沪科版八年级数学下册第19章《四边形》单元同步备课教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册第19章《四边形》单元同步备课教案（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 9.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-09 08:45:21 | ||
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文档简介
第19章 四边形
单 元 备 课
第 4单元 本单元所需课时数 13课时
课标要求 1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性.3.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.5探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等;菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.6.探索并证明三角形的中位线定理.
教材分析 本章内容编写是在小学学习了部分四边形有关知识，进入初中后学行线的性质和判定、三角形的性质及全等三角形的性质和判定的基础上展开的.前面知识的学习为本章四边形的学习作了知识上的良好铺垫，奠定了思想方法、逻辑推理等方面的基础。通过本章的学习学生将对多边形的相关概念，内角和与外角和有更进一步的认识，对平行四边形与特殊的平行四边形的共性与特性及它们之间的从属关系有更进一步的了解，其中涉及概念的内涵和外延、分类讨论思想、逻辑思维等方面的知识，这对培养和发展学生的逻辑思维能力提供了很好的素材.
主要内容 本章主要内容有：多边形的内角和与外角和、平行四边形和特殊平行四边形. 主要包括4节：第19.1节“多边形的内角和”中首先从多边形的概念着手，研究多边形的内角和与外角和，并介绍了正多边形的概念和四边形的不稳定性；第19.2节“平行四边形”中教材直接给出平行四边形的概念，并通过学生自己观察与思考得出平行四边形的性质，然后从平移和作图研究平行四边形的判定定理；第19.3节“矩形、菱形、正方形”分别从平行四边形的角、边、对角线等方面的特殊性研究矩形、菱形的概念、性质和判定，继而从矩形和菱形的综合特殊性得出正方形的概念和性质；第19.4节“综合与实践 多边形的镶嵌”介绍了平面镶嵌的概念，引导学生总结归纳能够进行平面镶嵌的多边形的性质，最后引导学生利用一种或两种正多边形进行创作.
教学目标 1.了解多边形和正多边形的有关概念，探索并掌握多边形的内角和与外角和公式；了解四边形的不稳定性.2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.3.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理，掌握正方形具有矩形和菱形的一切性质.4.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离5.探索并证明三角形中位线定理.6.了解平面图形的镶嵌的含义，知道哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计.
课时分配 19.1 多边形的内角和 2课时19.2 平行四边形 4课时19.3 矩形、菱形、正方形 5课时19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 1课时 小结·评价 1课时
教与学建议 1.让学生经历探索、猜测、证明的过程，体会合情推理与演绎推理的作用.2.注重合情推理与演绎推理的有机结合.3.注意培养学生推理论证的规范性. 4.重视现代化信息技术的应用.
19.1 多边形的内角和
第1课时 多边形及其相关概念
课题 多边形及其相关概念 课型 新授课
教学内容 教材第70-73页的内容
教学目标 1.了解多边形及有关概念（边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形）.2.经历类比三角形有关概念探究多边形的过程，感悟类比方法的价值.3.通过对多边形的学习，体会数学知识之间的联系，提高分析和解决问题的能力.4.通过从具体情境中识别出多边形，感受数学与生活的联系.
教学重难点 教学重点：多边形及其相关概念 .教学难点：多边形对角线的概念及其与边数之间的关系..
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题【观察思考】你能从图中找出一些由线段围成的图形吗？【追问】观察这些图形有什么共同特点？预设答案：都是由一些线段首尾顺次相接组成的.【师生活动】教师展示图片并提出问题，学生观看图片，思考问题进行回答.类比发现，探索新知【问题1】能否类比三角形的定义给它们下定义？ 教师活动：教师引导学生回忆三角形的概念，并让学生类比三角形的概念说出多边形的概念.（三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）学生活动：类比三角形的概念试着给出多边形的概念.多边形的概念在平面内，由若干条不在同一条直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.【追问1】在三角形中我们研究了内角、外角，类似地，你能结合下图指出它的内角和外角吗？ 师生活动：教师引导学生回忆三角形的内角和外角的概念，引导学生画出上面图形的内角和外角，并尝试给出多边形内角和外角的概念.（三角形的内角：三角形两边所夹的角叫做三角形的内角.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角) 教师活动：教师总结学生的回答，给出多边形内角和外角的概念.多边形的内角：多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.简称多边形的角.多边形的外角：多边形中的顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角.【追问2】三角形由三条线段首尾顺次相接组成，所以叫做三角形，那么我们能否按照组成多边形的线段的条数将多边形进行命名呢？ 教师活动：教师引导学生根据多边形的边数对多边形进行命名，并说出上面多边形的名称.并归纳出n边形的概念.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.【问题2】你能说出下面两个多边形的不同点吗？ 师生活动：教师引导学生找出两个图形的不同点，引出凸多边形的概念.凸多边形：一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形，如图（1）. 而图（2）就不是凸多边形. （2）学生活动：学生认真观察图形，讨论并找出不同点，并动手画一画，理解凸多边形的概念.【问题3】能否将多边形分成我们熟悉的三角形？ 师生活动：教师引导学生画一画（画法不唯一），思考并回答.引出对角线的概念对角线：多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 如图中AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线.【追问1】画出五边形的所有对角线，一共有几条？ 【追问2】n边形从一个顶点可引出几条对角线？把n边形分割成几个三角形？共有几条对角线？教师活动：教师引导学生独立画出四、五、六.......多边形的对角线. 通过观察对角线的变化情况，猜测对角线数量的规律.学生活动：分组讨论，并说出推理过程和结论.分析：先分析从一个顶点出发可以画出(n－3)条对角线，且顶点个数是n，得到n(n－3)；我们还知道每条对角线连接多边形的两个顶点，因此还要除以2，即n边形的对角线条数可以表示为.学以致用，应用新知【例1】下列选项中的图形，不是凸多边形的是（ ） A B C D答案：A【例2】过多边形的一个顶点可以作2023条对角线，则这多边形的边数是（ ）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026解析：n-3=2023，n=2026. 故选D.【变式】若一个多边形的有14条对角线，则这个多边形的边数是 .解析：,解得n=7.【例3】一个长方形减去一个角，则它有可能是________边形．解析：如图所示：沿对角线剪去时，可得到三角形；沿一个顶点和另一边上的一点剪时，可得到四边形；当沿相邻两边上的任意两点(不包含两端点)剪时，可得到五边形．故填：三或四或五． 随堂训练，巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.若一个多边形从一个顶点出发可引出5条对角线，则这个多边形是______边形．答案：八一个n边形从一个顶点出发，连接各顶点，可以得到______个三角形．答案：n-23.n边形的对角线条数为______条．答案：5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：多边形的概念是什么？什么叫多边形的边、顶点、内角、外角.凸多边形的概念是什么？从n多边形的一个顶点可以画多少条对角线？可以分割成多少个三角形？n多边形对角线的条数是多少？6.布置作业教科书P74习题19.1第5、6题 通过观察图片，让学生从具体情境中抽象出图形，丰富学生对几何图形的感性认识.通过类比三角形的定义给出多边形的定义，感悟类比方法的重要性.并通过让学生举例加深对多边形概念的理解.教师强调“在同一平面内”，并举出实例加深印象.参考三角形的内角、外角画出多边形的内、外角，从熟悉的图形入手，让学生感知数学知识之间的联系，并熟悉内、外角的概念.如图，是多边形的一个内角，是多边形的一个外角.类比三角形对多边形进行命名，让学会感知类比方法的价值. 通过观察图形找出不同点，让学生深刻理解凸多边形的概念.教师要结合图形让学生理解凸多边形的概念，教师可以画几个图形让学生辨别.通过将多边形分成熟悉的三角形引出对角线的概念，为后面研究多边形作铺垫.让学生经历画对角线的过程，进一步熟悉对角线的概念.对角线是一个新的知识点，教师要强调对角线的特征，然后引导学生探究相关的问题，为后面的探究奠定基础.通过自主探究的形式讨论分析问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.注意例2及变式问法的不同，一个是过“多边形的顶点作对角线的条数”，另一个是“全部条数”.剪的位置不同，则得到的形状不同，要进行分类讨论.通过课堂练习巩固本节课所学内容，尤其是对角线相关问题，为后一课时要学的内容作铺垫.通过引导学生对本节课知识进行总结回顾，进一步巩固所学知识，教师要对易错点进行强调.
板书设计多边形及其相关概念多边形在平面内，由若干条不在同一条直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形多边形的分类：按照边的条数分为：三角形、四边形、五边形……多边形的对角线多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，可以将多边形分成（n-2）个三角形，n多边形有条对角线. 提纲挈领，重点突出.
教后反思在本节课的教学中，要注意从实际问题入手，在引课时出示了多幅日常生活用品和建筑的图片，加强了数学与实际生活的联系，让学生感到数学离自己很近，激发了学生的求知欲.创设了良好的教学氛围.其次注重让学生在学习活动中领悟数学思想方法.数学的思想方法比有限的数学知识更为重要. 教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.
19.1 多边形的内角和
第2课时 多边形的内角和与外角和
课题 多边形的内角和与外角和 课型 新授课
教学内容 教材第71-73页的内容
教学目标 1.掌握多边形的内角和与外角和公式，并认识正多边形.2.经历猜想、探索、推理、归纳等过程，让学生体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法.3.通过探索并证明多边形的内角和与外角和的过程，引导学生从不同的角度寻找解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力.4.通过动手操作、交流讨论激发学生的学习热情，体验从猜想到证明的成就感，并从中体会数学学习是一个充满探索的过程.
教学重难点 教学重点：多边形的内角和与外角和公式.教学难点：多边形的内角和与外角和公式的推导.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题师生活动：教师展示图片并提出问题，学生观看图片，思考问题进行回答.【观察】观察下面的图，能否从中找出我们上节课学过的多边形？ 浙江金华市兰溪市的诸葛八卦村【问题】你能算出这个多边形的内角和吗？ 2.合作探究，探索新知【问题1】 我们知道，三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少呢？提示1：能否利用三角形的内角和求出四边形的内角和？引导学生分析解决问题的思路—将四边形分割成两个三角形. 教师活动：抛出问题，引导学生通过分割四边形，把四边形内角和问题转化为三角形的内角和问题。学生活动：自主探讨与合作交流相结合，在老师的指导下，合作探究四边形的内角和.得出结论：四边形的内角和都等于360°.(180°+180°=360°)提示2：想想还有其它的方法吗？在四边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD.同样得出结论：四边形的内角和都等于360°.（4×180°-360°=360°）【追问1】类比上面的过程，你能探索出五边形的内角和吗？提示：可以将这个五边形划分成几个三角形.得出结论：五边形的内角和等于540°.(还可以通过其它的方法探究得出此结论，让学生自由发挥.)【追问2】类比上面的过程，你还能继续探索 n 边形的内角和吗？提示：类比上面的方法(从一个顶点出发画对角线)，完成下列表格： 根据动画展示，填写表格. 观察表格，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？得出结论：n边形的内角和等于(n2)180°(n为不小于3的整数).想一想：还有其它的分割方法能探究出多边形的内角和吗？分组讨论：1.学生分组探究；2.学生展示探究过程；3.教师完善过程并给出结论.成果展示： 【思考】上面研究了多边形的内角和，在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和.如图，四边形ABCD的外角和是，多边形外角和又有怎样的规律呢？【探究1】先从角形开始探究，三角形的外角和是多少度？提示：观察图形易知，三角形边形的每一个外角和它相邻的内角互补，而三角形的内角和为180°，则可得求三角形外角和的思路： 1.先求3个外角+3个内角的和；2.再减去三角形的内角和 教师活动：展示课件，引导学生观察思考.学生活动：先在小组内交流，独立完成计算过程，总结多边形的外角和.教师呈现规范步骤：证明：∵ ∴∵∴三角形的外角和是【追问1】类比三角形内角和证明过程，你能求出四边形的外角和吗？ 教师活动：教师引导学生观察思考.学生活动：按照三角形外角和的推理方法，自己推理，得出结论，小组内交流.分析: 四边形的每一个外角和它相邻的内角互补；四个内角与四个外角的和是180°×4.又知道四边形的内角和为360°，所以四边形的外角和：180°×4 – 360°=360°.【追问2】同样的，你能求出四边形的外角和吗？同样我们能够得到：n边形的每一个外角与它相邻的内角互补；n个内角与四个外角的和是180°×n.又知道n边形的内角和：为(n–2)×180°，所以n边形的外角和：180°×n–(n–2)×180°=360°.结论：n 边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数).【注意】①多边形的外角和是取每一个顶点处的一个外角相加得到的，而不是所有外角相加的和.②多边形的外角和与边数无关，都等于360°，是一个定值.【观察与思考】提出问题：正方形的边、角有什么特点？ 接着给出反例：长方形.长方形：各个内角都相等，但是各条边不都相等.【追问1】结合前边的分析，你能给出正多边形的定义吗？预设答案：多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形.【追问2】以下各个正多边形分别读作什么？(正多边形的命名) 学生活动：类比三角形说出各正多边形的读法. 正多边形的特点：各条边都相等、各个角都相等.【练一练】完成下列表格：正多边形的边数34568n每个内角的度数60°90°108°120°135°(1) 如果正多边形的一个内角是120°，那么这是正____边形.(2) 正n边形每个外角的度数是 .(3) 已知某正多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形是 正____边形.答案：六；；八【交流】三角形具有稳定性，但四边形则具有不稳定性（即各边的长确定后，图形形状不能确定），在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用，例如中活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以它可以拉开，也可以收拢.你能举出应用四边形的不稳定性的其他例子吗？3.学以致用，应用新知教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【例1】已知四边形ABCD中，∠A∠C180°，求∠B与∠D的关系. 提示：∠A，∠B，∠C，∠D有什么关系？解：因为∠A∠B∠C∠D360°，又∠A∠C 180°，所以∠B∠D 360°(∠A∠C) 180°.【例2】如果一个多边形的边数增加到原来的2倍，它的内角和是2160°,求原来多边形的边数.分析：本题可以利用多边形的内角和公式来求解，设多边形边数为n，则变化后的多边形边数为2n.解 设原多边形边数为n，得（2n-2）×180°=2160°解得n=7∴原多边形的边数为7.【例3】 如果一个多边形的每个外角都为40°,求这个多边形的边数.【分析】多边形的边数为n，则这个多边形有n个外角，而多边形的外角和是360°,从而可以构建方程求解.解 设多边形的边数为n,得40n=360°n=9答：这个多边形的边数是9.【例4】求正六边形每个内角的度数.分析：正六边形的6个内角相等解：正六边形的内角和为(6–2)×180°= 720°.而且正六边形的6个内角的度数都相等，所以每个内角的度数为：720°÷6 = 120°.总结：正n边形的每个内角的度数为， 正n边形的每个内角的度数为.4.随堂练习，巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1. 一个多边形的每个内角都是150°，它是______边形.2. 已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，这个多边形是_______边形.3. 已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形是_____边形.4. 一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是( )A.60° B.90 C.180° D.360°答案： 1.十二 2.八 3.六 4.C5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：多边形的内角和定理.多边形的外角和定理.正多边形的概念.6.布置作业教科书第74页习题19.1第1、2、3题. 通过观察图片，让学生从具体情境中抽象出图形，丰富学生对几何图形的感性认识，并能从上节课所学的内容引到本节课要学的内容.角平分线将四边形分割成两个三角形求出四边形内角和，渗透将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想.将研究方法进行迁移，明确边数、从一个顶点出发的对角线条数、分割的三角形数、五边形内角和之间的关系，为后面的研究奠定基础.通过分组讨论的方式，引导学生从不同的角度寻找解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力,同时激发学习兴趣.将外角和转化为内角和，再利用多边形的内角和定理证明，体现了转化与化归的思想方法.让学生类比三角形边形的外角和推导过程，推导得出结论：多边形的外角和等于360°.培养学生独立分析问题与解决问题的能力.让学生类比正方形学习正多边形，并通过举反例加深印象，提高分析问题和解决问题的能力.通过交流有关多边形在实际生活中的应用，增强学生学习的积极性.教学中让学生充分发言，列举更多实际应用的例子这里可以设原多边形的边数为n，通过列方程来解决.在这里教师要向学生渗透方程的数学思想.教师要引导学生回顾多边形的外角和是360°，然后利用外角和解决问题比较简单.同时教师也可以适时总结利用多边形的外角和解决问题.学生通过练习，巩固本节课所学内容，熟练掌握利用内角和与外角和公式，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
板书设计 第2课时 多边形的内角和与外角和1.多边形的内角和定理n边形的内角和等于（n为不小于3的整数）2.多边形的外角和定理n边形的外角和等于.3.正多边形的特点：①各条边都相等；②各个内角都相等4.四边形的不稳定性 提纲挈领，重点突出.
