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大题精练05 带电粒子在复合场、组合场中的运动问题
公式、知识点回顾（时间：5分钟）
一、考向分析
1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，浙江高考往往以计算压轴题的形式出现。
2.复杂的物理问题一定是需要在定性的分析和思考后进行定量运算的，而最终能否解决问题，数理思维能力起着关键作用。带电粒子在磁场中的运动正是对学生数理思维的培养与考査的主要问题。解决本专题的核心要点需要学生熟练学握下列方法与技巧。
3.粒子运动的综合型试题大致有两类，一是粒子依次进入不同的有界场区,二是粒子进入复合场与组合场区其运动形式有匀变速直线运动、类抛体运动与匀速圆周运动。涉及受力与运动分析、临界状态分析、运动的合成与分解以及相关的数学知识等。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀速圆周运动 线速度: V= == R 角速度：= S=Rθ 向心力: F= ma = m2 R=mvω= mR 轨迹：
四、电磁学
磁场 洛伦兹力 1. F=BILsinθ f=qVBsinθ 2. M=NBIScosθ 匀强磁场 M=NBIS=Kθ 辐向磁场 3. R= T= (只有洛仑兹力提供向心力才成立) 4.回旋加速器 Rm= T= t磁 =n t电=
五、解题思路
难度：★★★★★ 建议时间：60分钟
1．（2023 乐清市校级模拟）如图所示，在水平面内存在垂直平面向里、大小为B的匀强磁场和与之正交的匀强电场E。一质量为m、带电荷量为q（q＞0）的粒子在水平面内做匀速率圆周运动，电场跟随带电粒子一起以角速度ω绕圆心转动，电场方向与速度方向夹角θ保持不变。带电粒子在中性气体中运动时受到气体的粘滞阻力与速度大小成正比，方向与速度方向相反，即Ff＝﹣kv。不考虑带电粒子运动时的电磁辐射，不计重力。
（1）求E＝0，k＝0时，带电粒子运动的角速度ω0；
（2）求带电粒子运动速度的大小v和tanθ（用m、ω、k、q、B和E表示）；
（3）求电场力的功率及功率的最大值；
（4）若电场力的功率减小为最大值的一半，求速度。
【解答】解：（1）E＝0，k＝0时，带电粒子运动的周期
带电粒子运动的角速度
（2）带电粒子在水平面内做匀速率圆周运动，则粒子在运动方向上所受合力为零，qEcosθ＝kv
解得带电粒子运动速度的大小
洛伦兹力与电场力的分力的合力提供向心力
又，解得
（3）电场力的功率
当θ＝0°时，功率的最大值
（4）若电场力的功率减小为最大值的一半
解得
答：（1）E＝0，k＝0时，带电粒子运动的角速度为；
（2）带电粒子运动速度的大小为；tanθ；
（3）电场力的功率为；功率的最大值为；
（4）电场力的功率减小为最大值的一半时速度为。
2．（2023春 温州期末）如图所示，离子室、加速电场、速度选择器的中心轴线都位于x轴上，y轴的右侧有一半径为R0的圆形磁场区域，圆形磁场的圆心坐标为（R0，0）。已知速度选择器的两极板间的匀强电场场强为E，匀强磁场磁感应强度为B1，方向垂直纸面向里。圆形磁场的磁感应强度为B2，方向垂直纸面向外。某次实验时离子室内充有大量同种阴离子，经加速电场加速后沿速度选择器的中轴线射出，并从坐标原点O进入圆形磁场区域，且离子刚好经过P（R0，R0）点，离子重力忽略不计。则：
（1）该种离子的比荷是多少？
（2）调整圆形磁场的磁感应强度大小，使离子最终能通过y轴上的点，则此时圆形磁场的磁感应强度为多大？
（3）撤去圆形磁场区域内的磁场，并在y轴的右侧加上平行于坐标平面，且与x轴正方向成45°角斜向上的匀强电场（图中未画出），求离子再打到y轴上某点时的速度大小。
