河南省信阳市淮滨县2023-2024学年下学期入学学情调研测试九年级数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2021七下·襄阳期末）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．2
2．（2024九下·淮滨开学考）2023年2月16日交通运输部发布信息，为期40天的春运于2月15日收官，全国营业性客运量约亿人次比2022年同期增长50.5%，数据“亿”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·淮滨开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·淮滨开学考）如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·淮滨开学考）如图，直线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·淮滨开学考）小明得到数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表，那么对于不同的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ）
年龄（岁） 13 14 15 16
人数（人） 2 15
A．平均数、方差 B．中位数、方差
C．平均数、中位数 D．众数、中位数
7．（2024九下·淮滨开学考）若事件“关于的一元二次方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
8．（2024九下·淮滨开学考）明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗，现进行了变式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶 设有好酒瓶，薄酒瓶。依题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九下·淮滨开学考）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
10．（2024九下·淮滨开学考）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，其中点的坐标为，第1次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），第2次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），第3次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即）…依次类推，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024九下·淮滨开学考）请写出一个当时，随的增大而减小的函数表达式： 。
12．（2021·淅川模拟）不等式组 的最大整数解为 .
13．（2023·白碱滩模拟）将标有“中”“华”“崛”“起”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是 ．
14．（2021·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在 上，边AB、AC分别交 于D、E两点﹐点B是 的中点，则∠ABE= .
15．（2024九下·淮滨开学考）如图是一张菱形纸片，，，点在边上，且，点在边上，把沿直线对折，点的对应点为点，当点落在菱形对角线上时，则 。
三、解答题（本大题共8题，共75分）
16．（2024九下·淮滨开学考）
（1）计算：；
（2）化简：
17．（2024九下·淮滨开学考）青春是校园生活的主旋律，某学校为了丰富学生的课余生活，焕发青春活力，激励学生成长，推动校园文化建设，开展了一次“美好青春，和谐校园”的校歌比赛，并在九（1）班和九（2）班各随机抽取了10名同学参加。
比赛成绩收集、整理如下：
九（1）班成绩：9 9.5 9 9 8 10 9 8 4 9.5
九（2）班成绩：
成绩 6 8 8.5 9 9.5 10
人数 2 1 3 1 2 1
比赛成绩分析：
平均数 中位数 众数
九（1）班 8.5 9 c
九（2）班 a b 8.5
根据以上信息，同答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）如果你是评委，请根据以上数据，判断两个班中哪个班的校歌歌唱水平比较好？并说明理由。
18．（2024九下·淮滨开学考）如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F。
（1）求证：平分；
（2）若，求的长。
19．（2024九下·淮滨开学考）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm。
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）
20．（2024九下·淮滨开学考）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型。已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个。
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元。
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．（2024九下·淮滨开学考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于第二象限的点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的到轴的距离为．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（3）点，，与（2）中的点，组成四边形．求证：四边形是菱形。
22．（2024九下·淮滨开学考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于点和点B，点B为二次函数图象的顶点。
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式的解集；
（3）点M为二次函数图象上的一个动点，且点M的横坐标为m，将点M向右平移1个单位长度得到点N．若线段与一次函数图象有交点，直接写出点M横坐标m的取值范围。
23．（2024九下·淮滨开学考）已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：
（1）如图1，若和均为等边三角形，①线段与线段的数量关系是 ；②直线与直线相交所夹锐角的度数是 ；
类比探究：
（2）如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，若，，，，当点B，D，E三点共线时，请直接写出的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-<-1<0<2，
∴最小的数是-.
故答案为：C.
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15.95亿=1.595×109.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式=a2-2ab+b2≠a2-b2，此选项不符合题意；
B、原式=（2-1）=≠2，此选项不符合题意；
C、原式=6a3b2，此选项符合题意；
D、原式=a2+2ab+b2≠a2+b2，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据完全平方公式即可判断求解；
B、根据合并同类二次根式的法则即可判断求解；
C、根据单项式乘以单项式法则计算即可求解；
D、根据完全平方公式即可判断求解.
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块.
故答案为：B.
