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大题精练02 动力学与能量综合问题
公式、知识点回顾（时间：5分钟）
一、考向分析
1.本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题和滑块一木板问题三类问题中的综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题。
2.用到的知识有:动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律)。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 自由落体运动
竖直抛体运动 (注意：时间和速度的对称性)
四、功和能
动能
重力势能 (与零势能面的选择有关)
弹性势能
功 W = Fs cos (恒力做功) W=Pt（拉力功率不变） W=f S相对路程 （阻力大小不变）
功率 平均功率： 即时功率：
动能定理
机械能守恒定律 或者Ep= Ek
难度：★★★★★ 建议时间：60分钟
1．（2023 台州模拟）如图所示为处于竖直平面内的一实验探究装置的示意图，该装置由长L1＝3m、速度可调的固定水平传送带，圆心分别在O1和O2，圆心角θ＝120°、半径R＝0.4m的光滑圆弧轨道BCD和光滑细圆管EFG组成，其中B点和G点分别为两轨道的最高点和最低点，B点在传送带右端转轴的正上方。在细圆管EFG的右侧足够长的光滑水平地面上紧挨着一块与管口下端等高、长L2＝2.2m、质量M＝0.4kg木板（与轨道不粘连）。现将一块质量m＝0.2kg的物块（可视为质点）轻轻放在传送带的最左端A点，物块由传送带自左向右传动，在B处的开口和E、D处的开口正好可容物块通过。已知物块与传送带之间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块与木板之间的动摩擦因数μ2＝0.5，g取10m/s2。
（1）若物块进入圆弧轨道BCD后恰好不脱轨，求物块在传送带上运动的时间；
（2）若传送带的速度3m/s，求物块经过圆弧轨道BCD最低D点时，轨道对物块的作用力大小；
（3）若传送带的最大速度4m/s，在不脱轨的情况下，求滑块在木板上运动过程中产生的热量Q与传送带速度v之间的关系。
【解答】解：（1）物块进入圆弧轨道BCD后恰好不脱轨，则在B点，根据牛顿第二定律可得：
解得：vB＝2m/s
若物块在传送带上一直加速，由
解得：
由此可知物块应该是先加速后匀速
代入数据解得：t＝2s
（2）若传送带的速度3m/s，则物体先加速后匀速，经过B点时的速度为
vB1＝3m/s
从B到D，由动能定理得
经过D点时
解得：FD＝11.5N
（3）从B到G，由动能定理得
若在木板上恰好不分离，则系统的动量守恒，选择水平向右的方向为正方向，则
mvG＝（m+M）v1
得：vB2＝3m/s
当2m/s≤v≤3m/s时
当3m/s≤v≤4m/s时
Q＝μ2mgL2
代入数据解得：Q＝2.2J
答：（1）若物块进入圆弧轨道BCD后恰好不脱轨，物块在传送带上运动的时间为2s；
（2）若传送带的速度3m/s，物块经过圆弧轨道BCD最低D点时，轨道对物块的作用力大小为11.5N；
（3）见解析。
2．（2022春 杭州期末）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零。如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔x1＝3.5×10﹣2m，乙与边框a相隔x2＝2.0×10﹣2m，每颗算珠的质量均为20g，算珠与导杆间的动摩擦因数均为μ＝0.1。现将甲以初速度v0＝0.4m/s水平拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小v2＝0.1m/s，方向不变，乙算珠刚好能滑动到边框a，碰撞时间极短且不计。求：
（1）甲算珠的初动能Ek甲；
（2）甲乙碰撞前瞬间，甲的速度大小v1；
（3）甲乙在碰撞中损失的机械能ΔE。
【解答】解：算珠的质量m＝20g＝0.020kg
（1）甲算珠的初动能为：，
代入数据解得：
（2）对算珠，由牛顿第二定律得：μmg＝ma
设碰撞前甲的速度为v1，则：，
代入数据解得：v1＝0.3m/s
（3）设碰后乙的速度为v3，则：，
代入数据解得：v3＝0.2m/s
由能量守恒定律可知，碰撞过程损失的机械能：ΔE（）
代入数据解得：ΔE＝4×10﹣4J
答：（1）甲算珠的初动能是1.6×10﹣3J。
（2）甲乙碰撞前瞬间，甲的速度大小v1是0.3m/s。