【解答】解：（1）设离子质量为m，电荷量为q
在速度选择器中沿直线运动，有qE＝qvB1
解得：
在圆形磁场中做半径为r1的圆周运动，有
从P点射出时，其轨迹圆心为O1，由几何关系知r1＝R0
就由以上三式解得
（2）离子能经过Q点，在圆形磁场中做半径为r2的圆周运动，其轨迹圆心为O2，由几何关系可得∠OCQ＝60°，∠OCO2＝30°
由几何关系可得
又
所求磁感应强度
（3）离子受电场力设为F，经时间t离子再打到y轴上某点.由动量定理可得
x方向：Fcos45° t＝2mv
y方向：Fsin45° t＝mvy
解得vy＝2v
所求速度v合
答：（1）该种离子的比荷为；
（2）此时圆形磁场的磁感应强度为；
（3）离子再打到y轴上某点时的速度大小为。
3．（2023 浙江二模）如图所示，以圆柱底面中心O点为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，另一底面中心O'点坐标为（0，0，1），圆柱底面半径为R。在圆柱区域内存在沿z轴正方向的匀强磁场。在磁场区域左侧有一矩形区域abcd，其中bc边在xOy平面内，ab边与z轴平行，矩形区域的尺寸和位置已在图中标出，区域内均匀分布一电子源，沿x轴正方向持续不断地发射出速率均为v0的电子，单位时间内发射的电子个数为N，从bc边射出的电子经过磁场偏转后均从M点射出，从ad边射出的电子经过磁场偏转后均从N点射出。在圆柱两底面的正下方有两块半径为R的半圆形平行金属收集板P和Q，圆心分别位于M点和N点。已知电子质量为m，元电荷为e，两板之间的电压UPQ，忽略电子重力、电子间相互作用和电子收集后对电压UPQ的影响。求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）从c点射出的电子打到金属板上时的位置坐标；
（3）Q极板收集到电子区域的面积；
（4）若UPQ＜0且大小可调，求Q板收集到的电子数n与UPQ的关系。
【解答】解：（1）沿x轴正方向射入磁场的电子从M点射出，电子在磁场中做运动圆周运动的轨道半径r＝R
电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：ev0B＝m
解得磁感应强度大小：B
（2）从b、c两点射出的电子运动轨迹如图所示
由几何知识可知：sinα0.6，sinβ0.8
电子在金属板间做类平抛运动，则l，v0t
由牛顿第二定律得：﹣ema
解得：0.5R，则xsinα＝﹣0.5R×0.6＝﹣0.3R，ycosα＝﹣0.5R×0.8＝﹣0.4R
即从c点射出的电子打在金属板上的位置坐标是（﹣0.3R，﹣0.4R，l）
（3）由（2）同理可知，Q极板收集到电子区域为下图中圆弧区域
Q极板收集到电子区域的面积S
（4）当从b、c两点射出的电子恰好到达收集板边缘时，由（2）同理可得：UPQ
①当UPQ时所有电子都能打在收集板上，n＝N
②当UPQ＜0时，假设坐标为z处射出的电子恰好到达收集板边缘，则z，R＝v0t
由牛顿第二定律得：﹣ema，则nz
解得：nUPQ
答：（1）磁感应强度B的大小是；
（2）从c点射出的电子打到金属板上时的位置坐标是（﹣0.3R，﹣0.4R，l）；
（3）Q极板收集到电子区域的面积是；
（4）若UPQ＜0且大小可调，Q板收集到的电子数n与UPQ的关系是nUPQ。
