沪科版八年级数学下册第17章《一元二次方程》单元同步备课教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册第17章《一元二次方程》单元同步备课教案（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-09 09:18:41 | ||
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文档简介
第17章 一元二次方程
单 元 备 课
第 2单元 本单元所需课时数 10课时
课标要求 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解得意义，经历估计方程解得过程. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。了解一元二次方程的根与系数的关系.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性.
教材分析 本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展。学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数、二次不等式作好铺垫.
主要内容 本章主要内容有：一元二次方程的基本概念、解法，一元二次方程根的性质及及应用. 主要包括5节：第17.1节“一元二次方程”通过实际问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想；第17.2节“一元二次方程的解法”通过思考、探究、交流等学习活动，运用转化思想，探索了解一元二次方程的开平方法、配方法、公式法、因式分解法；第17.3节和17.4节研究一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；第17.5节“一元二次方程的应用”运用一元二次方程解决实际问题，强化建模思想，展现运用方程解决实际问题的一般过程，同时，结合应用问题介绍可化为一元二次方程的分式方程的解法.
教学目标 1.经历实际问题中数量关系的分析、抽象过程，体会方程是刻画现实世界的一种数学模型.2.了解一元二次程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会转化等数学思想方法.3.理解配方法的意义，能用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.4.理解一元二次方程根的判别式.不需解方程，会用它判别一元二次方程有无实数根，有实数根时，两根相等或不等.5.了解一元二次方程的根与系数的关系.6.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程包括可化为一元二次方程的分式方程并求解，并能根据具体问题的实际意义检验求得的结果是否合理.7.在经历建立方程模型解决实际问题的过程中,提高分析问题和解决问题的能力，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值.
课时分配 17.1 一元二次方程 1课时17.2 一元二次方程的解法 4课时17.3一元二次方程根的判别式 1课时* 17.4一元二次方程的根与系数的关系 1课时 17.5一元二次方程的应用 2课时小结·评价 1课时
教与学建议 1.注重创设问题情境，让学生经历建模的过程.2.注重学生的活动，鼓励学生自主探索与合作交流.3.注重数学思想方法的渗透. 4.注意把握教学要求.
17.1 一元二次方程
课题 一元二次方程 课型 新授课
教学内容 教材第19-22页的内容
教学目标 1.了解一元二次方程的概念.2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式.3.经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型.
教学重难点 教学重点：一元二次方程的概念及一般形式.教学难点：探求问题中的等量关系，建立方程模型.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题问题情境1 某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产产量比2009年翻一番(即为200t). 要实现这一目标，2010年 和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 【师生活动】教师展示问题，学生独立思考，小组内进行交流，若学生存在困难，教师可通过出示填空形式，让学生进行解答.设这个队年无公害蔬菜的年平均增长率是x,那么：2010年无公害蔬菜产量为t，2011年无公害蔬菜产量为t.教师提问：你能根据题意，列出方程吗？根据题意易得 .把以上方程整理得： x2+2x-1=0 .问题情境2 在一块宽20 m、长32 m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应为多少？【师生活动】根据情境1，教师接着提出问题2，提示只列算式.学生尝试独立解决，若发现存在问题，可让学生先小组内交流，最后找一位代表进行解答. 设小路的宽是x m，那么横向小路的面积 32x m2，纵向小路的面积是 2×20x m2,两者重叠的面积是 2x2 m2.教师提问：由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 32×20-（32+2×20x）+ 2x2=570.把以上方程整理得： x2-36x+35=0 .类比发现，探索新知观察方程：x2+2x-1=0，x2-36x+35=0.【问题1】以上两个方程以前都没有学习过.对比一元一次方程，有什么相同之处和不同之处？【师生活动】学生先独立思考（注意思考“一元”“一次”的意义），然后小组内讨论、交流，汇报. 引导学生得出方程的共同特点，并进行板书.【归纳总结】（1）都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【教师追问1】类比一元一次方程的定义，以及对“元”“次”的理解，能不能给以上方程下一个定义？【师生活动】学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义. 教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项.【归纳总结】①一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.【教师追问2】你能说出x2+2x-1=0，x2-36x+35=0的一次项及系数、二次项及系数、常数项吗？【师生活动】此问题较简单，可找基础较弱的学生进行回答.【教师追问3】为什么要求二次项系数？b和c能不能是0？【师生活动】学生独立思考并回答，教师针对学生的回答进行补充、归纳、强调. ①当二次项系数a为0时，未知数的最高次数不是2，此时，方式不是一元二次方程，所以二次项系数；②b和c可以为任何实数.学以致用，应用新知【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ 【师生活动】引导学生根据一元二次方程的定义进行判断，学生独立思考后，进行回答.【解】（1）（2）（3）（4）（7）（8）是一元二次方程.【教师追问】要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【师生活动】根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流，汇报. 引导学生总结出判断是否为一元二次方程的标准.【归纳总结】首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.【例2】a为何值时，下列方程为一元二次方程？； 【师生活动】学生先独立思考，然后同桌交流，教师组织进行展示，然后师生共同总结解决这一类问题的方法.【解】(1)将方程转化为一般形式，得,所以当，即时，原方程是一元二次方程. (2)由，且知，当时，原方程是一元二次方程.【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.【例3】 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.【师生活动】教师先引导学生确定二次项，一次项以及常数项首先要把方程化为一般式. 学生独立思考，学生代表回答.【解】去括号，得移项、合并同类项，得方程的一般形式为.其中二次项是,系数是3；一次项是-8,系数是-8；常数项是-10.【教师追问】解决此类问题需要注意什么？【师生活动】学生独立思考总结，并回答.【归纳总结】①一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；②系数和项均包含前面的符号.【例4】已知是方程的一个实数根,求+2023的值.【师生活动】先让学生尝试解决，如果学生有困难，教师可通过以下问题引导学生思考.【教师追问1】什么是一元一次方程的解？类比一元一次方程的解的定义能不能说出什么是一元二次方程的解？【教师追问2】下面哪些数是方程的解 -2,0,1,2,3,4.【师生活动】学生口答，归纳出一元二次方程根的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 教师进行板书，根据定义教师引导学生尝试解决问题，并及时归纳总结. 【解】由题意得即
【归纳总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值.4.随堂训练，巩固新知1.判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？（1） （2）（3） （4）（5） （6）答案：当时，（5）是一元二次方程；（6）是一元二次方程.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项: （2） （4）答案：（1）（2）（3）（4）3.将48张桌子排成若干行，且每行的桌子的数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排成了x行，写出排成的行数所满足的方程，并将其化为标准形式.解：因为这些桌子排成了x行，则每一行的桌子数，依题意得方程，整理得.4.下面哪些数是方程组根？ -3，-2，-1，0，1，2，3答案：-2，15.课堂小结，自我完善先让学生独立思考，进行总结，教师补充概括.6.布置作业教科书P21习题17.1第1~3题 对于文字应用题一直是学生学习的难点，而教学本身也是应用科学，正是因为有实际的应用价值数学才有生机，问题1在老师的引导示范下，共同探索，得到方程.教师应首先解释翻两番的含义，帮助学生理解题意.先让学生自己尝试列出方程，然后提醒学生进行化简，观察所列方程的特征.问题2由学生自主探究，训练了学生及时学习的能力，为引出一元二次方程的定义做好准备.类比一元一次方程可以使学生对概念的理解更深刻.教师需要强调“一元”“二次”真正含义让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升.特别强调：二次项系数，要说出项的系数必须先化成标准形式.反馈学生对一元二次方程定义的理解程度，要紧扣定义进行判断.但是有些方程需要化成一般形式后才能进行判断，比如例1（3）（4）.对一元二次方程二次项系数和最高项的次数为2的考查，通常要先将式子化为一般形式再判断.此类问题大部分学生能想到，往往忽略最高项的次数为2的条件，导致漏解，教师应对此进行强调，避免漏解.在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆．这里注意项和系数的区别.对一元二次方程（根）得考查，学生刚接触可能会比较懵，但通过类比一元一次方程的解，学生应不难理解一元二次方程的解.体会整体思想在代入求值问题中的应用.通过引导学生对本节课知识进行总结回顾，进一步巩固所学知识，教师要对易错点进行强调.
板书设计 17.1 一元二次方程一、一元二次方程1.都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；2.只含一个未知数; 3.未知数的最高次数是2.二、一般形式，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.三、一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 提纲挈领，重点突出.
教后反思在教学过程中，注重重难点的体现.在本节课的教学中，先通过实际问题引入课题，让学生掌握利用方程解决问题的方法，从而顺利过渡到后面的问题.然后让学生观察得到的方程，并通过类比一元一次方程的定义和一般形式，从而获得本课的新知识.最后强化学生所学知识，并运用到实际问题中去.教学过程中，应随时注意学生们出现的问题，及时进行反馈，使学生熟练掌握所学知识.
17.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法
课题 直接开平方法 课型 新授课
教学内容 教材第23页的内容
教学目标 1.会利用直接开平方法解形如的方程.2.初步了解形如的方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.4.通过解方程及实例探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.
教学重难点 教学重点：运用开平方的方法解形如的方程，领会-降次-转化的数学思想.教学难点：用平方根的定义解形如或的方程.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题教师活动：通过提问引导学生回顾已学知识.【问题1】口答题：4 的平方根是 ，81的平方根是 ， 81的算术平方根是 .预设答案：；；9【问题2】我们曾学方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根 平方根有哪些性质 预设答案：(1)如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（2）平方根有下列性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；②零的平方根是零；③负数没有平方根.【师生活动】问题1、2让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.2.合作探究，探索新知解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.x2＝4；（2）x2＝0；（3）x2+1＝0.【师生活动】教师先引导学生判定上面方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程.【解】（1）根据平方根的定义，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和-2，即根据平方根的定义，得x2＝4，x＝±2，即此一元二次方程的解为： x1＝2，x2 ＝-2.根据平方根的意义，得x1=x2=0.（3）根据平方根的意义，得x2=-1.【教师追问1】类似地，你能给出下列方程的解吗？（1）2x2-8＝0； （2）3x2＝-9.【分析】第（1）题可以先将-8移项，再将两边同时除以2化为x2＝a的形式，再利用平方根的.【师生活动】让学生观察式子，独立思考，小组交流讨论后给出答案. 教师根据学生回答情况总结：对于形如方程ax2-k=0(≥0)可变形为x2= (≥0)的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接利用平方根的意义解此方程.【教师追问2】上述方程有什么共同点？你能归纳一下这类方程的解的情况吗？【师生活动】学生口答解方程过程，归纳出一般形式，并根据的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书.【归纳总结】一般地，对于方程 , 当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根.（2）当时，方程有两个相等的实数根.（3）当 时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根.【教师追问3】怎样解方程(x+2)2=25 【师生活动】学生独立思考，并给出解法.不难想到，这一类方程与没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解.教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程两边开平方，将它转化为两个一元一次方程，或，可得.【教师追问4】类似的，怎样解方程(2x-1)2=1呢 【师生活动】类比上面的解法，学生独立完成并回答【教师追问5】结合上面所解的方程思考，具备什么形式才能用直接开平方法以及直接开平方法的步骤.【师生活动】学生先自己进行归纳总结，同桌之间进行交流，发表意见.教师板书.【归纳总结】具备或者形式的一元二次方程可以根据平方根的意义进行直接开平方计算，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的意义直接求解.3.学以致用，应用新知1.下列方程中，适合用直接开平方法求解的个数为（ ）①；②；③；④；⑤；⑥.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析:①可以转化为的形式；②③⑥可以转化为的形式.所以，适合用直接开平方法求解的个数为4. 故选D2. 直接利用开平方法解下列方程：x2＝25；（2）x2 - 900＝0；（3）4x2-1=0.【师生活动】学生独立思考后，选两名学生口答解答过程，然后师生一起进行评价.【解】（1） ， （2）移项，得，开平方，得， 开平方，得，∴ . ∴.移项，得，系数化为1，得， 开平方，得，∴.3.解下列方程： 【师生活动】先让学生独立学习，选三名学生板演解方程过程，并进行评价，给出规范格式，完成例题.解：（1）开平方，得， （2）开平方，得， 即或, 即或，∴. ∴ ， .（3）移项，得，两边都除以2，得,开平方，得 .即或，.【教师追问】利用直接开平方法应该注意什么问题？【师生活动】教师组织小组同学交流解此类方程注意的问题，然后总结归纳，教师做出点评.【归纳总结】1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程，可得方程的根为或.2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况.4.随堂训练，巩固新知1.下列方程可用直接开平方法求解的是（ ）A. B.C. D. 答案：A2.对形如的方程，下列说法正确的是（ ）A.直接开平方得B.直接开平方得C.当时，直接开平方得D.当时，直接开平方得答案：C若，则= .答案：7关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是 . 答案：5.用直接开平方法解一元二次方程.小明的解答如下：移项，得.①直接开平方，得.②小明的解答有无错误？若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程.答案：5.② 解：移项，得， 直接开平方，得， 所以.5.课堂小结，自我完善学生先自己总结本节课主要内容，然后同桌之间交流，学生代表进行总结，教师点评，并引导学生形成本节课知识框架.6.布置作业教科书P23练习，P30习题17.2第1题. 回顾旧知，为新课奠定基础，感受新旧知识之间的联系．利用平方根的性质进行求解，注意正数的两个平方根互为相反数，0的平方根式0，负数没有平方根根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法.这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆.通过经历解方程的过程让学生体会转化、降次的数学思想.判断是否可以适合用直接开平方法，关键是看是否能转化成或的形式.考查可以化为形式的一元二次方程解法，教学过程中注意规范学生的解题步骤①解形如(x+h）2=k(k≥0)的方程时，可把（x+h）看成整体，然后直接开平方；②注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数；③如果变形后形如（x+h）2=k中的k是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根；④如果变形后形如(x+h)2=k中的k＝0这时可得方程两根相等.注意只能非负的若,则教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结，通过回顾本节课知识，查漏补缺，形成相应的知识体系和解题方法.
