实际问题与二次函数教学设计
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文档简介
实际问题与二次函数教学设计
一、教学任务分析
教学目标 知识技能 能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案
数学思考 通过探索“计算机中的二次函数问题”过程，体会“建立二次函数模型”是解决实际问题中的最优化问题的数学模型。
解决问题 通过对生活中实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题，并获得经验。
情感态度 在活动与交流中体会小组合作有利于探究数学知识，能熟练利用二次函数知识求解计算机中磁盘的最大存储量等问题。
重点 几何关系的分析，体会二次函数这一模型的意义。
难点 如何建二次函数模型，利用它解决实际问题。
二、教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1 创设情景 导入新课活动2 合作交流 解读探究活动3 应用迁移 巩固提高活动4 总结反思 拓展升华活动5 当堂检测反馈活动6 布置作业 教师提出两个生活中的实际问题，引导学生思考，激发学生求知欲.教师与学生共同分析，寻找解决问题的方法，培养学生的探索精神，让学生进一步步感受数学的使用价值。让学生进一步感受运用函数知识解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.进一步体会建立函数关系，用函数的思想与方法解决问题的价值.检查学生对本节课的掌握效果.
三、教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动1]我们可以利用二次函数来解决最大利润问题，了解到二次函数的意义，它还可以解决哪些问题呢？在周长为一定值（6米）情况下，如何设计窗户，使其面积最大？引入即可。出示磁盘，介绍磁盘，磁盘的容量怎样设计最大最合理呢？ 教师提出问题，学生独立思考回答.让学生体会两个变量的关系. 在活动中，教师应重点关注：（1）学生是否发现两个变量？ （2）学生是否真正理解磁盘的容量的计算方法？ 通过实际问题的给出和探究，激发学生的学习欲望.
[活动2] [探究]（教材P24探究2）[学生自主探究]阅读教材、思考教材中3个问题，相与交流，探讨答案。 [师生共同解答]教师引导学生自主探究并深入小组参与谈论.（1）磁盘最内磁道的周长为，它上面的存储单元的个数不超过 ．理由：周长不是弧长 的整数倍。(2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于 ，所以这张磁盘最多有 条磁道(观察磁道的位置可理解) (3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，设磁盘每面存储量为y，则即 。当时， 。 也就是说当 时，磁盘的存储量最大． 通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题.同时培养学生的合作精神与合作意识.
[活动3] 类型之一 几何图形的面积与二次函数例1某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形。制造窗框的材料总长为 (图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到) 此时，窗户的面积是多少 类型之二 几何图形的分割与二次函数 例2 如图．从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处 为什么 教师展示问题，学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题.教师适时给予帮助解决问题.本问题中的变量是什么？如何表示窗户的宽度y呢？窗户的面积如何表示？【解析】①窗户通过的光线最多实际上是要求窗户的面积尽可能大． ②图中的长度可求，由得③窗户的面积为,则。对于S关于x的二次函数，可用顶点坐标公式确定其相应最大值， 即当（m）时。教师展示问题，点E选在何处，应需知道哪些条件呢？尚缺少什么？学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题.教师加以必要的引导.本问题的变量是什么？需引入什么辅助变量？【解析】将的长设为x，两正方形的面积和为y。寻找出y与x间的函数关系．再求解． 解：不妨设矩形纸较短边长为a，设DE=x，刖AE= a-x。 那么两个正方形的面积和y为。当时，。 即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小． 此题较复杂，特别要注意①中间线段用x的代数式来表示．要充分利用几何关系．培养学生的识图能力和分析问题的能力.此问题的难点是要引入一个辅助变量，充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解。引导学生关注辅助变量的作用.
[活动4]【总结】本节课所学的知识是通过对计算机的磁盘等不同实例的探讨，再次利用二次函数解决实际问题． 本节课所用的思想方法是建立函数关系，利用函数的图象与性质进行解题，即用函数的思想与方法． 【反思】几何问题用函数的思想方法来解决，需注意什么 ①自变量的取值范围，保证几何图形有实际意义．②充分利用几何关系，构造出函数关系． 引导学生回顾本节课利用二次函数的最大值解决问题的过程，体会函数的思想方法在实际应用的作用.活动中，教师应重点关注：（1）学生对本节课建立函数模型的方法是否理解. （2）学生是否能全面地分析问题. 总结、归纳学习内容，培养全面分析问题的良好习惯，并培养学生规范的解答能力.
[活动5]当堂检测反馈 1．已知—个直角三角形的两条直角边的比为，较短的直角边为x(cm)．则其面积s与x之问的函数关系是． 2．已知一矩形的周长为，则此矩形面积的最大值为． 3．有一长为7．2米的木料，做成如图26—3—8所示的”日”字形的窗框，窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大(不考虑木料加工时的损耗和木框本身所占的面积) 学生独立完成，教师巡视检查.【解析】．【解析】设矩形的长为，则宽为. 则 所以S矩形的曩大值为25．【点拨】设宽为x米，则高为米，窗的面积，则是x的二次函数，问题转化为求二次函数的最大值问题。解：设窗的宽为x米，则高为米，窗的面积，其中，当x=1.2时，s有最大值，此时 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 .答：窗的高为米，宽为米时，这个窗的面积最大。 考查学生寻找变量，建立函数关系的能力.考查学生求最值问题的能力.考查学生的几何识图能力和利用函数解决实际问题的能力.
[活动6]布置作业：教科书习题26.3第7、8、10题. 认真领会本节课的函数思想方法，借助几何图形，解决实际问题. 培养学生综合解决问题的能力.