教后反思学生在探索多边形内角和的过程中先把多边形转化成三角形，进而求出内角和.这体现了由未知转化为已知的思想.特别是在课堂教学中适时的利用问题加以引导，使学生领会数学思想方法，真正理解和掌握数学的知识、技能，增强空间观念及数学思考能力培养，并获得数学活动经验.同时，恰当的使用课件扩大课堂容量，使课堂教学的深度和广度都有所提高.
19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形边、角的性质
课题 平行四边形边、角的性质 课型 新授课
教学内容 教材第75-77页的内容
教学目标 1.理解并掌握平行四边形的概念．2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质．3.能运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算，通过将平行四边形问题转化为三角形问题，体会数学转化思想．4.通过观察、度量、猜想、证明平行四边形的性质，体会几何研究的思路和方法，培养学生逻辑推理能力.
教学重难点 教学重点：平行四边形边、角的性质探索和证明.教学难点：通过连接对角线，用全等三角形知识证明平行四边形对边相等、对角相等的性质．
教 学 过 程 备 注
(1)∵AB∥DC，AD∥BC,
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(ASA)
【例1】如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
(2)如果∠AEB=40°，求∠C的度数.
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB.
∴AB=AE=2.
∴∠A=180°(40°+40°)=100°
想一想：如图，直线l1∥l2，AB，CD是夹在直线l1，l2之间的两条平行线段.请探究AB与CD的数量关系？并说明理由.
解：∵ l1 ∥ l2，AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形.
AE=CF
解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对角相等).
∵∠A=60°，∴∠C=60°，∠B=180° ∠A=120°.∴∠D=∠B=120°.2.已知：如图，在平行四边形ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE = DF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB = CD，AB // CD， ∴∠BAE=∠DCF， 又∵AE=CF，∴△BAE≌△DCF（SAS），∴BE=DF.5.课堂小结，自我完善通过这节课的学习，你有哪些收获？给你印象最深的是什么？还有哪些想法或疑惑？在学生回答的基础上，教师进行最后的总结：（1）平行四边形的概念.（2）平行四边形的边、角性质.（3）两平行线间的距离.6.布置作业教科书P78练习第2,3题 通过实际生活中的情景引导学生找到具有平行四边形形象的几何图形，培养学生从实物中抽象出几何图形的能力，发展学生的空间观念.通过图片展示，让学生真切感受生活中存在大量平行四边形，进一步熟悉平行四边形的形象.进一步培养学生从实物中抽象出几何图形的能力.让学生复习巩固平行四边形的概念.通过回顾三角形的表示方法，类比出平行四边形的表示方法，让学生体会类比的数学思想.培养学生将文字语言转化为符号语言的能力.引出边、角，并让学生认清平行四边形的对边、对角，为后面研究平行四边形的性质作铺垫.让学生经历合作探究的过程，通过观察度量等手段猜想出平行四边形的性质；培养学生发现问题，解决问题和直观想象能力.通过正向思维与逆向思维分析问题，解决问题，培养学生逻辑推理能力；通过作辅助线让学生领悟平行四边形问题一般转化为三角形问题来处理，体会数学中的转化思想.让学生熟悉平行四边形性质定理的文字语言、几何语言以及推理的基本模式，加深学生对数学语言与数学符号之间的转化.通过平行四边形性质的简单应用，让学生感到学有所获，培养学生的逻辑推理能力.通过对平行四边形性质的深入思考，引出两条平行线之间 的距离的概念.强化学生对于两条平行线之间距离的理解.AF的长也可以用平行四边形的面积来求.通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的性质的理解及应用.让学生各抒己见，争当学习的主人，培养学生归纳、概括能力和语言表达能力，教师对学生的回答予以充分肯定，增强学生自信息
板书设计 第1课时 平行四边形边、角的性质1.平行四边形的表示方法： 符号： ，记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”2.平行四边形的性质定理：性质1 平行四边形的对边相等，性质2 平行四边形的对角相等．几何语言表示为：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC，AD=BC ，∠A=∠C，∠B=∠D.3.平行线之间的距离：概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离结论：①夹在两条平行线之间的平行线段相等 ②两条平行线之间的距离处处相等. 提纲挈领，重点突出.
教后反思平行四边形的性质这一节课是本章的第一节，也是本章重点内容之一，它在本章中起着承上启下的作用，并为我们接下来研究各种特殊平行四边形——矩形、菱形、正方形等奠定重要基础；而平行四边形性质的探索需要借助我们已学过的平行线、三角形全等和四边形的内角和等相关知识，并且为证明线段相等和角相等提供重要依据和方法.因此，上好这一节课非常关键，既不能让学生感觉太难，也不能让他们糊弄过关.学生在小学就学行四边形的定义,能对四边形,尤其是特殊的四边形进行识别,但对于概念的本质属性的理解并不深刻.在学习平行四边形性质时,让学生通过观察度量,得出对边相等、对角相等的猜想.然后通过证明“对边相等”,必须添加辅助线证明两个三角形全等,一方面引入了对角线,另一方面让学生感受把四边形转化为三角形的数学思想.因此本节课要注意突出平行四边形性质的探索过程,重视直观操作和逻辑推理的有机结合,使证明成为学生观察、实验、探究得出的结论的自然延续,把实验几何和论证几何有机结合.
19.2 平行四边形
第2课时 平行四边形对角线的性质
课题 平行四边形对角线的性质 课型 新授课
教学内容 教材第78-79页的内容
教学目标 1.探索并掌握平行四边形的对角线互相平分；2.能综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明；3.通过观察、度量、猜想、证明等环节探索平行四边形的性质，在探索过程中进一步培养学生的逻辑推理能力和探索精神；4.通过合作探究，让学生体会学习的乐趣，增强学习的信心.
教学重难点 教学重点：平行四边形对角线互相平分的性质及其应用.教学难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明．
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题教师活动：教师呈现情境，引导学生思考并回答问题.一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少. 【问题】同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？2.合作探究，探索新知【探究】如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O. (1)图中共有几对全等三角形？(2)请你选择其中一组进行证明.【学生活动】1.量一量，拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，看它们是否相等.根据平行四边形的定义，进行推理论证，找出图形中的全等三角形并证明.解：(1)根据平行四边形的性质“对边平行且相等、对角相等”，我们可以得到一共有4对全等三角形：(2) 选择△OAB≌△OCD证明：∵在 ABCD中， AB//DC，∴OABOCD，OBAODC又∵ ABCD，AB=CD，∴△OAB≌△OCD(ASA)引导：根据4组全等三角形，我们能得出哪些线段相等呢？而AB=CD，AD=CB正好验证了“平行四边形的对边相等”这一性质.思考：根据“OB=OD,OA=OC”这2组相等线段，你能得出哪些结论呢？★性质3：平行四边形的对角线互相平分.【归纳】★平行四边形的性质3 文字语言：平行四边形的对角线互相平分.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OAOC=AC，OBOD=BD. ★平行四边形的性质【想一想】你能利用平行四边形的性质判断老人这样分地公平吗？预设答案：公平.教师活动：教师可先提示学生四个小三角形中有2对是全等的三角形，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，不妨把△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积依次记为S1，S2，S3，S4，则有S1S3，S2S4.再让学生观察△AOD和△AOB，由平行四边形的对角线互相平分可得：OBOD，即这两个三角形的底相等，再结合图形发现这两个三角形的高相同，所以S1S2.最终得出S1S2S3S4.★结论：平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.学以致用，应用新知【例】已知：如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长. 教师活动：引导学生分析，根据平行四边形的对角线互相平分，可将问题进行转化，BD=2BO.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5四边形 ∵AB⊥AC， ∴△ABC是直角三角形. ∴AC=4，AO=2, ∴BO=.∴BD=2BO2.随堂训练，巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. ABCD中，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，若对角线AC与BD的交点为O，求△OBC的周长.分析：C△OBC=OB+OC+BC=OB+OC+AD =BD+AC+AD解：如图，∵在 ABCD中，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，∴OC=AC=12cm，OB=BD=19cm，BC=AD=28cm.∴△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+28=59(cm)2. 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OBOD，ABCD，ADBC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm ∴ABAD5cm又∵ ABCD的周长为60cm∴ABAD30cm则ABCD17.5cm，ADBC12.5cm.总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OEOF. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，OAOC. ∵∠EAO∠FCO 在△AOE和△COF中， ∠AOE∠COF，OAOC，∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF. ∴OEOF. 教师活动：教师根据学生的接受情况，考虑追问：如果改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？让学生观察下面三个图形，让学生自行分析得出结论. 答案：成立总结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.平行四边形有哪些性质？2.平行四边形的对角线将平行四边形分割成的四个小三角形有什么关系？3.过平行四边形的对角线交点的直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段长度有什么关系？6.布置作业教科书第79页练习2，习题19.2第5题 通过情境引入，激发学生学习的兴趣.为讲解新课做铺垫.通过对存在全等三角形的思考及证明，引导学生逐步分析，对出现的相等线段去旧存新，从而得出新的数学结论.让学生熟悉平行四边形性质定理的文字语言、几何语言以及推理的基本模式，加深学生对数学语言与数学符号之间的转化.呼应创设情境的问题，让学生初步体会利用平行四边形的对角线互相平分的性质解决问题.要求线段BD的长度，根据平行四边形的性质，可以先求出BO的长度，这样先在Rt△ABC中求出AC，再利用平行四边形的性质及勾股定理求出AO，进而求出BO，问题解决.通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的性质的理解及应用. 要求平行四边形各边的长,只需求出任意一组相邻两边的长，已知平行四边形的周长可求出平行四边形相邻两边长的和.△AOB与△DOA有一组公共边，一组相等的边，还有一组边是平行四边形的邻边，它们的周长差就是平行四边形相邻两边的差.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第2课时 平行四边形对角线的性质1.平行四边形的性质3 文字语言：平行四边形的对角线互相平分.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OAOC=AC，OBOD=BD. 拓展结论：①平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形②过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课是在研究了平行四边形的边和角的性质后，对对角线的性质进行探究和应用，学生已经学习对角线的定义，通过度量猜想两条对角线有什么关系，有些学生很自然猜想对角线相等，但是经过度量，发现两条对角线不总是相等的.于是有些学生就卡住了.这时，通过借助寻找全等三角形的方式，将四边形的问题转化为三角形的问题，通过对存在全等三角形的思考及证明，引导学生逐步分析，对出现的相等线段去旧存新，从而得出新的数学结论，然后还要稍微拓展一下，让学生探究所分成的四个小三角形之间的关系.
19.2 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定
课题 平行四边形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第79-81页的内容
教学目标 1.通过平移与作图探索并掌握判别四边形是平行四边形的条件.2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算.3.经历平行四边形判定定理的探索过程，发展合情推理的意识和表述能力，体会几何思维的真正内涵.4.经历平行四边形的判定定理的探索过程，培养协作、探究精神.
教学重难点 教学重点：平行四边形判定方法的探究.教学难点：平行四边形判定定理的理解和灵活应用.
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题前面我们学行四边形的定义和性质，你能说出它的具体内容吗？ 学习定义和性质后，由以前的经验接下来我们应该研究什么？教师活动：引导学生回顾所学，得出结论：接下来该研究判定了，引出本节课的教学内容，平行四边形的判定.合作探究，探索新知【思考1】将线段AB按图中所给的方向和距离，平移成线段A′B′，顺次连接A，B，B′，A′，构成一个一组对边平行且相等的四边形ABB′A′ ，你能说出它一定是平行四边形吗？为什么？ 【教师活动】引导学生思考，在平移过程中，对应线段有哪些性质？对应点的连线有哪些性质？【学生活动】测量、思考、交流结论.结论：平移过程中对应线段平行且相等；对应点的连线平行（活在同一条直线上）且相等.【探究】已知：如图，在四边形ABCD中， AB//DC，且AB=DC.求证：四边形ABCD是平行四边形. 分析：已知AB∥DC，只要再证明AD∥BC，即可证明所求.考虑作辅助线，通过证明三角形全等得到角相等进而得证.【学生活动】小组合作，书写证明过程，全班交流，选派代表回答.证明：连接AC. ∵ AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA.又 ∵AB=CD，AC=CA.∴ △ABC≌△CDA（SAS） .∴∠ACB=∠CAD. ∴ AD∥BC .因此，四边形ABCD是平行四边形.【归纳】由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法有：平行四边形的判定定理1文字语言：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注：常用符号“”表示“平行且相等”，读作“平行且等于”.符号语言： 在四边形ABCD中，∵ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形.【思考】一组对边平行， 另一组对边相等的四边形是否一定是平行四边形 预设答案：不一定【思考2】如图，过点A画两条线段AB，AD，以点B圆心， AD长为半径画弧，再以点D为圆心， AB长为半径画弧，两弧相交于C，连接BC， DC，这样得到两组对边分别相等的四边形ABCD. 这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？梳理条件：已知AB=DC，AD＝BC.分析：已知两组对边分别相等，只要再证明任意一组对边平行（或证明两组对边分别平行），即可证明所画四边形为平行四边形.【学生活动】小组合作，书写证明过程，全班交流，选派代表回答.证明：（方法一）连接AC. ∵ AB=DC， AD＝BC，又 ∵AC=CA，∴ △ABC≌△CDA（SAS），∠CAB=∠ACD .∴ AB∥DC .∵ AB=DC， AB∥DC .因此，四边形ABCD是平行四边形.证明：（方法二）如图，连接AC.在△ABC和△CDA中，∵ AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴ △ABC≌△CDA，∴ ∠ACB＝∠CAD，∠DAC＝∠BCA，∴ AB∥CD , AD∥CB，∴ 四边形ABCD是平行四边形（定义）.【归纳】由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：平行四边形的判定定理2文字语言：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：在四边形ABCD中， ∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.【思考3】如图，作两条直线l1， l2相交于点O，在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出来的四边形ABCD的对角线就互相平分. 这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？梳理条件：已知OA=OC， OB＝OD.【教师活动】分析题目中的已知条件和求证的结论，引导学生利用平行四边形的定义、判定定理1、判定定理2分别进行证明.【学生活动】根据老师的分析，写出已知和求证，分析三种判定方法，选择一种自己认为较好的方法写出证明过程，在小组内交流总结.证明：∵ OA=OC，OB＝OD，又 ∵∠AOD=∠COB，∴ △AOD ≌ △COB.∴ AD=CB，∠DAO=∠BCO .∵ ∠DAO=∠BCO ，∴ AD∥CB .∵ AD∥CB ，且 AD=CB.∴四边形ABCD是平行四边形.【归纳】由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：平行四边形的判定定理3文字语言：对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言：在四边形ABCD中，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.【归纳】现在你学了几种平行四边形的判定方法？ 学以致用，应用新知【例1】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由. 教师活动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生说出思路，若学生没有思路，教师在引导学生分析，启发学生.分析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB， 可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论.解：四边形ABCD是平行四边形.证明如下：∵ DF∥BE，∴ ∠AFD＝∠CEB.又∵ AF＝CE，DF＝BE，∴ △AFD≌△CEB(SAS)， ∴ AD＝CB，∠DAF＝ ∠BCE，∴ AD∥CB，∴ 四边形ABCD是平行四边形.【例2】 已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF. 求证：四边形BEDF是平行四边形. 教师活动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生说出思路，若学生没有思路，教师在引导学生分析，启发学生.分析： ABCD中， AE=CF，它们是对角线上的线段，故可考虑使用“定理3”.证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO∵AE=CF，∴OE=AOAE=COCF=OF.∴四边形BEDF是平行四边形.【归纳】随堂训练，巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.试判断四边形ABCD是否是平行四边形，并说明理由.证明：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°又 ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴ 2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°.∴ AD∥BC ，同理得AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.2. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵AE=CF，AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）.∴∠ABE=∠CDF，∴ AB∥CD.又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.3. 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )A．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形答案：B课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.目前学习了哪几种判定平行四边形的方法？你是否能分别从边、角、对角线的角度分别进行归纳总结？6.布置作业教科书第82页练习第4题，第85习题19.2第8，9题 通过对已有知识与经验的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形判定的问题.通过线段平移，引导学生发现判定平行四边形的新方法.同时还可以引导学生进一步认识平移的两大基本特征：平移的方向和距离.常考易错点，通过让学生举出反例的方式进一步理解判定定理1，加深印象，避免混淆.引导学生探究平行四边形的判定方法，同时在思考、证明的同时，还可以适当地复习尺规作图的知识：作一条线段等于已知线段.通过作图得到对角线互相平分的四边形，让学生通过推理，证明得到平行四边形的判定定理3，加深学生的理解，同时复习巩固有关尺规作图的相关知识.鼓励学生分析不同证明方法的优劣，为灵活应用判定定理作铺垫.归纳现阶段平行四边形的几种判定方法.通过对例题的讲解，及时巩固所学知识，加深对平行四边形判定方法的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力.此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB.通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的判定定理的理解及应用.配方法得到:通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识，对本章判定平行四边形的方法进行整体的概括，形成整体知识框架.