板书设计 第1课时 直接开平方法1.一般地，对于方程 , （1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根.（2）当时，方程有两个相等的实数根.（3）当 时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根.2.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或的形式的方程，可得方程的根为或. 提纲挈领，重点突出.
教后反思一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元”、“转化”等重要的数学思想方法.因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.
17.2 一元二次方程的解法
第2课时 配方法
课题 配方法 课型 新授课
教学内容 教材第23-25页的内容
教学目标 1.正确理解并会运用配方法将形如x2+px+q＝0方程变形为（x+m）2=n（n≥0）类型；2.会用配方法解形如ax2+bx+c=0（a≠0）含数字系数的一元二次方程.
教学重难点 教学重点：用配方法解一元二次方程.教学难点：正确理解把x2+ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2+ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题教师活动：教师展示上节课解方程的题目，要求学生按照规范的解题步骤解方程，教师巡视，并着重说明第（4）题的解题过程.1.解方程：（1）； （2）；（3）；（4）答案：（1）x1=3, x2= – 3；（2）x1=0, x2=4；（3）x1=0, x2= – 6；（4）y1=9, y2= – 3.2.填空：(1) a2+2ab+b2=__ (a+b)2______；(2) a2 – 2ab+b2=___ (a – b)2_____；(3) x2 +mx+9是完全平方式，m=__±6_____；(4) 4x2 +12x+a是完全平方式，a=____9_____教师活动：在问题2中讲解（3）（4）时，着重说明常数项是一次项系数一半的平方，注重演示及方法阐述.2.合作探究，探索新知问题：同学们，你们知道怎样解方程x2+2x–1=0 吗 这个方程显然不能通过直接平方来解，那么能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式呢？互动方式：分组讨论教师活动：在分组讨论前，提示学生怎样解方程x2+2x+1=0，并演示过程，强调等号左边正好能配成完全平方式，那么x2+2x–1=0与怎样解方程x2+2x+1=0有何区别？分组讨论完后，找学生来阐述思路.再演示过程及解说.步骤演示：解：x2+2x–1=0 x2+2x= 1……常数项移项x2+2x+1=1+1……两边加1(即)，使左边配成 x2+2bx+b2的形式(x+1)2= 2……左边写成完全平方形式……直接开平方，降次（注：可以多举几例，综合得出“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”的结论）【归纳】通过对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式，再直接开平方求解的方法，叫做配方法. 配方是为了降次，把一个一元二次方程化成两个一元一次方程. 【追问】如何将下列各式进行配方？【师生活动】学生快速口答，教师对答案进行点评.3.学以致用，应用新知【例1】用配方法解下列方程：(1) x2 – 4x–1=0； (2) 2x2 – 3x–1=0.解：(1) 移项，得x2 – 4x = 1配方，得x2 – 2×2x +22=1+22即(x–2)2=5开平方，得所以原方程的根是(2) 解：先把x2的系数化为1，即把原方程两边同除以2，得移项，得下面的过程由你来完成：配方，得即开平方，得所以原方程的根是【教师追问】根据以上的例题，你能归纳出用配方法解一般一元二次方程的步骤吗 其中，最关键的是配哪一项，这一项怎么确定？【师生活动】学生组内交流讨论，每组派学生代表进行回答，老师针对回答内容进行补充点评，最后板书步骤.【归纳】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①整理：把方程整理成ax2+bx+c=0的形式；②转化：方程两边同时除以二次项系数，使方程系数为“1”，并把常数项移到方程右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④成式：把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数；⑤写解：若右边是非负数，可利用直接开平方法求解；若右边是负数，则方程无实数解.【总结】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p的形式，那么就有：4.随堂训练，巩固新知1. (1) x2 –8x+( )2=(x–____ )2(2) y2 +5y+( )2=(y + ___ )2(3) x2 –x +( )2 =(x – ____ )2(4) x2 +px+( )2 =(x + ___ )2答案：（1）4,4（2）,（3），（4），.2.用配方法解下列方程：(1) x2 +x –1=0；(2) x2 –3x –2=0(3) 2x2+5x –1=0；(4) 3x2 – 6x +1=0答案：解：(1) x2 +x –1=0x2 +x=1x2 +x+=1+ (x+)2= x += x1=，x2= 解：(2) x2 –3x –2=0x2 –3x =2x 2 –3x+=2+ (x –)2= x –= x1=，x2= 解：(3) 2x2+5x –1=0 x2+ x – =0x2+x =x2+x+=+(x +)2=x +=x1=，x2= 解：(4) 3x2 – 6x +1=0x2 –2x+=0x2 –2x =x2 –2x+12=(x –1)2= x –1= x1= ，x2= .5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）什么是配方法？（2）配方法的一般步骤是什么？最关键的是配哪一项，这一项怎么确定？（3）配方法的理论依据是什么？（4）本节课用到的思想方法有哪些？6.布置作业教科书P28习题17.2第2,3题 练习上节课的解方程问题，为后面内容做铺垫.结合前面学习过的完全平方公式来配方，为后面配方法解方程做方法铺垫.教师要引导学生一步步的进行探究，将每一步的过程板书到黑板上，便于学生掌握，重点要总结“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”这一方法.可以多举几个例子让学生进行练习.最后教师总结这种方法叫配方法.“化归方法”是将待解决的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法，配方法就是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方解方程的方法本题应用“两边加上一次项系数一半的平方”来配方，锻炼学生的配方熟练度,为后面解一元二次方程做铺垫.第1题教师可以做示范引导，关键是掌握规范的步骤，第2题可以让学生仿照第1题的步骤自主完成，教师再根据学生出现的问题进行纠正和强调.从二次项系数为1到不为1的自然过渡，培养学生用已学的知识解决问题的能力.归纳配方法解一元二次的一般步骤，规范学生的解题过程，避免出现因步骤不规范导致的错误，帮助学生快速掌握配方法.抢答环节学生独自作答，老师展示书写好的过程.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，再次回顾配方法解一元二次方程的步骤，使学生形成固定的方法，教师进行总结，巩固转化的数学思想.
板书设计第2课时 配方法配方法：通过对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式，再直接开平方求解的方法，叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的的一般步骤：①整理：把方程整理成ax2+bx+c=0的形式；②转化：方程两边同时除以二次项系数，使方程系数为“1”，并把常数项移到方程右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④成式：把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数；⑤写解：若右边是非负数，可利用直接开平方法求解；若右边是负数，则方程无实数解.
教后反思在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中应注意以下几个问题：1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加；2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方；3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方.因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握.
17.2 一元二次方程的解法
第3课时 公式法
课题 公式法 课型 新授课
教学内容 教材第26-28页的内容
教学目标 1.会用配方法推导一元二次方程的求根公式，熟练的运用求根公式解一元二次方程.2.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性.
教学重难点 教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题【问题1】上节课学习了用配方法解一元二次方程的具体步骤是什么？（先由学生回顾、思考，再投影显示）预设答案：①整理：把方程整理成ax2+bx+c=0的形式；②转化：方程两边同时除以二次项系数，使方程系数为“1”，并把常数项移到方程右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④成式：把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数；⑤写解：若右边是非负数，可利用直接开平方法求解；若右边是负数，则方程无实数解.【问题2】用配方法解下列方程： 解（1）：移项，得二次项系数化为1，得配方，得即开平方，得∴，【问题3】上节课我们就是用上述方法解数字系数的一元二次方程，那么如何用上述方法解一般的一元二次方程呢？2.合作探究，探索新知【思考】在解决问题3之前，我们先思考这样一个问题：关于x的一元一次方程的解是，这里用a，b的代数式表示它的解，那么一元二次方程的解是一个什么情况呢 【交流】用含a，b，c的代数式表示一元二次方程的解.教师活动：教师引导学生将a，b，c看成普通的数字，类比问题2的解题过程求解一元二次方程。（推导过程对学生有难度，师适度鼓励并板书演示推导细节等）过程展示：解：因为a≠0，把方程的两边都除以a，得移项，得配方，得即（交流：下一步如何处理？）将方程两边开平方，得于是得,即.【归纳总结】当时，一元二次方程的实数根可以写为这就是一元二次方程的求根公式.解一个具体的一元二次方程时，只要先把它整理成一般形式，确定a，b，c的值，然后，把a，b，c的值带入求根公式，就可以得出方程根，这种解法叫做公式法.【追问】观察求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，我们可以直接将a、b、c的值带入求根公式，就可以得出方程根，同学们能试着交流总结运用公式法解一元二次方程的步骤吗？【师生活动】学生组内交流讨论，选出代表回答，教师对针对回答补充总结。公式法解一元二次方程的步骤：化方程为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；确定a、b、c，计算b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，则代入求值公式求解，若b2-4ac<0,则方程没有实数根.3.学以致用，应用新知【例1】用公式法解下列方程：；(2).【分析】学生第一次用公式法解一元二次方程，教师可以先引导学生掌握解题的步骤，重点强调先化为一般形式，再写出a,b,c 的值，然后求出b2-4ac的值，最后代入求根公式求解解：(1)代入求根公式，得∴解：(2) 将原方程化为标准形式，得代入求根公式，得【师生活动】教师可以找4名学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确及推导公式，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.【例2】解方程： (精确到0.001)解：代入求根公式，得用计算器求得.4.随堂训练，巩固新知1.把下列方程化成的形式，并写出其中a，b，c的值. 解:（1），（2），（3），（4），2.用公式法解下列方程； ；；解:(1) ∴(2) ∴(3) ∴.(4) ∴.(5) 原方程化为标准式为：方程无实数根.(6) 原方程化为标准式为：方程无实数根.3.用公式法解方程： (精确到0.1) 解：代入求根公式，得用计算器求得4. 解关于x的方程：解：代入求根公式，得5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）推导求根公式的关键是什么？（2）怎样用公式法解一元二次方程？在求解的过程中应注意什么？（3）本节课所用到的重要思想方法有哪些？6.布置作业教科书第31页习题习题17.2第4,7题 通过回顾之前学习的知识，并借助学生利用配方法解题，唤醒记忆，为讲解公式法的推导作铺垫，助于对新知的引入和学习.渗透从特殊到一般的思想方法通过类比求一般的一元一次方程的解的书写方式引导学生猜想表示一元二次方程解的一般格式让学生自己动手通过对配方法并求解，在加深认识求根公式的同时，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养能力，并通过板书演示引导学生养成良好的运算习惯.推导求根公式的过程中，前一部分是配方法，后一部分是开方运算，教学过程中应注意两点：一是被开方数必须是非负数；二是在，这一步中，由于式子前面有“±”号，而|a|去掉绝对值号，又会出现“±”号，所以无论，还是，都不影响最终结果.对此，教学中可举例说明，不必进行一般性的讨论.通过总结一般步骤告诉学生求根公式的作用和如何运用，要结合例题教学，强调用求根公式时，要先把方程化成一般形式，才能确定a、b、c的值,并且要先计算b2-4ac的值，可以提高运算的正确率.其目的在于，当系数较大时更显优越性，学习判别式后，就可以先判别它是否有实数根，就可以停止运算了.通过例1巩固公式法解题步骤，并让学生感受抽象的一般形式具有广泛的应用价值，一元二次方程的一般形式代表了所有的一元二次方程，因此它的求根公式适用于所有的一元二次方程.当时,方程有两个相等的实数根，教学时可不作说明，但要强调写法，应是而不是.按例题1的步骤求解，对开方开不进的无理数用计算器求出它的近似值代入计算，整个过程由学生自己完成.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.学生独立完成，重点关注学生对用公式法解方程的一般步骤和对公式应用的熟练性，对于出现的问题及时予以解决.教师可以找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确及推导公式，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第3课时 公式法1.一元二次方程的求根公式：（b2-4ac≥0）2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：①化方程为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②确定a、b、c，计算b2-4ac的值；③若b2-4ac≥0，则代入求值公式求解，若b2-4ac<0,则方程没有实数根. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节公式法主要就是要掌握公式，所以在讲解例题时，特别注重书写格式，要求做每道题时都要把公式书写一遍，以加强对公式的记忆.事实上，公式熟练以后，完全可以直接将a，b，c,的值代入公式，但是对初学者来说，公式还记不熟，而有些学生就会自己编公式，这样就没有达到教学的目的，所以应硬性要求学生每次在解题过程中都把公式写一遍，以加强记忆，避免代入公式出错.在今后的教学中，还要严格对新知识学习过程中格式和步骤的要求，并且对习惯不好的同学要进行耐心细致的讲解，让他们认识到这样做的弊端，掌握正确的学习方法，提高正确率.
17.2 一元二次方程的解法
第4课时 因式分解法
课题 因式分解法 课型 新授课
教学内容 教材第28-30页的内容
教学目标 1.正确理解因式分解法的实质，熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程.2.进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程.
教学重难点 教学重点：用因式分解法解一元二次方程.教学难点：正确理解AB=0A=0或B=0.