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一、教学任务分析
教学目标 知识技能 能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案
数学思考 通过探索“计算机中的二次函数问题”过程，体会“建立二次函数模型”是解决实际问题中的最优化问题的数学模型。
解决问题 通过对生活中实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题，并获得经验。
情感态度 在活动与交流中体会小组合作有利于探究数学知识，能熟练利用二次函数知识求解计算机中磁盘的最大存储量等问题。
重点 几何关系的分析，体会二次函数这一模型的意义。
难点 如何建二次函数模型，利用它解决实际问题。
二、教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1 创设情景 导入新课活动2 合作交流 解读探究活动3 应用迁移 巩固提高活动4 总结反思 拓展升华活动5 当堂检测反馈活动6 布置作业 教师提出两个生活中的实际问题，引导学生思考，激发学生求知欲.教师与学生共同分析，寻找解决问题的方法，培养学生的探索精神，让学生进一步步感受数学的使用价值。让学生进一步感受运用函数知识解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.进一步体会建立函数关系，用函数的思想与方法解决问题的价值.检查学生对本节课的掌握效果.
三、教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动1]我们可以利用二次函数来解决最大利润问题，了解到二次函数的意义，它还可以解决哪些问题呢？在周长为一定值（6米）情况下，如何设计窗户，使其面积最大？引入即可。出示磁盘，介绍磁盘，磁盘的容量怎样设计最大最合理呢？ 教师提出问题，学生独立思考回答.让学生体会两个变量的关系. 在活动中，教师应重点关注：（1）学生是否发现两个变量？ （2）学生是否真正理解磁盘的容量的计算方法？ 通过实际问题的给出和探究，激发学生的学习欲望.
[活动2] [探究]（教材P24探究2）[学生自主探究]阅读教材、思考教材中3个问题，相与交流，探讨答案。 [师生共同解答]教师引导学生自主探究并深入小组参与谈论.（1）磁盘最内磁道的周长为，它上面的存储单元的个数不超过 ．理由：周长不是弧长 的整数倍。(2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于 ，所以这张磁盘最多有 条磁道(观察磁道的位置可理解) (3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，设磁盘每面存储量为y，则即 。当时， 。 也就是说当 时，磁盘的存储量最大． 通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题.同时培养学生的合作精神与合作意识.
[活动3] 类型之一 几何图形的面积与二次函数例1某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形。制造窗框的材料总长为 (图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到) 此时，窗户的面积是多少 类型之二 几何图形的分割与二次函数 例2 如图．从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处 为什么 教师展示问题，学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题.教师适时给予帮助解决问题.本问题中的变量是什么？如何表示窗户的宽度y呢？窗户的面积如何表示？【解析】①窗户通过的光线最多实际上是要求窗户的面积尽可能大． ②图中的长度可求，由得③窗户的面积为,则。对于S关于x的二次函数，可用顶点坐标公式确定其相应最大值， 即当（m）时。教师展示问题，点E选在何处，应需知道哪些条件呢？尚缺少什么？学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题.教师加以必要的引导.本问题的变量是什么？需引入什么辅助变量？【解析】将的长设为x，两正方形的面积和为y。寻找出y与x间的函数关系．再求解． 解：不妨设矩形纸较短边长为a，设DE=x，刖AE= a-x。 那么两个正方形的面积和y为。当时，。 即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小． 此题较复杂，特别要注意①中间线段用x的代数式来表示．要充分利用几何关系．培养学生的识图能力和分析问题的能力.此问题的难点是要引入一个辅助变量，充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解。引导学生关注辅助变量的作用.
[活动4]【总结】本节课所学的知识是通过对计算机的磁盘等不同实例的探讨，再次利用二次函数解决实际问题． 本节课所用的思想方法是建立函数关系，利用函数的图象与性质进行解题，即用函数的思想与方法． 【反思】几何问题用函数的思想方法来解决，需注意什么 ①自变量的取值范围，保证几何图形有实际意义．②充分利用几何关系，构造出函数关系． 引导学生回顾本节课利用二次函数的最大值解决问题的过程，体会函数的思想方法在实际应用的作用.活动中，教师应重点关注：（1）学生对本节课建立函数模型的方法是否理解. （2）学生是否能全面地分析问题. 总结、归纳学习内容，培养全面分析问题的良好习惯，并培养学生规范的解答能力.
[活动5]当堂检测反馈 1．已知—个直角三角形的两条直角边的比为，较短的直角边为x(cm)．则其面积s与x之问的函数关系是． 2．已知一矩形的周长为，则此矩形面积的最大值为． 3．有一长为7．2米的木料，做成如图26—3—8所示的”日”字形的窗框，窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大(不考虑木料加工时的损耗和木框本身所占的面积) 学生独立完成，教师巡视检查.【解析】．【解析】设矩形的长为，则宽为. 则 所以S矩形的曩大值为25．【点拨】设宽为x米，则高为米，窗的面积，则是x的二次函数，问题转化为求二次函数的最大值问题。解：设窗的宽为x米，则高为米，窗的面积，其中，当x=1.2时，s有最大值，此时 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 .答：窗的高为米，宽为米时，这个窗的面积最大。 考查学生寻找变量，建立函数关系的能力.考查学生求最值问题的能力.考查学生的几何识图能力和利用函数解决实际问题的能力.
[活动6]布置作业：教科书习题26.3第7、8、10题. 认真领会本节课的函数思想方法，借助几何图形，解决实际问题. 培养学生综合解决问题的能力.
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