（3）甲乙在碰撞中损失的机械能是4×10﹣4J。
3．（2022春 绍兴期末）质量均匀分布，长为l的矩形毛巾挂在水平细杆上，处于静止状态，其底边AA'平行于杆，杆两侧的毛巾长度比为1：3，AA'与地面的距离为h（h＞l），如图a所示．毛巾质量为m，不计空气阻力，取重力加速度为g
（1）若将杆两侧的毛巾长度比改变为1：1，如图b所示，毛巾的重力势能是增加还是减少？
（2）求出毛巾从图a到图b，重力所做的功；
（3）若毛巾从图a状态由静止开始下滑，且下滑过程中AA'始终保持水平，毛巾从离开杆到刚接触地面所需时间为t，求毛巾离开横杆时的速度v0大小以及摩擦力做的功（做功计算结果可用v0表示）．
【解答】解：（1）毛巾的重心上升，重力势能1.增加
（2）由图a位置变到图b位置，相当于上部四分之三块毛巾位置不动，下面的四分之一块毛巾移升，所以重力做功为
（3）毛巾从离开杆到刚接触地面做加速度为g的匀加速运动，设毛巾离开横杆时的速度大小为v0，有
所以
从图a状态由静止开始下滑至毛巾离开横杆时，上部四分之一毛巾下落，重力做功为
根据动能定理，有
即，解得：
答：（1）如图b所示，毛巾的重力势能增加。
（2）毛巾从图a到图b，重力所做的功为mgl；
（3）毛巾离开横杆时的速度v0大小为gt，摩擦力做的功为mgl。
4．（2023 嘉兴一模）如图所示，某游乐场游乐装置由竖直面内轨道BCDE组成，左侧为半径R＝0.8m的光滑圆弧轨道BC，轨道上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α，下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角θ＝37°的粗糙倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E点处的挡板上。现有质量为m＝0.1kg的小滑块P（视为质点）从空中的A点以v0＝2m/s的初速度水平向左抛出，经过s后恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点后沿倾斜轨道向上运动至F点（图中未标出），弹簧恰好压缩至最短，已知CD＝DF＝1m，滑块与轨道CD、DE间的动摩擦因数为μ＝0.1，各轨道均平滑连接，不计其余阻力，sin37°＝0.6。求：
（1）BO连线与水平方向的夹角α的大小；
（2）小滑块P到达与O点等高的O'点时对轨道的压力；
（3）弹簧的弹性势能的最大值；
（4）试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出时对B点的压力大小；若不能，判断滑块最后位于何处。
【解答】解：（1）滑块从A到B做平抛运动，滑块经过B点时的竖直分速度为vy＝gt＝10m/s＝2m/s
滑块恰好从B点进入轨道，如图所示，由平抛运动的规律有
v0＝vBsinα＝vytanα
解得：α＝30°，vB＝4m/s
（2）由B→O'，由动能定理可知
mgRsin30°
解得
滑块经过O'点时受轨道的支持力大小FN，由牛顿第二定律有
解得FN＝5N
由牛顿第三定律可得滑块在O'点时对轨道的压力大小F压＝5N，方向向左。
（3）设CD＝DF＝L，从B到F，由动能定理及功能关系有
mg（R+Rsinα﹣Lsinθ）﹣μmgL﹣μmgLcosθ﹣Ep＝0
代入数据可解得弹簧的弹性势能的最大值：Ep＝2.02J
（4）设滑块返回时能上升的高度为h，由功能关系有
mgLsinθ+Ep＝μmgLcosθ+μmgL+mgh
解得h＝2.44m＞1.2m
则滑块返回时能从B点离开。
运动到B点时，有：，
在B点，对滑块，由牛顿第二定律得
解得：FN＝2.6N
由牛顿第三定律可知对B点的压力为F'N＝2.6N
答：（1）BO连线与水平方向的夹角α的大小为30°；
（2）小滑块P到达与O点等高的O'点时对轨道的压力为5N，方向向左；
（3）弹簧的弹性势能的最大值为2.02J；
（4）能，飞出时对B点的压力大小为2.6N。
5．（2023春 宁波期末）如图所示，竖直平面内固定有半径为R＝1m的光滑四分之一圆轨道AB、水平直轨道BC、DO以及以速度v＝3m/s逆时针转动的水平传送带CD，OD上有一轻质弹簧，一端固定在O点另一端自然伸长于E点，各轨道平滑连接。现有一质量为m＝2kg的滑块（可视为质点）从轨道AB上高为h处由静止下滑，已知LBC＝0.2m，LCD＝0.4m，LDE＝0.3m，滑块与BC、DE间的动摩擦因数均为μ1＝0.3，与传送带间的动摩擦因数为μ2＝0.5，E点右侧平面光滑，整个过程不超过弹簧的弹性限度，重力加速度g取10m/s2。
（1）若h＝0.2m，求滑块运动至B处时对轨道的作用力FN；
