量AD3，AB4，BD5，DC12，BC13，这批零件是否合格？教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 解：∵AD3，AB4，BD5 易得AD2AB2BD2∴由勾股定理的逆定理得，△ABD是直角三角形BAD90°.又∵BD5，DC12，BC13 可得BD2DC2BC2 ∴△BCD为直角三角形，BDC90°.∴这批零件合格.4.随堂训练，巩固新知1.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点 构成直角三角形(填“能”或“不能”).答：能.2.如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC10海里，BC8海里，AB6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 解：∵AC10，BC8，AB6，∴AC2AB2BC2即△ABC是直角三角形， 而S△ABC解得：BD.在Rt△BCD中，又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.412.80.5(小时)0.5小时30分钟∴最早晚上10时58分进入我领海.5.课堂小结，自我完善通过本节学习，有哪些收货？（请学生自己总结）
（1）勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用 （2）利用勾股定理解决实际问题的步骤？6.布置作业教科书第60页习题习题18.2第3~7题 回忆所学知识，加深对知识的理解，以便能灵活运用所学知识解决问题.结合生活实际，体会勾股定理的逆定理在生活中的应用.初步体会用勾股定理的逆定理解决实际问题.归纳利用勾股定理的逆定理解决实际问题的步骤，培养学生的良好的学习习惯及语言组织能力.并通过追问，再次让学生体会到勾股定理的逆定理在生活中的广泛应用.进一步培养学生解决问题的能力.巩固所学知识，加深对知识的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力.巩固勾股定理的逆定理，学生通过练习，可以更好的理解和运用所学知识，进一步提高分析问题和解决问题的能力.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第2课时 勾股定理逆定理的应用1.勾股定理逆定理的实际应用：航海、测量....2.利用勾股定理解决实际问题的步骤：①标注有用信息，明确已知和所求；②构建几何模型——从整体到局部；③应用数学知识求解. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课教学过程中不断帮助学生构建知识体系，所以本节课对知识的归纳总结不仅没有局限于本章所学内容，而且还引导学生对直角三角形的性质和判定方法做了归纳总结．由于学生对于两个定理的直接应用有了一定的基础，所以本节课的安排以灵活应用为主，循序渐进、由易到难设计例题和练习，收到了较好的教学效果.
单 元 备 课
第 3单元 本单元所需课时数 5课时
课标要求 在研究图形性质和运动过程中，进一步发展空间观念. 在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题的方法的多样性.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
教材分析 本章是在学生学习了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的部分性质和一个直角三角形是直角三角形的条件的基础上学习的. 本章所研究的勾股定理是直角三角形非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，在实际生活中有极其广泛的应用，为以后学习解直角三角形奠定基础，
主要内容 本章主要内容是关于直角三角形的勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用. 主要包括2节：第18.1节“勾股定理”主要介绍勾股定理的发现与证明，运用勾股定理解决简单的实际问题；第17.2节“勾股定理的逆定理”主要探索勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
教学目标 1.经历对问题情景的观察、分析、一般化等思维活动，提出猜想，体验勾股定理的探索过程.2.了解勾股定理对的证明，培养学生良好的思维习惯；利用数学史话介绍，培养学生的爱国主义的思想.3.会运用勾股定理解决简单的实际问题.4.结合具体情景，了解逆定理（逆命题）的概念；理解勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
课时分配 18.1 勾股定理 2课时18.2 勾股定理的逆定理 2课时小结·评价 1课时
教与学建议 1.注重使学生经历探索勾股定理等活动过程.2.注重创设丰富的现实情境，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.3.尽可能多得介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值. 4.注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透.
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
课题 勾股定理 课型 新授课
教学内容 教材第52-54页的内容
教学目标 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容.2.会初步运用勾股定理进行简单的计算.3.在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.