【分析】主视图，就是从正面看得到的图形，由已知条件可知：主视图有3列，每列小立方块数目分别为3、2、2，结合各选项即可求解.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠1=38°，∠BAC=74°，
∴∠ABC=180°-∠1-∠BAC=180°-38°-74°=68°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠ABC=68°.
故答案为：D.
【分析】由三角形的内角和等于180° 可求出∠ABC的度数，然后根据平行线的性质“两直线平行内错角相等”可求解.
6．【答案】D
【知识点】频数（率）分布表；中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格中的信息可知：年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，
则总人数为：2+15+10=27，
故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁，
即对于不同的值，关于年龄的统计量不会发生变化的是众数和中位数.
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；由频数分布表可知后两组频数的和为10，于是可求得总人数，结合前两组的频数可知出现次数最多的数据以及第14个数据即可求解.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+4x-1=0有实数根，
∴a≠0，△=b2-4ac=42-4a×(-1)≥0，
解得：a≥-4且a≠0.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得关于a的不等式，解之即可求解.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，
∴每瓶好酒可以醉倒5÷2=2.5位客人；每瓶薄酒可以醉倒位客人，
由题意可列方程组：
.
故答案为：B.
【分析】根据题意“好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人”可求出每瓶好酒和每瓶薄酒可以醉倒的客人人数，然后根据酒的总瓶数和可以醉倒客人的总人数可列关于x、y的方程组.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得CG平分∠ACB，在CB上截取CD'=CD，连接AD'交CG于点E，
∵CE平分∠DCD'，
∴CE垂直平分DD'，
∴ED'=ED，
∴AE+DE=AE+D'E=AD'，
∴此时AE+DE的值最小，最小值为AD'的长，
∵AC=4，D为AC边的中点，
∴CD'=CD=2，
在Rt△ACD'中，AD'=，
∴AE+DE的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由作图可知CG平分∠ACB，在CB上截取CD'=CD，连接AD'交CG于点E，根据等腰三角形的三线合一可得CE垂直平分DD'，根据线段的垂直平分线的性质可得ED'=ED，然后根据两点之间线段最短可得AE+DE的值最小，最小值为AD'的长，在Rt△ACD'中，用勾股定理可求解.
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点B的坐标为（-1，1）， 第1次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），
∴点B1的坐标为（2，2），
同理可得点B2的坐标为（4，-4），即（22，-22），
B3的坐标为（-8，-8），即（-23，-23），
B4的坐标为（-16，16），即（-24，24），
……，
∵2025÷4=506……1，
∴B2025的坐标为（22025，22025）.
故答案为：A.
【分析】由题意可得点B1的坐标为（2，2），同理可得点B2、B3、B4的坐标，……，通过观察发现各个点坐标的符号四个一组依次循环，再根据2025÷4=506……1即可求解.
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：∵当k＜0时，y随x的增大而减小，
∴函数关系式为：y=-x+1（答案不唯一）.
【分析】根据一次函数的性质“当k＜0时，y随x的增大而减小”可求解.
12．【答案】1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，
最大整数解为1.
故答案为：1.
【分析】一元一次不等式组的解法步骤：①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②将每个不等式的解集再同一数轴上表示出来，找出它们的公共部分；
③根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解.
13．【答案】
【知识点】概率的意义；复合事件概率的计算
【解析】【解答】列举法：摸出2个球的全部可能情况有3+2+1=6种，其中只有一种情况是中华，
∴概率是
故填：
【分析】根据概率的定义列举法来求，也可用列表或者树状图来求均可。
14．【答案】13°
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
是 的中点，
故答案为：
【分析】 连接 由 ∠ABC=90°可得CD一定经过圆心O，由B是 的中点可得 可得△BCD为等腰直角三角形，根据同弧所对圆周角相等可得由三角形外角性质可得∠A+∠ACD=∠CDB=45°可得结果.