（2）若要使滑块能到达D点，且不再离开DE，求滑块下落高度满足的条件；
（3）若滑块第一次到达D点速度恰为0，求这一过程滑块通过传送带产生的内能。
【解答】解：（1）滑块由静止滑到B点处，由动能定理得
代入数据解得：vB＝2m/s
滑块滑动到B处时，由牛顿第二定律得
FN′﹣mg＝m
代入数据解得：FN′＝28N
由牛顿第三定律可知，滑块运动至B处时对轨道的作用力大小FN＝FN′＝28N，方向竖直向下。
（2）若要使滑块能到达D点，滑块第一次到达D点时速度是零，下滑高度有最小值，由动能定理得
mgh1﹣μ1mgLBC﹣μ2mgLCD＝0
代入数据解得：h1＝0.26m
滑块到达DE后且不再离开DE，可知又返回的D点速度恰好是零，下滑高度有最大值，由动能定理得
mgh2﹣μ1mgLBC﹣μ2mgLCD﹣2μ1mgLDE＝0
解得：h2＝0.44m
则滑块下落高度满足的条件为：0.26m≤h≤0.44m
（3）从若滑块第一次到达D点速度恰是0，设滑块从C到D的时间为t，由逆向思维有：
LCD
可得：t＝0.4s
滑块在传送带上产生的内能：Q＝μ2mg（LCD+vt）
解得：Q＝16J
答：（1）滑块运动至B处时对轨道的作用力FN为28N，方向竖直向下；
（2）滑块下落高度满足的条件为0.26m≤h≤0.44m；
（3）这一过程滑块通过传送带产生的内能为16J。
6．（2021 浙江模拟）简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在受到形如F＝﹣kx的回复力作用下，物体的位移x与时间t遵循x＝Asinωt变化规律的运动，其中角频率ω（k为常数，A为振幅，T为周期）。弹簧振子的运动就是其典型代表。
如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O，另一质量也为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为Epkx2，已知H，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离。
（3）小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。
【解答】解：（1）小球B自由下落H的速度为vB
根据动能定理可得：
解得：
小球B与小球A碰撞过程动量守恒，取向下为正，则有：
mvB+0＝（m+m）v1
解得：；
（2）小球A在O位置，弹簧被压缩x0，则
小球A与小球B共同体继续向下运动离O点的最大距离为xm，根据机械能守恒定律可得：
由mg＝kx0
整理得：
解得：xm＝3x0，xm＝﹣x0（舍去）
即：；
（3）由题意振动周期：，又振幅
所以平衡位置在弹簧压缩2x0处，从碰撞后开始到再次回到O点的振动图象如图：
从O点开始到平衡位置经过的时间t1T
所求时间t＝2t1
解得：t。
答：（1）小球B与小球A碰撞后瞬间一起向下运动的速度为；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离；
（3）小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。
7．科技馆有一套儿童喜爱的机械装置，其结构简图如下：传动带AB部分水平，其长度L1＝1.344m传送带以v1＝1.2m/s的速度顺时针匀速转动，大皮带轮半径r＝6.4cm，其下端C点与圆弧轨道DEF的D点在同一水平线上，E点为圆弧轨道的最低点，圆弧EF对应的圆心角θ＝37°且圆弧的半径R＝0.5m，F点和倾斜传送带GH的下端G点平滑连接，倾斜传送带GH长为L2＝0.4m，其倾角θ＝37°。某同学将一质量为0.5kg且可以视为质点的物块静止放在水平传送带左端A处，物块经过B点后恰能无碰撞地从D点进入圆弧轨道部分，随即进入圆弧轨道，当经过F点时，物体克服重力做功的瞬时功率为6W，然后物块滑上倾斜传送带GH。已知物块与两段传送带的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）物块由A到B所经历的时间；
（2）物块在D点对圆弧的压力大小；
（3）若要物块能被送到H端，倾斜传动带GH顺时针运转的速度应满足的条件。
【解答】解：（1）物体在水平传送带上，由牛顿第二定律可得μmg＝ma1，所以a1＝5m/s2
物体加速到v1＝1.2m/s的时间为：t1s＝0.24s
在加速阶段的位移：x1m＝0.144m＜L1
物体做匀速直线运动的时间：t2s＝1s
物块由A到B所经历的时间为t＝t1+t2＝0.24s+1s＝1.24s；
（2）若物体能在B点恰好离开传送带做平抛运动，则满足mg＝m，