教学重难点 教学重点：探索勾股定理.教学难点：利用数形结合的方法验证勾股定理.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题课件展示：这是1955年希腊为了纪念数学家毕达哥拉斯而发行的一枚纪念邮票. 【问题】观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？预设答案：两个小正方形中的小方格个数之和=大正方形中的小方格个数之和【追问】同学们知道这个图案的由来吗？今天我们将要学习与这个图形有关的一个重要定理——勾股定理.2.合作探究，探索新知活动一：在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积.【观察】观察图(1)，并填写： 观察图(2)，并填写：S1=____个单位面积； S1=____个单位面积；S2=____个单位面积； S2=____个单位面积；S3=____个单位面积. S3=____个单位面积.答案：图(1)：9；9；18. 图(2)：9；16；25.【猜想】图(1)，(2)中，三个正方形面积具有怎样的关系呢？用它们的边长表示是 .【学生活动】根据上表中的数据进行猜想，同桌之间进行交流.分析：面积之间的关系：图(1)中，S1=9 S2=9 S3=18 ，即9+9=18 → S1+S2=S3. 图(2)中，S1=9 S2=16 S3=25 ，即9+16=25 → S1+S2=S3. 用它们的边长表示：S1=a S2=b S3=c → a +b =c 【操作】下面请同学们在你们的方格纸上再画出几个不同的直角三角形，看一下这个关系“a +b =c ”是否依然成立.【学生活动】作图、计算并进行验证. 得出结论：依然成立【思考】问题：你能用自己的语言归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．追问：这个结论是由我们画的有限个直角三角形猜想推导出来的，是否正确呢？如何确定它的正确性呢？方法1：拼一拼以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图连在一起，通过剪、拼证明刚刚的猜想. 方法2：面积计算已知：如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.求证：a +b =c .证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图(2)所示的边长为a+b的正方形EFGH. 从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.∵∠B1A1E+ ∠A1B1E=90°，而∠A1B1E=∠D1A1H，因此∠B1A1E+ ∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°.同理∠A1B1C1=∠B1C1D1 =∠C1D1A1=90°所以四边形A1B1C1D1 是一个边长为c 的正方形.则这样我们就证明了上述结论成立，即得定理.【归纳】定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．我国古代把直角三角形中较短的边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理.如果直角三角形的两直角边用a，b来表示，斜边用c来表示，那么勾股定理可表示为a + b = c .强调：①成立条件：在直角三角形中②公式变形：a = c b b = c a ③作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长【做一做】下列说法中正确的是( )A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2 = c2B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C = 90°，则a2+b2 = c2D.在Rt△ABC中，∠B = 90°，则a2+b2 = c2答案：C3.学以致用，应用新知【例1】求出图中字母所代表的正方形的面积.解：(1) SA22514481； (2) SA802456；SB245680.【例2】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1) 已知a＝5，b＝12，求c；(2) 已知a＝6，c＝0，求b；(3) 已知c＝25，b＝15，求a.解：(1) ；(2) ；(3) .【变式】若一个直角三角形的两条边长分别为3，4，则它的第三边长的平方是 .解：当3，4均是直角边长时，第三边是斜边，根据勾股定理，得第三边长的平方=32+42=25；当4是斜边长时，第三边是直角边，根据勾股定理，得第三边长的平方=42-32=7.综上，第三边的平方是25或7.4.随堂训练，巩固新知1.在△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.(1) a6，b=8，求c； (2) a8，c=17，求b. 解：(1)∵在Rt △ABC中，∠C=90°，∴.(2)∵在Rt △ABC中，∠C=90°，∴.2.如图，楼梯的高度为2m，楼梯坡面的长度为4m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到0.1m)解：如图，由勾股定理得AB AC + BC ，∴（米）.∴AC+BC=2+≈5.5(米)答：地毯的长度至少需要5.5米.3.已知：Rt△ABC中，AB=4，AC=3，则BC= . 解：5或.5.课堂小结，自我完善回顾思考，回答下面的问题勾股定理的内容是什么？如何证明勾股定理？在证明勾股定理时运用了什么思想方法？（3）在应用勾股定理时应注意什么？