15．【答案】或
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况讨论：
①当点A 落在菱形的对角线BD上时，如图：
在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=AB=5，
∴∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=5，
由折叠的性质可得：∠FA E=60°，FA =FA，A E=AE，
∴∠DA E+∠BA F=120°，
∵∠DEA +∠DA E=120°，
∴∠DEA=∠BA F，
∴△DEA∽△BA F，
∴，
设A F=AF=x，
∵DE=2，
∴AE=A E=5-2=3，
∴，，
∴A B=x，
∴，解得：x=6＋(舍去）或x=6-，
∴AF=6-；
②当点A 落在菱形的对角线BD上时，如图：
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
由折叠的性质可得：∠A EF=∠AEF，A E=AE，
∴∠A AE=∠EA A=30°，
∴∠AEA =120°，
∴∠AEF=60°，
∴∠AFE=180°-60°-60°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE=5-2=3，
综上可得，AF的长为6-或3.
故答案为：6-或3.
【分析】由题意可分两种情况讨论：①当点A 落在菱形的对角线BD上时，根据菱形的性质可证△DEA∽△BA F，于是可得比例式可求解；②当点A 落在菱形的对角线BD上时，根据菱形的性质和折叠的性质可求解.
16．【答案】（1）解：原式
=2
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得：（）-1=2，由特殊角的三角函数值可得：tan45°=1，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”；可得=（2023-π）0=1，故先代入特殊锐角三角函数值，同时根据立方根定义、负指数幂性质、零指数幂性质分别计算，然后根据有理数的加法法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简.
17．【答案】（1）8.35；8.5；9
（2）解：九（1）班歌唱水平比较好，因为九（1）班成绩的平均数、中位数和众数均高于九（2）班．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：a==8.35；
由表格知：第5个和第6个数据都是8.5，
∴中位数b=(8.5+8.5)=8.5；
∵数据9出现了4次，出现的次数最多，
∴众数c=9；
故答案为：8.35；8.5；9；
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；”并结合已知可求解；
（2）比较两组数据即可求解.
18．【答案】（1）证明：如图，连接．
∵是的切线，是的半径，D是切点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，
∵在中，，，
∴，
∴．
∵是直径，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由圆的切线的性质和平行线性质并结合等腰三角形的性质得∠OAD=∠CAD，然后根据角平分线的定义可求解；
（2）连接DE，在Rt△ACD中，用锐角三角函数tan∠CAD=并结合已知可求得CD的值，用勾股定理可求得AD的值，根据（1）的结论由“有两个角相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ACD，于是可得比例式求解.
19．【答案】（1）解：连接PO，如图，
∵点D为AO中点，且PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分线，
∴PA=PO=45cm，
∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，
∴OC=OB+BC=36(cm)，
∴在Rt△POC中，(cm)，
即PC长为27cm；
（2）解：过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，如图，
∵PC⊥OC，
∴四边形DECF是矩形，即FC=DE，DF=EC，
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∵DO=AD=AO=12(cm)，
∴DE===(cm)，EO=DO=6(cm)，
∴FC=DE=cm，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42(cm)，
∵∠FDO=∠DOE=60°，∠PDO=90°，
∴∠PDF=90°-60°=30°，
在Rt△PDF中，PF=(cm)，（8分）
∴PC=PF+FC=(cm)，
∴PC，
即PC的长度为34.6cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）连接PO，由题意易知PD是AO的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质得PA=PO，在Rt△POC中，用勾股定理可求解；
（2）过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，由题意易知四边形DECF是矩形，根据矩形的性质可得FC=DE，DF=EC，解Rt△DEO可求得DE、EO的值，再解Rt△PDF求出PF的值，然后由线段的构成PC=PF+FC即可求解.
20．【答案】（1）解：解：设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）解：解：①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元，根据题中的相等关系“购进“天宫”模型的数量=购进“神舟”模型的数量+5”可列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个，根据利润=个“神舟”模型的利润+（200-a）个“天宫”模型的利润可求解；
②根据题中的不等关系“购进“神舟”模型的数量≤×购进“天宫”模型数量”可列关于a的不等式，解不等式可得a的范围，结合①的结论并根据一次函数的性质即可求解.