解得v0＝0.8m/s＜1.2m/s
物体在B点离开传送带做平抛运动，平抛的时间t3s＝0.16s
到达D点时物体沿竖直方向的分速度：vy＝gt3＝10×0.16m/s＝1.6m/s
D点速度：vDm/s＝2m/s
到达D点时物体的速度与水平方向之间的夹角tanα，所以α＝53°
在D点有：FN﹣mgcosα＝m，
解得：FN＝7N
根据牛顿第三定律可得物块在D点对圆弧的压力大小为7N；
（3）当经过F点时，重力功率为P＝mgvFsinθ，由题目条件计算得vF＝2m/s
设传送带速度至少为v2，则物体先向上以a2减速，有mgsinθ+μmgcosθ＝ma2，
解得a2＝10m/s2
减速到v2后因为μ＜tanθ，将继续以a3减速，有mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma3，解得a3＝2m/s2
则物体恰好到达顶端有：L2
解得：v2＝1m/s
所以传送带满足的条件为v≥1m/s。
答：（1）物块由A到B所经历的时间为1.24s；
（2）物块在D点对圆弧的压力大小为7N；
（3）若要物块能被送到H端，倾斜传动带GH顺时针运转的速度应满足的条件为v≥1m/s。
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大题精练02 动力学与能量综合问题
公式、知识点回顾（时间：5分钟）
一、考向分析
1.本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题和滑块一木板问题三类问题中的综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题。
2.用到的知识有:动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律)。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 自由落体运动
竖直抛体运动 (注意：时间和速度的对称性)
四、功和能
动能
重力势能 (与零势能面的选择有关)
弹性势能
功 W = Fs cos (恒力做功) W=Pt（拉力功率不变） W=f S相对路程 （阻力大小不变）
功率 平均功率： 即时功率：
动能定理
机械能守恒定律 或者Ep= Ek
难度：★★★★★ 建议时间：60分钟
1．（2023 台州模拟）如图所示为处于竖直平面内的一实验探究装置的示意图，该装置由长L1＝3m、速度可调的固定水平传送带，圆心分别在O1和O2，圆心角θ＝120°、半径R＝0.4m的光滑圆弧轨道BCD和光滑细圆管EFG组成，其中B点和G点分别为两轨道的最高点和最低点，B点在传送带右端转轴的正上方。在细圆管EFG的右侧足够长的光滑水平地面上紧挨着一块与管口下端等高、长L2＝2.2m、质量M＝0.4kg木板（与轨道不粘连）。现将一块质量m＝0.2kg的物块（可视为质点）轻轻放在传送带的最左端A点，物块由传送带自左向右传动，在B处的开口和E、D处的开口正好可容物块通过。已知物块与传送带之间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块与木板之间的动摩擦因数μ2＝0.5，g取10m/s2。
（1）若物块进入圆弧轨道BCD后恰好不脱轨，求物块在传送带上运动的时间；
（2）若传送带的速度3m/s，求物块经过圆弧轨道BCD最低D点时，轨道对物块的作用力大小；
（3）若传送带的最大速度4m/s，在不脱轨的情况下，求滑块在木板上运动过程中产生的热量Q与传送带速度v之间的关系。
2．（2022春 杭州期末）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零。如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔x1＝3.5×10﹣2m，乙与边框a相隔x2＝2.0×10﹣2m，每颗算珠的质量均为20g，算珠与导杆间的动摩擦因数均为μ＝0.1。现将甲以初速度v0＝0.4m/s水平拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小v2＝0.1m/s，方向不变，乙算珠刚好能滑动到边框a，碰撞时间极短且不计。求：
（1）甲算珠的初动能Ek甲；
（2）甲乙碰撞前瞬间，甲的速度大小v1；
（3）甲乙在碰撞中损失的机械能ΔE。
3．（2022春 绍兴期末）质量均匀分布，长为l的矩形毛巾挂在水平细杆上，处于静止状态，其底边AA'平行于杆，杆两侧的毛巾长度比为1：3，AA'与地面的距离为h（h＞l），如图a所示．毛巾质量为m，不计空气阻力，取重力加速度为g