6.布置作业教科书P57习题18.1第1、2题. 通过故事创设情境，再加上多媒体的配合，激发了学生的求知欲.让学生独立完成观察、思考、交流等实践过程，由具体到抽象，形成关于勾股定理的猜想.通过猜想，让学生深入了解勾股定理的发现过程，加强对于勾股定理的理解.教师引导学生自主探究，发现结论.学生通过画图、观察、思考、归纳，从而得出勾股定理，教师及时予以总结.渗透从特殊到一般的数学思想，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法在拼接之前首先向学生说明图形拼接后只要没有重叠和空隙，面积不会发生改变探索勾股定理证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，有利于开阔学生的视野，增强论证的趣味性，以激发学生对数学证明的兴趣和掌握数学证明方法的信心，提高思维水平.利用等面积法进行证明通过推理证明，体会数学的严谨性和严密性.通过归纳让学生熟悉勾股定理，并了解勾股定理的相关背景知识.在直角三角形中已知两边求第三边长时，应先明确直角边和斜边，若不明确，则应进行分类讨论.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
板书设计 勾股定理一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边用a，b来表示，斜边用c来表示，那么勾股定理可表示为a + b = c .二、证明方法：面积法三、思想方法：（1）特殊——一般——特殊（2）数形结合思想；四、注意问题:（1）勾股定理的适用条件，在直角三角形中；（2）当不能确定那条边是斜边时，需分类讨论. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课从实际问题引入，激发学生的学习兴趣.勾股定理的发现之路也体现了数学来源于生活，又服务于生活，激发学生的研究热情.然后整个教学流程从特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形，从最初的猜想到最后的证明，既体现了数学的严谨，又符合学生的认知特点，便于学生接受和理解.其中勾股定理的证明方法多样化，利用数形结合，给出严密的证明.在给出证明方法的同时对学生进行数学史教育，中外都有所涉及，特别是通过中国古代对勾股定理的证明和利用，激发民族自豪感和爱国热忱.
18.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
课题 勾股定理的应用 课型 新授课
教学内容 教材第54、55页的内容
教学目标 1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题；2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力；3.经历探索勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的灵活应用；4.体会数学与实际生活的紧密联系，并在学习过程中感受成功的喜悦，提高学习数学的兴趣.
教学重难点 教学重点：会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题.教学难点：勾股定理的灵活应用.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题教师活动：教师引导学生回顾勾股定理的内容，并通过简单的练习巩固如何利用勾股定理求直角三角形的边长，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a b c .练习：设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1) 已知a5，b12，则c ；(2) 已知a6，c10，求b .答案：(1) 13；(2) 8.【情境】如图,在学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“路”,他们少走了多少路？ 学生讨论得出：由勾股定理，得(m),AC+BC-AB=3+4-5=2(m).师：今天我们来学习勾股定理应用.2.合作探究，探索新知我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？【问题1】你能用已学的知识解决上面的问题吗？教师活动：教师引导学生译出所给问题，然后提出问题让学生先思考，并分组作答，最后用课件展示解答过程.译：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？【思考】(1)水的深度与芦苇的长度有什么关系？水的深度、半个水池长与芦苇的长度有什么关系？学生活动：认真思考，探究交流预设答案：(1) 水池的深度1尺芦苇的长度(2)构成一个直角三角形 【师生活动】学生代表回答. 教师根据学生回答情况，引导学生通过设未知量的形式，表示出水的深度与芦苇的长度，进而利用勾股定理列出方程求解. 解：设水深ABx尺，则芦苇长AC(x1)尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x252(x1)2 .解得：x12，则AB12尺，AC13尺.所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.【追问】根据上面问题的解答过程，你能总结出解这类问题的解题思路吗？预设答案：在直角三角形中，若已知一边，又知另外两边的数量关系时，可设一边长为x，利用x再表示另外一边，最后根据勾股定理列方程.