21．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点，
故将点的坐标代入反比例函数得：，
解得：，
∴反比例函数的关系式为．
（2）解：点关于直线的对称点，如图：
理由：连接，，，如图：
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
同理点也在线段的垂直平分线上，
∴点与点所在的直线垂直平分线段，
即垂直平分，
故点与点关于直线对称，
即点与点关于直线对称．
（3）解：连接，，如图：
∵点的坐标为，
∴，
∵点在第二象限且到轴的距离为，
∴，
将代入反比例函数得，
解得：，
∴；
∴，
∴，
由（2）可得，，
即，
∴四边形是菱形．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的判定；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数，可算出k1的值，从而即可得到反比例函数的解析；
（2）作法：以点A为圆心，OA的长为半径，画弧；点B为圆心，OB的长为半径，画弧；两弧交于点O，即为所求；
（3）连接，，用勾股定理求出OA的值，由题意将点B的横坐标代入反比例函数的解析式计算可求得点B的纵坐标，于是用勾股定理求出OB的值，由计算结果可得OA=OB，根据（2）的结论可得，然后根据菱形的判定“有四边相等的四边形是菱形”可求解.
22．【答案】（1）解：把点代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：
，
∴点B的坐标为，
把点，代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
∴不等式的解集为；
（3）解：∵点M的横坐标为m，
∴点M的坐标为，
∵点M向右平移1个单位长度得到点N，
∴点N的坐标为，
当点N位于一次函数的图象上时，有
，
解得：或，
当点M位于一次函数的图象上时，
由（1）得：或1，
结合图象得：若线段与一次函数图象有交点，点M横坐标m的取值范围为或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A的坐标代入直线解析式计算可求出b的值，即可得一次函数的解析式；由抛物线的对称轴可求得抛物线的对称轴为直线x=-1，根据直线与抛物线的其中一个交点是抛物线的顶点B，可将点B的横坐标代入直线解析式可得点B的纵坐标，然后把点A、B的坐标代入二次函数的解析式计算即可求解；
（2）根据不等式可知：二次函数的图象高于直线的x的值即为不等式的解集，根据图象并结合A、B的坐标即可求解；
（3）根据点M的横坐标为m，可根据点M在抛物线上用含m的代数式表示出点M的纵坐标，
根据平移的性质可将点N的坐标用含m的代数式表示出来，由点N在直线上可将点N的坐标代入一次函数的解析式可得关于m的方程，解方程求出m的值，根据线段MN与一次函数图象有交点可得点M横坐标m的取值范围.
23．【答案】（1）BD=AE；60°
（2）解：①不成立，；②成立．
理由：如图2，延长交的延长线于点．
，，
∴，
，，
，
，，
．
∵，
．
综上所述，，直线与直线相交所夹锐角的度数是；
（3）的长为或．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：①延长BD交AE的延长线于点F
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE；
故答案为：BD=AE；
②由①得：△BCD≌△ACE，
∴∠DBC=∠EAC，
∴∠DBC+∠ACB=∠EAC+∠F，
∴∠F=∠ACB=60°；
故答案为：60°；
（3）解：①当点D落在线段BE上时，
∵∠BAC=∠DEC=90°，∠ACB=∠ECD=45°，BC=2CD=，
∴BC=AC=，CD=EC=，
∴AC=2，CE=1，
∵∠E=90°，
∴BE=，
∴BD=BE-DE=-1；
②当点E落在线段BD上时，
同理可得：BD=BE+DE=+1.
故的长为或．
【分析】（1）①延长BD交AE的延长线于点F，由题意用边角边易证△BCD≌△ACE，由全等三角形的性质可得BD=AE；
②由①中的全等三角形得∠DBC=∠EAC即可求解；
（2）①不成立，②成立；理由如下：延长交的延长线于点，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△EDC，于是结合已知可得比例式，∠BCD=∠ACE，然后根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△BDC∽△AEC，由相似三角形的性质可得，∠DBC=∠EAC，于是可得BD=AE；②由△BDC∽△AEC可求解；
（3）①当点D落在线段BE上时，先求出BC、CD的值，然后用勾股定理可求得BE的值；②当点E落在线段BD上时，同理可求解.