板书设计 平行四边形的判定1.从“边”①两组对边平行且相等的四边形是平行四边形（定义法）②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理1）③两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理2）2.从“对角线”考虑对角线互相平分的四边形式平行四边形（判定定理3）从“角”考虑两组对角分别相等的四边形是平行四边形（拓展） 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课的设计是让定理的教学充分展现知识的发生，发展过程.既对定理的产生有探索过程，又对论证方法有发现过程，既教发现，又教证明.教师要充分发挥引导者的作用，以学生为主体，让学生自主探究，在探究的教程中，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，由学生充分的动脑，动口，动手完成知识的迁移，通过探索式证明学习，开拓学生的思路，发展学生的思维能力；通过尝试的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣.
19.2 平行四边形
第4课时 中位线定理
课题 一元二次方程根的判别式 课型 新授课
教学内容 教材第81-82页的内容
教学目标 1.理解三角形的中位线的定义.2.理解并掌握三角形中位线的性质定理，能够应用这个定理解决有关的问题.3.探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力.
教学重难点 教学重点：掌握中位线的定义以及中位线定理..教学难点：三角形中位线的性质定理的证明（辅助线的添加方法）.
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果能测量出MN的长度，也就能知道AB的距离了.这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的问题. 合作研究，探索新知【探究1】已知，直线l1，l2，l3互相平行，直线AC与直线与直线A1C1分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B2，C3，且AB=BC. 求证：A1B1=B1C1. 【教师活动】要证线段A1B1＝B1C1，可考虑把线段转化在两个全等的三角形中，故过点B1作EF∥AC，利用平行四边形的判定和性质证明即可.【学生活动】根据老师的分析，合作完成证明过程，并总结存在的结论.证明：如图，过点B1作EF∥AC，分别交直线l1，l2于点E，F.∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形.∴EB1=AB，B1F=BC.∵ AB =BC，∴EB1=B1F.又∵∠AEB1=∠B1FC1，∠A1B1E=∠C1B1F，∴△A1B1E≌△C1B1F，∴A1B1=B1C1.【归纳】由此得到如下结论：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么其他直线上截得的线段也相等.【教师提问】若直线A1C1向左平移，使点A1和点A重合，你会得到什么结论？【学生活动】动手操作，测量，证明，得出结论.结论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.【探究2】如图，若点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点. 那么DE与BC的位置有什么关系？大小有什么关系？你能试着进行猜想吗？ 【学生活动】1.任意画一个三角形，取任意两边的中点连接(如上图DE）.2.利用手中的量角器、直尺等量一量（DE和BC），完成测量数据记录表.3.你能发现中位线与第三边的位置关系和数量关系吗？4.小组交流讨论与展示.DEBCDE与BC的数量关系一组相关角的度数DE与BC的位置关系问题1：根据测量数据，发现DE与BC有怎样的关系呢？预设答案：猜想：DE∥BC且DE=BC.教师追问：（动手操作，小组讨论）我们如何证明这个猜想的正确性.【教师活动】引导学生分析问题的条件和结论，寻找证题方法，巡视学生做题过程，总结规律性的知识.【学生活动】先小组交流，通过做不同的辅助线进行证明，由两名学生在黑板板书，其余学生合作完成过程.已知：如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC ，且DE＝BC.证明：（方法1）如图（1），过点D作DE′∥BC,交AC于点E′，则点E′与点E重合.∴ DE∥BC.同理，过点D作DF∥AC,交BC于点F,则点F为BC的中点.∴ 四边形DFCE是平行四边形.∴ DE=FC＝BC.（方法2）如图,延长DE至F，使EF＝DE，连接CF. ∵ AE＝CE, ∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴ △ADE≌△CFE(SAS) .∴ AD＝CF,∠A＝∠ECF.∴ CF∥AB.∵ AD＝BD,∴ BD＝CF.∴ 四边形DBCF是平行四边形.∴ DF∥BC，DF＝BC.∴ DE∥BC，DE＝BC.【归纳】定义：连接三角形中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.思考： 除此之外，△ABC还有其他中位线吗 你会画吗 （展示图形） 【注意】任意一个三角形都有三条中位线.学以致用，应用新知【例1】如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )eq \f(3,2) 3 6 D．9解析：∵ D，E分别为AC，BC的中点，∴ DE∥AB，∴ ∠2＝∠3.又∵ AF平分∠CAB，∴ ∠1＝∠3，∴ ∠1＝∠2，∴ AD＝DF＝3，∴ AC＝2AD＝6.故选C.答案：C【例2】已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证.证明：连结AC，△DAC中，∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）.同理EF∥AC，EF=AC.∴HG∥EF，且HG=EF.∴四边形EFGH是平行四边形.【总结】此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.随堂训练，巩固新知如图所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF= cm. 答案：42.三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是 cm.答案：73.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为 .答案：6.54.如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是( )A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长先增大后减小答案：D5.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB的周长是18 cm，则EF＝________cm. 解析：∵AC＋BD＝24 cm，∴OA＋OB＝12 cm，又∵△OAB的周长是18 cm，∴OA＋OB＋AB＝18 cm，∴AB＝6 cm.又∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF＝3 cm.答案：35.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.（1）三角形中位线的概念是什么？（2）三角形中位线有什么性质？（3）在证明三角形中位线过程中运用了哪些思想方法？6.布置作业课本P85习题19.2第12，13题 通过实例引起学生的思考，激发学生探究的兴趣.此例为证明三角形中位线定理作铺垫在上面图形的基础上进行平移操作，自然引出后面的结论.通过实际测量更能准确的判断DE和BC之间可能存在的关系,为后面的猜想提供数据支持.所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形,体现了转化与化归思想.方法1利用了“经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边”的结论进行证明.引导学生思考证明线段的倍分关系，可以利用了“截长补短”的方法.此题的证明方法很多，可以让学生思考其他证法.本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．构建三角形的中位线是重要的作辅助线的方法，教师在讲解时一定要讲清楚为什么这样作辅助线，有什么作用，使学生掌握方法.注意整体思想的运用通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第3课时 三角形的中位线定理1.三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形中位线定理三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本课时所要探究的三角形的中位线定理是学生以前从未接触过的内容.因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法.通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形的性质
课题 矩形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第86-87页的内容
教学目标 1.了解矩形的有关概念，理解它与平行四边形之间的关系.2.掌握矩形的有关性质，发展学生合情推理意识，掌握几何思维方法.3.培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值.
教学重难点 教学重点：探索并证明矩形的性质定理.教学难点：应用矩形的性质定理解决相关问题.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题教师活动：引导学生回顾平行四边形的性质，分别从边、角、对角线三个方面进行思考，通过追问引入本节课题.【问题1】我们在前面学行四边形及其性质，请同学们回忆一下平行四边形有哪些性质呢？引导学生从以下方面思考：从边看：对边平行且相等；从角看：对角相等，邻角互补；从对角线看：对角线互相平分.活动：展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 预设答案：平行四边形的不稳定性.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程）2.合作探究，探索新知教师活动：再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).【问题1】矩形的定义包含几个条件呢？预设答案：（1）平行四边形；（2）有一个直角【问题2】同学们，你们能举出一些生活中矩形的例子吗？ 【追问1】平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？预设答案：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是矩形.【追问2】矩形是特殊的平行四边形,除了具有平行四边形的所有性质,还有哪些特殊的性质呢 【探究】活动：在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？ 学生活动：小组分组合作，分组讨论、测量、探究、交流、猜想.猜想：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等【追问1】你能证明这两个结论吗？学生活动：分析已知和求证，小组讨论证明过程，选派学生进行讲解.预设答案：（一）已知：矩形ABCD，如图.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.证明：由定义知，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°.∵ AB∥DC，AD∥BC，∴ ∠B =∠C=∠D=90°（两直线平行，同旁内角互补）.即矩形ABCD的四个角都是直角.思考：还有其他的证明方法吗？矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角.符号语言：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900（二）已知：矩形ABCD，如图：求证：AC=BD.证明: ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC=∠BCD=90°，AB＝DC，在Rt△ABC和Rt△DCB中，,∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（SAS）,∴ AC=BD.矩形性质定理2：矩形的四个角都是直角.符号语言：∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.【追问2】OA、OB、OC、OD有什么关系？预设答案：OA=OB=OC=OD.【追问3】如图：矩形ABCD中，AO＝_____AC，BO＝______BD.BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？观察、思考后发现AO＝AC，BO＝BD，BO是Rt△ABC的中线. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：在Rt△ABC中，，AO=CO，则有.3.学以致用，应用新知【例1】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝4 cm，求矩形对角线的长. 解：（方法1）∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD，∴ OA＝OB.又∠AOB＝120°，∴ ∠OAB＝∠OBA==30°.在Rt△ABD中，BD＝2AD＝8 cm.∴ 矩形的对角线长为8 cm.（方法2）∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD，∴ OA＝AC，OD＝BD，∴ OA＝OD.∵ ∠AOB＝120°，∴ ∠AOD=60°∴ △AOD是等边三角形，∴DO=AD=4 cm，BD＝2AD＝8 cm.∴ 矩形的对角线长为8 cm.【例2】已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC. 求证：CE＝EF. 分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°. ∴∠B=∠AFD.又 AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF=BE．∴AE-AF=BC-BE∴EF=EC．补充：此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC.4.随堂训练，巩固新知1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分答案：C 2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( )A．50° B．60° C．70° D．80°答案：D3.如图,在矩形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16,则图中长度为8的线段有（ ） A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 答案：D4.3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( )A．2.3 cm B．2.4 cm C．2.5 cmD．2.6cm答案：C5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝____cm. 答案：36.已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE． 解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4)cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＋82＝(x＋4)2， 解得x＝6，则AD＝6 cm. 利用面积公式，可得AE·DB＝AD·AB， 解得AE＝4.8 cm.5.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.（1）矩形的定义是什么？矩形与平行四边形之间的关系？（2）矩形有哪些性质？（3）直角三角形中斜边的中线有什么性质？6.布置作业课本第134页练习第2，3题. 通过提问复习并梳理平行四边形的性质，为矩形性质的学习作铺垫.由平行四边形的不稳定性，了解平行四边形形状的变化原理，为后面理解矩形与平行四边形的之间的关系作铺垫.学生小结矩形的定义,剖析定义,培养学生的语言表达能力.学生动手实践，主动探索与合作交流，变“被动学习”为“主动学习”， 培养学生主动的“动手”，“动脑”，“动口”的学习习惯和能力，使学生真正成为学习的主人.使每位学生都参与到学习过程中，同时获得轻松、愉快、成功的情感体验.通过证明让学生明确矩形的性质，培养学生的逻辑推理能力.鼓励学生尝试用不同的方法证明.培养学生的概括能力和语言表达能力.矩形的对角线相等且互相平分.由于矩形的对角线相等，所以分成的四个小三角形是等腰三角形.方法1利用直角三角形中30°角的性质.方法2利用等边三角形的性质要充分利用矩形的性质结合三角形全等来解决问题.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.对本节课知识进行回顾，加深记忆和理解，教师也要针对学生在解题中出现的问题进行强调
板书设计矩形的性质1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).2.矩形的性质矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课，以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握，形成了和本质相关的认知结构，取得了良好的教学效果.解释“矩形的对角线相等”的理由时，要注意找准利用哪两个三角形全等得出结论.每一个结论的得出，都要求学生经历观察、猜想、验证的过程，提高学生的探究能力，这里要特别注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论在解题中有很重要的应用.
19.3 矩形 菱形 正方形
第2课时 矩形的判定
课题 矩形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第88-89页的内容
教学目标 1让学生经历矩形判定定理的猜想与证明过程.2.让学生理解并掌握矩形的判定定理.3.让学生能应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题.
教学重难点 教学重点：理解并掌握矩形的判定定理.教学难点：矩形判定定理的应用.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题【想一想】1.平行四边形的性质和判定有哪些？2.矩形的性质有哪些？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？师生活动：教师通过提问带领学生复习前面所学的知识，利用表格让学生猜到本节课的主题是要探究矩形的判定方法。预设答案：【思考】矩形的定义是什么？定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。教师分析：从矩形的定义中可以看出，矩形的定义中既可作为矩形的性质，又可作为菱形的第一种判定方法，即：有一个角是直角的平行四边形是矩形.强调矩形的定义是矩形的一种判定方法．【追问】除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？今天我们进一步来研究矩形的判定．（板书课题）2.合作探究，探索新知【交流】如图，工人师傅在做门窗框架、桌面等包含矩形的物体时，不仅要测量矩形两组对边的长度是否相等，还要测量他们的两条对角线是否相等，你能说出其中的道理吗？梳理条件：①先测量两组对边的长度是否相等→先判断是否是“平行四边形”②再测量两条对角线是否相等→推测是否是“矩形”分析问题中的条件，可以猜测工人是否想通过在平行四边形的基础上添加“对角线相等”的条件判定矩形，因此可以鼓励让学生猜测判定矩形的方法，猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.追问：刚才猜想是否正确呢？我们如何证明这个猜想呢？【教师活动】分析题目的已知和求证，寻找证题方法，巡视学生做题过程，总结规律性的知识.【学生活动】根据题意画出图形并写出已知和求证，先独立完成证明过程，再组内交流，纠正.已知：在 ABCD中，AC＝BD.求证：四边形ABCD是矩形．分析：引导学生分析，再证明 ABCD内其中一个角是90°，即可得证.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC.∵ DC=CD，AC=DB, ∴ △ADC≌△BCD , ∴ ∠ADC =∠BCD. ∵ ∠ADC +∠BCD = 180°, ∴ ∠ADC =∠BCD= 90°, ∴ ABCD是矩形（矩形的定义）.【归纳】矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形.【思考】我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流. 举例由举例可知，当一个四边形有三个角是直角是就是矩形.猜想：三个角是直角的四边形是矩形.追问：刚才猜想是否正确呢？我们如何证明这个猜想呢？【学生活动】根据题意画出图形并写出已知和求证，先独立完成证明过程，再用几何语言描述判定定理.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A＝∠B ＝∠C ＝90°，∴ ∠B＋∠C＝180°,∠A＋∠B＝180°，∴ AB∥CD， AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ ∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形. 【归纳】矩形的判定定理2：三个角是直角的四边形是矩形.几何语言：∵四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形.【归纳】现在你学了几种平行四边形的判定方法？ 3.学以致用，应用新知【例1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于点E，F.求证：四边形AECF是矩形.证明： AE∥BC，∴ ∠1=∠2.在△ADE和△CDF中，∵ ∠1＝∠2，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，∴ △ADE≌△CDF. ∴ AE＝CF.∴ 四边形AECF是平行四边形.又∵ 四边形ABFE是平行四边形, ∴ EF ＝ AB.∵ AC＝AB, ∴ EF＝AC.∴ 四边形AECF是矩形.【教师活动】分析题目的条件，引导学生书写证明过程，巡视学生做题过程，纠正学生做题中出现的问题.【学生活动】在老师的指导下，先自己整理证题过程，整理完在小组内交流，对出现的错误及时纠正.【例2】如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH为矩形．分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明.证明：在 ABCD中，AD∥BC,∴ ∠DAB+∠ABC=180°. ∵ AE与BE分别为∠DAB，∠ABC的平分线,∴ ∠BAE+∠ABE = ∠DAB+ ∠ABC=90°.∴ ∠AEB=90°. ∴ ∠HEF=90°.同理可证∠AFG=∠EHG=90°，∴ 四边形EFGH是矩形． 【总结】平行四边形的性质两组对角的角平分线，两两相交，构成一个矩形.【归纳】证明矩形的一般思路：4.随堂训练，巩固新知1.如图，直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ） 菱形 平行四边形 矩形 D.不能确定答案：C如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 答案：D3.用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有_______.（只要填序号即可）①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等.②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等.③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2=c2.④量出两条对角线长，看是否相等.答案：①② 4.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝CD.∵AF＝BD，∴BD＝DC；(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．5.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.本节课学习了哪几种判定矩形的方法？每种方法的判定思路是什么？6.布置作业课本第89页练习第1，2题. 回顾知识，为本节课的内容打下基础. 通过表格，引入课题，激发学生探究的欲望.在教学过程中，教师应重点观注：（1）对矩形定义的再认识；（2）激发学生对问题探究的兴趣涉及学生身边的实例，对学生来说既熟悉又陌生，具有一定的趣味性又具有一定的挑战性，能在一定程度上激发学生的求知欲.注意：学生思考、交流后教师可以适当地引导．给出的条件与定义相比少了哪个条件？又多了哪个条件．培养学生的概括能力和语言表达能力.分析题目的已知和求证，引导学生先证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是90°，根据矩形的定义得出结论.指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了，因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角.此题考察了平行四边形的性质、矩形的判定，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.通过总结培养学生的归纳概括能力，并回答开头提出的问题，前后呼应第1、2、3题是对矩形判定方法的应用，让学生根据矩形的判定方法进行解决，第4题综合应用三角形全等和矩形的判定，要先让学生观察思考，再进行解答.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识，对本章判定矩形的方法进行整体的概括，形成整体知识框架.