【归纳】利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形；（2）确定所求线段所在的直角三角形；（3）找准直角边和斜边，①若已知两边，求第三边，可以直接利用勾股定理；②若已知一边和另外两边的数量关系，根据勾股定理建立等量关系；（4）求得结果，解决实际问题.思路： 3.学以致用，应用新知【例1】现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图(1) .已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m. 救人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m) （1）【教师活动】引导学生分析问题的思路，巡视学生做题情况，纠正做题中出现的问题.【学生活动】两名学生到黑板上书写证明过程，其余学生先自主完成证明过程，再小组内交流合作，互相纠正.分析：如图(2)，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O .解：∵OE=3m，BE=9m，∴OB=93=6(m)，OD=123=9(m).∵OB=6m，AB=10m，在Rt△ABO中，AO =AB OB =10 6 =64.解得AO=8(m).设AC=x，则OC=8x，在Rt△DOC中，OC +OD =CD ，(8x) +9 =10 ，解得x=8±.∴ ≈12.4, ≈3.6.∵ AC＜AO＜AB，∴x=3.6(m).答：消防车要靠近约3.6米.【例2】已知：如图, 在Rt △ABC中，两直角边AC = 5，BC = 12. 求斜边上的高CD的长.【教师活动】分析题目所给的条件，引导学生分析做题的思路，即根据CD是△ABC边上的高，要求CD的长，已知AC，BC的长，如果能求出三角形ABC的面积就把问题解决了.【学生活动】根据老师的分析，先自己写出证明过程，再小组合作交流，总结做题的方法.解：在Rt △ABC中，AB =AC +BC =5 +12 =169 AB= =13. 又∵Rt △ABC的面积,【总结】由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这是已知直角三角形的两边，求斜边上高的常用方法，即“等积法”.4.随堂训练，巩固新知1.如果梯子的底端离一幢楼5米，那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是( )A.12米 B.13米 C.14米 D.15米答案：A2.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，ACAB=10，BC3，求AC的长．若设AC=x，则可列方程为_______________． 答案：3.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于点D，经测量∠ABD=135°135°，BD=800米，则应在直线l上距离点D多远的C处开挖？(≈1.414，结果精确到1米) 3.解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°.∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠BDC=45°，∴BC=CD.在Rt△DCB中，根据勾股定理，CD2BC2=BD2，即2CD2=8002，又∵CD的长为正值，∴CD=400≈566(米)．答：应在直线l上距离点D约566米的C处开挖．5.课堂小结，自我完善回顾思考，回答下面的问题（1）利用勾股定理解决实际问题的一般步骤是什么？（2）利用勾股定理解决实际问题时会用到哪些思想方法？6.布置作业教科书第57页习题18.1，第5、6、7题. 通过复习回顾上节课学习的勾股定理，为本节课要学习的内容作准备.通过情境引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望.通过探究让学生从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力.利用勾股定理建立方程，体现了数形结合和方程思想的应用.通过归纳让学生熟悉利用股勾定理解决实际问题的一般步骤和常见思路，并培养学生的归纳概括能力. 让学生在探究过程中进一步加深对从实际问题中抽象出直角三角形这一模型的认识和理解，强化转化思想，培养学生的应用意识不符合实际意义的根应舍去.这里要先应用勾股定理求出斜边的长，然后再利用面积法求出高.教师要及时对学生进行点拨指导.直接考查勾股定理根据勾股定理列方程求解由特殊角度135°得出△BCD出为等腰直角三角形即可解决问题.教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结.
板书设计 第2 课时 勾股定理的应用利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形；（2）确定所求线段所在的直角三角形；（3）找准直角边和斜边，①若已知两边，求第三边，可以直接利用勾股定理；②若已知一边和另外两边的数量关系，根据勾股定理建立等量关系；（4）求得结果，解决实际问题.思路： 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题转化抽象成几何图形的过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建模思想．在教学中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力．在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理.解决实际问题的意识和能力．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值.