（1）若将杆两侧的毛巾长度比改变为1：1，如图b所示，毛巾的重力势能是增加还是减少？
（2）求出毛巾从图a到图b，重力所做的功；
（3）若毛巾从图a状态由静止开始下滑，且下滑过程中AA'始终保持水平，毛巾从离开杆到刚接触地面所需时间为t，求毛巾离开横杆时的速度v0大小以及摩擦力做的功（做功计算结果可用v0表示）．
4．（2023 嘉兴一模）如图所示，某游乐场游乐装置由竖直面内轨道BCDE组成，左侧为半径R＝0.8m的光滑圆弧轨道BC，轨道上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α，下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角θ＝37°的粗糙倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E点处的挡板上。现有质量为m＝0.1kg的小滑块P（视为质点）从空中的A点以v0＝2m/s的初速度水平向左抛出，经过s后恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点后沿倾斜轨道向上运动至F点（图中未标出），弹簧恰好压缩至最短，已知CD＝DF＝1m，滑块与轨道CD、DE间的动摩擦因数为μ＝0.1，各轨道均平滑连接，不计其余阻力，sin37°＝0.6。求：
（1）BO连线与水平方向的夹角α的大小；
（2）小滑块P到达与O点等高的O'点时对轨道的压力；
（3）弹簧的弹性势能的最大值；
（4）试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出时对B点的压力大小；若不能，判断滑块最后位于何处。
5．（2023春 宁波期末）如图所示，竖直平面内固定有半径为R＝1m的光滑四分之一圆轨道AB、水平直轨道BC、DO以及以速度v＝3m/s逆时针转动的水平传送带CD，OD上有一轻质弹簧，一端固定在O点另一端自然伸长于E点，各轨道平滑连接。现有一质量为m＝2kg的滑块（可视为质点）从轨道AB上高为h处由静止下滑，已知LBC＝0.2m，LCD＝0.4m，LDE＝0.3m，滑块与BC、DE间的动摩擦因数均为μ1＝0.3，与传送带间的动摩擦因数为μ2＝0.5，E点右侧平面光滑，整个过程不超过弹簧的弹性限度，重力加速度g取10m/s2。
（1）若h＝0.2m，求滑块运动至B处时对轨道的作用力FN；
（2）若要使滑块能到达D点，且不再离开DE，求滑块下落高度满足的条件；
（3）若滑块第一次到达D点速度恰为0，求这一过程滑块通过传送带产生的内能。
6．（2021 浙江模拟）简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在受到形如F＝﹣kx的回复力作用下，物体的位移x与时间t遵循x＝Asinωt变化规律的运动，其中角频率ω（k为常数，A为振幅，T为周期）。弹簧振子的运动就是其典型代表。
如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O，另一质量也为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为Epkx2，已知H，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离。
（3）小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。
7．科技馆有一套儿童喜爱的机械装置，其结构简图如下：传动带AB部分水平，其长度L1＝1.344m传送带以v1＝1.2m/s的速度顺时针匀速转动，大皮带轮半径r＝6.4cm，其下端C点与圆弧轨道DEF的D点在同一水平线上，E点为圆弧轨道的最低点，圆弧EF对应的圆心角θ＝37°且圆弧的半径R＝0.5m，F点和倾斜传送带GH的下端G点平滑连接，倾斜传送带GH长为L2＝0.4m，其倾角θ＝37°。某同学将一质量为0.5kg且可以视为质点的物块静止放在水平传送带左端A处，物块经过B点后恰能无碰撞地从D点进入圆弧轨道部分，随即进入圆弧轨道，当经过F点时，物体克服重力做功的瞬时功率为6W，然后物块滑上倾斜传送带GH。已知物块与两段传送带的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）物块由A到B所经历的时间；
（2）物块在D点对圆弧的压力大小；
（3）若要物块能被送到H端，倾斜传动带GH顺时针运转的速度应满足的条件。
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