板书设计第2课时 矩形的判定1.矩形的判定方法：2.矩形的判定思路： 提纲挈领，重点突出.
教后反思在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在教学的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理，也要懂得提出问题探究问题.教师在例题练习的教学中，若能适当地多做一些变式练习，引导学生类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的有效性.在《矩形的判定》这一节的课堂教学中，尤其注意让学生在完成矩形练习题的同时，考虑图形的变式，类比平行四边形的情况再来思考，这样学生在学习平行四边形和矩形时，就能具有一以贯之的思维逻辑和更加宽广的视野，站在一个新的高度上来把握知识的整体脉络.
19.3 矩形 菱形 正方形
第3课时 菱形的性质
课题 菱形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第90-91页的内容
教学目标 1.理解菱形的概念，理解菱形与平行四边形之间的关系；2.会利用菱形的性质解决相关计算问题，会求菱形的面积；3.经历探索并证明菱形的性质定理的过程，渗透从一般到特殊、类比迁移的数学思想；4.通过观察比较、动手操作、合作交流，激发学生的学习兴趣，体验探索与创造的快乐.
教学重难点 教学重点：掌握菱形的定义及性质.教学难点：运用菱形的性质解决相关计算问题.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾,引入课题教师活动：教师引导学生回顾平行四边形的概念和性质，并参照图形简单说明.学生活动：回顾平行四边形的概念和性质平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分.【问题】当平行四边形的角特殊化时，会产生什么特殊的平行四边形？学生活动：回顾由平行四边形变成矩形的过程【追问】当平行四边形的边特殊化时，会产生什么图形呢？2.创设情境，探究新知教师活动：教师课件展示平行四边形的变化过程，停留在一组邻边相等时的情况，引导学生观察图形特征，并给出菱形的定义.接着通过动图演示，让学生举出生活中菱形形象的例子.问题：观察平行四边形的变化过程，当一组邻边相等时，会产生什么图形？ 预设答案：特殊的平行四边形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形在生活中随处可见.下图中的升降机就是采用的菱形部件. 【想一想】菱形也是常见的图形，能否举出生活中菱形形象的例子？【归纳】四边形、平行四边形、菱形之间的关系提问：菱形又有哪些性质呢？【思考】问题：菱形除了具有平行四边形的性质外，它的边、角、对角线还具有哪些特殊的性质呢？追问：能否类比平行四边形、矩形研究菱形的特殊性质？小组合作：1.两人一组，测量课本中的菱形；2.记录结果，提出猜想.【量一量】边：AB=BC=CD=DA对角线：AC⊥BD；∠BAO=∠OAD，∠ADO=∠ODC，∠ABO=∠OBC，∠BCO=∠OCD猜想：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.追问：你能证明这些猜想吗？【证明】（1）已知：四边形ABCD是菱形，求证：AB=BC=CD=DA.证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC.∵ 四边形ABCD也是平行四边形，∴ AB=DC ，AD=BC.∴ AB=BC=CD=DA.结论1：菱形的四条边都相等.（2）已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC.证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC，∴ △ABC为等腰三角形.又∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC.∴ BD⊥AC，BD平分∠ABC (三线合一)同理，BD平分∠ADC，AC平分∠DAB和∠DCB.结论2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.【归纳】 菱形的性质具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分.菱形不同于一般平行四边形的性质：边：菱形的四条边都相等.对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.几何语言：∵四边形ABCD是菱形∴ AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∠BAO=∠OAD，∠ADO=∠ODC，∠ABO=∠OBC，∠BCO=∠OCD.【操作】给你一个长方形纸片，如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？学生活动：认真思考，分组讨论交流，提出裁剪方案，并动手操作. 操作步骤：1.将一张长方形的纸对折两次，然后沿图中虚线剪下；2.展开剪下的三角形；3.用笔把折痕画出来. 【观察】我们知道平行四边形的对角线把平行四边形分成两对全等的三角形，根据刚才的操作，菱形的对角线把菱形分成的四个直角三角形是否全等？ 预设答案：菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.追问：你还能得出什么结论？预设答案：菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.3.学以致用，应用新知【例】已知菱形的两条对角线长分别为a，b，求菱形的面积.解：如图，设菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O， AC=a，BD=b.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD. ∴ 【归纳】菱形的面积公式注：可灵活选择公式进行计算.4.随堂训练，巩固新知1.已知菱形的周长是12 cm，那么它的边长是______.答案：3 cm.2.如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD =120°，则对角线AC的长是 .答案：63.在菱形ABCD中，AB=4 cm，∠ABC=60°，求菱形的面积.解：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4 cm，∠ABC=60°，则AB=AC=4 cm，AC⊥BD.∴ OA=OC=2 cm.在 Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2，∴OB=，BD=. ∴菱形的面积=cm.在菱形ABCD的边长为13 cm，它的一条对角线BD=10 cm，求对角线AC的长.解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ OB=OD=5 cm，AC⊥BD.在 Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2，AB=13 cm ， OB=5 cm，∴ AO=12 cm.∴AC=2OA=24 cm.5.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.（1）菱形的定义是什么？菱形与平行四边形之间的关系？（2）菱形有哪些性质？哪些性质是菱形特有的？（3）菱形面积的计算方法有哪些？6.布置作业课本第97页习题19.3第6题，7题. 复习回顾平行四边形的概念和性质，为本节课要学习的内容作准备.通过动画演示平行四边形角特殊化时变成矩形的过程，激发学生的探索欲，并思考边特殊化时的图形.借助动态演示，让学生直观感知边的变化带来平行四边形的改变.体会菱形是平行四边形的边特殊化后的产物，自然引出菱形的定义.通过动图让学生真实感受生活中菱形形象的存在.通过让学生举例，使学生进一步感受菱形的广泛应用，激发学习兴趣.通过归纳让学生熟悉四边形、平行四边形、菱形之间的关系，感受知识的延续性与关联性，培养归纳概括能力.通过分组探究，让学生经历观察、测量、猜想、证明的过程，渗透从一般到特殊、类比迁移的数学思想.通过证明让学生明确菱形的性质，培养学生的逻辑推理能力.通过归纳进一步熟悉菱形的性质，培养归纳概括能力.熟悉菱形的性质及其几何语言通过对比平行四边形得出菱形是轴对称图形.让学生在探究过程中进一步加深对菱形的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.通过例题归纳出菱形的面积公式.培养学生的归纳概括能力.通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.结合勾股定理进行考查通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第3课时 菱形的性质1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形不同于一般平行四边形的性质性质1 菱形的四条边都相等.性质2 菱形的对角线互相垂直.3.菱形的面积公式 提纲挈领，重点突出.
教后反思菱形的性质是四边形性质探索这一章中很重要的一节课，在本节课中，重在经历探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的主动的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤.了解菱形的现实应用和常用方法.本节课的思路是：先复习提问平行四边形的性质，然后讲菱形定义，在掌握定义的基础上证明菱形的性质，然后学习菱形性质的应用.在这一过程中注重培养学生的思维，利用题型变换，及学生自己总结规律等方式提高学生的逻辑思维能力.在培养灵活思维的同时注意解题“通法”这一不变因素，强化学生用直角三角形的方法解决几何计算问题，用特殊直角三角形的方法解决特殊菱形问题.
19.3 矩形 菱形 正方形
第4课时 菱形的判定
课题 菱形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第91-92页的内容
教学目标 1.理解并掌握菱形的判定定理，并会用菱形的判定定理进行证明和计算；2.通过操作、观察、猜想并证明菱形的判定定理的过程，体会数学思考的方法；3.经历菱形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力；4.在探究过程中培养学生主动探索的学习习惯.
教学重难点 教学重点：掌握菱形的判定定理.教学难点：会运用菱形的判定定理进行证明和计算.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾,引入课题教师活动：教师引导学生回顾菱形的概念和性质，引出本节课要学习的内容.学生活动：回顾平行菱形的概念和性质菱形的概念：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的不同于一般平行四边形的性质：菱形的四条边都相等.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.【问题】如何判定一个四边形是菱形呢？2.合作探究，探索新知教师活动：根据菱形的定义给出菱形的判定方法1，接着给出思考的问题，先让学生分组探究、猜想并证明，然后教师给出证明过程，得出结论.由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.由此，可得到菱形的一个判定方法.菱形的判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.提问：还有其他的判定方法吗？【思考】如图，以点A为端点任意画两条相等的线段AB和AD，再分别以点B，D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C，连接BC，DC，四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 分析：先根据题目操作推出四边形ABCD四边都相等，再证明四边相等的四边形是菱形.【证明】已知：如图，在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵ AB=BC=CD=DA， ∴ AB=CD，BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵ AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.【归纳】菱形的判定定理1：四条边相等的四边形是菱形.几何语言：∵四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA ，∴四边形ABCD是菱形.【操作】已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 作法：分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A、B 、C 、D四点.【思考】如图，画两条互相垂直的直线l1和l2 ，两直线相交于点O，在l1上取两点A，C，使OA=OC，在l2上取两点B，D，使OB=OD，顺次连接点A，B，C，D，四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 分析：先根据题目操作推出四边形ABCD是平行四边形，然后再证明对角线互相垂直的平行四边形为菱形.【证明】已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC.又∵ AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形.【归纳】菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.【思考】对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 预设答案：举反例，如上图所示，四边形的对角线互相垂直，但不是菱形.所以，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形.追问：能否将对角线加一个限定条件，让四边形变为菱形？分析：要先将四边形变为平行四边形.得出结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形.【归纳】现在你知道如何判定一个四边形为菱形了吗？3.学以致用，应用新知【例】如图，在 ABCD中，AC=8，BD=6，AB=5，求AD的长. 证明：∵ ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OB=BD=3.又∵ AB=5， ∴AB2=OA2+OB2， ∴ △OAB是直角三角形，即OA⊥OB.∴ ABCD是菱形，AD=AB=5. 4.随堂训练，巩固新知1.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．AC⊥BD B．AB=ADC．AC=BD D．∠ABD=∠CBD答案：C2.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？解：这是一个特殊的平行四边形，是菱形.理由如下：如图，在□ABCD中，AD=9，BD=12，AC=.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OD=6，OA=.∴ ， 即AD = OA +OD ∴ △AOD是直角三角形. ∴ AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形.3.画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6 cm和8 cm.解：作图步骤如下： (1)画一条线段AC=8 cm ，(2)作线段AC的垂直平分线l，与AC的交点为O；(3)以交点O为圆心，3 cm为半径画弧，交l于B、D两点；(4)顺次连接A、B 、C 、D四点，四边形ABCD就是菱形.4.已知：如图，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证：重合部分为菱形.解：作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形，∵ 两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，∴ AE=AF.又∵ S平行四边形ABCD=BC·AE=DC·AF，∴ BC=DC，∴四边形ABCD是菱形.5.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.本节课学习了哪几种判定菱形的方法？每种方法的判定思路是什么？6.布置作业课本第98页习题19.3第8，9，10题. 复习回顾菱形的概念和性质，为本节课要学习的菱形的判定作准备根据菱形的定义自然得到菱形的一个判定方法.通过分组探究，让学生经历操作、观察、猜想、证明探索出菱形的判定定理，体会数学思考的方法，感受数学探究过程的严谨性.通过证明让学生明确菱形的判定定理，培养学生的推理能力.通过归纳让学生进一步熟悉菱形的判定方法和几何语言表示.通过作图巩固菱形的判定定理，培养学生的作图能力，并通过抢答提高学生的学习兴趣.通过分组探究，让学生经历操作、观察、猜想、证明探索出菱形的判定定理，体会数学思考的方法，感受数学探究过程的严谨性.通过证明让学生明确菱形的判定定理.进一步培养学生的推理能力.借助菱形的定义进行证明
通过归纳让学生进一步熟悉菱形的判定方法和几何语言表示.以问题的形式让学生进一步体会菱形的这个判定定理必须满足两个条件：①对角线互相垂直；②是平行四边形.通过总结培养学生的归纳概括能力，并回答开头提出的问题，前后呼应.菱形判定和性质的综合考查让学生在探究过程中进一步加深对菱形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第4课时 菱形的判定1.菱形的判定方法定义法：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.定理1：四条边都相等的四边形是菱形.定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.菱形的判定思路 提纲挈领，重点突出.
教后反思1.学生在应用菱形的判定的时候容易出现张冠李戴的现象，有的学生会将平行四边形的判定和菱形的判定混淆，或者是出现了不证明它是平行四边形，而直接就仅仅证明了邻边相等就说这个四边形是菱形.所以，在授课的时候，应该多复习一下平行四边形的判定，或者是将平行四边形的判定直接就抄到黑板上，让学生直接对照着书写，使学生知道每一步的证明的依据是什么，这样就可以避免此类错误的出现.2.对证明书写的规范性应进一步加强.学生们会理解为将很多的条件罗列起来就证明出它是菱形.有很多的学生仍然出现：AO=CO BO=DO AC垂直BD，然后就直接说明它是菱形的现象，因此在今后的教学中不仅要让学生来展示，而且某些十分易错的地方，或者是要特别强调的地方要单独的放在课堂上书写，这样既能避免学生们出现不该出现的共同的错误，也能加深学生们的印象，同时也给学生们一个接受新知的过程.或许更有利于本节课知识的掌握.3.学生们仍然善于用全等来证明某些线段或者是角相等，或者是该用判定一的而用了判定二，虽然也都可以得到结果，但是过程明显的复杂了，说明学生们在用简便的方法证明某些习题上还存在一定的欠缺，需要我们在平时的教学中多注重培养学生们使证明简单的思维习惯，不要总是绕大圈，这样对今后的学习也很有帮助.让学生知道我们不仅要得到结果，还要看得到这个结果的过程是否最简洁，是否构思更新颖，方法更巧妙.