4．（2020春 嘉兴期末）如图所示，在y轴右侧x＝0到x＝0.5d区域存在两个关于x轴对称且大小均为E的匀强电场，紧靠电场右方存在着足够宽的匀强磁场①；在y轴左侧存在一半径为d，圆心坐标为（﹣d，0）的匀强磁场②，匀强磁场②外侧紧贴一圆心角β＝270°的绝缘刚性圆筒，圆筒关于x轴对称放置。一质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子以速度v0从（0，0.5d）的A点水平射入匀强电场，粒子经过匀强磁场①区域后恰好从（0，﹣0.5d）点由另一个匀强电场水平飞出。已知匀强磁场②区的磁感应强度为B0，匀强电场大小E，不计粒子重力，粒子在圆筒壁上碰撞反射时无能量损失。求：
（1）带电粒子在第一象限离开电场的坐标；
（2）匀强磁场①区中的磁感应强度B1；
（3）不计碰撞反射时间，从A点出发到第一次回到A点的总时间。
【解答】解：根据题意，带电粒子在整个区域中运动的轨迹，如下图所示
（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，根据类平抛运动的规律可得：
y
将E代入，可得：y＝0.25d；
所以粒子离开匀强电场的坐标为（0.5d，0.25d）；
（2）粒子的进入匀强磁场①区，偏转角度的正切值tanθ＝21
即带电粒子进入磁场时与y轴的夹角为45°
粒子的进入匀强磁场①区的瞬时速度大小v'v0
经过匀强磁场①后，带电粒子恰好从第四象限水平离开匀强电场，说明粒子在磁场中的轨迹关于x轴对称，
根据几何关系可知在匀强磁场①区的轨迹半径为r1
根据洛伦兹力提供向心力即，B1v'q＝m
解得：r1
可知B1＝4B0；
（3）粒子在两段匀强电场中的时间t1＝2
在匀强磁场①区中的时间为90°圆心角对应的时间，即t2；
从B到C和从D到A的时间t3＝2
带电粒子在匀强磁场②区中的时间t4
所以粒子从出发到回到O点总时间为t总＝t1+t2+t3+t4＝（3）。
答：（1）带电粒子在第一象限离开电场的坐标为（0.5d，0.25d）；
（2）匀强磁场①区中的磁感应强度为4B0；
（3）不计碰撞反射时间，从A点出发到第一次回到A点的总时间为（3）。
5．（2023 浙江模拟）如图甲所示，正方形荧光屏abcd与正方形金属板相距水平平行放置，二者的边长均为L。金属板的中心开有小孔，小孔正下方有一通电金属丝可持续发射热电子，金属丝与金属板之间加有恒定电压U。以金属板中心小孔为坐标原点，沿平行于金属板两边和垂直金属板方向建立x、y和z坐标轴，电子从金属丝发射经小孔沿z轴正方向射入磁场区域，测得电子经电场加速后经过小孔时的速度大小介于v与v之间。z轴与荧光屏的交点为s，金属板与荧光屏之间存在磁场（图中未画出），其磁感应强度沿z轴方向的分量始终为零，沿x轴和y轴方向的分量Bx和By随时间周期性变化规律如图乙所示，图中B0。已知电子的质量为m、电荷量大小为e，忽略电子间的相互作用，且电子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，可认为电子在磁场运动过程中磁感应强度不变。求：
（1）从金属丝发射的电子的初速度大小范围；
（2）t＝0.75T时以v速度进入磁场的电子打在荧光屏上的位置坐标；
（3）t＝0.25T时以v与v速度进入磁场的两个电子打在荧光屏上时的时间差；
（4）请在荧光屏的俯视图丙中定性画出电子在荧光屏上出现的位置。（不要求计算过程）
【解答】解：（1）设电子加速过程始末速度分别为v0，v1，由动能定理可得
v1介于v与v之间
解得
（2）根据图乙可知，在t＝0.75T时磁感应强度沿x轴和y轴方向的分量Bx和By均为﹣B0，合磁场的磁感应强度为：
B合，方向与﹣y、﹣x方向均成45°角，电子在经过bd的竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，设其轨迹半径为R1，由洛伦兹力提供向心力得：
解得：R1
则电子偏转圆周恰好打在荧光屏上，