1 / 1河南省信阳市淮滨县2023-2024学年下学期入学学情调研测试九年级数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2021七下·襄阳期末）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．2
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-<-1<0<2，
∴最小的数是-.
故答案为：C.
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．（2024九下·淮滨开学考）2023年2月16日交通运输部发布信息，为期40天的春运于2月15日收官，全国营业性客运量约亿人次比2022年同期增长50.5%，数据“亿”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15.95亿=1.595×109.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．（2024九下·淮滨开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式=a2-2ab+b2≠a2-b2，此选项不符合题意；
B、原式=（2-1）=≠2，此选项不符合题意；
C、原式=6a3b2，此选项符合题意；
D、原式=a2+2ab+b2≠a2+b2，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据完全平方公式即可判断求解；
B、根据合并同类二次根式的法则即可判断求解；
C、根据单项式乘以单项式法则计算即可求解；
D、根据完全平方公式即可判断求解.
4．（2024九下·淮滨开学考）如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块.
故答案为：B.
【分析】主视图，就是从正面看得到的图形，由已知条件可知：主视图有3列，每列小立方块数目分别为3、2、2，结合各选项即可求解.
5．（2024九下·淮滨开学考）如图，直线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠1=38°，∠BAC=74°，
∴∠ABC=180°-∠1-∠BAC=180°-38°-74°=68°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠ABC=68°.
故答案为：D.
【分析】由三角形的内角和等于180° 可求出∠ABC的度数，然后根据平行线的性质“两直线平行内错角相等”可求解.
6．（2024九下·淮滨开学考）小明得到数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表，那么对于不同的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ）
年龄（岁） 13 14 15 16
人数（人） 2 15
A．平均数、方差 B．中位数、方差
C．平均数、中位数 D．众数、中位数
【答案】D
【知识点】频数（率）分布表；中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格中的信息可知：年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，
则总人数为：2+15+10=27，
故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁，
即对于不同的值，关于年龄的统计量不会发生变化的是众数和中位数.
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；由频数分布表可知后两组频数的和为10，于是可求得总人数，结合前两组的频数可知出现次数最多的数据以及第14个数据即可求解.
7．（2024九下·淮滨开学考）若事件“关于的一元二次方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+4x-1=0有实数根，
∴a≠0，△=b2-4ac=42-4a×(-1)≥0，
解得：a≥-4且a≠0.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得关于a的不等式，解之即可求解.
8．（2024九下·淮滨开学考）明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗，现进行了变式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶 设有好酒瓶，薄酒瓶。依题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，
∴每瓶好酒可以醉倒5÷2=2.5位客人；每瓶薄酒可以醉倒位客人，
由题意可列方程组：
.
故答案为：B.
【分析】根据题意“好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人”可求出每瓶好酒和每瓶薄酒可以醉倒的客人人数，然后根据酒的总瓶数和可以醉倒客人的总人数可列关于x、y的方程组.
9．（2024九下·淮滨开学考）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得CG平分∠ACB，在CB上截取CD'=CD，连接AD'交CG于点E，
∵CE平分∠DCD'，
∴CE垂直平分DD'，
∴ED'=ED，
∴AE+DE=AE+D'E=AD'，
∴此时AE+DE的值最小，最小值为AD'的长，
∵AC=4，D为AC边的中点，
∴CD'=CD=2，
在Rt△ACD'中，AD'=，
∴AE+DE的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由作图可知CG平分∠ACB，在CB上截取CD'=CD，连接AD'交CG于点E，根据等腰三角形的三线合一可得CE垂直平分DD'，根据线段的垂直平分线的性质可得ED'=ED，然后根据两点之间线段最短可得AE+DE的值最小，最小值为AD'的长，在Rt△ACD'中，用勾股定理可求解.
10．（2024九下·淮滨开学考）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，其中点的坐标为，第1次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），第2次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），第3次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即）…依次类推，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点B的坐标为（-1，1）， 第1次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），
∴点B1的坐标为（2，2），
同理可得点B2的坐标为（4，-4），即（22，-22），
B3的坐标为（-8，-8），即（-23，-23），
B4的坐标为（-16，16），即（-24，24），
……，
∵2025÷4=506……1，
∴B2025的坐标为（22025，22025）.