19.3 矩形 菱形 正方形
第5课时 正方形
课题 正方形 课型 新授课
教学内容 教材第92-93页的内容
教学目标 1.理解并掌握正方形的定义、性质和判定定理，并能运用它们进行计算和证明；2.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，理
单 元 备 课
第 4单元 本单元所需课时数 13课时
课标要求 1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性.3.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.5探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等;菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.6.探索并证明三角形的中位线定理.
教材分析 本章内容编写是在小学学习了部分四边形有关知识，进入初中后学行线的性质和判定、三角形的性质及全等三角形的性质和判定的基础上展开的.前面知识的学习为本章四边形的学习作了知识上的良好铺垫，奠定了思想方法、逻辑推理等方面的基础。通过本章的学习学生将对多边形的相关概念，内角和与外角和有更进一步的认识，对平行四边形与特殊的平行四边形的共性与特性及它们之间的从属关系有更进一步的了解，其中涉及概念的内涵和外延、分类讨论思想、逻辑思维等方面的知识，这对培养和发展学生的逻辑思维能力提供了很好的素材.
主要内容 本章主要内容有：多边形的内角和与外角和、平行四边形和特殊平行四边形. 主要包括4节：第19.1节“多边形的内角和”中首先从多边形的概念着手，研究多边形的内角和与外角和，并介绍了正多边形的概念和四边形的不稳定性；第19.2节“平行四边形”中教材直接给出平行四边形的概念，并通过学生自己观察与思考得出平行四边形的性质，然后从平移和作图研究平行四边形的判定定理；第19.3节“矩形、菱形、正方形”分别从平行四边形的角、边、对角线等方面的特殊性研究矩形、菱形的概念、性质和判定，继而从矩形和菱形的综合特殊性得出正方形的概念和性质；第19.4节“综合与实践 多边形的镶嵌”介绍了平面镶嵌的概念，引导学生总结归纳能够进行平面镶嵌的多边形的性质，最后引导学生利用一种或两种正多边形进行创作.
教学目标 1.了解多边形和正多边形的有关概念，探索并掌握多边形的内角和与外角和公式；了解四边形的不稳定性.2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.3.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理，掌握正方形具有矩形和菱形的一切性质.4.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离5.探索并证明三角形中位线定理.6.了解平面图形的镶嵌的含义，知道哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计.
课时分配 19.1 多边形的内角和 2课时19.2 平行四边形 4课时19.3 矩形、菱形、正方形 5课时19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 1课时 小结·评价 1课时
教与学建议 1.让学生经历探索、猜测、证明的过程，体会合情推理与演绎推理的作用.2.注重合情推理与演绎推理的有机结合.3.注意培养学生推理论证的规范性. 4.重视现代化信息技术的应用.
19.1 多边形的内角和
第1课时 多边形及其相关概念
课题 多边形及其相关概念 课型 新授课
教学内容 教材第70-73页的内容
教学目标 1.了解多边形及有关概念（边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形）.2.经历类比三角形有关概念探究多边形的过程，感悟类比方法的价值.3.通过对多边形的学习，体会数学知识之间的联系，提高分析和解决问题的能力.4.通过从具体情境中识别出多边形，感受数学与生活的联系.
教学重难点 教学重点：多边形及其相关概念 .教学难点：多边形对角线的概念及其与边数之间的关系..
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题【观察思考】你能从图中找出一些由线段围成的图形吗？【追问】观察这些图形有什么共同特点？预设答案：都是由一些线段首尾顺次相接组成的.【师生活动】教师展示图片并提出问题，学生观看图片，思考问题进行回答.类比发现，探索新知【问题1】能否类比三角形的定义给它们下定义？ 教师活动：教师引导学生回忆三角形的概念，并让学生类比三角形的概念说出多边形的概念.（三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）学生活动：类比三角形的概念试着给出多边形的概念.多边形的概念在平面内，由若干条不在同一条直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.【追问1】在三角形中我们研究了内角、外角，类似地，你能结合下图指出它的内角和外角吗？ 师生活动：教师引导学生回忆三角形的内角和外角的概念，引导学生画出上面图形的内角和外角，并尝试给出多边形内角和外角的概念.（三角形的内角：三角形两边所夹的角叫做三角形的内角.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角) 教师活动：教师总结学生的回答，给出多边形内角和外角的概念.多边形的内角：多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.简称多边形的角.多边形的外角：多边形中的顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角.【追问2】三角形由三条线段首尾顺次相接组成，所以叫做三角形，那么我们能否按照组成多边形的线段的条数将多边形进行命名呢？ 教师活动：教师引导学生根据多边形的边数对多边形进行命名，并说出上面多边形的名称.并归纳出n边形的概念.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.【问题2】你能说出下面两个多边形的不同点吗？ 师生活动：教师引导学生找出两个图形的不同点，引出凸多边形的概念.凸多边形：一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形，如图（1）. 而图（2）就不是凸多边形. （2）学生活动：学生认真观察图形，讨论并找出不同点，并动手画一画，理解凸多边形的概念.【问题3】能否将多边形分成我们熟悉的三角形？ 师生活动：教师引导学生画一画（画法不唯一），思考并回答.引出对角线的概念对角线：多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 如图中AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线.【追问1】画出五边形的所有对角线，一共有几条？ 【追问2】n边形从一个顶点可引出几条对角线？把n边形分割成几个三角形？共有几条对角线？教师活动：教师引导学生独立画出四、五、六.......多边形的对角线. 通过观察对角线的变化情况，猜测对角线数量的规律.学生活动：分组讨论，并说出推理过程和结论.分析：先分析从一个顶点出发可以画出(n－3)条对角线，且顶点个数是n，得到n(n－3)；我们还知道每条对角线连接多边形的两个顶点，因此还要除以2，即n边形的对角线条数可以表示为.学以致用，应用新知【例1】下列选项中的图形，不是凸多边形的是（ ） A B C D答案：A【例2】过多边形的一个顶点可以作2023条对角线，则这多边形的边数是（ ）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026解析：n-3=2023，n=2026. 故选D.【变式】若一个多边形的有14条对角线，则这个多边形的边数是 .解析：,解得n=7.【例3】一个长方形减去一个角，则它有可能是________边形．解析：如图所示：沿对角线剪去时，可得到三角形；沿一个顶点和另一边上的一点剪时，可得到四边形；当沿相邻两边上的任意两点(不包含两端点)剪时，可得到五边形．故填：三或四或五． 随堂训练，巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.若一个多边形从一个顶点出发可引出5条对角线，则这个多边形是______边形．答案：八一个n边形从一个顶点出发，连接各顶点，可以得到______个三角形．答案：n-23.n边形的对角线条数为______条．答案：5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：多边形的概念是什么？什么叫多边形的边、顶点、内角、外角.凸多边形的概念是什么？从n多边形的一个顶点可以画多少条对角线？可以分割成多少个三角形？n多边形对角线的条数是多少？6.布置作业教科书P74习题19.1第5、6题 通过观察图片，让学生从具体情境中抽象出图形，丰富学生对几何图形的感性认识.通过类比三角形的定义给出多边形的定义，感悟类比方法的重要性.并通过让学生举例加深对多边形概念的理解.教师强调“在同一平面内”，并举出实例加深印象.参考三角形的内角、外角画出多边形的内、外角，从熟悉的图形入手，让学生感知数学知识之间的联系，并熟悉内、外角的概念.如图，是多边形的一个内角，是多边形的一个外角.类比三角形对多边形进行命名，让学会感知类比方法的价值. 通过观察图形找出不同点，让学生深刻理解凸多边形的概念.教师要结合图形让学生理解凸多边形的概念，教师可以画几个图形让学生辨别.通过将多边形分成熟悉的三角形引出对角线的概念，为后面研究多边形作铺垫.让学生经历画对角线的过程，进一步熟悉对角线的概念.对角线是一个新的知识点，教师要强调对角线的特征，然后引导学生探究相关的问题，为后面的探究奠定基础.通过自主探究的形式讨论分析问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.注意例2及变式问法的不同，一个是过“多边形的顶点作对角线的条数”，另一个是“全部条数”.剪的位置不同，则得到的形状不同，要进行分类讨论.通过课堂练习巩固本节课所学内容，尤其是对角线相关问题，为后一课时要学的内容作铺垫.通过引导学生对本节课知识进行总结回顾，进一步巩固所学知识，教师要对易错点进行强调.
板书设计多边形及其相关概念多边形在平面内，由若干条不在同一条直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形多边形的分类：按照边的条数分为：三角形、四边形、五边形……多边形的对角线多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，可以将多边形分成（n-2）个三角形，n多边形有条对角线. 提纲挈领，重点突出.
教后反思在本节课的教学中，要注意从实际问题入手，在引课时出示了多幅日常生活用品和建筑的图片，加强了数学与实际生活的联系，让学生感到数学离自己很近，激发了学生的求知欲.创设了良好的教学氛围.其次注重让学生在学习活动中领悟数学思想方法.数学的思想方法比有限的数学知识更为重要. 教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.
19.1 多边形的内角和
第2课时 多边形的内角和与外角和
课题 多边形的内角和与外角和 课型 新授课
教学内容 教材第71-73页的内容
教学目标 1.掌握多边形的内角和与外角和公式，并认识正多边形.2.经历猜想、探索、推理、归纳等过程，让学生体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法.3.通过探索并证明多边形的内角和与外角和的过程，引导学生从不同的角度寻找解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力.4.通过动手操作、交流讨论激发学生的学习热情，体验从猜想到证明的成就感，并从中体会数学学习是一个充满探索的过程.
教学重难点 教学重点：多边形的内角和与外角和公式.教学难点：多边形的内角和与外角和公式的推导.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题师生活动：教师展示图片并提出问题，学生观看图片，思考问题进行回答.【观察】观察下面的图，能否从中找出我们上节课学过的多边形？ 浙江金华市兰溪市的诸葛八卦村【问题】你能算出这个多边形的内角和吗？ 2.合作探究，探索新知【问题1】 我们知道，三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少呢？提示1：能否利用三角形的内角和求出四边形的内角和？引导学生分析解决问题的思路—将四边形分割成两个三角形. 教师活动：抛出问题，引导学生通过分割四边形，把四边形内角和问题转化为三角形的内角和问题。学生活动：自主探讨与合作交流相结合，在老师的指导下，合作探究四边形的内角和.得出结论：四边形的内角和都等于360°.(180°+180°=360°)提示2：想想还有其它的方法吗？在四边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD.同样得出结论：四边形的内角和都等于360°.（4×180°-360°=360°）【追问1】类比上面的过程，你能探索出五边形的内角和吗？提示：可以将这个五边形划分成几个三角形.得出结论：五边形的内角和等于540°.(还可以通过其它的方法探究得出此结论，让学生自由发挥.)【追问2】类比上面的过程，你还能继续探索 n 边形的内角和吗？提示：类比上面的方法(从一个顶点出发画对角线)，完成下列表格： 根据动画展示，填写表格. 观察表格，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？得出结论：n边形的内角和等于(n2)180°(n为不小于3的整数).想一想：还有其它的分割方法能探究出多边形的内角和吗？分组讨论：1.学生分组探究；2.学生展示探究过程；3.教师完善过程并给出结论.成果展示： 【思考】上面研究了多边形的内角和，在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和.如图，四边形ABCD的外角和是，多边形外角和又有怎样的规律呢？【探究1】先从角形开始探究，三角形的外角和是多少度？提示：观察图形易知，三角形边形的每一个外角和它相邻的内角互补，而三角形的内角和为180°，则可得求三角形外角和的思路： 1.先求3个外角+3个内角的和；2.再减去三角形的内角和 教师活动：展示课件，引导学生观察思考.学生活动：先在小组内交流，独立完成计算过程，总结多边形的外角和.教师呈现规范步骤：证明：∵ ∴∵∴三角形的外角和是【追问1】类比三角形内角和证明过程，你能求出四边形的外角和吗？ 教师活动：教师引导学生观察思考.学生活动：按照三角形外角和的推理方法，自己推理，得出结论，小组内交流.分析: 四边形的每一个外角和它相邻的内角互补；四个内角与四个外角的和是180°×4.又知道四边形的内角和为360°，所以四边形的外角和：180°×4 – 360°=360°.【追问2】同样的，你能求出四边形的外角和吗？同样我们能够得到：n边形的每一个外角与它相邻的内角互补；n个内角与四个外角的和是180°×n.又知道n边形的内角和：为(n–2)×180°，所以n边形的外角和：180°×n–(n–2)×180°=360°.结论：n 边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数).【注意】①多边形的外角和是取每一个顶点处的一个外角相加得到的，而不是所有外角相加的和.②多边形的外角和与边数无关，都等于360°，是一个定值.【观察与思考】提出问题：正方形的边、角有什么特点？ 接着给出反例：长方形.长方形：各个内角都相等，但是各条边不都相等.【追问1】结合前边的分析，你能给出正多边形的定义吗？预设答案：多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形.【追问2】以下各个正多边形分别读作什么？(正多边形的命名) 学生活动：类比三角形说出各正多边形的读法. 正多边形的特点：各条边都相等、各个角都相等.【练一练】完成下列表格：正多边形的边数34568n每个内角的度数60°90°108°120°135°(1) 如果正多边形的一个内角是120°，那么这是正____边形.(2) 正n边形每个外角的度数是 .(3) 已知某正多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形是 正____边形.答案：六；；八【交流】三角形具有稳定性，但四边形则具有不稳定性（即各边的长确定后，图形形状不能确定），在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用，例如中活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以它可以拉开，也可以收拢.你能举出应用四边形的不稳定性的其他例子吗？3.学以致用，应用新知教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【例1】已知四边形ABCD中，∠A∠C180°，求∠B与∠D的关系. 提示：∠A，∠B，∠C，∠D有什么关系？解：因为∠A∠B∠C∠D360°，又∠A∠C 180°，所以∠B∠D 360°(∠A∠C) 180°.【例2】如果一个多边形的边数增加到原来的2倍，它的内角和是2160°,求原来多边形的边数.分析：本题可以利用多边形的内角和公式来求解，设多边形边数为n，则变化后的多边形边数为2n.解 设原多边形边数为n，得（2n-2）×180°=2160°解得n=7∴原多边形的边数为7.【例3】 如果一个多边形的每个外角都为40°,求这个多边形的边数.【分析】多边形的边数为n，则这个多边形有n个外角，而多边形的外角和是360°,从而可以构建方程求解.解 设多边形的边数为n,得40n=360°n=9答：这个多边形的边数是9.【例4】求正六边形每个内角的度数.分析：正六边形的6个内角相等解：正六边形的内角和为(6–2)×180°= 720°.而且正六边形的6个内角的度数都相等，所以每个内角的度数为：720°÷6 = 120°.总结：正n边形的每个内角的度数为， 正n边形的每个内角的度数为.4.随堂练习，巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1. 一个多边形的每个内角都是150°，它是______边形.2. 已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，这个多边形是_______边形.3. 已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形是_____边形.4. 一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是( )A.60° B.90 C.180° D.360°答案： 1.十二 2.八 3.六 4.C5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：多边形的内角和定理.多边形的外角和定理.正多边形的概念.6.布置作业教科书第74页习题19.1第1、2、3题. 通过观察图片，让学生从具体情境中抽象出图形，丰富学生对几何图形的感性认识，并能从上节课所学的内容引到本节课要学的内容.角平分线将四边形分割成两个三角形求出四边形内角和，渗透将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想.将研究方法进行迁移，明确边数、从一个顶点出发的对角线条数、分割的三角形数、五边形内角和之间的关系，为后面的研究奠定基础.通过分组讨论的方式，引导学生从不同的角度寻找解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力,同时激发学习兴趣.将外角和转化为内角和，再利用多边形的内角和定理证明，体现了转化与化归的思想方法.让学生类比三角形边形的外角和推导过程，推导得出结论：多边形的外角和等于360°.培养学生独立分析问题与解决问题的能力.让学生类比正方形学习正多边形，并通过举反例加深印象，提高分析问题和解决问题的能力.通过交流有关多边形在实际生活中的应用，增强学生学习的积极性.教学中让学生充分发言，列举更多实际应用的例子这里可以设原多边形的边数为n，通过列方程来解决.在这里教师要向学生渗透方程的数学思想.教师要引导学生回顾多边形的外角和是360°，然后利用外角和解决问题比较简单.同时教师也可以适时总结利用多边形的外角和解决问题.学生通过练习，巩固本节课所学内容，熟练掌握利用内角和与外角和公式，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
板书设计 第2课时 多边形的内角和与外角和1.多边形的内角和定理n边形的内角和等于（n为不小于3的整数）2.多边形的外角和定理n边形的外角和等于.3.正多边形的特点：①各条边都相等；②各个内角都相等4.四边形的不稳定性 提纲挈领，重点突出.