z轴坐标为：
x轴坐标为：x1＝R1cos45°
y轴坐标为：y1＝﹣R1cos45°
电子打在荧光屏上的位置坐标为：
（，，）
（3）电子在磁场中圆周运动的周期
t＝0.25～T 时，By 等于0，Bx为B0，根据左手定则可知，此时的Bx使得电子沿y轴正向偏转，电子速度为v时，洛伦兹力提供向心力
解得
结合几何关系可知，电子速度为v时，打在苂光屏之前的轨迹对应的圆心角为，电子速度为时，打在荧光屏之前的轨迹对应的圆心角为，则两个电子打在荧光屏上时的时间差为
解得
（4）定性画出电子在荧光屏上出现的位置如图中正方形内部实线所示
答：（1）从金属丝发射的电子的初速度大小范围为得；
（2）t＝0.75T时以v速度进入磁场的电子打在荧光屏上的位置坐标为（，，）；
（3）t＝0.25T时以v与v速度进入磁场的两个电子打在荧光屏上是的时间差为；
（4）见解析。
6．（2023春 嘉兴期末）如图所示，空间中有一半径为R、圆心处于O点的圆形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。其底部A点有一电子源可向圆形磁场内各个方向内持续发射速度大小为v0，质量为m，电量为e的电子。圆形磁场右侧紧靠着一电子收集装置，该装置主要由长为2R、间距为2R的平行金属板MN和PQ构成，平行金属板中心轴线过磁场圆心O点，金属板之间加恒为UMN的电压，PQ板接地，当电子碰到金属板立即被收集中和。未能收集的电子射出平行金属板后会撞上另一收集装置BC板（足够长），B点在金属板右端点QN连线的延长线上，并与延长线的夹角为θ（θ可调）。不计电子之间的相互作用和场的边缘效应，则：
（1）现要求所有电子均能平行进入金属板间，求磁感应强度B的大小；
（2）若电子初速度满足（1）的条件且进入收集装置时在竖直方向分布均匀，单位时间内电子数为n，求平行金属板的收集效率和单位时间内电子减少的总电势能；
（3）在（2）中未能收集的电子离开平行金属板后与BC板发生碰撞，要求电子垂直撞击BC板，应调整θ为多少？调整后与BC撞击的电子有60%被完全吸收，40%电子会被反弹，反弹后的速度大小减小为原来一半，求BC板受到的作用力大小。
【解答】解：（1）当电子在磁场中运动半径与磁场半径相等时，所有电子均能平行向右进入收集装置，有
解得
（2）电子进入平行板后受向上电场力作用做类平抛运动，设恰好从N点出射的电子进入平行板时离MN距离为d，则有
2R＝v0t
其中
UMN＝2ER
解得
d＝R
即从中心轴线以上进入的电子全部被收集，中心轴线以下的电子不能被收集，收集效率
η＝50%
因电子进入平行板时分布均匀，则中心轴线以上电子减少的电势能为
中心轴线以下电子减少的电势能为
共减少的电势能
（3）设末被平行板收集的电子离开平行板区域时速度与水平方向夹角为α，则
tanα＝1
解得
α＝45°
要让电子能够垂直撞击BC板，有
θ＝α＝45°
设电子与BC板发生碰撞时速度为v，由类平抛规律有
由动量定理得
根据牛顿第三定律，BC板受到的作用大小
答：（1）现要求所有电子均能平行进入金属板间，磁感应强度B的大小为；
（2）平行金属板的收集效率和单位时间内电子减少的总电势能为；
（3）要求电子垂直撞击BC板，应调整θ为45°；BC板受到的作用力大小。
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一、考向分析
1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，浙江高考往往以计算压轴题的形式出现。