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题【问题1】一元二次方程的一般形式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？ 预设答案：一般形式：ax2+bx+c=0主要方法: 直接开平方法：将方程化为或（）的形式求解.配方法： 当一元二次方程的二次项系数是 1 时，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方.(3)公式法：求根公式（b2-4ac≥0）.【问题2】什么叫因式分解？因式分解有哪些方法？因式分解的一般步骤是什么？预设答案：定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫分解因式.方法：提取公因式、公式法、十字相乘法等.一般步骤：一提、二套、三分解【师生活动】学生独立思考，并进行口答. 教师点拨总结.合作探究，探索新知【探究】用不同方法解方程：方法1(直接开平方法)：解：直接开平方得：方程的解为：方法2(公式法)：解：方程化为标准形式为：方程的解为：方法3：解：将原方程变形为：x2 9=0将方程左边分解因式，得(x 3)(x+3)=0； 则x+3=0或x 3=0.解得x1= 3，x2=3.提示：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0.归纳：这种通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.【做一做】1. 用因式分解法解方程：解：将方程左边分解因式，得x(x+3)＝ 0；则x=0或x+3=0，解得x1=0，x2= 3.提示：像ax2+bx=0(a≠0)的形式的方程，其中一根为0.2. 用因式分解法解方程：解：将方程化为一般式，得将方程左边分解因式，得x(25x 6)＝ 0；则x=0或25x 6=0 .解得x1=0，x2= .提示：像ax2+bx=0(a≠0)的形式的方程，其中一根为0.【师生活动】学生独立完成，然后讨论交流，教师适时点拨.【归纳】因式分解法的基本思想：①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；②将方程的左边分解因式；③根据若A·B=0 ，则A=0或B=0 ，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.【交流】观察下列解方程x2=x的过程.解：方程的两边同除以x,得x=1.故方程的根为x=1.问题：怎么少了一个根？这样解是否正确呢？为什么？【师生活动】学生先独立思考，尝试解决，小组内进行交流，学生存在困难时，教师可提出问题.【追问1】等式的基本性质2怎么规定的？【师生活动】学生根据教师提出的问题进一步思考，并回答，上面的方程两边同除以x，而x有可能等于零，所以上面的解法不对.教师根据学生回答情况进行总结：不能随意在方程的两边同时除以含未知数的整式（如本题中的x），因为含未知数的整式有可能为0，导致方程失根（如本题中的x=0）. 正确解法应将含未知数的两项，移到同一侧，再因式分解，进而解方程.解：(1) 当x=0时，左边=0 ，右边=0.左边=右边.即x=0是原方程的解；(2) 当x≠0时，方程的两边同除以x，得x=1.即原方程的解为x1=0， x2=1.提示：像ax2+bx=0(a≠0)的形式的方程，其中一根为0.【归纳】总结前面的内容，归纳出缺项的二次方程：ax2+c=0(a≠0)，ax2+bx=0(a≠0)的解法？① ax2+c=0(a≠0)，即ax2= c，当ac≤0时，总可用开平方法求解；当ac＞0时，方程无解；② ax2+bx=0(a≠0) ，用因式分解法求解，总有一根为0.3.学以致用，应用新知【例1】 解方程：解: 把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 【例2】解方程：解: 将原方程化成标准形式，得把方程左边分解因式，得∴或解方程，得 【归纳】用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：1.移项：将方程化为一般形式；2.分解：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积；3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【例2】 用因式分解法解下列方程：【解】化为一般式为x2－2x+1＝0.因式分解，得(x－1)(x－1)＝0.从而x-1＝0，所以x1＝x2＝1.因式分解，得( 2x +11)( 2x-11)＝0.有 2x + 11＝0或2x-11＝0，把方程的左边进行因式分解，得（x- 2）（5- x）＝0，从而x-2＝0，或5-x＝0，所以 【归纳总结】几种常见的用因式分解法求解的方程：（1）形如的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为，则或，即. （2）形如的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为,则或，即.（3）形如 的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为①，②，则①，即. ②,即. （4）形如 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为，所以或，即.【例3】 用适当的方法解下列方程：（2）（3）；（4）. 【师生活动】学生独立思考，尝试在练习本上写出解答过程.教师巡视指导，学生如果有困难，教师通过问题进行引导.【教师追问1】我们一共学了几种解一元二次方程的方法？【教师追问2】如何选择合适简单的方法解方程？【师生活动】学生根据教师的提示，进一步思考，小组内进行交流，学生代表发言，通过分析不难发现，直接开平方法是具备或形式的才能用，因式分解法需要具备上述几种情况才能用，配方法和公式法对于任何一个一元二次方程都适用，具体用哪种方法简便需根据方程的特点选择.【解】（1）分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 整理，得（x-1）2＝ 9.开平方，得x-1＝±3，即x-1＝3 或x-1＝-3，∴ x1＝4，x2＝-2.（2）分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.原方程变形为x2+4x＝1. 配方，得x2+4x+ 22＝1+22，即（x+2）2＝5. 可得x+2＝±，∴ x1＝-2+，x2＝-2- . （3）分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2 ＝ 0. 因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）=0. 可得3（x+1）+（2x-5）＝0或3（x+1）-（2x-5）＝ 0， 即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝0，∴ x1 = ，x2 ＝-8. （4）分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝-1，∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝144+36＝180>0， ∴ 即 【归纳总结】解法选择基本思路1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（）， 应选用直接开平方法；2.若常数项为0（），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.4.随堂训练，巩固新知一元二次方程可化为两个一次方程为_______和_________，方程的根是________.答案：，；，.方程的根是________；方程的根是________；方程的根是______.答案：，，，.解方程时，要先把方程化为____；再选择适当的方法求解，得方程的两根为____；____ .答案：，1，4. 用因式分解法解下列方程：解: 原式可得：或解方程，得 解: 把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 解: 移项，得把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 解: 把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 解: 把方程化成标准形式，得把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 解: 把方程化成标准形式，得把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 5.课堂小结，自我完善师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：什么是因式分解法？因式分解法的一般步骤是什么？本节课所用到的思想方法有哪些？3.目前学过的解一元二次方程的四种方法分别适合解哪种类型的方程？6.布置作业教科书第31页习题17.2第5，6题 通过回顾之前学习的知识，并借助学生解因式分解，唤醒记忆，为讲解因式分解法作铺垫，助于对新知的引入和学习让学生先自己动手试着寻找方程的其他解法，并逐步理解因式分解法的概念和解题思路，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养能力，并通过板书演示引导学生养成良好的运算习惯ab=0a=0或b=0.有下列三层含义：①a=0且b≠0；②a≠0且b=0；③a=0且b=0.因式分解法的条件是：方程左边易于分解因式，右边等于0 .因式分解法突出转化思想，把“二次”降次转化为“一次”，体现了化归的数学思想.及时练习，规范因式分解法解一元二次方程的步骤.及时观察学生的解题步骤，对于常考易错题，帮助学生分析出错的原因，避免再次出错.分类讨论x=0和x≠0时,检验两个解是否满足题意.通过例1熟悉因式分解法解题步骤，并让学生感受多元方法解一元二次方程，同时感受到数学的美，从而建立学好数学的自信心.先引导学生观察，例2应先化为标准形式，再解方程.根据例题的解题过程，要求学生小组内相互交流总结因式分解的一般步骤，教师根据学生总结情况，进一步归纳概括，把步骤口诀化，方便记忆学生先独立思考，请三位同学进行板演，学生之间相互评价，教师点拨，根据例题结合因式分解的方法，总结归纳常见的用因式分解法解一元二次方程几种表现形式.同时让学生意识到并不是所有的方程都能用因式分解法，只是对于具备某些特点的方程适用。教师引导学生观察一元二次方程的特点，根据不同的特点选择合适的方法解方程.教师可以找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识，对本章解一元二次方程的方法进行整体的概括，形成整体知识框架
板书设计第4课时 因式分解法1. 定义：通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.2.步骤：移项→分解→转化→求解.3.几种常见的用因式分解法求解的方程: 提纲挈领，重点突出.
教后反思一元二次方程的解法——因式分解法，是建立在一元二次方程解法及因式分解的基础上， 因此要让学生带着问题自学课本 ，寻找因式分解法解一元二次方程的形式特征，即等号右边必须为零，左边必须为两个一次因式的乘积（不能是加减运算），利用零的特性，将求一元二次方程的解，通过因式分解法，转化为求两个一元一次方程的解，将未知领域转化为已知领域，渗透了化归数学思想，让班上中等偏下学生先上黑板解题，将暴露出来的问题在全班及时纠正.在这里要注意:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.
17.3 一元二次方程根的判别式
课题 一元二次方程根的判别式 课型 新授课
教学内容 教材第34-35页的内容
教学目标 1.了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.3.学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．
教学重难点 教学重点：会用一元二次方程根的判别式判定根的情况.教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）无实数根.”
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题【问题1】一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？(a≠0)主要方法: (1)直接开平方法 (2)配方法 (3)公式法：求根公式（b2－4ac≥0） (4)因式分解法【师生活动】教师提出问题，回顾前面学习知识，学生随教师提问发言.【问题2】请同学们选用合适的方法解下列方程．(1)x2＋4＝4x；(2)x2＋2x＝3； (3)x2－x＋2＝0.预设答案：（1）；（2），（3）无解【追问1】观察上面三个方程的的情况，你有什么发现？预设答案：方程的根有三种情况：两个相等的实数根、两个不等的实数根、无解.【追问2】所有的一元二次方程的根都是这三种情况吗？方程的根是由什么决定的呢？合作研究，探索新知教师活动：提出问题，让学生积极思考，为问题3做铺垫.用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .解：二次项系数化为1，得移项，得配方，得即【问题3】接下来能用直接开平方解吗？【问题4】什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？分析：中，(1)当b2– 4ac＞0 时，是正实数，方程有两个不相等的实数根. (2)当b2– 4ac=0 时，方程有两个相等的实数根.(3)当b2 – 4ac＜0 时，在实数范围内无意义，方程没有实数根.【追问】教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？总结：一元二次方程根的情况由b2-4ac决定.【归纳】我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“”表示，即= b2-4ac.3.学以致用，应用新知【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：(1)5x2 3x 2＝0；(2)25y2+4＝20y；(3)2x2+x+1＝0.解： (1)因为 ＝( 3)2 4×5×( 2)＝49＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可变形为25y2 20y+4＝0因为 ＝( 20)2 4×25×4＝0，所以原方程有两个相等的实数根.(3)因为 ＝()2 4×2×1＝ 5＜0，所以原方程没有实数根.【例2】当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？此时两个实数根是多少？分析：由于一元二次方程有两个相等的实数根，所以根的判别式的值为0，由此可求出m的值，进而可求出方程的根.解：根据题意，得，即16-4m+2=0，解得m=.即当m=时，方程有两个相等的实数根，此时方程为x2-4x+4=0. 解方程，得x1=x2=2.4.随堂训练，巩固新知1.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x2 5x 4=0； (2)7t2 5t+2=0；x(x+1)=3； (4)3y2+25=10y.互动方式：抢答解：(1)因为 =( 5)2 4×2×( 4)=57＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.(2)因为 =( 5)2 4×7×2= 31＜0，所以原方程没有实数根.(3)原方程可变形为x2+x 3=0，因为 =12 4×1×( 3)=13＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.(4)原方程可变形为3y2－10y+25=0，因为 =(10)2－4×3×25=0，所以原方程有两个相等的实数根.2.已知关于x的方程x2 3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程：(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：因为 =( 3)2 4×1×k=9 4k， ＞0，即时，方程有两个不相等的实数根； =0，即时，方程有两个相等的实数根； ＜0，即时，方程无实数根.5.课堂小结，自我完善师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）一元二次方程根的判别式是什么？（2）如何用一元二次方程根的判别是判定根的情况？（3）在推导二次根式法则的过程中运用了哪些思想方法？6.布置作业课本P36习题17.3第1、2、4题 回顾知识，通过练习的方式巩固解一元二次方程的方法，并通过直观感受方程根的情况，为本节课的内容打下基础.三位同学上讲台板演，其他学生独立完成.做到这一步时，要停下来，考虑被开方数的正负性，引导学生对字母的取值进行讨论.经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想严密性及方法的灵活性.引导学生讨论方程的根由谁来确定，分哪几种情况，然后教师进行总结，得出根的判别式的三种情况，可以适当举出简单的实例让学生做一做，以加深印象.这是对根的判别式的直接应用，要强调学生先将方程写成一般形式，然后再写出a，b，c的值，最后再代入根的判别式进行计算，根据结果判断方程根的情况.给学生示范规范的解题步骤.这是对根的判别式的反向应用，教师可以先让学生回顾根的三种情况与根的判别式的关系，然后再构建相应的式子求解.通过抢答过程，使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，再次巩固根的判别式与一元二次方程的根之间的关系，巩固分类讨论的数学思想.
板书设计一元二次方程根判别式一般地，式子叫做一元二次方程（）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=.→有两个不相等实数根；→有两个相等实数根；→没有实数根. 提纲挈领，重点突出.
教后反思学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结.在教学中先让学生明确根的判别式的由来以及它的重要性，然后通过直接的应用加深印象，最后通过反向应用拓展学生的思维.从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触.所以可以让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力.
*17.4 一元二次方程的根与系数的关系
课题 一元二次方程的根与系数的关系 课型 新授课
教学内容 教材第37-39页的内容
教学目标 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用;2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题;3.通过由特殊到一般，培养学生观察、分析、猜测规律的能力.
教学重难点 教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及其推导.教学难点：正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系.