教后反思学生在探索多边形内角和的过程中先把多边形转化成三角形，进而求出内角和.这体现了由未知转化为已知的思想.特别是在课堂教学中适时的利用问题加以引导，使学生领会数学思想方法，真正理解和掌握数学的知识、技能，增强空间观念及数学思考能力培养，并获得数学活动经验.同时，恰当的使用课件扩大课堂容量，使课堂教学的深度和广度都有所提高.
19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形边、角的性质
课题 平行四边形边、角的性质 课型 新授课
教学内容 教材第75-77页的内容
教学目标 1.理解并掌握平行四边形的概念．2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质．3.能运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算，通过将平行四边形问题转化为三角形问题，体会数学转化思想．4.通过观察、度量、猜想、证明平行四边形的性质，体会几何研究的思路和方法，培养学生逻辑推理能力.
教学重难点 教学重点：平行四边形边、角的性质探索和证明.教学难点：通过连接对角线，用全等三角形知识证明平行四边形对边相等、对角相等的性质．
教 学 过 程 备 注
(1)∵AB∥DC，AD∥BC,
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(ASA)
【例1】如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
(2)如果∠AEB=40°，求∠C的度数.
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB.
∴AB=AE=2.
∴∠A=180°(40°+40°)=100°
想一想：如图，直线l1∥l2，AB，CD是夹在直线l1，l2之间的两条平行线段.请探究AB与CD的数量关系？并说明理由.
解：∵ l1 ∥ l2，AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形.
AE=CF
解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对角相等).
∵∠A=60°，∴∠C=60°，∠B=180° ∠A=120°.∴∠D=∠B=120°.2.已知：如图，在平行四边形ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE = DF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB = CD，AB // CD， ∴∠BAE=∠DCF， 又∵AE=CF，∴△BAE≌△DCF（SAS），∴BE=DF.5.课堂小结，自我完善通过这节课的学习，你有哪些收获？给你印象最深的是什么？还有哪些想法或疑惑？在学生回答的基础上，教师进行最后的总结：（1）平行四边形的概念.（2）平行四边形的边、角性质.（3）两平行线间的距离.6.布置作业教科书P78练习第2,3题 通过实际生活中的情景引导学生找到具有平行四边形形象的几何图形，培养学生从实物中抽象出几何图形的能力，发展学生的空间观念.通过图片展示，让学生真切感受生活中存在大量平行四边形，进一步熟悉平行四边形的形象.进一步培养学生从实物中抽象出几何图形的能力.让学生复习巩固平行四边形的概念.通过回顾三角形的表示方法，类比出平行四边形的表示方法，让学生体会类比的数学思想.培养学生将文字语言转化为符号语言的能力.引出边、角，并让学生认清平行四边形的对边、对角，为后面研究平行四边形的性质作铺垫.让学生经历合作探究的过程，通过观察度量等手段猜想出平行四边形的性质；培养学生发现问题，解决问题和直观想象能力.通过正向思维与逆向思维分析问题，解决问题，培养学生逻辑推理能力；通过作辅助线让学生领悟平行四边形问题一般转化为三角形问题来处理，体会数学中的转化思想.让学生熟悉平行四边形性质定理的文字语言、几何语言以及推理的基本模式，加深学生对数学语言与数学符号之间的转化.通过平行四边形性质的简单应用，让学生感到学有所获，培养学生的逻辑推理能力.通过对平行四边形性质的深入思考，引出两条平行线之间 的距离的概念.强化学生对于两条平行线之间距离的理解.AF的长也可以用平行四边形的面积来求.通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的性质的理解及应用.让学生各抒己见，争当学习的主人，培养学生归纳、概括能力和语言表达能力，教师对学生的回答予以充分肯定，增强学生自信息
板书设计 第1课时 平行四边形边、角的性质1.平行四边形的表示方法： 符号： ，记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”2.平行四边形的性质定理：性质1 平行四边形的对边相等，性质2 平行四边形的对角相等．几何语言表示为：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC，AD=BC ，∠A=∠C，∠B=∠D.3.平行线之间的距离：概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离结论：①夹在两条平行线之间的平行线段相等 ②两条平行线之间的距离处处相等. 提纲挈领，重点突出.
教后反思平行四边形的性质这一节课是本章的第一节，也是本章重点内容之一，它在本章中起着承上启下的作用，并为我们接下来研究各种特殊平行四边形——矩形、菱形、正方形等奠定重要基础；而平行四边形性质的探索需要借助我们已学过的平行线、三角形全等和四边形的内角和等相关知识，并且为证明线段相等和角相等提供重要依据和方法.因此，上好这一节课非常关键，既不能让学生感觉太难，也不能让他们糊弄过关.学生在小学就学行四边形的定义,能对四边形,尤其是特殊的四边形进行识别,但对于概念的本质属性的理解并不深刻.在学习平行四边形性质时,让学生通过观察度量,得出对边相等、对角相等的猜想.然后通过证明“对边相等”,必须添加辅助线证明两个三角形全等,一方面引入了对角线,另一方面让学生感受把四边形转化为三角形的数学思想.因此本节课要注意突出平行四边形性质的探索过程,重视直观操作和逻辑推理的有机结合,使证明成为学生观察、实验、探究得出的结论的自然延续,把实验几何和论证几何有机结合.
19.2 平行四边形
第2课时 平行四边形对角线的性质
课题 平行四边形对角线的性质 课型 新授课
教学内容 教材第78-79页的内容
教学目标 1.探索并掌握平行四边形的对角线互相平分；2.能综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明；3.通过观察、度量、猜想、证明等环节探索平行四边形的性质，在探索过程中进一步培养学生的逻辑推理能力和探索精神；4.通过合作探究，让学生体会学习的乐趣，增强学习的信心.
教学重难点 教学重点：平行四边形对角线互相平分的性质及其应用.教学难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明．
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题教师活动：教师呈现情境，引导学生思考并回答问题.一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少. 【问题】同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？2.合作探究，探索新知【探究】如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O. (1)图中共有几对全等三角形？(2)请你选择其中一组进行证明.【学生活动】1.量一量，拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，看它们是否相等.根据平行四边形的定义，进行推理论证，找出图形中的全等三角形并证明.解：(1)根据平行四边形的性质“对边平行且相等、对角相等”，我们可以得到一共有4对全等三角形：(2) 选择△OAB≌△OCD证明：∵在 ABCD中， AB//DC，∴OABOCD，OBAODC又∵ ABCD，AB=CD，∴△OAB≌△OCD(ASA)引导：根据4组全等三角形，我们能得出哪些线段相等呢？而AB=CD，AD=CB正好验证了“平行四边形的对边相等”这一性质.思考：根据“OB=OD,OA=OC”这2组相等线段，你能得出哪些结论呢？★性质3：平行四边形的对角线互相平分.【归纳】★平行四边形的性质3 文字语言：平行四边形的对角线互相平分.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OAOC=AC，OBOD=BD. ★平行四边形的性质【想一想】你能利用平行四边形的性质判断老人这样分地公平吗？预设答案：公平.教师活动：教师可先提示学生四个小三角形中有2对是全等的三角形，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，不妨把△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积依次记为S1，S2，S3，S4，则有S1S3，S2S4.再让学生观察△AOD和△AOB，由平行四边形的对角线互相平分可得：OBOD，即这两个三角形的底相等，再结合图形发现这两个三角形的高相同，所以S1S2.最终得出S1S2S3S4.★结论：平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.学以致用，应用新知【例】已知：如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长. 教师活动：引导学生分析，根据平行四边形的对角线互相平分，可将问题进行转化，BD=2BO.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5四边形 ∵AB⊥AC， ∴△ABC是直角三角形. ∴AC=4，AO=2, ∴BO=.∴BD=2BO2.随堂训练，巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. ABCD中，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，若对角线AC与BD的交点为O，求△OBC的周长.分析：C△OBC=OB+OC+BC=OB+OC+AD =BD+AC+AD解：如图，∵在 ABCD中，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，∴OC=AC=12cm，OB=BD=19cm，BC=AD=28cm.∴△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+28=59(cm)2. 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OBOD，ABCD，ADBC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm ∴ABAD5cm又∵ ABCD的周长为60cm∴ABAD30cm则ABCD17.5cm，ADBC12.5cm.总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OEOF. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，OAOC. ∵∠EAO∠FCO 在△AOE和△COF中， ∠AOE∠COF，OAOC，∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF. ∴OEOF. 教师活动：教师根据学生的接受情况，考虑追问：如果改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？让学生观察下面三个图形，让学生自行分析得出结论. 答案：成立总结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.平行四边形有哪些性质？2.平行四边形的对角线将平行四边形分割成的四个小三角形有什么关系？3.过平行四边形的对角线交点的直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段长度有什么关系？6.布置作业教科书第79页练习2，习题19.2第5题 通过情境引入，激发学生学习的兴趣.为讲解新课做铺垫.通过对存在全等三角形的思考及证明，引导学生逐步分析，对出现的相等线段去旧存新，从而得出新的数学结论.让学生熟悉平行四边形性质定理的文字语言、几何语言以及推理的基本模式，加深学生对数学语言与数学符号之间的转化.呼应创设情境的问题，让学生初步体会利用平行四边形的对角线互相平分的性质解决问题.要求线段BD的长度，根据平行四边形的性质，可以先求出BO的长度，这样先在Rt△ABC中求出AC，再利用平行四边形的性质及勾股定理求出AO，进而求出BO，问题解决.通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的性质的理解及应用. 要求平行四边形各边的长,只需求出任意一组相邻两边的长，已知平行四边形的周长可求出平行四边形相邻两边长的和.△AOB与△DOA有一组公共边，一组相等的边，还有一组边是平行四边形的邻边，它们的周长差就是平行四边形相邻两边的差.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第2课时 平行四边形对角线的性质1.平行四边形的性质3 文字语言：平行四边形的对角线互相平分.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OAOC=AC，OBOD=BD. 拓展结论：①平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形②过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课是在研究了平行四边形的边和角的性质后，对对角线的性质进行探究和应用，学生已经学习对角线的定义，通过度量猜想两条对角线有什么关系，有些学生很自然猜想对角线相等，但是经过度量，发现两条对角线不总是相等的.于是有些学生就卡住了.这时，通过借助寻找全等三角形的方式，将四边形的问题转化为三角形的问题，通过对存在全等三角形的思考及证明，引导学生逐步分析，对出现的相等线段去旧存新，从而得出新的数学结论，然后还要稍微拓展一下，让学生探究所分成的四个小三角形之间的关系.
19.2 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定
课题 平行四边形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第79-81页的内容
教学目标 1.通过平移与作图探索并掌握判别四边形是平行四边形的条件.2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算.3.经历平行四边形判定定理的探索过程，发展合情推理的意识和表述能力，体会几何思维的真正内涵.4.经历平行四边形的判定定理的探索过程，培养协作、探究精神.
教学重难点 教学重点：平行四边形判定方法的探究.教学难点：平行四边形判定定理的理解和灵活应用.
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题前面我们学行四边形的定义和性质，你能说出它的具体内容吗？ 学习定义和性质后，由以前的经验接下来我们应该研究什么？教师活动：引导学生回顾所学，得出结论：接下来该研究判定了，引出本节课的教学内容，平行四边形的判定.合作探究，探索新知【思考1】将线段AB按图中所给的方向和距离，平移成线段A′B′，顺次连接A，B，B′，A′，构成一个一组对边平行且相等的四边形ABB′A′ ，你能说出它一定是平行四边形吗？为什么？ 【教师活动】引导学生思考，在平移过程中，对应线段有哪些性质？对应点的连线有哪些性质？【学生活动】测量、思考、交流结论.结论：平移过程中对应线段平行且相等；对应点的连线平行（活在同一条直线上）且相等.【探究】已知：如图，在四边形ABCD中， AB//DC，且AB=DC.求证：四边形ABCD是平行四边形. 分析：已知AB∥DC，只要再证明AD∥BC，即可证明所求.考虑作辅助线，通过证明三角形全等得到角相等进而得证.【学生活动】小组合作，书写证明过程，全班交流，选派代表回答.证明：连接AC. ∵ AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA.又 ∵AB=CD，AC=CA.∴ △ABC≌△CDA（SAS） .∴∠ACB=∠CAD. ∴ AD∥BC .因此，四边形ABCD是平行四边形.【归纳】由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法有：平行四边形的判定定理1文字语言：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注：常用符号“”表示“平行且相等”，读作“平行且等于”.符号语言： 在四边形ABCD中，∵ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形.【思考】一组对边平行， 另一组对边相等的四边形是否一定是平行四边形 预设答案：不一定【思考2】如图，过点A画两条线段AB，AD，以点B圆心， AD长为半径画弧，再以点D为圆心， AB长为半径画弧，两弧相交于C，连接BC， DC，这样得到两组对边分别相等的四边形ABCD. 这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？梳理条件：已知AB=DC，AD＝BC.分析：已知两组对边分别相等，只要再证明任意一组对边平行（或证明两组对边分别平行），即可证明所画四边形为平行四边形.【学生活动】小组合作，书写证明过程，全班交流，选派代表回答.证明：（方法一）连接AC. ∵ AB=DC， AD＝BC，又 ∵AC=CA，∴ △ABC≌△CDA（SAS），∠CAB=∠ACD .∴ AB∥DC .∵ AB=DC， AB∥DC .因此，四边形ABCD是平行四边形.证明：（方法二）如图，连接AC.在△ABC和△CDA中，∵ AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴ △ABC≌△CDA，∴ ∠ACB＝∠CAD，∠DAC＝∠BCA，∴ AB∥CD , AD∥CB，∴ 四边形ABCD是平行四边形（定义）.【归纳】由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：平行四边形的判定定理2文字语言：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：在四边形ABCD中， ∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.【思考3】如图，作两条直线l1， l2相交于点O，在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出来的四边形ABCD的对角线就互相平分. 这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？梳理条件：已知OA=OC， OB＝OD.【教师活动】分析题目中的已知条件和求证的结论，引导学生利用平行四边形的定义、判定定理1、判定定理2分别进行证明.【学生活动】根据老师的分析，写出已知和求证，分析三种判定方法，选择一种自己认为较好的方法写出证明过程，在小组内交流总结.证明：∵ OA=OC，OB＝OD，又 ∵∠AOD=∠COB，∴ △AOD ≌ △COB.∴ AD=CB，∠DAO=∠BCO .∵ ∠DAO=∠BCO ，∴ AD∥CB .∵ AD∥CB ，且 AD=CB.∴四边形ABCD是平行四边形.【归纳】由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：平行四边形的判定定理3文字语言：对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言：在四边形ABCD中，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.【归纳】现在你学了几种平行四边形的判定方法？ 学以致用，应用新知【例1】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由. 教师活动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生说出思路，若学生没有思路，教师在引导学生分析，启发学生.分析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB， 可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论.解：四边形ABCD是平行四边形.证明如下：∵ DF∥BE，∴ ∠AFD＝∠CEB.又∵ AF＝CE，DF＝BE，∴ △AFD≌△CEB(SAS)， ∴ AD＝CB，∠DAF＝ ∠BCE，∴ AD∥CB，∴ 四边形ABCD是平行四边形.【例2】 已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF. 求证：四边形BEDF是平行四边形. 教师活动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生说出思路，若学生没有思路，教师在引导学生分析，启发学生.分析： ABCD中， AE=CF，它们是对角线上的线段，故可考虑使用“定理3”.证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO∵AE=CF，∴OE=AOAE=COCF=OF.∴四边形BEDF是平行四边形.【归纳】随堂训练，巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.试判断四边形ABCD是否是平行四边形，并说明理由.证明：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°又 ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴ 2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°.∴ AD∥BC ，同理得AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.2. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵AE=CF，AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）.∴∠ABE=∠CDF，∴ AB∥CD.又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.3. 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )A．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形答案：B课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.目前学习了哪几种判定平行四边形的方法？你是否能分别从边、角、对角线的角度分别进行归纳总结？6.布置作业教科书第82页练习第4题，第85习题19.2第8，9题 通过对已有知识与经验的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形判定的问题.通过线段平移，引导学生发现判定平行四边形的新方法.同时还可以引导学生进一步认识平移的两大基本特征：平移的方向和距离.常考易错点，通过让学生举出反例的方式进一步理解判定定理1，加深印象，避免混淆.引导学生探究平行四边形的判定方法，同时在思考、证明的同时，还可以适当地复习尺规作图的知识：作一条线段等于已知线段.通过作图得到对角线互相平分的四边形，让学生通过推理，证明得到平行四边形的判定定理3，加深学生的理解，同时复习巩固有关尺规作图的相关知识.鼓励学生分析不同证明方法的优劣，为灵活应用判定定理作铺垫.归纳现阶段平行四边形的几种判定方法.通过对例题的讲解，及时巩固所学知识，加深对平行四边形判定方法的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力.此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB.通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的判定定理的理解及应用.配方法得到:通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识，对本章判定平行四边形的方法进行整体的概括，形成整体知识框架.