2.复杂的物理问题一定是需要在定性的分析和思考后进行定量运算的，而最终能否解决问题，数理思维能力起着关键作用。带电粒子在磁场中的运动正是对学生数理思维的培养与考査的主要问题。解决本专题的核心要点需要学生熟练学握下列方法与技巧。
3.粒子运动的综合型试题大致有两类，一是粒子依次进入不同的有界场区,二是粒子进入复合场与组合场区其运动形式有匀变速直线运动、类抛体运动与匀速圆周运动。涉及受力与运动分析、临界状态分析、运动的合成与分解以及相关的数学知识等。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀速圆周运动 线速度: V= == R 角速度：= S=Rθ 向心力: F= ma = m2 R=mvω= mR 轨迹：
四、电磁学
磁场 洛伦兹力 1. F=BILsinθ f=qVBsinθ 2. M=NBIScosθ 匀强磁场 M=NBIS=Kθ 辐向磁场 3. R= T= (只有洛仑兹力提供向心力才成立) 4.回旋加速器 Rm= T= t磁 =n t电=
五、解题思路
难度：★★★★★ 建议时间：60分钟
1．（2023 乐清市校级模拟）如图所示，在水平面内存在垂直平面向里、大小为B的匀强磁场和与之正交的匀强电场E。一质量为m、带电荷量为q（q＞0）的粒子在水平面内做匀速率圆周运动，电场跟随带电粒子一起以角速度ω绕圆心转动，电场方向与速度方向夹角θ保持不变。带电粒子在中性气体中运动时受到气体的粘滞阻力与速度大小成正比，方向与速度方向相反，即Ff＝﹣kv。不考虑带电粒子运动时的电磁辐射，不计重力。
（1）求E＝0，k＝0时，带电粒子运动的角速度ω0；
（2）求带电粒子运动速度的大小v和tanθ（用m、ω、k、q、B和E表示）；
（3）求电场力的功率及功率的最大值；
（4）若电场力的功率减小为最大值的一半，求速度。
2．（2023春 温州期末）如图所示，离子室、加速电场、速度选择器的中心轴线都位于x轴上，y轴的右侧有一半径为R0的圆形磁场区域，圆形磁场的圆心坐标为（R0，0）。已知速度选择器的两极板间的匀强电场场强为E，匀强磁场磁感应强度为B1，方向垂直纸面向里。圆形磁场的磁感应强度为B2，方向垂直纸面向外。某次实验时离子室内充有大量同种阴离子，经加速电场加速后沿速度选择器的中轴线射出，并从坐标原点O进入圆形磁场区域，且离子刚好经过P（R0，R0）点，离子重力忽略不计。则：
（1）该种离子的比荷是多少？
（2）调整圆形磁场的磁感应强度大小，使离子最终能通过y轴上的点，则此时圆形磁场的磁感应强度为多大？
（3）撤去圆形磁场区域内的磁场，并在y轴的右侧加上平行于坐标平面，且与x轴正方向成45°角斜向上的匀强电场（图中未画出），求离子再打到y轴上某点时的速度大小。
3．（2023 浙江二模）如图所示，以圆柱底面中心O点为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，另一底面中心O'点坐标为（0，0，1），圆柱底面半径为R。在圆柱区域内存在沿z轴正方向的匀强磁场。在磁场区域左侧有一矩形区域abcd，其中bc边在xOy平面内，ab边与z轴平行，矩形区域的尺寸和位置已在图中标出，区域内均匀分布一电子源，沿x轴正方向持续不断地发射出速率均为v0的电子，单位时间内发射的电子个数为N，从bc边射出的电子经过磁场偏转后均从M点射出，从ad边射出的电子经过磁场偏转后均从N点射出。在圆柱两底面的正下方有两块半径为R的半圆形平行金属收集板P和Q，圆心分别位于M点和N点。已知电子质量为m，元电荷为e，两板之间的电压UPQ，忽略电子重力、电子间相互作用和电子收集后对电压UPQ的影响。求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）从c点射出的电子打到金属板上时的位置坐标；