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年出版的《论方程的识别与订正》一书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.（课件展示）【问题1】同学们，我们在前面学习了用求根公式法解一元二次方程.你能说说一元二次方程的求根公式吗？预设答案：若ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，则.【追问】不难发现，求根公式不仅表示系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系. 那么，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？合作探究，探索新知【探究】填写下表，解出下列各方程的两根x1和x2，并计算x1+x2和x1·x2的值.【师生活动】教师引导学生独立完成表格.【教师追问1】从上面表格中观察以上方程，方程中的两根之和（x1+x2）、两根之积（x1·x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？你能猜想一般的一元二次方程的根与系数存在什么样的关系呢？【猜想】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=, x1x2=.【教师追问2】你能证明上面的猜想吗？学生尝试证明：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2 ，则，，所以，，这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理.【归纳】如果的两根为x1、x2，那么(1)两根之和，等于一次项系数与二次项系数比的相反数：即(2)两根之积，等于常数项与二次项系数的比：即即韦达定理(根与系数关系)【读一读】韦达（1540—1603），法国数学家．年轻时当过律师，后来致力于数学研究，韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著，他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂的人，带来了代数理论研究的重大进步.他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系（即韦达定理），他的《应用于三角形的数学定律》可能是西欧第一部论述用6种三角函数解平面和球面三角形方法的系统著作．在欧洲被尊称为“代数学之父”．【注意】在使用根与系数的关系时，应注意：(1) 不是一般式的要先化成一般式；(2) 在使用时， 注意“－ ”号不要漏写；(3) 不要漏除二次项系数．【思考】当一元二次方程的二次项系数为1时，根与系数关系有什么特点？当一元二次方程的二次项系数为1时，设标准形式为方程x2+px+q=0.设它的两个根为x1，x2 ，即x2+px+q= ，则，.【做一做】不解方程，求下列方程两个根的和与积：(1) ；(2) ；(3) .解:(1) ，(2) ，(3) 方程化为一般式，3.学以致用，应用新知1. 已知关于x的方程的一个根是 4，求它的另一根及k的值.(学生独立求解，除了教材上的解法，思考是否还有其他方法解题)教师展示：解法1：设方程的另一个根是x2，那么，解得答:它的另一根为， k的值是7.解法2：∵方程的一个根为-4,∴2×(-4)2+k·(-4)-4=0，∴k=7，把k=7代入原方程，得解得x1=-2，x2=，∴k=3,方程的另一个根为，【追问】从上面的两种解法中你有什么启示？2. 方程的两个根记作x1，x2，不解方程，求x1 x2的值.解：由韦达定理，得4.随堂训练，巩固新知1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；解: 设方程的两根分别为x1，x2.(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ，(6) 方程化为一般式，2.判断下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根.(1) (2) (3) (4) (5) 解:(1) 不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根.(2) 满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.(3) 满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.(4) 不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根.(5)满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.3. 已知关于x的方程的一个根是1，求它的另一根及m的值.解：设方程的另一个根是x2，那么 解得答:它的另一根为，m的值是16.4. 设x1，x2是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.(1) (x1+1)(x2+1) ；(2) 解：由韦达定理，得(1).(2) .5.课堂小结，自我完善回答下面的问题，说说你对一元二次方程根与系数关系的认识：（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？（2）根与系数关系使用的前提是什么？6.布置作业课本第40页习题17.4第4，7题. 通过数学文化的引入，让学生了解要探究的内容，助于对新知的引入和学习.通过回顾求根公式，使学生明确方程的根与系数存在一定的关系，同时也为后面推导根与系数的关系奠定基础.通过填表计算，使学生有一个具体的印象，然后让学生猜想根与系数的关系，教师进行总结，形成相应的知识点.可以引导学生举出更多的例子检验自己的猜想.通过推理证明，加深学生对根与系数关系的理解和记忆，体会数学的严谨性和严密性.应用韦达定理的前提条件是强调a≠0且b2-4ac≥0，教学时要特别强调.通过阅读韦达生平事迹，激发学生对研究数学，探究数学的强烈兴趣.通过探究二次项系数为1时，根与系数的关系，使得理解这种常见情况通过及时练习，巩固新知，加强学生自信心.解法1：利用韦达定理.解法2：直接代入法通过两种方法的比较，来认识利用根与系数的关系解题的简洁性，同时加深对它的记忆和应用.先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体带入求解即可．进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.教师先强调解题的步骤，然后再让学生独立完成，教师对出现的问题及时进行纠正和强调.先变形，再整体代入求值教师引导学生进行回顾，重点是对根与系数关系的记忆，还要强调容易忽略的点.
板书设计一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系：如果的两根为x1、x2，那么， 提纲挈领，重点突出.
教后反思为了能让学生更好的掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积，故在设计教案时前一段通过计算填表，这样能让学生有一个感性的认识.在教学中要注意以下问题：1.学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清.2.韦达定理导入时，充分挖掘、调动学生的探究精神.3.两根和、两根积有小部分同学有些混淆.
17.5 一元二次方程的应用
第1课时 图形面积问题
课题 图形面积问题 课型 新授课
教学内容 教材第41-43页的内容
教学目标 1.会用列出一元二次方程解决面积问题，学会将实际问题转化为数学问题;2.能够根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理.
教学重难点 教学重点：列一元二次方程解决实际问题.教学难点：找出实际问题中的等量关系.
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题教师活动：请同学们跟随老师一起回顾旧知识.问题：列方程解应用题的步骤:审：审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系.设：设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量.列: 找到等量关系列出方程.(关键步骤)解:解方程.答:检验根的准确性及是否符合实际意义并作答.示例讲解，合作探究教师活动： 教师引导学生根据步骤层层解决问题.并注意隐含条件也是关键.问题（17.1节的问题2）：在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应是多少？分析: 空地-(横向路+纵向路)+横纵交叉=花坛总面积设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x m2，两者重叠部分的面积是2x2 m2. 由于花坛的总面积是570 m2，则32×20 – (32x+2×20x)+2x2=570.整理得：x2 – 36x+35=0.(x – 1) (x – 35) =0.∴x1=1， x2=35.结合题意，35＞32，x=35不可能，因此，只能取x=1.答：所求小路的宽应为1 m.追问：同学们，仔细观察所给图形，还有其他列方程的方式吗？【师生活动】教师引导利用平移. 学生思考、小组交流并回答具体做法.【分析】通过平移，剩下的图形是一个长方形，长是（32-2x）m，宽是（20-x）m，则可列方程（32-2x）（20-x）=570.【拓展】面积问题常见图形归纳如下：如图1，长方形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积为（a-2x）（b-2x）.如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，阴影部分的宽为x，则空白部分的面积为（a-x）（b-x）.点拨： 利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条小路移动一下，使列方程更容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.【归纳】教师活动：带领学生再次回顾列方程解应用题的步骤，强调关键步骤（找等量关系）和检验这一步骤.列方程解应用题的步骤:审、设、列、解、验、答.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？学以致用，应用新知教师活动：带领学生整理解题步骤，并加以强调..正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20 cm，容积为2880 cm3的开口方盒.问原金属片的边长是多少？ 分析：方盒的容积=底面积×高.解： 设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x-40)cm.根据题意，得20(x-40)2=2880整理，得(x-40)2=144解方程，得x1=52， x2=28.28＜20+20，x2=28不合题意，所以x=52.答：原金属片的边长是52 cm.随堂训练，巩固新知练习1一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚3 mm的附着物，而导致流通截面减少至原来的.求这根水管原来的内壁直径.解：设水管原来的内壁直径为 x mm，可列方程为：整理，得5x2-108x+324=0解得 x1=18，x2=3.63.6＜3+3时，3不合题意，舍去.∴x=18答：这根水管原来的内壁直径18 mm.练习2在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米,可列方程为：(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得 x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.∴取x=2答：道路的宽为2米.练习3如果两个连续偶数的积时288，求这两个数.解：设较小的偶数为 x ，则另一个偶数为(x +2)，可列方程为：x(x +2)=288整理，得x2+2x-288=0解得 x1=16,x2=-18当x=16时，x +2=18；当x=-18时，x +2=-16，.答：这两个数分别为16和18或-16和-18.5.课堂小结，自我完善回顾思考，回答下面的问题：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？（2）列方程解应用题的关键步骤是什么？你是如何理一元二次方程根的取舍问题的？（3）对于解决不规则的面积问题的思路是什么？常见的面积模型有哪些？6.布置作业课本第45页习题17.5第2，3题. 回顾知识，为本节课的内容打下基础. 通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型注意：引导学生对结果进行检验,求出的结果应符合实际意义，不符合的解应舍去.用总面积去减小路的面积，这样重叠部分的面积就容易忽略，可以引导学生进行平移，构成新的长方形，重点观察怎样平移，平移后的长方形的长和宽分别是多少，然后列出方程.最后教师进行总结，形成方法给学生做示范：列方程解应用题的步骤.练习1是对体积问题的研究，可以先让学生口述体积公式，然后让学生观察图形，对分解的问题逐步进行研究，最后根据相等关系列出方程.教师对容易出现的问题进行总结和强调.练习2可通过平移的方式，将不规则的图形转化为规则的图形，体现了转化的思想方法的运用.重点回顾列方程解应用题的一般步骤，还要强调关键点及容易忽略的点.
板书设计图形面积问题列方程解应用题的一般步骤： 提纲挈领，重点突出.
教后反思利用一元二次方程解应用题是数学教学中的一个重点，而对于学生来说却是学习的一个难点.学生分析问题、寻找数量关系的能力较差，在学习一元二次方程的应用的这节课中，应该始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误.如数量之间的相等关系找得不清；列方程忽视了解设、检验的步骤等.
17.5 一元二次方程的应用
第2课时 平均变化率问题
课题 平均变化率问题 课型 新授课
教学内容 教材第41、42、44页的内容
教学目标 1.会用列一元二次方程的方法解决平均变化率的问题.2.能够根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理.
教学重难点 教学重点：列一元二次方程解决实际问题.教学难点：找出实际问题中的等量关系，建立方程.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾,引入课题教师活动：请同学们跟随老师一起回顾旧知识.【问题1】列方程解应用题的步骤:审：审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系.设：设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量.列: 找到等量关系列出方程.(关键步骤)解:解方程.答:检验根的准确性及是否符合实际意义并作答.【问题2】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤.2.创设情境，探究新知教师活动： 教师引导学生根据步骤层层解决问题.并注意隐含条件也是关键.原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？(精确到1%)分析：降低量=原量×降低率，增长量=原量×增长率.【问题1】未知数设什么？该药品两次降价的平均降价率是x.【问题2】第一次降价后每盒售价多少？分析：降低量=原量×降低率第一次降价后每盒售价=原价 第一次降低量=27 27x =27(1 x) 元【问题3】第二次降价后每盒售价多少？第二次降价后每盒售价=第一次降价后的价格 第二次降低量=27(1 x) 27(1 x) x =27(1 x)2 元【问题4】由“两次降价后每盒售价为9元”可列方程是？27(1 x)2 =9教师活动： 带领学生整理解题步骤，并加以强调..解：设该种药品两次平均降价率是x.根据题意，列方程得27(1 x)2 =9整理，得解这个方程，得经验证不合题意，所以答：该药品两次降价的平均降价率约是42%.【归纳】假设：原价a，降价率x.第一次降价后价格= a(1 x)第二次降价后价格= a(1 x)2第三次降价后价格= a(1 x)3 ……第n次降价后价格= a(1 x)n提醒：0＜降低率＜ 1假设：原量a，增长率t.第一次增长后的量= a(1+ t)第二次增长后的量= a(1 + t)2第三次增长后的量= a(1 + t)3 ……第n次增长后的量= a(1 + t)n提醒：增长率＞0.学以致用，应用新知【例】一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000 kg，出油率为50%(即每100 kg花生可加工出花生油50 kg ).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率.【分析】等量关系：新品种每公顷的产量×新品种出油率=新品种油量可列方程：整理步骤：解：设新品种花生产量的增长率为x，根据题意，得解方程，得＜0，(不合题意，舍去).答：新品种花生产量的增长率为20%.随堂训练，巩固新知互动方式：抢答练习1某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500答案：B练习2某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为( ).A. 200(1+x)2=1000 B. 200+200×2×x=1000C. 200+200×3×x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000答案：D练习3某磷肥厂去年4月份生产磷肥500 t；因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648 t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率.解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为x，可列方程为：整理，得25x2+50x 11=0解得 x1=0.2，x2= 2.2 2.2 ＜0不合题意，舍去.∴x=0.2答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%.课堂小结，自我完善回顾思考，回答下面的问题（1）运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？关键步骤是什么？需要注意的地方有哪些？（2）平均增长率问题的一般解题思路是什么？6.布置作业课本第45页习题17.5第4题，第48页8题、第49页6题. 回顾知识，为本节课的内容打下基础教师引导学生，分析出每次降价后的售价，注意第二次降价是在第一次降价的基础上减少的.学生先尝试独立进行列示，教师进行适时进行点拨.关键是让学生明白谁是单位“1”，增长或降低前后的单位“1”是不同的，可以引导学生逐步列出相应的式子，最后再列出方程.方程求得的解有两个，要根据实际情况舍去不符合实际情况的解.总结常用增长率及降率的常见规则，使学生加深数学模型意识.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”,降低取“-”。例题涉计到两个“率”的理解，一个是增长率，一个是出油率，学生理解起来有一定的困难，教师要将问题进行分解，让学生明确计算的方法.最后教师引导学生总结列一元二次方程解应用题的一般步骤，给学生提供解题的思路和方法.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.通过抢答过程，使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值.注意1000是一、二、三月的全部的营业额，要把三个月的营业额相加.重点回顾解决平均增长率问题的一般速录，还要强调关键点及容易忽略的点.
板书设计平均变化率问题增长量=原量×增长率，降低量=原量×降低率 假设原价a,降价率x. 第n次降价后价格=a（1-x）n假设原价a，增长率x. 第n次降价后价格=a（1-x）n 提纲挈领，重点突出.
教后反思在学习一元二次方程的应用的这节课中，应该始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误.对于增长率问题中的单位“1”的理解不够透彻.需要通过进一步的训练，以加深学生的理解.