18.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
课题 勾股定理的逆定理 课型 新授课
教学内容 教材第58-59页的内容
教学目标 1. 通过具体情景（古埃及人的绳子上所打的结）向学生介绍了一些特殊的三角形，这类三角形的各边长都满足a2+b2=c2.2.通过对这类三角形的观察让学生猜想勾股定理的逆定理的成立.3.经历直角三角形判别条件的探究过程，用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.4.培养数学思维及合情推理意识，感悟勾股定理逆定理的应用价值.
教学重难点 教学重点：用勾股定理的逆定理判定直角三角形.教学难点：理解运用勾股定理及其逆定理在推理格式上的区别．
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题【问题1】直角三角形有哪些性质 预设答案：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.【问题2】一个三角形，满足什么条件是直角三角形 预设答案：(1)有一个角是直角；(2)有两个角的和是90°.教师活动：教师提出问题，引导学生回顾直角三角形的性质，以及如何判断一个三角形是直角三角形.全班学生回答.然后教师让学生观察第2问的结果，引导学生发现，目前的两种方法都是从角度出发判断一个三角形是不是直角三角形的.进一步追问：能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗？学生活动：学生回顾并根据老师的提问进行思考,并回答.【思考】据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个结与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图.这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.按照这种做法真的能得到一个直角三角形吗？合作探究，探索新知【操作】动手画一画. 用圆规、直尺作△ABC，使得AB=5，AC=4，BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？(1)画射线AM，然后以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点B;(2)分别以点A，B为圆心，线段AC、BC长为半径画弧，两弧相交于点C；(3)分别连接AC、BC，得△ ABC.通过测量∠C=90°.教师活动：引导学生观察三角形的各边长，同时观察探讨思考和画出的两个三角形的共同之处，猜测勾股定理的逆定理？学生活动：用直尺和量角器进行操作，交流测量的结果，猜测勾股定理的逆定理成立.【探究】为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的数量关系？猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【证明猜想】已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形.师生活动：学生分组探究，讨论如何证明. 教师学生积极发言，讲述证明过程.分析：证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.由勾股定理可得A'B'2=a2+b2.∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2，A'B'=c.在△ABC和△A'B'C'中，∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).即△ABC是直角三角形.【归纳】勾股定理的逆定理文字描述：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.符号语言：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a +b =c ，则△ABC是直角三角形，∠C=90°.【思考】既然学了勾股定理，还学勾股定理的逆定理干什么呢？★用于根据三角形三边关系判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据.★注意：勾股定理及其逆定理的联系①勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关.②勾股定理与其逆定理是互逆定理.勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化.【追问】判断一个三角形是否为直角三角形的方法有哪些呢？方法一：利用定义若已知条件与角度有关，可运用三角形的内角和定理求出最大的角，只有当最大的角是直角时，才是直角三角形.方法二：利用勾股定理的逆定理若已知条件与边有关，可通过计算推出三角形的三边关系，只有当c是最大边长，且满足a +b =c 时，才能运用勾股定理的逆定理得出这个三角形是直角三角形.学以致用，应用新知【例1】根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角.a=7，b=24，c=25； a=7，b=8，c=11.分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.解：∵最大边是c=25， c =625，a +b =7 +24 =625，∴a +b =c .∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.(2)∵最大边是c=11， c =121，a +b =7 +8 =113，∴a +b ≠c .