故答案为：A.
【分析】由题意可得点B1的坐标为（2，2），同理可得点B2、B3、B4的坐标，……，通过观察发现各个点坐标的符号四个一组依次循环，再根据2025÷4=506……1即可求解.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024九下·淮滨开学考）请写出一个当时，随的增大而减小的函数表达式： 。
【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：∵当k＜0时，y随x的增大而减小，
∴函数关系式为：y=-x+1（答案不唯一）.
【分析】根据一次函数的性质“当k＜0时，y随x的增大而减小”可求解.
12．（2021·淅川模拟）不等式组 的最大整数解为 .
【答案】1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，
最大整数解为1.
故答案为：1.
【分析】一元一次不等式组的解法步骤：①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②将每个不等式的解集再同一数轴上表示出来，找出它们的公共部分；
③根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解.
13．（2023·白碱滩模拟）将标有“中”“华”“崛”“起”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率的意义；复合事件概率的计算
【解析】【解答】列举法：摸出2个球的全部可能情况有3+2+1=6种，其中只有一种情况是中华，
∴概率是
故填：
【分析】根据概率的定义列举法来求，也可用列表或者树状图来求均可。
14．（2021·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在 上，边AB、AC分别交 于D、E两点﹐点B是 的中点，则∠ABE= .
【答案】13°
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
是 的中点，
故答案为：
【分析】 连接 由 ∠ABC=90°可得CD一定经过圆心O，由B是 的中点可得 可得△BCD为等腰直角三角形，根据同弧所对圆周角相等可得由三角形外角性质可得∠A+∠ACD=∠CDB=45°可得结果.
15．（2024九下·淮滨开学考）如图是一张菱形纸片，，，点在边上，且，点在边上，把沿直线对折，点的对应点为点，当点落在菱形对角线上时，则 。
【答案】或
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况讨论：
①当点A 落在菱形的对角线BD上时，如图：
在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=AB=5，
∴∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=5，
由折叠的性质可得：∠FA E=60°，FA =FA，A E=AE，
∴∠DA E+∠BA F=120°，
∵∠DEA +∠DA E=120°，
∴∠DEA=∠BA F，
∴△DEA∽△BA F，
∴，
设A F=AF=x，
∵DE=2，
∴AE=A E=5-2=3，
∴，，
∴A B=x，
∴，解得：x=6＋(舍去）或x=6-，
∴AF=6-；
②当点A 落在菱形的对角线BD上时，如图：
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
由折叠的性质可得：∠A EF=∠AEF，A E=AE，
∴∠A AE=∠EA A=30°，
∴∠AEA =120°，
∴∠AEF=60°，
∴∠AFE=180°-60°-60°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE=5-2=3，
综上可得，AF的长为6-或3.
故答案为：6-或3.
【分析】由题意可分两种情况讨论：①当点A 落在菱形的对角线BD上时，根据菱形的性质可证△DEA∽△BA F，于是可得比例式可求解；②当点A 落在菱形的对角线BD上时，根据菱形的性质和折叠的性质可求解.
三、解答题（本大题共8题，共75分）
16．（2024九下·淮滨开学考）
（1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）解：原式
=2
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得：（）-1=2，由特殊角的三角函数值可得：tan45°=1，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”；可得=（2023-π）0=1，故先代入特殊锐角三角函数值，同时根据立方根定义、负指数幂性质、零指数幂性质分别计算，然后根据有理数的加法法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简.