（3）Q极板收集到电子区域的面积；
（4）若UPQ＜0且大小可调，求Q板收集到的电子数n与UPQ的关系。
4．（2020春 嘉兴期末）如图所示，在y轴右侧x＝0到x＝0.5d区域存在两个关于x轴对称且大小均为E的匀强电场，紧靠电场右方存在着足够宽的匀强磁场①；在y轴左侧存在一半径为d，圆心坐标为（﹣d，0）的匀强磁场②，匀强磁场②外侧紧贴一圆心角β＝270°的绝缘刚性圆筒，圆筒关于x轴对称放置。一质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子以速度v0从（0，0.5d）的A点水平射入匀强电场，粒子经过匀强磁场①区域后恰好从（0，﹣0.5d）点由另一个匀强电场水平飞出。已知匀强磁场②区的磁感应强度为B0，匀强电场大小E，不计粒子重力，粒子在圆筒壁上碰撞反射时无能量损失。求：
（1）带电粒子在第一象限离开电场的坐标；
（2）匀强磁场①区中的磁感应强度B1；
（3）不计碰撞反射时间，从A点出发到第一次回到A点的总时间。
5．（2023 浙江模拟）如图甲所示，正方形荧光屏abcd与正方形金属板相距水平平行放置，二者的边长均为L。金属板的中心开有小孔，小孔正下方有一通电金属丝可持续发射热电子，金属丝与金属板之间加有恒定电压U。以金属板中心小孔为坐标原点，沿平行于金属板两边和垂直金属板方向建立x、y和z坐标轴，电子从金属丝发射经小孔沿z轴正方向射入磁场区域，测得电子经电场加速后经过小孔时的速度大小介于v与v之间。z轴与荧光屏的交点为s，金属板与荧光屏之间存在磁场（图中未画出），其磁感应强度沿z轴方向的分量始终为零，沿x轴和y轴方向的分量Bx和By随时间周期性变化规律如图乙所示，图中B0。已知电子的质量为m、电荷量大小为e，忽略电子间的相互作用，且电子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，可认为电子在磁场运动过程中磁感应强度不变。求：
（1）从金属丝发射的电子的初速度大小范围；
（2）t＝0.75T时以v速度进入磁场的电子打在荧光屏上的位置坐标；
（3）t＝0.25T时以v与v速度进入磁场的两个电子打在荧光屏上时的时间差；
（4）请在荧光屏的俯视图丙中定性画出电子在荧光屏上出现的位置。（不要求计算过程）
6．（2023春 嘉兴期末）如图所示，空间中有一半径为R、圆心处于O点的圆形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。其底部A点有一电子源可向圆形磁场内各个方向内持续发射速度大小为v0，质量为m，电量为e的电子。圆形磁场右侧紧靠着一电子收集装置，该装置主要由长为2R、间距为2R的平行金属板MN和PQ构成，平行金属板中心轴线过磁场圆心O点，金属板之间加恒为UMN的电压，PQ板接地，当电子碰到金属板立即被收集中和。未能收集的电子射出平行金属板后会撞上另一收集装置BC板（足够长），B点在金属板右端点QN连线的延长线上，并与延长线的夹角为θ（θ可调）。不计电子之间的相互作用和场的边缘效应，则：
（1）现要求所有电子均能平行进入金属板间，求磁感应强度B的大小；
（2）若电子初速度满足（1）的条件且进入收集装置时在竖直方向分布均匀，单位时间内电子数为n，求平行金属板的收集效率和单位时间内电子减少的总电势能；
（3）在（2）中未能收集的电子离开平行金属板后与BC板发生碰撞，要求电子垂直撞击BC板，应调整θ为多少？调整后与BC撞击的电子有60%被完全吸收，40%电子会被反弹，反弹后的速度大小减小为原来一半，求BC板受到的作用力大小。
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