单 元 备 课
第 2单元 本单元所需课时数 10课时
课标要求 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解得意义，经历估计方程解得过程. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。了解一元二次方程的根与系数的关系.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性.
教材分析 本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展。学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数、二次不等式作好铺垫.
主要内容 本章主要内容有：一元二次方程的基本概念、解法，一元二次方程根的性质及及应用. 主要包括5节：第17.1节“一元二次方程”通过实际问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想；第17.2节“一元二次方程的解法”通过思考、探究、交流等学习活动，运用转化思想，探索了解一元二次方程的开平方法、配方法、公式法、因式分解法；第17.3节和17.4节研究一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；第17.5节“一元二次方程的应用”运用一元二次方程解决实际问题，强化建模思想，展现运用方程解决实际问题的一般过程，同时，结合应用问题介绍可化为一元二次方程的分式方程的解法.
教学目标 1.经历实际问题中数量关系的分析、抽象过程，体会方程是刻画现实世界的一种数学模型.2.了解一元二次程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会转化等数学思想方法.3.理解配方法的意义，能用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.4.理解一元二次方程根的判别式.不需解方程，会用它判别一元二次方程有无实数根，有实数根时，两根相等或不等.5.了解一元二次方程的根与系数的关系.6.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程包括可化为一元二次方程的分式方程并求解，并能根据具体问题的实际意义检验求得的结果是否合理.7.在经历建立方程模型解决实际问题的过程中,提高分析问题和解决问题的能力，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值.
课时分配 17.1 一元二次方程 1课时17.2 一元二次方程的解法 4课时17.3一元二次方程根的判别式 1课时* 17.4一元二次方程的根与系数的关系 1课时 17.5一元二次方程的应用 2课时小结·评价 1课时
教与学建议 1.注重创设问题情境，让学生经历建模的过程.2.注重学生的活动，鼓励学生自主探索与合作交流.3.注重数学思想方法的渗透. 4.注意把握教学要求.
17.1 一元二次方程
课题 一元二次方程 课型 新授课
教学内容 教材第19-22页的内容
教学目标 1.了解一元二次方程的概念.2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式.3.经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型.
教学重难点 教学重点：一元二次方程的概念及一般形式.教学难点：探求问题中的等量关系，建立方程模型.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题问题情境1 某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产产量比2009年翻一番(即为200t). 要实现这一目标，2010年 和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 【师生活动】教师展示问题，学生独立思考，小组内进行交流，若学生存在困难，教师可通过出示填空形式，让学生进行解答.设这个队年无公害蔬菜的年平均增长率是x,那么：2010年无公害蔬菜产量为t，2011年无公害蔬菜产量为t.教师提问：你能根据题意，列出方程吗？根据题意易得 .把以上方程整理得： x2+2x-1=0 .问题情境2 在一块宽20 m、长32 m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应为多少？【师生活动】根据情境1，教师接着提出问题2，提示只列算式.学生尝试独立解决，若发现存在问题，可让学生先小组内交流，最后找一位代表进行解答. 设小路的宽是x m，那么横向小路的面积 32x m2，纵向小路的面积是 2×20x m2,两者重叠的面积是 2x2 m2.教师提问：由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 32×20-（32+2×20x）+ 2x2=570.把以上方程整理得： x2-36x+35=0 .类比发现，探索新知观察方程：x2+2x-1=0，x2-36x+35=0.【问题1】以上两个方程以前都没有学习过.对比一元一次方程，有什么相同之处和不同之处？【师生活动】学生先独立思考（注意思考“一元”“一次”的意义），然后小组内讨论、交流，汇报. 引导学生得出方程的共同特点，并进行板书.【归纳总结】（1）都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【教师追问1】类比一元一次方程的定义，以及对“元”“次”的理解，能不能给以上方程下一个定义？【师生活动】学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义. 教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项.【归纳总结】①一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.【教师追问2】你能说出x2+2x-1=0，x2-36x+35=0的一次项及系数、二次项及系数、常数项吗？【师生活动】此问题较简单，可找基础较弱的学生进行回答.【教师追问3】为什么要求二次项系数？b和c能不能是0？【师生活动】学生独立思考并回答，教师针对学生的回答进行补充、归纳、强调. ①当二次项系数a为0时，未知数的最高次数不是2，此时，方式不是一元二次方程，所以二次项系数；②b和c可以为任何实数.学以致用，应用新知【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ 【师生活动】引导学生根据一元二次方程的定义进行判断，学生独立思考后，进行回答.【解】（1）（2）（3）（4）（7）（8）是一元二次方程.【教师追问】要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【师生活动】根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流，汇报. 引导学生总结出判断是否为一元二次方程的标准.【归纳总结】首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.【例2】a为何值时，下列方程为一元二次方程？； 【师生活动】学生先独立思考，然后同桌交流，教师组织进行展示，然后师生共同总结解决这一类问题的方法.【解】(1)将方程转化为一般形式，得,所以当，即时，原方程是一元二次方程. (2)由，且知，当时，原方程是一元二次方程.【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.【例3】 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.【师生活动】教师先引导学生确定二次项，一次项以及常数项首先要把方程化为一般式. 学生独立思考，学生代表回答.【解】去括号，得移项、合并同类项，得方程的一般形式为.其中二次项是,系数是3；一次项是-8,系数是-8；常数项是-10.【教师追问】解决此类问题需要注意什么？【师生活动】学生独立思考总结，并回答.【归纳总结】①一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；②系数和项均包含前面的符号.【例4】已知是方程的一个实数根,求+2023的值.【师生活动】先让学生尝试解决，如果学生有困难，教师可通过以下问题引导学生思考.【教师追问1】什么是一元一次方程的解？类比一元一次方程的解的定义能不能说出什么是一元二次方程的解？【教师追问2】下面哪些数是方程的解 -2,0,1,2,3,4.【师生活动】学生口答，归纳出一元二次方程根的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 教师进行板书，根据定义教师引导学生尝试解决问题，并及时归纳总结. 【解】由题意得即
【归纳总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值.4.随堂训练，巩固新知1.判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？（1） （2）（3） （4）（5） （6）答案：当时，（5）是一元二次方程；（6）是一元二次方程.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项: （2） （4）答案：（1）（2）（3）（4）3.将48张桌子排成若干行，且每行的桌子的数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排成了x行，写出排成的行数所满足的方程，并将其化为标准形式.解：因为这些桌子排成了x行，则每一行的桌子数，依题意得方程，整理得.4.下面哪些数是方程组根？ -3，-2，-1，0，1，2，3答案：-2，15.课堂小结，自我完善先让学生独立思考，进行总结，教师补充概括.6.布置作业教科书P21习题17.1第1~3题 对于文字应用题一直是学生学习的难点，而教学本身也是应用科学，正是因为有实际的应用价值数学才有生机，问题1在老师的引导示范下，共同探索，得到方程.教师应首先解释翻两番的含义，帮助学生理解题意.先让学生自己尝试列出方程，然后提醒学生进行化简，观察所列方程的特征.问题2由学生自主探究，训练了学生及时学习的能力，为引出一元二次方程的定义做好准备.类比一元一次方程可以使学生对概念的理解更深刻.教师需要强调“一元”“二次”真正含义让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升.特别强调：二次项系数，要说出项的系数必须先化成标准形式.反馈学生对一元二次方程定义的理解程度，要紧扣定义进行判断.但是有些方程需要化成一般形式后才能进行判断，比如例1（3）（4）.对一元二次方程二次项系数和最高项的次数为2的考查，通常要先将式子化为一般形式再判断.此类问题大部分学生能想到，往往忽略最高项的次数为2的条件，导致漏解，教师应对此进行强调，避免漏解.在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆．这里注意项和系数的区别.对一元二次方程（根）得考查，学生刚接触可能会比较懵，但通过类比一元一次方程的解，学生应不难理解一元二次方程的解.体会整体思想在代入求值问题中的应用.通过引导学生对本节课知识进行总结回顾，进一步巩固所学知识，教师要对易错点进行强调.
板书设计 17.1 一元二次方程一、一元二次方程1.都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；2.只含一个未知数; 3.未知数的最高次数是2.二、一般形式，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.三、一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 提纲挈领，重点突出.
教后反思在教学过程中，注重重难点的体现.在本节课的教学中，先通过实际问题引入课题，让学生掌握利用方程解决问题的方法，从而顺利过渡到后面的问题.然后让学生观察得到的方程，并通过类比一元一次方程的定义和一般形式，从而获得本课的新知识.最后强化学生所学知识，并运用到实际问题中去.教学过程中，应随时注意学生们出现的问题，及时进行反馈，使学生熟练掌握所学知识.
17.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法
课题 直接开平方法 课型 新授课
教学内容 教材第23页的内容
教学目标 1.会利用直接开平方法解形如的方程.2.初步了解形如的方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.4.通过解方程及实例探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.
教学重难点 教学重点：运用开平方的方法解形如的方程，领会-降次-转化的数学思想.教学难点：用平方根的定义解形如或的方程.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题教师活动：通过提问引导学生回顾已学知识.【问题1】口答题：4 的平方根是 ，81的平方根是 ， 81的算术平方根是 .预设答案：；；9【问题2】我们曾学方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根 平方根有哪些性质 预设答案：(1)如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（2）平方根有下列性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；②零的平方根是零；③负数没有平方根.【师生活动】问题1、2让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.2.合作探究，探索新知解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.x2＝4；（2）x2＝0；（3）x2+1＝0.【师生活动】教师先引导学生判定上面方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程.【解】（1）根据平方根的定义，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和-2，即根据平方根的定义，得x2＝4，x＝±2，即此一元二次方程的解为： x1＝2，x2 ＝-2.根据平方根的意义，得x1=x2=0.（3）根据平方根的意义，得x2=-1.【教师追问1】类似地，你能给出下列方程的解吗？（1）2x2-8＝0； （2）3x2＝-9.【分析】第（1）题可以先将-8移项，再将两边同时除以2化为x2＝a的形式，再利用平方根的.【师生活动】让学生观察式子，独立思考，小组交流讨论后给出答案. 教师根据学生回答情况总结：对于形如方程ax2-k=0(≥0)可变形为x2= (≥0)的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接利用平方根的意义解此方程.【教师追问2】上述方程有什么共同点？你能归纳一下这类方程的解的情况吗？【师生活动】学生口答解方程过程，归纳出一般形式，并根据的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书.【归纳总结】一般地，对于方程 , 当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根.（2）当时，方程有两个相等的实数根.（3）当 时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根.【教师追问3】怎样解方程(x+2)2=25 【师生活动】学生独立思考，并给出解法.不难想到，这一类方程与没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解.教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程两边开平方，将它转化为两个一元一次方程，或，可得.【教师追问4】类似的，怎样解方程(2x-1)2=1呢 【师生活动】类比上面的解法，学生独立完成并回答【教师追问5】结合上面所解的方程思考，具备什么形式才能用直接开平方法以及直接开平方法的步骤.【师生活动】学生先自己进行归纳总结，同桌之间进行交流，发表意见.教师板书.【归纳总结】具备或者形式的一元二次方程可以根据平方根的意义进行直接开平方计算，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的意义直接求解.3.学以致用，应用新知1.下列方程中，适合用直接开平方法求解的个数为（ ）①；②；③；④；⑤；⑥.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析:①可以转化为的形式；②③⑥可以转化为的形式.所以，适合用直接开平方法求解的个数为4. 故选D2. 直接利用开平方法解下列方程：x2＝25；（2）x2 - 900＝0；（3）4x2-1=0.【师生活动】学生独立思考后，选两名学生口答解答过程，然后师生一起进行评价.【解】（1） ， （2）移项，得，开平方，得， 开平方，得，∴ . ∴.移项，得，系数化为1，得， 开平方，得，∴.3.解下列方程： 【师生活动】先让学生独立学习，选三名学生板演解方程过程，并进行评价，给出规范格式，完成例题.解：（1）开平方，得， （2）开平方，得， 即或, 即或，∴. ∴ ， .（3）移项，得，两边都除以2，得,开平方，得 .即或，.【教师追问】利用直接开平方法应该注意什么问题？【师生活动】教师组织小组同学交流解此类方程注意的问题，然后总结归纳，教师做出点评.【归纳总结】1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程，可得方程的根为或.2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况.4.随堂训练，巩固新知1.下列方程可用直接开平方法求解的是（ ）A. B.C. D. 答案：A2.对形如的方程，下列说法正确的是（ ）A.直接开平方得B.直接开平方得C.当时，直接开平方得D.当时，直接开平方得答案：C若，则= .答案：7关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是 . 答案：5.用直接开平方法解一元二次方程.小明的解答如下：移项，得.①直接开平方，得.②小明的解答有无错误？若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程.答案：5.② 解：移项，得， 直接开平方，得， 所以.5.课堂小结，自我完善学生先自己总结本节课主要内容，然后同桌之间交流，学生代表进行总结，教师点评，并引导学生形成本节课知识框架.6.布置作业教科书P23练习，P30习题17.2第1题. 回顾旧知，为新课奠定基础，感受新旧知识之间的联系．利用平方根的性质进行求解，注意正数的两个平方根互为相反数，0的平方根式0，负数没有平方根根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法.这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆.通过经历解方程的过程让学生体会转化、降次的数学思想.判断是否可以适合用直接开平方法，关键是看是否能转化成或的形式.考查可以化为形式的一元二次方程解法，教学过程中注意规范学生的解题步骤①解形如(x+h）2=k(k≥0)的方程时，可把（x+h）看成整体，然后直接开平方；②注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数；③如果变形后形如（x+h）2=k中的k是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根；④如果变形后形如(x+h)2=k中的k＝0这时可得方程两根相等.注意只能非负的若,则教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结，通过回顾本节课知识，查漏补缺，形成相应的知识体系和解题方法.