板书设计 平行四边形的判定1.从“边”①两组对边平行且相等的四边形是平行四边形（定义法）②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理1）③两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理2）2.从“对角线”考虑对角线互相平分的四边形式平行四边形（判定定理3）从“角”考虑两组对角分别相等的四边形是平行四边形（拓展） 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课的设计是让定理的教学充分展现知识的发生，发展过程.既对定理的产生有探索过程，又对论证方法有发现过程，既教发现，又教证明.教师要充分发挥引导者的作用，以学生为主体，让学生自主探究，在探究的教程中，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，由学生充分的动脑，动口，动手完成知识的迁移，通过探索式证明学习，开拓学生的思路，发展学生的思维能力；通过尝试的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣.
19.2 平行四边形
第4课时 中位线定理
课题 一元二次方程根的判别式 课型 新授课
教学内容 教材第81-82页的内容
教学目标 1.理解三角形的中位线的定义.2.理解并掌握三角形中位线的性质定理，能够应用这个定理解决有关的问题.3.探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力.
教学重难点 教学重点：掌握中位线的定义以及中位线定理..教学难点：三角形中位线的性质定理的证明（辅助线的添加方法）.
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果能测量出MN的长度，也就能知道AB的距离了.这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的问题. 合作研究，探索新知【探究1】已知，直线l1，l2，l3互相平行，直线AC与直线与直线A1C1分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B2，C3，且AB=BC. 求证：A1B1=B1C1. 【教师活动】要证线段A1B1＝B1C1，可考虑把线段转化在两个全等的三角形中，故过点B1作EF∥AC，利用平行四边形的判定和性质证明即可.【学生活动】根据老师的分析，合作完成证明过程，并总结存在的结论.证明：如图，过点B1作EF∥AC，分别交直线l1，l2于点E，F.∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形.∴EB1=AB，B1F=BC.∵ AB =BC，∴EB1=B1F.又∵∠AEB1=∠B1FC1，∠A1B1E=∠C1B1F，∴△A1B1E≌△C1B1F，∴A1B1=B1C1.【归纳】由此得到如下结论：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么其他直线上截得的线段也相等.【教师提问】若直线A1C1向左平移，使点A1和点A重合，你会得到什么结论？【学生活动】动手操作，测量，证明，得出结论.结论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.【探究2】如图，若点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点. 那么DE与BC的位置有什么关系？大小有什么关系？你能试着进行猜想吗？ 【学生活动】1.任意画一个三角形，取任意两边的中点连接(如上图DE）.2.利用手中的量角器、直尺等量一量（DE和BC），完成测量数据记录表.3.你能发现中位线与第三边的位置关系和数量关系吗？4.小组交流讨论与展示.DEBCDE与BC的数量关系一组相关角的度数DE与BC的位置关系问题1：根据测量数据，发现DE与BC有怎样的关系呢？预设答案：猜想：DE∥BC且DE=BC.教师追问：（动手操作，小组讨论）我们如何证明这个猜想的正确性.【教师活动】引导学生分析问题的条件和结论，寻找证题方法，巡视学生做题过程，总结规律性的知识.【学生活动】先小组交流，通过做不同的辅助线进行证明，由两名学生在黑板板书，其余学生合作完成过程.已知：如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC ，且DE＝BC.证明：（方法1）如图（1），过点D作DE′∥BC,交AC于点E′，则点E′与点E重合.∴ DE∥BC.同理，过点D作DF∥AC,交BC于点F,则点F为BC的中点.∴ 四边形DFCE是平行四边形.∴ DE=FC＝BC.（方法2）如图,延长DE至F，使EF＝DE，连接CF. ∵ AE＝CE, ∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴ △ADE≌△CFE(SAS) .∴ AD＝CF,∠A＝∠ECF.∴ CF∥AB.∵ AD＝BD,∴ BD＝CF.∴ 四边形DBCF是平行四边形.∴ DF∥BC，DF＝BC.∴ DE∥BC，DE＝BC.【归纳】定义：连接三角形中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.思考： 除此之外，△ABC还有其他中位线吗 你会画吗 （展示图形） 【注意】任意一个三角形都有三条中位线.学以致用，应用新知【例1】如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )eq \f(3,2) 3 6 D．9解析：∵ D，E分别为AC，BC的中点，∴ DE∥AB，∴ ∠2＝∠3.又∵ AF平分∠CAB，∴ ∠1＝∠3，∴ ∠1＝∠2，∴ AD＝DF＝3，∴ AC＝2AD＝6.故选C.答案：C【例2】已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证.证明：连结AC，△DAC中，∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）.同理EF∥AC，EF=AC.∴HG∥EF，且HG=EF.∴四边形EFGH是平行四边形.【总结】此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.随堂训练，巩固新知如图所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF= cm. 答案：42.三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是 cm.答案：73.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为 .答案：6.54.如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是( )A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长先增大后减小答案：D5.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB的周长是18 cm，则EF＝________cm. 解析：∵AC＋BD＝24 cm，∴OA＋OB＝12 cm，又∵△OAB的周长是18 cm，∴OA＋OB＋AB＝18 cm，∴AB＝6 cm.又∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF＝3 cm.答案：35.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.（1）三角形中位线的概念是什么？（2）三角形中位线有什么性质？（3）在证明三角形中位线过程中运用了哪些思想方法？6.布置作业课本P85习题19.2第12，13题 通过实例引起学生的思考，激发学生探究的兴趣.此例为证明三角形中位线定理作铺垫在上面图形的基础上进行平移操作，自然引出后面的结论.通过实际测量更能准确的判断DE和BC之间可能存在的关系,为后面的猜想提供数据支持.所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形,体现了转化与化归思想.方法1利用了“经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边”的结论进行证明.引导学生思考证明线段的倍分关系，可以利用了“截长补短”的方法.此题的证明方法很多，可以让学生思考其他证法.本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．构建三角形的中位线是重要的作辅助线的方法，教师在讲解时一定要讲清楚为什么这样作辅助线，有什么作用，使学生掌握方法.注意整体思想的运用通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第3课时 三角形的中位线定理1.三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形中位线定理三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本课时所要探究的三角形的中位线定理是学生以前从未接触过的内容.因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法.通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形的性质
课题 矩形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第86-87页的内容
教学目标 1.了解矩形的有关概念，理解它与平行四边形之间的关系.2.掌握矩形的有关性质，发展学生合情推理意识，掌握几何思维方法.3.培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值.
教学重难点 教学重点：探索并证明矩形的性质定理.教学难点：应用矩形的性质定理解决相关问题.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题教师活动：引导学生回顾平行四边形的性质，分别从边、角、对角线三个方面进行思考，通过追问引入本节课题.【问题1】我们在前面学行四边形及其性质，请同学们回忆一下平行四边形有哪些性质呢？引导学生从以下方面思考：从边看：对边平行且相等；从角看：对角相等，邻角互补；从对角线看：对角线互相平分.活动：展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 预设答案：平行四边形的不稳定性.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程）2.合作探究，探索新知教师活动：再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).【问题1】矩形的定义包含几个条件呢？预设答案：（1）平行四边形；（2）有一个直角【问题2】同学们，你们能举出一些生活中矩形的例子吗？ 【追问1】平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？预设答案：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是矩形.【追问2】矩形是特殊的平行四边形,除了具有平行四边形的所有性质,还有哪些特殊的性质呢 【探究】活动：在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？ 学生活动：小组分组合作，分组讨论、测量、探究、交流、猜想.猜想：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等【追问1】你能证明这两个结论吗？学生活动：分析已知和求证，小组讨论证明过程，选派学生进行讲解.预设答案：（一）已知：矩形ABCD，如图.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.证明：由定义知，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°.∵ AB∥DC，AD∥BC，∴ ∠B =∠C=∠D=90°（两直线平行，同旁内角互补）.即矩形ABCD的四个角都是直角.思考：还有其他的证明方法吗？矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角.符号语言：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900（二）已知：矩形ABCD，如图：求证：AC=BD.证明: ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC=∠BCD=90°，AB＝DC，在Rt△ABC和Rt△DCB中，,∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（SAS）,∴ AC=BD.矩形性质定理2：矩形的四个角都是直角.符号语言：∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.【追问2】OA、OB、OC、OD有什么关系？预设答案：OA=OB=OC=OD.【追问3】如图：矩形ABCD中，AO＝_____AC，BO＝______BD.BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？观察、思考后发现AO＝AC，BO＝BD，BO是Rt△ABC的中线. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：在Rt△ABC中，，AO=CO，则有.3.学以致用，应用新知【例1】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝4 cm，求矩形对角线的长. 解：（方法1）∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD，∴ OA＝OB.又∠AOB＝120°，∴ ∠OAB＝∠OBA==30°.在Rt△ABD中，BD＝2AD＝8 cm.∴ 矩形的对角线长为8 cm.（方法2）∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD，∴ OA＝AC，OD＝BD，∴ OA＝OD.∵ ∠AOB＝120°，∴ ∠AOD=60°∴ △AOD是等边三角形，∴DO=AD=4 cm，BD＝2AD＝8 cm.∴ 矩形的对角线长为8 cm.【例2】已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC. 求证：CE＝EF. 分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°. ∴∠B=∠AFD.又 AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF=BE．∴AE-AF=BC-BE∴EF=EC．补充：此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC.4.随堂训练，巩固新知1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分答案：C 2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( )A．50° B．60° C．70° D．80°答案：D3.如图,在矩形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16,则图中长度为8的线段有（ ） A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 答案：D4.3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( )A．2.3 cm B．2.4 cm C．2.5 cmD．2.6cm答案：C5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝____cm. 答案：36.已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE． 解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4)cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＋82＝(x＋4)2， 解得x＝6，则AD＝6 cm. 利用面积公式，可得AE·DB＝AD·AB， 解得AE＝4.8 cm.5.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.（1）矩形的定义是什么？矩形与平行四边形之间的关系？（2）矩形有哪些性质？（3）直角三角形中斜边的中线有什么性质？6.布置作业课本第134页练习第2，3题. 通过提问复习并梳理平行四边形的性质，为矩形性质的学习作铺垫.由平行四边形的不稳定性，了解平行四边形形状的变化原理，为后面理解矩形与平行四边形的之间的关系作铺垫.学生小结矩形的定义,剖析定义,培养学生的语言表达能力.学生动手实践，主动探索与合作交流，变“被动学习”为“主动学习”， 培养学生主动的“动手”，“动脑”，“动口”的学习习惯和能力，使学生真正成为学习的主人.使每位学生都参与到学习过程中，同时获得轻松、愉快、成功的情感体验.通过证明让学生明确矩形的性质，培养学生的逻辑推理能力.鼓励学生尝试用不同的方法证明.培养学生的概括能力和语言表达能力.矩形的对角线相等且互相平分.由于矩形的对角线相等，所以分成的四个小三角形是等腰三角形.方法1利用直角三角形中30°角的性质.方法2利用等边三角形的性质要充分利用矩形的性质结合三角形全等来解决问题.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.对本节课知识进行回顾，加深记忆和理解，教师也要针对学生在解题中出现的问题进行强调
板书设计矩形的性质1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).2.矩形的性质矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节课，以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握，形成了和本质相关的认知结构，取得了良好的教学效果.解释“矩形的对角线相等”的理由时，要注意找准利用哪两个三角形全等得出结论.每一个结论的得出，都要求学生经历观察、猜想、验证的过程，提高学生的探究能力，这里要特别注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论在解题中有很重要的应用.
19.3 矩形 菱形 正方形
第2课时 矩形的判定
课题 矩形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第88-89页的内容
教学目标 1让学生经历矩形判定定理的猜想与证明过程.2.让学生理解并掌握矩形的判定定理.3.让学生能应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题.
教学重难点 教学重点：理解并掌握矩形的判定定理.教学难点：矩形判定定理的应用.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题【想一想】1.平行四边形的性质和判定有哪些？2.矩形的性质有哪些？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？师生活动：教师通过提问带领学生复习前面所学的知识，利用表格让学生猜到本节课的主题是要探究矩形的判定方法。预设答案：【思考】矩形的定义是什么？定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。教师分析：从矩形的定义中可以看出，矩形的定义中既可作为矩形的性质，又可作为菱形的第一种判定方法，即：有一个角是直角的平行四边形是矩形.强调矩形的定义是矩形的一种判定方法．【追问】除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？今天我们进一步来研究矩形的判定．（板书课题）2.合作探究，探索新知【交流】如图，工人师傅在做门窗框架、桌面等包含矩形的物体时，不仅要测量矩形两组对边的长度是否相等，还要测量他们的两条对角线是否相等，你能说出其中的道理吗？梳理条件：①先测量两组对边的长度是否相等→先判断是否是“平行四边形”②再测量两条对角线是否相等→推测是否是“矩形”分析问题中的条件，可以猜测工人是否想通过在平行四边形的基础上添加“对角线相等”的条件判定矩形，因此可以鼓励让学生猜测判定矩形的方法，猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.追问：刚才猜想是否正确呢？我们如何证明这个猜想呢？【教师活动】分析题目的已知和求证，寻找证题方法，巡视学生做题过程，总结规律性的知识.【学生活动】根据题意画出图形并写出已知和求证，先独立完成证明过程，再组内交流，纠正.已知：在 ABCD中，AC＝BD.求证：四边形ABCD是矩形．分析：引导学生分析，再证明 ABCD内其中一个角是90°，即可得证.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC.∵ DC=CD，AC=DB, ∴ △ADC≌△BCD , ∴ ∠ADC =∠BCD. ∵ ∠ADC +∠BCD = 180°, ∴ ∠ADC =∠BCD= 90°, ∴ ABCD是矩形（矩形的定义）.【归纳】矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形.【思考】我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流. 举例由举例可知，当一个四边形有三个角是直角是就是矩形.猜想：三个角是直角的四边形是矩形.追问：刚才猜想是否正确呢？我们如何证明这个猜想呢？【学生活动】根据题意画出图形并写出已知和求证，先独立完成证明过程，再用几何语言描述判定定理.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A＝∠B ＝∠C ＝90°，∴ ∠B＋∠C＝180°,∠A＋∠B＝180°，∴ AB∥CD， AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ ∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形. 【归纳】矩形的判定定理2：三个角是直角的四边形是矩形.几何语言：∵四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形.【归纳】现在你学了几种平行四边形的判定方法？ 3.学以致用，应用新知【例1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于点E，F.求证：四边形AECF是矩形.证明： AE∥BC，∴ ∠1=∠2.在△ADE和△CDF中，∵ ∠1＝∠2，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，∴ △ADE≌△CDF. ∴ AE＝CF.∴ 四边形AECF是平行四边形.又∵ 四边形ABFE是平行四边形, ∴ EF ＝ AB.∵ AC＝AB, ∴ EF＝AC.∴ 四边形AECF是矩形.【教师活动】分析题目的条件，引导学生书写证明过程，巡视学生做题过程，纠正学生做题中出现的问题.【学生活动】在老师的指导下，先自己整理证题过程，整理完在小组内交流，对出现的错误及时纠正.【例2】如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH为矩形．分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明.证明：在 ABCD中，AD∥BC,∴ ∠DAB+∠ABC=180°. ∵ AE与BE分别为∠DAB，∠ABC的平分线,∴ ∠BAE+∠ABE = ∠DAB+ ∠ABC=90°.∴ ∠AEB=90°. ∴ ∠HEF=90°.同理可证∠AFG=∠EHG=90°，∴ 四边形EFGH是矩形． 【总结】平行四边形的性质两组对角的角平分线，两两相交，构成一个矩形.【归纳】证明矩形的一般思路：4.随堂训练，巩固新知1.如图，直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ） 菱形 平行四边形 矩形 D.不能确定答案：C如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 答案：D3.用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有_______.（只要填序号即可）①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等.②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等.③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2=c2.④量出两条对角线长，看是否相等.答案：①② 4.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝CD.∵AF＝BD，∴BD＝DC；(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．5.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.本节课学习了哪几种判定矩形的方法？每种方法的判定思路是什么？6.布置作业课本第89页练习第1，2题. 回顾知识，为本节课的内容打下基础. 通过表格，引入课题，激发学生探究的欲望.在教学过程中，教师应重点观注：（1）对矩形定义的再认识；（2）激发学生对问题探究的兴趣涉及学生身边的实例，对学生来说既熟悉又陌生，具有一定的趣味性又具有一定的挑战性，能在一定程度上激发学生的求知欲.注意：学生思考、交流后教师可以适当地引导．给出的条件与定义相比少了哪个条件？又多了哪个条件．培养学生的概括能力和语言表达能力.分析题目的已知和求证，引导学生先证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是90°，根据矩形的定义得出结论.指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了，因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角.此题考察了平行四边形的性质、矩形的判定，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.通过总结培养学生的归纳概括能力，并回答开头提出的问题，前后呼应第1、2、3题是对矩形判定方法的应用，让学生根据矩形的判定方法进行解决，第4题综合应用三角形全等和矩形的判定，要先让学生观察思考，再进行解答.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识，对本章判定矩形的方法进行整体的概括，形成整体知识框架.