17．（2024九下·淮滨开学考）青春是校园生活的主旋律，某学校为了丰富学生的课余生活，焕发青春活力，激励学生成长，推动校园文化建设，开展了一次“美好青春，和谐校园”的校歌比赛，并在九（1）班和九（2）班各随机抽取了10名同学参加。
比赛成绩收集、整理如下：
九（1）班成绩：9 9.5 9 9 8 10 9 8 4 9.5
九（2）班成绩：
成绩 6 8 8.5 9 9.5 10
人数 2 1 3 1 2 1
比赛成绩分析：
平均数 中位数 众数
九（1）班 8.5 9 c
九（2）班 a b 8.5
根据以上信息，同答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）如果你是评委，请根据以上数据，判断两个班中哪个班的校歌歌唱水平比较好？并说明理由。
【答案】（1）8.35；8.5；9
（2）解：九（1）班歌唱水平比较好，因为九（1）班成绩的平均数、中位数和众数均高于九（2）班．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：a==8.35；
由表格知：第5个和第6个数据都是8.5，
∴中位数b=(8.5+8.5)=8.5；
∵数据9出现了4次，出现的次数最多，
∴众数c=9；
故答案为：8.35；8.5；9；
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；”并结合已知可求解；
（2）比较两组数据即可求解.
18．（2024九下·淮滨开学考）如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F。
（1）求证：平分；
（2）若，求的长。
【答案】（1）证明：如图，连接．
∵是的切线，是的半径，D是切点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，
∵在中，，，
∴，
∴．
∵是直径，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由圆的切线的性质和平行线性质并结合等腰三角形的性质得∠OAD=∠CAD，然后根据角平分线的定义可求解；
（2）连接DE，在Rt△ACD中，用锐角三角函数tan∠CAD=并结合已知可求得CD的值，用勾股定理可求得AD的值，根据（1）的结论由“有两个角相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ACD，于是可得比例式求解.
19．（2024九下·淮滨开学考）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm。
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）解：连接PO，如图，
∵点D为AO中点，且PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分线，
∴PA=PO=45cm，
∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，
∴OC=OB+BC=36(cm)，
∴在Rt△POC中，(cm)，
即PC长为27cm；
（2）解：过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，如图，
∵PC⊥OC，
∴四边形DECF是矩形，即FC=DE，DF=EC，
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∵DO=AD=AO=12(cm)，
∴DE===(cm)，EO=DO=6(cm)，
∴FC=DE=cm，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42(cm)，
∵∠FDO=∠DOE=60°，∠PDO=90°，
∴∠PDF=90°-60°=30°，
在Rt△PDF中，PF=(cm)，（8分）
∴PC=PF+FC=(cm)，
∴PC，
即PC的长度为34.6cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）连接PO，由题意易知PD是AO的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质得PA=PO，在Rt△POC中，用勾股定理可求解；
（2）过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，由题意易知四边形DECF是矩形，根据矩形的性质可得FC=DE，DF=EC，解Rt△DEO可求得DE、EO的值，再解Rt△PDF求出PF的值，然后由线段的构成PC=PF+FC即可求解.
20．（2024九下·淮滨开学考）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型。已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个。
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元。
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：解：设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）解：解：①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元，根据题中的相等关系“购进“天宫”模型的数量=购进“神舟”模型的数量+5”可列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个，根据利润=个“神舟”模型的利润+（200-a）个“天宫”模型的利润可求解；
②根据题中的不等关系“购进“神舟”模型的数量≤×购进“天宫”模型数量”可列关于a的不等式，解不等式可得a的范围，结合①的结论并根据一次函数的性质即可求解.
21．（2024九下·淮滨开学考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于第二象限的点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的到轴的距离为．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（3）点，，与（2）中的点，组成四边形．求证：四边形是菱形。
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点，
故将点的坐标代入反比例函数得：，
解得：，
∴反比例函数的关系式为．
（2）解：点关于直线的对称点，如图：
理由：连接，，，如图：
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
同理点也在线段的垂直平分线上，
∴点与点所在的直线垂直平分线段，
即垂直平分，
故点与点关于直线对称，
即点与点关于直线对称．
（3）解：连接，，如图：
∵点的坐标为，
∴，
∵点在第二象限且到轴的距离为，
∴，
将代入反比例函数得，
解得：，
∴；
∴，
∴，
由（2）可得，，
即，
∴四边形是菱形．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的判定；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数，可算出k1的值，从而即可得到反比例函数的解析；
（2）作法：以点A为圆心，OA的长为半径，画弧；点B为圆心，OB的长为半径，画弧；两弧交于点O，即为所求；
（3）连接，，用勾股定理求出OA的值，由题意将点B的横坐标代入反比例函数的解析式计算可求得点B的纵坐标，于是用勾股定理求出OB的值，由计算结果可得OA=OB，根据（2）的结论可得，然后根据菱形的判定“有四边相等的四边形是菱形”可求解.