板书设计 第1课时 直接开平方法1.一般地，对于方程 , （1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根.（2）当时，方程有两个相等的实数根.（3）当 时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根.2.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或的形式的方程，可得方程的根为或. 提纲挈领，重点突出.
教后反思一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元”、“转化”等重要的数学思想方法.因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.
17.2 一元二次方程的解法
第2课时 配方法
课题 配方法 课型 新授课
教学内容 教材第23-25页的内容
教学目标 1.正确理解并会运用配方法将形如x2+px+q＝0方程变形为（x+m）2=n（n≥0）类型；2.会用配方法解形如ax2+bx+c=0（a≠0）含数字系数的一元二次方程.
教学重难点 教学重点：用配方法解一元二次方程.教学难点：正确理解把x2+ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2+ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题教师活动：教师展示上节课解方程的题目，要求学生按照规范的解题步骤解方程，教师巡视，并着重说明第（4）题的解题过程.1.解方程：（1）； （2）；（3）；（4）答案：（1）x1=3, x2= – 3；（2）x1=0, x2=4；（3）x1=0, x2= – 6；（4）y1=9, y2= – 3.2.填空：(1) a2+2ab+b2=__ (a+b)2______；(2) a2 – 2ab+b2=___ (a – b)2_____；(3) x2 +mx+9是完全平方式，m=__±6_____；(4) 4x2 +12x+a是完全平方式，a=____9_____教师活动：在问题2中讲解（3）（4）时，着重说明常数项是一次项系数一半的平方，注重演示及方法阐述.2.合作探究，探索新知问题：同学们，你们知道怎样解方程x2+2x–1=0 吗 这个方程显然不能通过直接平方来解，那么能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式呢？互动方式：分组讨论教师活动：在分组讨论前，提示学生怎样解方程x2+2x+1=0，并演示过程，强调等号左边正好能配成完全平方式，那么x2+2x–1=0与怎样解方程x2+2x+1=0有何区别？分组讨论完后，找学生来阐述思路.再演示过程及解说.步骤演示：解：x2+2x–1=0 x2+2x= 1……常数项移项x2+2x+1=1+1……两边加1(即)，使左边配成 x2+2bx+b2的形式(x+1)2= 2……左边写成完全平方形式……直接开平方，降次（注：可以多举几例，综合得出“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”的结论）【归纳】通过对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式，再直接开平方求解的方法，叫做配方法. 配方是为了降次，把一个一元二次方程化成两个一元一次方程. 【追问】如何将下列各式进行配方？【师生活动】学生快速口答，教师对答案进行点评.3.学以致用，应用新知【例1】用配方法解下列方程：(1) x2 – 4x–1=0； (2) 2x2 – 3x–1=0.解：(1) 移项，得x2 – 4x = 1配方，得x2 – 2×2x +22=1+22即(x–2)2=5开平方，得所以原方程的根是(2) 解：先把x2的系数化为1，即把原方程两边同除以2，得移项，得下面的过程由你来完成：配方，得即开平方，得所以原方程的根是【教师追问】根据以上的例题，你能归纳出用配方法解一般一元二次方程的步骤吗 其中，最关键的是配哪一项，这一项怎么确定？【师生活动】学生组内交流讨论，每组派学生代表进行回答，老师针对回答内容进行补充点评，最后板书步骤.【归纳】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①整理：把方程整理成ax2+bx+c=0的形式；②转化：方程两边同时除以二次项系数，使方程系数为“1”，并把常数项移到方程右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④成式：把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数；⑤写解：若右边是非负数，可利用直接开平方法求解；若右边是负数，则方程无实数解.【总结】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p的形式，那么就有：4.随堂训练，巩固新知1. (1) x2 –8x+( )2=(x–____ )2(2) y2 +5y+( )2=(y + ___ )2(3) x2 –x +( )2 =(x – ____ )2(4) x2 +px+( )2 =(x + ___ )2答案：（1）4,4（2）,（3），（4），.2.用配方法解下列方程：(1) x2 +x –1=0；(2) x2 –3x –2=0(3) 2x2+5x –1=0；(4) 3x2 – 6x +1=0答案：解：(1) x2 +x –1=0x2 +x=1x2 +x+=1+ (x+)2= x += x1=，x2= 解：(2) x2 –3x –2=0x2 –3x =2x 2 –3x+=2+ (x –)2= x –= x1=，x2= 解：(3) 2x2+5x –1=0 x2+ x – =0x2+x =x2+x+=+(x +)2=x +=x1=，x2= 解：(4) 3x2 – 6x +1=0x2 –2x+=0x2 –2x =x2 –2x+12=(x –1)2= x –1= x1= ，x2= .5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）什么是配方法？（2）配方法的一般步骤是什么？最关键的是配哪一项，这一项怎么确定？（3）配方法的理论依据是什么？（4）本节课用到的思想方法有哪些？6.布置作业教科书P28习题17.2第2,3题 练习上节课的解方程问题，为后面内容做铺垫.结合前面学习过的完全平方公式来配方，为后面配方法解方程做方法铺垫.教师要引导学生一步步的进行探究，将每一步的过程板书到黑板上，便于学生掌握，重点要总结“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”这一方法.可以多举几个例子让学生进行练习.最后教师总结这种方法叫配方法.“化归方法”是将待解决的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法，配方法就是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方解方程的方法本题应用“两边加上一次项系数一半的平方”来配方，锻炼学生的配方熟练度,为后面解一元二次方程做铺垫.第1题教师可以做示范引导，关键是掌握规范的步骤，第2题可以让学生仿照第1题的步骤自主完成，教师再根据学生出现的问题进行纠正和强调.从二次项系数为1到不为1的自然过渡，培养学生用已学的知识解决问题的能力.归纳配方法解一元二次的一般步骤，规范学生的解题过程，避免出现因步骤不规范导致的错误，帮助学生快速掌握配方法.抢答环节学生独自作答，老师展示书写好的过程.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，再次回顾配方法解一元二次方程的步骤，使学生形成固定的方法，教师进行总结，巩固转化的数学思想.
板书设计第2课时 配方法配方法：通过对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式，再直接开平方求解的方法，叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的的一般步骤：①整理：把方程整理成ax2+bx+c=0的形式；②转化：方程两边同时除以二次项系数，使方程系数为“1”，并把常数项移到方程右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④成式：把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数；⑤写解：若右边是非负数，可利用直接开平方法求解；若右边是负数，则方程无实数解.
教后反思在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中应注意以下几个问题：1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加；2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方；3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方.因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握.
17.2 一元二次方程的解法
第3课时 公式法
课题 公式法 课型 新授课
教学内容 教材第26-28页的内容
教学目标 1.会用配方法推导一元二次方程的求根公式，熟练的运用求根公式解一元二次方程.2.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性.
教学重难点 教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，引入课题【问题1】上节课学习了用配方法解一元二次方程的具体步骤是什么？（先由学生回顾、思考，再投影显示）预设答案：①整理：把方程整理成ax2+bx+c=0的形式；②转化：方程两边同时除以二次项系数，使方程系数为“1”，并把常数项移到方程右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④成式：把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数；⑤写解：若右边是非负数，可利用直接开平方法求解；若右边是负数，则方程无实数解.【问题2】用配方法解下列方程： 解（1）：移项，得二次项系数化为1，得配方，得即开平方，得∴，【问题3】上节课我们就是用上述方法解数字系数的一元二次方程，那么如何用上述方法解一般的一元二次方程呢？2.合作探究，探索新知【思考】在解决问题3之前，我们先思考这样一个问题：关于x的一元一次方程的解是，这里用a，b的代数式表示它的解，那么一元二次方程的解是一个什么情况呢 【交流】用含a，b，c的代数式表示一元二次方程的解.教师活动：教师引导学生将a，b，c看成普通的数字，类比问题2的解题过程求解一元二次方程。（推导过程对学生有难度，师适度鼓励并板书演示推导细节等）过程展示：解：因为a≠0，把方程的两边都除以a，得移项，得配方，得即（交流：下一步如何处理？）将方程两边开平方，得于是得,即.【归纳总结】当时，一元二次方程的实数根可以写为这就是一元二次方程的求根公式.解一个具体的一元二次方程时，只要先把它整理成一般形式，确定a，b，c的值，然后，把a，b，c的值带入求根公式，就可以得出方程根，这种解法叫做公式法.【追问】观察求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，我们可以直接将a、b、c的值带入求根公式，就可以得出方程根，同学们能试着交流总结运用公式法解一元二次方程的步骤吗？【师生活动】学生组内交流讨论，选出代表回答，教师对针对回答补充总结。公式法解一元二次方程的步骤：化方程为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；确定a、b、c，计算b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，则代入求值公式求解，若b2-4ac<0,则方程没有实数根.3.学以致用，应用新知【例1】用公式法解下列方程：；(2).【分析】学生第一次用公式法解一元二次方程，教师可以先引导学生掌握解题的步骤，重点强调先化为一般形式，再写出a,b,c 的值，然后求出b2-4ac的值，最后代入求根公式求解解：(1)代入求根公式，得∴解：(2) 将原方程化为标准形式，得代入求根公式，得【师生活动】教师可以找4名学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确及推导公式，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.【例2】解方程： (精确到0.001)解：代入求根公式，得用计算器求得.4.随堂训练，巩固新知1.把下列方程化成的形式，并写出其中a，b，c的值. 解:（1），（2），（3），（4），2.用公式法解下列方程； ；；解:(1) ∴(2) ∴(3) ∴.(4) ∴.(5) 原方程化为标准式为：方程无实数根.(6) 原方程化为标准式为：方程无实数根.3.用公式法解方程： (精确到0.1) 解：代入求根公式，得用计算器求得4. 解关于x的方程：解：代入求根公式，得5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）推导求根公式的关键是什么？（2）怎样用公式法解一元二次方程？在求解的过程中应注意什么？（3）本节课所用到的重要思想方法有哪些？6.布置作业教科书第31页习题习题17.2第4,7题 通过回顾之前学习的知识，并借助学生利用配方法解题，唤醒记忆，为讲解公式法的推导作铺垫，助于对新知的引入和学习.渗透从特殊到一般的思想方法通过类比求一般的一元一次方程的解的书写方式引导学生猜想表示一元二次方程解的一般格式让学生自己动手通过对配方法并求解，在加深认识求根公式的同时，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养能力，并通过板书演示引导学生养成良好的运算习惯.推导求根公式的过程中，前一部分是配方法，后一部分是开方运算，教学过程中应注意两点：一是被开方数必须是非负数；二是在，这一步中，由于式子前面有“±”号，而|a|去掉绝对值号，又会出现“±”号，所以无论，还是，都不影响最终结果.对此，教学中可举例说明，不必进行一般性的讨论.通过总结一般步骤告诉学生求根公式的作用和如何运用，要结合例题教学，强调用求根公式时，要先把方程化成一般形式，才能确定a、b、c的值,并且要先计算b2-4ac的值，可以提高运算的正确率.其目的在于，当系数较大时更显优越性，学习判别式后，就可以先判别它是否有实数根，就可以停止运算了.通过例1巩固公式法解题步骤，并让学生感受抽象的一般形式具有广泛的应用价值，一元二次方程的一般形式代表了所有的一元二次方程，因此它的求根公式适用于所有的一元二次方程.当时,方程有两个相等的实数根，教学时可不作说明，但要强调写法，应是而不是.按例题1的步骤求解，对开方开不进的无理数用计算器求出它的近似值代入计算，整个过程由学生自己完成.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.学生独立完成，重点关注学生对用公式法解方程的一般步骤和对公式应用的熟练性，对于出现的问题及时予以解决.教师可以找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确及推导公式，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计第3课时 公式法1.一元二次方程的求根公式：（b2-4ac≥0）2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：①化方程为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②确定a、b、c，计算b2-4ac的值；③若b2-4ac≥0，则代入求值公式求解，若b2-4ac<0,则方程没有实数根. 提纲挈领，重点突出.
教后反思本节公式法主要就是要掌握公式，所以在讲解例题时，特别注重书写格式，要求做每道题时都要把公式书写一遍，以加强对公式的记忆.事实上，公式熟练以后，完全可以直接将a，b，c,的值代入公式，但是对初学者来说，公式还记不熟，而有些学生就会自己编公式，这样就没有达到教学的目的，所以应硬性要求学生每次在解题过程中都把公式写一遍，以加强记忆，避免代入公式出错.在今后的教学中，还要严格对新知识学习过程中格式和步骤的要求，并且对习惯不好的同学要进行耐心细致的讲解，让他们认识到这样做的弊端，掌握正确的学习方法，提高正确率.
17.2 一元二次方程的解法
第4课时 因式分解法
课题 因式分解法 课型 新授课
教学内容 教材第28-30页的内容
教学目标 1.正确理解因式分解法的实质，熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程.2.进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程.
教学重难点 教学重点：用因式分解法解一元二次方程.教学难点：正确理解AB=0A=0或B=0.