∴ △ABC不是直角三角形.【归纳】运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：①找：确定三角形的最长边;②算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和;③比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等;④判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.【例2】已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n 1，b=2n，c=n +1(n＞1). 求证：△ABC为直角三角形.分析：已知条件与边有关，可通过证明a +b =c得出这个三角形是直角三角形.证明：∵a +b =(n 1) +(2n) =n4 2n +1+4n =n4 +2n +1=(n +1) =c ∴ △ABC是直角三角形.(勾股定理的逆定理)【总结】勾股数：像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.思考：除3，4，5外，找出5组勾股数.看看例2，想想可以怎么找？归纳：常见的勾股数，除了3，4，5外，还有5，12，13；7，24，25；8；25；17等.4.随堂训练，巩固新知判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形.(1) a=2，b=3，c=4； ( )(2) a=6，b=9，c=11； ( )(3) a=25，b=20，c=15. ( )
解析：(1)∵a +b =2 +3 =13，c =4 =16，a +b ≠c ，∴不是直角三角形.∵a +b =6 +9 =117，c =11 =121，a +b ≠c ， ∴不是直角三角形.∵c +b =15 +20 =625，c =25 =625，a +b =c ，∴是直角三角形.答案：×；×；√.2.在△ABC中，三边长a，b，c满足(a+c)(ac)=b ，则△ABC是什么三角形？解：∵ △ABC的三边长a，b，c满足(a+c)(ac)=b ，∴ a c =b ，即 a = b +c ∴ △ABC是直角三角形.5.课堂小结，自我完善通过本节学习，有哪些收货？（请学生自己总结）
（1）什么是勾股定理的逆定理？（2）勾股定理与勾股定理的逆定理之间的关系？（3）应用勾股定理逆定理判断直角三角形的一般步骤是什么？6.布置作业教科书P60习题18.2第1，2题 通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题.介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣.本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形，联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点.帮助学生回顾和梳理勾股定理的逆定理及相关知识和方法，为后面的综合应用勾股逆定理解决问题做好准备.在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和．第1题教师可以做示范引导，关键是掌握规范的步骤，第2题可以让学生仿照第1题的步骤自主完成，教师再根据学生出现的问题进行纠正和强调.加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步应用，掌握用其判定直角三角形的一般步骤.通过该例题使学生了解一种产生勾股数组的方法.理解勾股数，并能掌握一些常见的勾股数.及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生应用知识的能力.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
板书设计第1课时 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：文字描述：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.符号语言：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a +b =c ，则△ABC是直角三角形，∠C=90°. 勾股定理与其逆定理的关系： 运用勾股定理判定逆定理的步骤：①找；②算；③比；④判 提纲挈领，重点突出.
教后反思在本节课的教学设计中，要注意从学生的认知水平和亲身感受出发，通过创设认知和数学史的学习情境，提高学生学习数学的积极性、学习兴趣以及人文意识，设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手画图、测量、判断、找规律，猜想出一般的结论，然后由学生想、画、叠等验证结论、证明结论，使学生自始自终感悟、体验、尝试到了知识的生成与发展过程，品尝着成功后带来的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思维和方法，同时也体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.
18.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
课题 勾股定理的逆定理的应用 课型 新授课
教学内容 教材第60页的内容
教学目标 1.熟练掌握勾股定理及其逆定理.2.能灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．.