22．（2024九下·淮滨开学考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于点和点B，点B为二次函数图象的顶点。
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式的解集；
（3）点M为二次函数图象上的一个动点，且点M的横坐标为m，将点M向右平移1个单位长度得到点N．若线段与一次函数图象有交点，直接写出点M横坐标m的取值范围。
【答案】（1）解：把点代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：
，
∴点B的坐标为，
把点，代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
∴不等式的解集为；
（3）解：∵点M的横坐标为m，
∴点M的坐标为，
∵点M向右平移1个单位长度得到点N，
∴点N的坐标为，
当点N位于一次函数的图象上时，有
，
解得：或，
当点M位于一次函数的图象上时，
由（1）得：或1，
结合图象得：若线段与一次函数图象有交点，点M横坐标m的取值范围为或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A的坐标代入直线解析式计算可求出b的值，即可得一次函数的解析式；由抛物线的对称轴可求得抛物线的对称轴为直线x=-1，根据直线与抛物线的其中一个交点是抛物线的顶点B，可将点B的横坐标代入直线解析式可得点B的纵坐标，然后把点A、B的坐标代入二次函数的解析式计算即可求解；
（2）根据不等式可知：二次函数的图象高于直线的x的值即为不等式的解集，根据图象并结合A、B的坐标即可求解；
（3）根据点M的横坐标为m，可根据点M在抛物线上用含m的代数式表示出点M的纵坐标，
根据平移的性质可将点N的坐标用含m的代数式表示出来，由点N在直线上可将点N的坐标代入一次函数的解析式可得关于m的方程，解方程求出m的值，根据线段MN与一次函数图象有交点可得点M横坐标m的取值范围.
23．（2024九下·淮滨开学考）已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：
（1）如图1，若和均为等边三角形，①线段与线段的数量关系是 ；②直线与直线相交所夹锐角的度数是 ；
类比探究：
（2）如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，若，，，，当点B，D，E三点共线时，请直接写出的长.
【答案】（1）BD=AE；60°
（2）解：①不成立，；②成立．
理由：如图2，延长交的延长线于点．
，，
∴，
，，
，
，，
．
∵，
．
综上所述，，直线与直线相交所夹锐角的度数是；
（3）的长为或．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：①延长BD交AE的延长线于点F
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE；
故答案为：BD=AE；
②由①得：△BCD≌△ACE，
∴∠DBC=∠EAC，
∴∠DBC+∠ACB=∠EAC+∠F，
∴∠F=∠ACB=60°；
故答案为：60°；
（3）解：①当点D落在线段BE上时，
∵∠BAC=∠DEC=90°，∠ACB=∠ECD=45°，BC=2CD=，
∴BC=AC=，CD=EC=，
∴AC=2，CE=1，
∵∠E=90°，
∴BE=，
∴BD=BE-DE=-1；
②当点E落在线段BD上时，
同理可得：BD=BE+DE=+1.
故的长为或．
【分析】（1）①延长BD交AE的延长线于点F，由题意用边角边易证△BCD≌△ACE，由全等三角形的性质可得BD=AE；
②由①中的全等三角形得∠DBC=∠EAC即可求解；
（2）①不成立，②成立；理由如下：延长交的延长线于点，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△EDC，于是结合已知可得比例式，∠BCD=∠ACE，然后根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△BDC∽△AEC，由相似三角形的性质可得，∠DBC=∠EAC，于是可得BD=AE；②由△BDC∽△AEC可求解；
（3）①当点D落在线段BE上时，先求出BC、CD的值，然后用勾股定理可求得BE的值；②当点E落在线段BD上时，同理可求解.
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