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题【问题1】一元二次方程的一般形式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？ 预设答案：一般形式：ax2+bx+c=0主要方法: 直接开平方法：将方程化为或（）的形式求解.配方法： 当一元二次方程的二次项系数是 1 时，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方.(3)公式法：求根公式（b2-4ac≥0）.【问题2】什么叫因式分解？因式分解有哪些方法？因式分解的一般步骤是什么？预设答案：定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫分解因式.方法：提取公因式、公式法、十字相乘法等.一般步骤：一提、二套、三分解【师生活动】学生独立思考，并进行口答. 教师点拨总结.合作探究，探索新知【探究】用不同方法解方程：方法1(直接开平方法)：解：直接开平方得：方程的解为：方法2(公式法)：解：方程化为标准形式为：方程的解为：方法3：解：将原方程变形为：x2 9=0将方程左边分解因式，得(x 3)(x+3)=0； 则x+3=0或x 3=0.解得x1= 3，x2=3.提示：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0.归纳：这种通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.【做一做】1. 用因式分解法解方程：解：将方程左边分解因式，得x(x+3)＝ 0；则x=0或x+3=0，解得x1=0，x2= 3.提示：像ax2+bx=0(a≠0)的形式的方程，其中一根为0.2. 用因式分解法解方程：解：将方程化为一般式，得将方程左边分解因式，得x(25x 6)＝ 0；则x=0或25x 6=0 .解得x1=0，x2= .提示：像ax2+bx=0(a≠0)的形式的方程，其中一根为0.【师生活动】学生独立完成，然后讨论交流，教师适时点拨.【归纳】因式分解法的基本思想：①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；②将方程的左边分解因式；③根据若A·B=0 ，则A=0或B=0 ，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.【交流】观察下列解方程x2=x的过程.解：方程的两边同除以x,得x=1.故方程的根为x=1.问题：怎么少了一个根？这样解是否正确呢？为什么？【师生活动】学生先独立思考，尝试解决，小组内进行交流，学生存在困难时，教师可提出问题.【追问1】等式的基本性质2怎么规定的？【师生活动】学生根据教师提出的问题进一步思考，并回答，上面的方程两边同除以x，而x有可能等于零，所以上面的解法不对.教师根据学生回答情况进行总结：不能随意在方程的两边同时除以含未知数的整式（如本题中的x），因为含未知数的整式有可能为0，导致方程失根（如本题中的x=0）. 正确解法应将含未知数的两项，移到同一侧，再因式分解，进而解方程.解：(1) 当x=0时，左边=0 ，右边=0.左边=右边.即x=0是原方程的解；(2) 当x≠0时，方程的两边同除以x，得x=1.即原方程的解为x1=0， x2=1.提示：像ax2+bx=0(a≠0)的形式的方程，其中一根为0.【归纳】总结前面的内容，归纳出缺项的二次方程：ax2+c=0(a≠0)，ax2+bx=0(a≠0)的解法？① ax2+c=0(a≠0)，即ax2= c，当ac≤0时，总可用开平方法求解；当ac＞0时，方程无解；② ax2+bx=0(a≠0) ，用因式分解法求解，总有一根为0.3.学以致用，应用新知【例1】 解方程：解: 把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 【例2】解方程：解: 将原方程化成标准形式，得把方程左边分解因式，得∴或解方程，得 【归纳】用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：1.移项：将方程化为一般形式；2.分解：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积；3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【例2】 用因式分解法解下列方程：【解】化为一般式为x2－2x+1＝0.因式分解，得(x－1)(x－1)＝0.从而x-1＝0，所以x1＝x2＝1.因式分解，得( 2x +11)( 2x-11)＝0.有 2x + 11＝0或2x-11＝0，把方程的左边进行因式分解，得（x- 2）（5- x）＝0，从而x-2＝0，或5-x＝0，所以 【归纳总结】几种常见的用因式分解法求解的方程：（1）形如的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为，则或，即. （2）形如的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为,则或，即.（3）形如 的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为①，②，则①，即. ②,即. （4）形如 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为，所以或，即.【例3】 用适当的方法解下列方程：（2）（3）；（4）. 【师生活动】学生独立思考，尝试在练习本上写出解答过程.教师巡视指导，学生如果有困难，教师通过问题进行引导.【教师追问1】我们一共学了几种解一元二次方程的方法？【教师追问2】如何选择合适简单的方法解方程？【师生活动】学生根据教师的提示，进一步思考，小组内进行交流，学生代表发言，通过分析不难发现，直接开平方法是具备或形式的才能用，因式分解法需要具备上述几种情况才能用，配方法和公式法对于任何一个一元二次方程都适用，具体用哪种方法简便需根据方程的特点选择.【解】（1）分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 整理，得（x-1）2＝ 9.开平方，得x-1＝±3，即x-1＝3 或x-1＝-3，∴ x1＝4，x2＝-2.（2）分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.原方程变形为x2+4x＝1. 配方，得x2+4x+ 22＝1+22，即（x+2）2＝5. 可得x+2＝±，∴ x1＝-2+，x2＝-2- . （3）分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2 ＝ 0. 因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）=0. 可得3（x+1）+（2x-5）＝0或3（x+1）-（2x-5）＝ 0， 即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝0，∴ x1 = ，x2 ＝-8. （4）分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝-1，∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝144+36＝180>0， ∴ 即 【归纳总结】解法选择基本思路1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（）， 应选用直接开平方法；2.若常数项为0（），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.4.随堂训练，巩固新知一元二次方程可化为两个一次方程为_______和_________，方程的根是________.答案：，；，.方程的根是________；方程的根是________；方程的根是______.答案：，，，.解方程时，要先把方程化为____；再选择适当的方法求解，得方程的两根为____；____ .答案：，1，4. 用因式分解法解下列方程：解: 原式可得：或解方程，得 解: 把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 解: 移项，得把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 解: 把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 解: 把方程化成标准形式，得把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 解: 把方程化成标准形式，得把方程左边因式分解，得因此得或解方程，得 5.课堂小结，自我完善师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：什么是因式分解法？因式分解法的一般步骤是什么？本节课所用到的思想方法有哪些？3.目前学过的解一元二次方程的四种方法分别适合解哪种类型的方程？6.布置作业教科书第31页习题17.2第5，6题 通过回顾之前学习的知识，并借助学生解因式分解，唤醒记忆，为讲解因式分解法作铺垫，助于对新知的引入和学习让学生先自己动手试着寻找方程的其他解法，并逐步理解因式分解法的概念和解题思路，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养能力，并通过板书演示引导学生养成良好的运算习惯ab=0a=0或b=0.有下列三层含义：①a=0且b≠0；②a≠0且b=0；③a=0且b=0.因式分解法的条件是：方程左边易于分解因式，右边等于0 .因式分解法突出转化思想，把“二次”降次转化为“一次”，体现了化归的数学思想.及时练习，规范因式分解法解一元二次方程的步骤.及时观察学生的解题步骤，对于常考易错题，帮助学生分析出错的原因，避免再次出错.分类讨论x=0和x≠0时,检验两个解是否满足题意.通过例1熟悉因式分解法解题步骤，并让学生感受多元方法解一元二次方程，同时感受到数学的美，从而建立学好数学的自信心.先引导学生观察，例2应先化为标准形式，再解方程.根据例题的解题过程，要求学生小组内相互交流总结因式分解的一般步骤，教师根据学生总结情况，进一步归纳概括，把步骤口诀化，方便记忆学生先独立思考，请三位同学进行板演，学生之间相互评价，教师点拨，根据例题结合因式分解的方法，总结归纳常见的用因式分解法解一元二次方程几种表现形式.同时让学生意识到并不是所有的方程都能用因式分解法，只是对于具备某些特点的方程适用。教师引导学生观察一元二次方程的特点，根据不同的特点选择合适的方法解方程.教师可以找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识，对本章解一元二次方程的方法进行整体的概括，形成整体知识框架
板书设计第4课时 因式分解法1. 定义：通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.2.步骤：移项→分解→转化→求解.3.几种常见的用因式分解法求解的方程: 提纲挈领，重点突出.
教后反思一元二次方程的解法——因式分解法，是建立在一元二次方程解法及因式分解的基础上， 因此要让学生带着问题自学课本 ，寻找因式分解法解一元二次方程的形式特征，即等号右边必须为零，左边必须为两个一次因式的乘积（不能是加减运算），利用零的特性，将求一元二次方程的解，通过因式分解法，转化为求两个一元一次方程的解，将未知领域转化为已知领域，渗透了化归数学思想，让班上中等偏下学生先上黑板解题，将暴露出来的问题在全班及时纠正.在这里要注意:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.
17.3 一元二次方程根的判别式
课题 一元二次方程根的判别式 课型 新授课
教学内容 教材第34-35页的内容
教学目标 1.了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.3.学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．
教学重难点 教学重点：会用一元二次方程根的判别式判定根的情况.教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）无实数根.”
教 学 过 程 备 注
复习回顾，引入课题【问题1】一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？(a≠0)主要方法: (1)直接开平方法 (2)配方法 (3)公式法：求根公式（b2－4ac≥0） (4)因式分解法【师生活动】教师提出问题，回顾前面学习知识，学生随教师提问发言.【问题2】请同学们选用合适的方法解下列方程．(1)x2＋4＝4x；(2)x2＋2x＝3； (3)x2－x＋2＝0.预设答案：（1）；（2），（3）无解【追问1】观察上面三个方程的的情况，你有什么发现？预设答案：方程的根有三种情况：两个相等的实数根、两个不等的实数根、无解.【追问2】所有的一元二次方程的根都是这三种情况吗？方程的根是由什么决定的呢？合作研究，探索新知教师活动：提出问题，让学生积极思考，为问题3做铺垫.用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .解：二次项系数化为1，得移项，得配方，得即【问题3】接下来能用直接开平方解吗？【问题4】什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？分析：中，(1)当b2– 4ac＞0 时，是正实数，方程有两个不相等的实数根. (2)当b2– 4ac=0 时，方程有两个相等的实数根.(3)当b2 – 4ac＜0 时，在实数范围内无意义，方程没有实数根.【追问】教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？总结：一元二次方程根的情况由b2-4ac决定.【归纳】我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“”表示，即= b2-4ac.3.学以致用，应用新知【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：(1)5x2 3x 2＝0；(2)25y2+4＝20y；(3)2x2+x+1＝0.解： (1)因为 ＝( 3)2 4×5×( 2)＝49＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可变形为25y2 20y+4＝0因为 ＝( 20)2 4×25×4＝0，所以原方程有两个相等的实数根.(3)因为 ＝()2 4×2×1＝ 5＜0，所以原方程没有实数根.【例2】当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？此时两个实数根是多少？分析：由于一元二次方程有两个相等的实数根，所以根的判别式的值为0，由此可求出m的值，进而可求出方程的根.解：根据题意，得，即16-4m+2=0，解得m=.即当m=时，方程有两个相等的实数根，此时方程为x2-4x+4=0. 解方程，得x1=x2=2.4.随堂训练，巩固新知1.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x2 5x 4=0； (2)7t2 5t+2=0；x(x+1)=3； (4)3y2+25=10y.互动方式：抢答解：(1)因为 =( 5)2 4×2×( 4)=57＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.(2)因为 =( 5)2 4×7×2= 31＜0，所以原方程没有实数根.(3)原方程可变形为x2+x 3=0，因为 =12 4×1×( 3)=13＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.(4)原方程可变形为3y2－10y+25=0，因为 =(10)2－4×3×25=0，所以原方程有两个相等的实数根.2.已知关于x的方程x2 3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程：(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：因为 =( 3)2 4×1×k=9 4k， ＞0，即时，方程有两个不相等的实数根； =0，即时，方程有两个相等的实数根； ＜0，即时，方程无实数根.5.课堂小结，自我完善师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）一元二次方程根的判别式是什么？（2）如何用一元二次方程根的判别是判定根的情况？（3）在推导二次根式法则的过程中运用了哪些思想方法？6.布置作业课本P36习题17.3第1、2、4题 回顾知识，通过练习的方式巩固解一元二次方程的方法，并通过直观感受方程根的情况，为本节课的内容打下基础.三位同学上讲台板演，其他学生独立完成.做到这一步时，要停下来，考虑被开方数的正负性，引导学生对字母的取值进行讨论.经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想严密性及方法的灵活性.引导学生讨论方程的根由谁来确定，分哪几种情况，然后教师进行总结，得出根的判别式的三种情况，可以适当举出简单的实例让学生做一做，以加深印象.这是对根的判别式的直接应用，要强调学生先将方程写成一般形式，然后再写出a，b，c的值，最后再代入根的判别式进行计算，根据结果判断方程根的情况.给学生示范规范的解题步骤.这是对根的判别式的反向应用，教师可以先让学生回顾根的三种情况与根的判别式的关系，然后再构建相应的式子求解.通过抢答过程，使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，再次巩固根的判别式与一元二次方程的根之间的关系，巩固分类讨论的数学思想.
板书设计一元二次方程根判别式一般地，式子叫做一元二次方程（）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=.→有两个不相等实数根；→有两个相等实数根；→没有实数根. 提纲挈领，重点突出.
教后反思学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结.在教学中先让学生明确根的判别式的由来以及它的重要性，然后通过直接的应用加深印象，最后通过反向应用拓展学生的思维.从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触.所以可以让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力.
*17.4 一元二次方程的根与系数的关系
课题 一元二次方程的根与系数的关系 课型 新授课
教学内容 教材第37-39页的内容
教学目标 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用;2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题;3.通过由特殊到一般，培养学生观察、分析、猜测规律的能力.
教学重难点 教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及其推导.教学难点：正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系.