板书设计第2课时 矩形的判定1.矩形的判定方法：2.矩形的判定思路： 提纲挈领，重点突出.
教后反思在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在教学的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理，也要懂得提出问题探究问题.教师在例题练习的教学中，若能适当地多做一些变式练习，引导学生类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的有效性.在《矩形的判定》这一节的课堂教学中，尤其注意让学生在完成矩形练习题的同时，考虑图形的变式，类比平行四边形的情况再来思考，这样学生在学习平行四边形和矩形时，就能具有一以贯之的思维逻辑和更加宽广的视野，站在一个新的高度上来把握知识的整体脉络.
19.3 矩形 菱形 正方形
第3课时 菱形的性质
课题 菱形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第90-91页的内容
教学目标 1.理解菱形的概念，理解菱形与平行四边形之间的关系；2.会利用菱形的性质解决相关计算问题，会求菱形的面积；3.经历探索并证明菱形的性质定理的过程，渗透从一般到特殊、类比迁移的数学思想；4.通过观察比较、动手操作、合作交流，激发学生的学习兴趣，体验探索与创造的快乐.
教学重难点 教学重点：掌握菱形的定义及性质.教学难点：运用菱形的性质解决相关计算问题.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾,引入课题教师活动：教师引导学生回顾平行四边形的概念和性质，并参照图形简单说明.学生活动：回顾平行四边形的概念和性质平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分.【问题】当平行四边形的角特殊化时，会产生什么特殊的平行四边形？学生活动：回顾由平行四边形变成矩形的过程【追问】当平行四边形的边特殊化时，会产生什么图形呢？2.创设情境，探究新知教师活动：教师课件展示平行四边形的变化过程，停留在一组邻边相等时的情况，引导学生观察图形特征，并给出菱形的定义.接着通过动图演示，让学生举出生活中菱形形象的例子.问题：观察平行四边形的变化过程，当一组邻边相等时，会产生什么图形？ 预设答案：特殊的平行四边形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形在生活中随处可见.下图中的升降机就是采用的菱形部件. 【想一想】菱形也是常见的图形，能否举出生活中菱形形象的例子？【归纳】四边形、平行四边形、菱形之间的关系提问：菱形又有哪些性质呢？【思考】问题：菱形除了具有平行四边形的性质外，它的边、角、对角线还具有哪些特殊的性质呢？追问：能否类比平行四边形、矩形研究菱形的特殊性质？小组合作：1.两人一组，测量课本中的菱形；2.记录结果，提出猜想.【量一量】边：AB=BC=CD=DA对角线：AC⊥BD；∠BAO=∠OAD，∠ADO=∠ODC，∠ABO=∠OBC，∠BCO=∠OCD猜想：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.追问：你能证明这些猜想吗？【证明】（1）已知：四边形ABCD是菱形，求证：AB=BC=CD=DA.证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC.∵ 四边形ABCD也是平行四边形，∴ AB=DC ，AD=BC.∴ AB=BC=CD=DA.结论1：菱形的四条边都相等.（2）已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC.证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC，∴ △ABC为等腰三角形.又∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC.∴ BD⊥AC，BD平分∠ABC (三线合一)同理，BD平分∠ADC，AC平分∠DAB和∠DCB.结论2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.【归纳】 菱形的性质具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分.菱形不同于一般平行四边形的性质：边：菱形的四条边都相等.对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.几何语言：∵四边形ABCD是菱形∴ AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∠BAO=∠OAD，∠ADO=∠ODC，∠ABO=∠OBC，∠BCO=∠OCD.【操作】给你一个长方形纸片，如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？学生活动：认真思考，分组讨论交流，提出裁剪方案，并动手操作. 操作步骤：1.将一张长方形的纸对折两次，然后沿图中虚线剪下；2.展开剪下的三角形；3.用笔把折痕画出来. 【观察】我们知道平行四边形的对角线把平行四边形分成两对全等的三角形，根据刚才的操作，菱形的对角线把菱形分成的四个直角三角形是否全等？ 预设答案：菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.追问：你还能得出什么结论？预设答案：菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.3.学以致用，应用新知【例】已知菱形的两条对角线长分别为a，b，求菱形的面积.解：如图，设菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O， AC=a，BD=b.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD. ∴ 【归纳】菱形的面积公式注：可灵活选择公式进行计算.4.随堂训练，巩固新知1.已知菱形的周长是12 cm，那么它的边长是______.答案：3 cm.2.如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD =120°，则对角线AC的长是 .答案：63.在菱形ABCD中，AB=4 cm，∠ABC=60°，求菱形的面积.解：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4 cm，∠ABC=60°，则AB=AC=4 cm，AC⊥BD.∴ OA=OC=2 cm.在 Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2，∴OB=，BD=. ∴菱形的面积=cm.在菱形ABCD的边长为13 cm，它的一条对角线BD=10 cm，求对角线AC的长.解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ OB=OD=5 cm，AC⊥BD.在 Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2，AB=13 cm ， OB=5 cm，∴ AO=12 cm.∴AC=2OA=24 cm.5.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.（1）菱形的定义是什么？菱形与平行四边形之间的关系？（2）菱形有哪些性质？哪些性质是菱形特有的？（3）菱形面积的计算方法有哪些？6.布置作业课本第97页习题19.3第6题，7题. 复习回顾平行四边形的概念和性质，为本节课要学习的内容作准备.通过动画演示平行四边形角特殊化时变成矩形的过程，激发学生的探索欲，并思考边特殊化时的图形.借助动态演示，让学生直观感知边的变化带来平行四边形的改变.体会菱形是平行四边形的边特殊化后的产物，自然引出菱形的定义.通过动图让学生真实感受生活中菱形形象的存在.通过让学生举例，使学生进一步感受菱形的广泛应用，激发学习兴趣.通过归纳让学生熟悉四边形、平行四边形、菱形之间的关系，感受知识的延续性与关联性，培养归纳概括能力.通过分组探究，让学生经历观察、测量、猜想、证明的过程，渗透从一般到特殊、类比迁移的数学思想.通过证明让学生明确菱形的性质，培养学生的逻辑推理能力.通过归纳进一步熟悉菱形的性质，培养归纳概括能力.熟悉菱形的性质及其几何语言通过对比平行四边形得出菱形是轴对称图形.让学生在探究过程中进一步加深对菱形的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.通过例题归纳出菱形的面积公式.培养学生的归纳概括能力.通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.结合勾股定理进行考查通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第3课时 菱形的性质1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形不同于一般平行四边形的性质性质1 菱形的四条边都相等.性质2 菱形的对角线互相垂直.3.菱形的面积公式 提纲挈领，重点突出.
教后反思菱形的性质是四边形性质探索这一章中很重要的一节课，在本节课中，重在经历探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的主动的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤.了解菱形的现实应用和常用方法.本节课的思路是：先复习提问平行四边形的性质，然后讲菱形定义，在掌握定义的基础上证明菱形的性质，然后学习菱形性质的应用.在这一过程中注重培养学生的思维，利用题型变换，及学生自己总结规律等方式提高学生的逻辑思维能力.在培养灵活思维的同时注意解题“通法”这一不变因素，强化学生用直角三角形的方法解决几何计算问题，用特殊直角三角形的方法解决特殊菱形问题.
19.3 矩形 菱形 正方形
第4课时 菱形的判定
课题 菱形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第91-92页的内容
教学目标 1.理解并掌握菱形的判定定理，并会用菱形的判定定理进行证明和计算；2.通过操作、观察、猜想并证明菱形的判定定理的过程，体会数学思考的方法；3.经历菱形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力；4.在探究过程中培养学生主动探索的学习习惯.
教学重难点 教学重点：掌握菱形的判定定理.教学难点：会运用菱形的判定定理进行证明和计算.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾,引入课题教师活动：教师引导学生回顾菱形的概念和性质，引出本节课要学习的内容.学生活动：回顾平行菱形的概念和性质菱形的概念：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的不同于一般平行四边形的性质：菱形的四条边都相等.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.【问题】如何判定一个四边形是菱形呢？2.合作探究，探索新知教师活动：根据菱形的定义给出菱形的判定方法1，接着给出思考的问题，先让学生分组探究、猜想并证明，然后教师给出证明过程，得出结论.由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.由此，可得到菱形的一个判定方法.菱形的判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.提问：还有其他的判定方法吗？【思考】如图，以点A为端点任意画两条相等的线段AB和AD，再分别以点B，D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C，连接BC，DC，四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 分析：先根据题目操作推出四边形ABCD四边都相等，再证明四边相等的四边形是菱形.【证明】已知：如图，在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵ AB=BC=CD=DA， ∴ AB=CD，BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵ AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.【归纳】菱形的判定定理1：四条边相等的四边形是菱形.几何语言：∵四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA ，∴四边形ABCD是菱形.【操作】已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 作法：分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A、B 、C 、D四点.【思考】如图，画两条互相垂直的直线l1和l2 ，两直线相交于点O，在l1上取两点A，C，使OA=OC，在l2上取两点B，D，使OB=OD，顺次连接点A，B，C，D，四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 分析：先根据题目操作推出四边形ABCD是平行四边形，然后再证明对角线互相垂直的平行四边形为菱形.【证明】已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC.又∵ AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形.【归纳】菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.【思考】对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 预设答案：举反例，如上图所示，四边形的对角线互相垂直，但不是菱形.所以，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形.追问：能否将对角线加一个限定条件，让四边形变为菱形？分析：要先将四边形变为平行四边形.得出结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形.【归纳】现在你知道如何判定一个四边形为菱形了吗？3.学以致用，应用新知【例】如图，在 ABCD中，AC=8，BD=6，AB=5，求AD的长. 证明：∵ ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OB=BD=3.又∵ AB=5， ∴AB2=OA2+OB2， ∴ △OAB是直角三角形，即OA⊥OB.∴ ABCD是菱形，AD=AB=5. 4.随堂训练，巩固新知1.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．AC⊥BD B．AB=ADC．AC=BD D．∠ABD=∠CBD答案：C2.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？解：这是一个特殊的平行四边形，是菱形.理由如下：如图，在□ABCD中，AD=9，BD=12，AC=.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OD=6，OA=.∴ ， 即AD = OA +OD ∴ △AOD是直角三角形. ∴ AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形.3.画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6 cm和8 cm.解：作图步骤如下： (1)画一条线段AC=8 cm ，(2)作线段AC的垂直平分线l，与AC的交点为O；(3)以交点O为圆心，3 cm为半径画弧，交l于B、D两点；(4)顺次连接A、B 、C 、D四点，四边形ABCD就是菱形.4.已知：如图，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证：重合部分为菱形.解：作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形，∵ 两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，∴ AE=AF.又∵ S平行四边形ABCD=BC·AE=DC·AF，∴ BC=DC，∴四边形ABCD是菱形.5.课堂小结，自我完善教师引导学生讨论并交流，回顾本节所学.本节课学习了哪几种判定菱形的方法？每种方法的判定思路是什么？6.布置作业课本第98页习题19.3第8，9，10题. 复习回顾菱形的概念和性质，为本节课要学习的菱形的判定作准备根据菱形的定义自然得到菱形的一个判定方法.通过分组探究，让学生经历操作、观察、猜想、证明探索出菱形的判定定理，体会数学思考的方法，感受数学探究过程的严谨性.通过证明让学生明确菱形的判定定理，培养学生的推理能力.通过归纳让学生进一步熟悉菱形的判定方法和几何语言表示.通过作图巩固菱形的判定定理，培养学生的作图能力，并通过抢答提高学生的学习兴趣.通过分组探究，让学生经历操作、观察、猜想、证明探索出菱形的判定定理，体会数学思考的方法，感受数学探究过程的严谨性.通过证明让学生明确菱形的判定定理.进一步培养学生的推理能力.借助菱形的定义进行证明
通过归纳让学生进一步熟悉菱形的判定方法和几何语言表示.以问题的形式让学生进一步体会菱形的这个判定定理必须满足两个条件：①对角线互相垂直；②是平行四边形.通过总结培养学生的归纳概括能力，并回答开头提出的问题，前后呼应.菱形判定和性质的综合考查让学生在探究过程中进一步加深对菱形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第4课时 菱形的判定1.菱形的判定方法定义法：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.定理1：四条边都相等的四边形是菱形.定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.菱形的判定思路 提纲挈领，重点突出.
教后反思1.学生在应用菱形的判定的时候容易出现张冠李戴的现象，有的学生会将平行四边形的判定和菱形的判定混淆，或者是出现了不证明它是平行四边形，而直接就仅仅证明了邻边相等就说这个四边形是菱形.所以，在授课的时候，应该多复习一下平行四边形的判定，或者是将平行四边形的判定直接就抄到黑板上，让学生直接对照着书写，使学生知道每一步的证明的依据是什么，这样就可以避免此类错误的出现.2.对证明书写的规范性应进一步加强.学生们会理解为将很多的条件罗列起来就证明出它是菱形.有很多的学生仍然出现：AO=CO BO=DO AC垂直BD，然后就直接说明它是菱形的现象，因此在今后的教学中不仅要让学生来展示，而且某些十分易错的地方，或者是要特别强调的地方要单独的放在课堂上书写，这样既能避免学生们出现不该出现的共同的错误，也能加深学生们的印象，同时也给学生们一个接受新知的过程.或许更有利于本节课知识的掌握.3.学生们仍然善于用全等来证明某些线段或者是角相等，或者是该用判定一的而用了判定二，虽然也都可以得到结果，但是过程明显的复杂了，说明学生们在用简便的方法证明某些习题上还存在一定的欠缺，需要我们在平时的教学中多注重培养学生们使证明简单的思维习惯，不要总是绕大圈，这样对今后的学习也很有帮助.让学生知道我们不仅要得到结果，还要看得到这个结果的过程是否最简洁，是否构思更新颖，方法更巧妙.
19.3 矩形 菱形 正方形
第5课时 正方形
课题 正方形 课型 新授课
教学内容 教材第92-93页的内容
教学目标 1.理解并掌握正方形的定义、性质和判定定理，并能运用它们进行计算和证明；2.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，理