教学重难点 教学重点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.教学难点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题问题：前面我们学习了勾股定理及其逆定理，你能回忆一下它们的具体内容吗？预设答案：勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 教师活动：教师提出问题，师生共同回忆前两节课学习的勾股定理、勾股定理的逆定理的内容.教师可适当发挥，如让学生分别指出勾股定理、勾股定理的逆定理的题设和结论，并再次强调勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系，勾股定理的逆定理则是由边之间的数量关系，判断三角形是不是直角三角形.合作探究，探索新知教师活动：教师提出问题，启发学生联系生活实际思考.【思考】 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？预设答案： 在军事和航海上经常要确定方向和位置，常用到勾股定理的逆定理. 【探究】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 教师活动：带领学生读题，引导学生分析题意，明确已知条件、所求问题、如何求解.带领学生分析完思路后，让学生先尝试自行解决，完成答题过程.然后选派代表回答，教师汇总，并规范书写过程.学生活动：学生读题，根据教师提问，找出题目中的已知信息，并尝试用勾股定理逆定理计算并解决问题.问题1：题目已知了哪些信息？“远航”、“海天”号的速度，运行时间，QR30，“远航”号的航向.问题2：由题目信息，可以得出什么？PQ，PR， QR的长度，QPN45°(即图中∠145°).问题3：需要解决的问题是什么？求出两艘船航向所成的角∠QPR，结合图形，∠1已知，所以求∠QPR就可以转化为求∠2.问题4：已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？勾股定理的逆定理【师生活动】根据老师的分析，学生尝试书写解题过程，教师巡视学生做题情况。老师找学生复述解题步骤，针对学生回答情况进行补充，并呈现规范步骤，学生整理.解：由题意得：PQ161.524，PR121.518，QR30∵242182302，即PQ2PR2QR2∴QPR90°由“远航”号沿东北方向航行可知145°∴245°即“海天”号沿西北方向航行.【归纳】解决实际问题的步骤：1.标注有用信息，明确已知和所求；2.构建几何模型——从整体到局部；3.应用数学知识求解.追问：除了航海领域，勾股定理的逆定理在实际生活中还有哪些应用呢？【探究】 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格.解：∵ABDC8，ADBC6， ∴AB2BC28262100 又∵AC29281 ∴AB2BC2AC2 ∴ABC90° ∴该农民挖的不合格.学以致用，应用新知【例】工厂生产一批零件，如图所示，当BAD、BDC均为直角时才合格，经测量AD3，AB4，BD5，DC12，BC13，这批零件是否合格？教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 解：∵AD3，AB4，BD5 易得AD2AB2BD2∴由勾股定理的逆定理得，△ABD是直角三角形BAD90°.又∵BD5，DC12，BC13 可得BD2DC2BC2 ∴△BCD为直角三角形，BDC90°.∴这批零件合格.4.随堂训练，巩固新知1.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点 构成直角三角形(填“能”或“不能”).答：能.2.如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC10海里，BC8海里，AB6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 解：∵AC10，BC8，AB6，∴AC2AB2BC2即△ABC是直角三角形， 而S△ABC解得：BD.在Rt△BCD中，又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.412.80.5(小时)0.5小时30分钟∴最早晚上10时58分进入我领海.5.课堂小结，自我完善通过本节学习，有哪些收货？（请学生自己总结）
（1）勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用 （2）利用勾股定理解决实际问题的步骤？6.布置作业教科书第60页习题习题18.2第3~7题 回忆所学知识，加深对知识的理解，以便能灵活运用所学知识解决问题.结合生活实际，体会勾股定理的逆定理在生活中的应用.初步体会用勾股定理的逆定理解决实际问题.归纳利用勾股定理的逆定理解决实际问题的步骤，培养学生的良好的学习习惯及语言组织能力.并通过追问，再次让学生体会到勾股定理的逆定理在生活中的广泛应用.进一步培养学生解决问题的能力.巩固所学知识，加深对知识的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力.巩固勾股定理的逆定理，学生通过练习，可以更好的理解和运用所学知识，进一步提高分析问题和解决问题的能力.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第2课时 勾股定理逆定理的应用1.勾股定理逆定理的实际应用：航海、测量....2.利用勾股定理解决实际问题的步骤：①标注有用信息，明确已知和所求；②构建几何模型——从整体到局部；③应用数学知识求解. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课教学过程中不断帮助学生构建知识体系，所以本节课对知识的归纳总结不仅没有局限于本章所学内容，而且还引导学生对直角三角形的性质和判定方法做了归纳总结．由于学生对于两个定理的直接应用有了一定的基础，所以本节课的安排以灵活应用为主，循序渐进、由易到难设计例题和练习，收到了较好的教学效果.