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年出版的《论方程的识别与订正》一书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.（课件展示）【问题1】同学们，我们在前面学习了用求根公式法解一元二次方程.你能说说一元二次方程的求根公式吗？预设答案：若ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，则.【追问】不难发现，求根公式不仅表示系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系. 那么，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？合作探究，探索新知【探究】填写下表，解出下列各方程的两根x1和x2，并计算x1+x2和x1·x2的值.【师生活动】教师引导学生独立完成表格.【教师追问1】从上面表格中观察以上方程，方程中的两根之和（x1+x2）、两根之积（x1·x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？你能猜想一般的一元二次方程的根与系数存在什么样的关系呢？【猜想】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=, x1x2=.【教师追问2】你能证明上面的猜想吗？学生尝试证明：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2 ，则，，所以，，这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理.【归纳】如果的两根为x1、x2，那么(1)两根之和，等于一次项系数与二次项系数比的相反数：即(2)两根之积，等于常数项与二次项系数的比：即即韦达定理(根与系数关系)【读一读】韦达（1540—1603），法国数学家．年轻时当过律师，后来致力于数学研究，韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著，他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂的人，带来了代数理论研究的重大进步.他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系（即韦达定理），他的《应用于三角形的数学定律》可能是西欧第一部论述用6种三角函数解平面和球面三角形方法的系统著作．在欧洲被尊称为“代数学之父”．【注意】在使用根与系数的关系时，应注意：(1) 不是一般式的要先化成一般式；(2) 在使用时， 注意“－ ”号不要漏写；(3) 不要漏除二次项系数．【思考】当一元二次方程的二次项系数为1时，根与系数关系有什么特点？当一元二次方程的二次项系数为1时，设标准形式为方程x2+px+q=0.设它的两个根为x1，x2 ，即x2+px+q= ，则，.【做一做】不解方程，求下列方程两个根的和与积：(1) ；(2) ；(3) .解:(1) ，(2) ，(3) 方程化为一般式，3.学以致用，应用新知1. 已知关于x的方程的一个根是 4，求它的另一根及k的值.(学生独立求解，除了教材上的解法，思考是否还有其他方法解题)教师展示：解法1：设方程的另一个根是x2，那么，解得答:它的另一根为， k的值是7.解法2：∵方程的一个根为-4,∴2×(-4)2+k·(-4)-4=0，∴k=7，把k=7代入原方程，得解得x1=-2，x2=，∴k=3,方程的另一个根为，【追问】从上面的两种解法中你有什么启示？2. 方程的两个根记作x1，x2，不解方程，求x1 x2的值.解：由韦达定理，得4.随堂训练，巩固新知1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；解: 设方程的两根分别为x1，x2.(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ，(6) 方程化为一般式，2.判断下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根.(1) (2) (3) (4) (5) 解:(1) 不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根.(2) 满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.(3) 满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.(4) 不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根.(5)满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.3. 已知关于x的方程的一个根是1，求它的另一根及m的值.解：设方程的另一个根是x2，那么 解得答:它的另一根为，m的值是16.4. 设x1，x2是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.(1) (x1+1)(x2+1) ；(2) 解：由韦达定理，得(1).(2) .5.课堂小结，自我完善回答下面的问题，说说你对一元二次方程根与系数关系的认识：（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？（2）根与系数关系使用的前提是什么？6.布置作业课本第40页习题17.4第4，7题. 通过数学文化的引入，让学生了解要探究的内容，助于对新知的引入和学习.通过回顾求根公式，使学生明确方程的根与系数存在一定的关系，同时也为后面推导根与系数的关系奠定基础.通过填表计算，使学生有一个具体的印象，然后让学生猜想根与系数的关系，教师进行总结，形成相应的知识点.可以引导学生举出更多的例子检验自己的猜想.通过推理证明，加深学生对根与系数关系的理解和记忆，体会数学的严谨性和严密性.应用韦达定理的前提条件是强调a≠0且b2-4ac≥0，教学时要特别强调.通过阅读韦达生平事迹，激发学生对研究数学，探究数学的强烈兴趣.通过探究二次项系数为1时，根与系数的关系，使得理解这种常见情况通过及时练习，巩固新知，加强学生自信心.解法1：利用韦达定理.解法2：直接代入法通过两种方法的比较，来认识利用根与系数的关系解题的简洁性，同时加深对它的记忆和应用.先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体带入求解即可．进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.教师先强调解题的步骤，然后再让学生独立完成，教师对出现的问题及时进行纠正和强调.先变形，再整体代入求值教师引导学生进行回顾，重点是对根与系数关系的记忆，还要强调容易忽略的点.
板书设计一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系：如果的两根为x1、x2，那么， 提纲挈领，重点突出.
教后反思为了能让学生更好的掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积，故在设计教案时前一段通过计算填表，这样能让学生有一个感性的认识.在教学中要注意以下问题：1.学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清.2.韦达定理导入时，充分挖掘、调动学生的探究精神.3.两根和、两根积有小部分同学有些混淆.
17.5 一元二次方程的应用
第1课时 图形面积问题
课题 图形面积问题 课型 新授课
教学内容 教材第41-43页的内容
教学目标 1.会用列出一元二次方程解决面积问题，学会将实际问题转化为数学问题;2.能够根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理.
教学重难点 教学重点：列一元二次方程解决实际问题.教学难点：找出实际问题中的等量关系.
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题教师活动：请同学们跟随老师一起回顾旧知识.问题：列方程解应用题的步骤:审：审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系.设：设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量.列: 找到等量关系列出方程.(关键步骤)解:解方程.答:检验根的准确性及是否符合实际意义并作答.示例讲解，合作探究教师活动： 教师引导学生根据步骤层层解决问题.并注意隐含条件也是关键.问题（17.1节的问题2）：在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应是多少？分析: 空地-(横向路+纵向路)+横纵交叉=花坛总面积设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x m2，两者重叠部分的面积是2x2 m2. 由于花坛的总面积是570 m2，则32×20 – (32x+2×20x)+2x2=570.整理得：x2 – 36x+35=0.(x – 1) (x – 35) =0.∴x1=1， x2=35.结合题意，35＞32，x=35不可能，因此，只能取x=1.答：所求小路的宽应为1 m.追问：同学们，仔细观察所给图形，还有其他列方程的方式吗？【师生活动】教师引导利用平移. 学生思考、小组交流并回答具体做法.【分析】通过平移，剩下的图形是一个长方形，长是（32-2x）m，宽是（20-x）m，则可列方程（32-2x）（20-x）=570.【拓展】面积问题常见图形归纳如下：如图1，长方形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积为（a-2x）（b-2x）.如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，阴影部分的宽为x，则空白部分的面积为（a-x）（b-x）.点拨： 利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条小路移动一下，使列方程更容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.【归纳】教师活动：带领学生再次回顾列方程解应用题的步骤，强调关键步骤（找等量关系）和检验这一步骤.列方程解应用题的步骤:审、设、列、解、验、答.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？学以致用，应用新知教师活动：带领学生整理解题步骤，并加以强调..正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20 cm，容积为2880 cm3的开口方盒.问原金属片的边长是多少？ 分析：方盒的容积=底面积×高.解： 设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x-40)cm.根据题意，得20(x-40)2=2880整理，得(x-40)2=144解方程，得x1=52， x2=28.28＜20+20，x2=28不合题意，所以x=52.答：原金属片的边长是52 cm.随堂训练，巩固新知练习1一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚3 mm的附着物，而导致流通截面减少至原来的.求这根水管原来的内壁直径.解：设水管原来的内壁直径为 x mm，可列方程为：整理，得5x2-108x+324=0解得 x1=18，x2=3.63.6＜3+3时，3不合题意，舍去.∴x=18答：这根水管原来的内壁直径18 mm.练习2在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米,可列方程为：(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得 x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.∴取x=2答：道路的宽为2米.练习3如果两个连续偶数的积时288，求这两个数.解：设较小的偶数为 x ，则另一个偶数为(x +2)，可列方程为：x(x +2)=288整理，得x2+2x-288=0解得 x1=16,x2=-18当x=16时，x +2=18；当x=-18时，x +2=-16，.答：这两个数分别为16和18或-16和-18.5.课堂小结，自我完善回顾思考，回答下面的问题：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？（2）列方程解应用题的关键步骤是什么？你是如何理一元二次方程根的取舍问题的？（3）对于解决不规则的面积问题的思路是什么？常见的面积模型有哪些？6.布置作业课本第45页习题17.5第2，3题. 回顾知识，为本节课的内容打下基础. 通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型注意：引导学生对结果进行检验,求出的结果应符合实际意义，不符合的解应舍去.用总面积去减小路的面积，这样重叠部分的面积就容易忽略，可以引导学生进行平移，构成新的长方形，重点观察怎样平移，平移后的长方形的长和宽分别是多少，然后列出方程.最后教师进行总结，形成方法给学生做示范：列方程解应用题的步骤.练习1是对体积问题的研究，可以先让学生口述体积公式，然后让学生观察图形，对分解的问题逐步进行研究，最后根据相等关系列出方程.教师对容易出现的问题进行总结和强调.练习2可通过平移的方式，将不规则的图形转化为规则的图形，体现了转化的思想方法的运用.重点回顾列方程解应用题的一般步骤，还要强调关键点及容易忽略的点.
板书设计图形面积问题列方程解应用题的一般步骤： 提纲挈领，重点突出.
教后反思利用一元二次方程解应用题是数学教学中的一个重点，而对于学生来说却是学习的一个难点.学生分析问题、寻找数量关系的能力较差，在学习一元二次方程的应用的这节课中，应该始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误.如数量之间的相等关系找得不清；列方程忽视了解设、检验的步骤等.
17.5 一元二次方程的应用
第2课时 平均变化率问题
课题 平均变化率问题 课型 新授课
教学内容 教材第41、42、44页的内容
教学目标 1.会用列一元二次方程的方法解决平均变化率的问题.2.能够根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理.
教学重难点 教学重点：列一元二次方程解决实际问题.教学难点：找出实际问题中的等量关系，建立方程.
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾,引入课题教师活动：请同学们跟随老师一起回顾旧知识.【问题1】列方程解应用题的步骤:审：审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系.设：设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量.列: 找到等量关系列出方程.(关键步骤)解:解方程.答:检验根的准确性及是否符合实际意义并作答.【问题2】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤.2.创设情境，探究新知教师活动： 教师引导学生根据步骤层层解决问题.并注意隐含条件也是关键.原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？(精确到1%)分析：降低量=原量×降低率，增长量=原量×增长率.【问题1】未知数设什么？该药品两次降价的平均降价率是x.【问题2】第一次降价后每盒售价多少？分析：降低量=原量×降低率第一次降价后每盒售价=原价 第一次降低量=27 27x =27(1 x) 元【问题3】第二次降价后每盒售价多少？第二次降价后每盒售价=第一次降价后的价格 第二次降低量=27(1 x) 27(1 x) x =27(1 x)2 元【问题4】由“两次降价后每盒售价为9元”可列方程是？27(1 x)2 =9教师活动： 带领学生整理解题步骤，并加以强调..解：设该种药品两次平均降价率是x.根据题意，列方程得27(1 x)2 =9整理，得解这个方程，得经验证不合题意，所以答：该药品两次降价的平均降价率约是42%.【归纳】假设：原价a，降价率x.第一次降价后价格= a(1 x)第二次降价后价格= a(1 x)2第三次降价后价格= a(1 x)3 ……第n次降价后价格= a(1 x)n提醒：0＜降低率＜ 1假设：原量a，增长率t.第一次增长后的量= a(1+ t)第二次增长后的量= a(1 + t)2第三次增长后的量= a(1 + t)3 ……第n次增长后的量= a(1 + t)n提醒：增长率＞0.学以致用，应用新知【例】一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000 kg，出油率为50%(即每100 kg花生可加工出花生油50 kg ).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率.【分析】等量关系：新品种每公顷的产量×新品种出油率=新品种油量可列方程：整理步骤：解：设新品种花生产量的增长率为x，根据题意，得解方程，得＜0，(不合题意，舍去).答：新品种花生产量的增长率为20%.随堂训练，巩固新知互动方式：抢答练习1某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500答案：B练习2某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为( ).A. 200(1+x)2=1000 B. 200+200×2×x=1000C. 200+200×3×x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000答案：D练习3某磷肥厂去年4月份生产磷肥500 t；因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648 t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率.解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为x，可列方程为：整理，得25x2+50x 11=0解得 x1=0.2，x2= 2.2 2.2 ＜0不合题意，舍去.∴x=0.2答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%.课堂小结，自我完善回顾思考，回答下面的问题（1）运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？关键步骤是什么？需要注意的地方有哪些？（2）平均增长率问题的一般解题思路是什么？6.布置作业课本第45页习题17.5第4题，第48页8题、第49页6题. 回顾知识，为本节课的内容打下基础教师引导学生，分析出每次降价后的售价，注意第二次降价是在第一次降价的基础上减少的.学生先尝试独立进行列示，教师进行适时进行点拨.关键是让学生明白谁是单位“1”，增长或降低前后的单位“1”是不同的，可以引导学生逐步列出相应的式子，最后再列出方程.方程求得的解有两个，要根据实际情况舍去不符合实际情况的解.总结常用增长率及降率的常见规则，使学生加深数学模型意识.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”,降低取“-”。例题涉计到两个“率”的理解，一个是增长率，一个是出油率，学生理解起来有一定的困难，教师要将问题进行分解，让学生明确计算的方法.最后教师引导学生总结列一元二次方程解应用题的一般步骤，给学生提供解题的思路和方法.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.通过抢答过程，使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值.注意1000是一、二、三月的全部的营业额，要把三个月的营业额相加.重点回顾解决平均增长率问题的一般速录，还要强调关键点及容易忽略的点.
板书设计平均变化率问题增长量=原量×增长率，降低量=原量×降低率 假设原价a,降价率x. 第n次降价后价格=a（1-x）n假设原价a，增长率x. 第n次降价后价格=a（1-x）n 提纲挈领，重点突出.
教后反思在学习一元二次方程的应用的这节课中，应该始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误.对于增长率问题中的单位“1”的理解不够透彻.需要通过进一步的训练，以加深学生的理解.