4.1条件概率与事件的独立性 同步练习（含解析）2023——2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.1条件概率与事件的独立性 同步练习（含解析）2023——2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 643.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-09 07:25:24 | ||
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文档简介
4.1条件概率与事件的独立性同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（ ）
A． B． C． D．
5．纸箱内有除颜色外完全相同的4个白球、3个绿球，纸箱内有除颜色外完全相同的3个白球、3个绿球，先从纸箱中随机摸出一个球放入纸箱中，然后从纸箱中随机摸出一个球.事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，则（ ）
A． B． C． D．
6．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A表示“乙获得比赛胜利”，事件B表示“比赛进行了七局”，则（ ）
A． B． C． D．
7．某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以获胜的概率可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（ ）
A． B．
C． D．事件A，B相互独立
10．小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．（） D．小华一共前进2步的概率最大
11．已知定义在上的函数，，其中，分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函数的值域为”为事件A，“函数为偶函数”为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为，记，事件为“”，事件为“”，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．事件与事件互为独立事件
三、填空题
13．已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为 .
14．某食品加工厂生产一种食品的生产线有甲、乙、丙三个，其次品率分别为，假设这三个生产线的产量之比为，则从这三个生产线生产的食品中随机抽取1件食品为次品的概率为 ．
15．2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为 .
16．已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ．
四、解答题
17．年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．
18．学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
(1)求首次摸球就试验结束的概率；
(2)在首次摸球摸出红球的条件下．
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
19．冗余系统是指为增加系统的可靠性，而采取两套或两套以上相同 相对独立配置的设计.冗余系统因为前期投入巨大，后期的维护成本高，所以只有在高风险行业应用比较广泛，如：金融领域 核安全领域 航空领域 煤矿等领域.某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，升级后的设备控制系统由偶数个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于一半的元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行.记有个元件组成时设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由4个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由6个元件组成时设备正常运行的概率）.
(1)若，求；
(2)已知升级后的设备控制系统原有个元件，现再增加2个相同的元件，若对都有，求的取值范围.
20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.
(1)证明；
(2)利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（1）的结果给出的估计值.
21．红袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，此时取到白球的人胜利，每个球在每一次被取出的机会是等可能的
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求甲取得胜利的概率
(3)另有一黄袋中有2个白球2个黑球，从黄袋中取出1球放入红袋，再从红袋中取出1球，求取出的球为白球的概率
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据条件概率的概率公式计算可得.
【详解】因为，即，
又，，
所以，故A错误；
又，故B正确；
，故D错误；
，故C错误.
故选：B
2．B
【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.
【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，
因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件.
其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为.
同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为.
所以每一轮甲得分低于3分的概率为．
设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.
则，.
事件可分三类情形：
①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为；
②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为；
③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为.
所以，
所以.
故选：B．
3．B
【分析】先设事件，再求出甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的概率，然后利用条件概率公式求解.
【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，
则，且，，相互独立，
设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，
则，
设乙没有达优秀等级为事件，则，
所以.
故选：B.
4．B
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.
【详解】由题意可得：，，所以；
故选：B
5．C
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为纸箱内有4个白球、3个绿球，所以.
若从纸箱中摸出的绿球放入纸箱中，此时纸箱中有3个白球、4个绿球，
因此.
所以，
故选：C.
6．B
【分析】根据条件概率计算公式求解.
【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率
，
乙获胜并且比赛进行了七局的概率，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】依据题意根据全概率公式计算即可.
【详解】设“任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”．
由题可知：
，，，，， ，
.
故选：D
8．C
【分析】根据甲队以获胜,得出4局比赛的胜负情况，求出概率即可.
【详解】甲队以获胜,则两队共比赛了4局，且第4局一定是甲获胜，前3局里甲获胜了2局，故概率为，即.
故选：C.
9．ABC
【分析】对于A，由古典概型概率计算公式验算即可；对于B，由条件概率公式即可验算；对于C，由全概率公式即可验算；对于D，由独立乘法公式即可验算.
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，因为，，所以事件A，B不相互独立，故D错误．
故选：ABC．
10．ACD
【分析】综合应用概率和数列的知识即可解决.
【详解】对于A，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，其前进步是由两部分组成：第一部分先前进步，再前进1步，其概率为；第二部分先前进步，再前进2步，其概率为，所以，故C正确；
对于D，因为，可得，
即，因为，
所以，即，
可得，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，可得.
当为奇数时，为偶数，则，即，
此时数列单调递增，所以；
当为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减，
所以，
综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故D正确.
故选：ACD.
11．BC
【分析】根据给定条件，求出事件的所有可能结果，并求出概率，再结合事件的和与积、条件概率逐项分析即可.
【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次出现的点数共有种情况，
函数的值域为，即函数的最小值为1，则，
满足的有，，共2种情况，则，，
由函数为偶函数，得，
满足的有，，，，，，共6种情况， ，
对于A，满足事件A，B同时发生的有，，A错误；
对于B，事件包含的有，，，，，，，共7种情况，
因此，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，满足事件，B同时发生的有，，，，，共5种情况，
因此，则，D错误．
故选：BC
12．ABD
【分析】由条件概率的公式、古典概率的公式和独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，
所以，A正确；，B正确；
，C错误；，D正确．
故选：ABD.
13．
【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件与事件的概率，从而利用条件概率公式即可得解.
【详解】依题意，设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，
事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，
则，
所以.
故答案为：.
14．0.047/
【分析】根据全概率公式可得结果.
【详解】记事件“B=选取的食品为次品”，记事件“=此件次品来自甲生产线”，
记事件“=此件次品来自乙生产线”，记事件“=此件次品来自丙生产线”，
由题意可得，，，
，，，由全概率的公式可得:
，
所以从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为0.047．
故答案为：0.047.
15．/
【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可.
【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区，
则由已知得，
，
所以由全概率公式得
,
故答案为：
16．
【分析】
确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.
【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，
第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
此时盒中恰有7个球的概率为；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，
第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
此时盒中恰有7个球的概率为；
所以盒中恰有7个球的概率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果.
17．(1)“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为；
(2)“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；
（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.
【详解】（1）记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，“页楼哥回答正确第个问题”，.
根据题意得，所以；
，所以；
故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和.
（2）由题意知，
“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
18．(1)；
(2)①；②选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
【分析】（1）利用全概率公式计算可得；
（2）①利用条件概率概率公式计算可得；②分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可.
【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．
所以．
所以摸球一次就试验结束的概率为．
（2）①因为，是对立事件，．
所以，
所以选到的袋子为乙袋的概率为．
②由①，得，
所以方案一中取到白球的概率为．
方案二中取到白球的概率为，
因为．
所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
19．(1)
(2)
【分析】(1)正常工作的元件个数X服从于二项分布，利用概率公式求；
(2)分情况讨论原系统中正常工作的元件个数，计算，由求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3，4，
因为各元件之间相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
（2）若控制系统增加2个元件，则现在有个元件，至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为，
第二类：原系统中恰好有n个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为，
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为，
所以
因为对，都有，所以对恒成立，
即对恒成立.
由，当时，所以，所以p的取值范围是.
20．(1)证明见解析
(2)，，
【分析】（1）利用条件概率公式证明即可；
（2）由条件概率公式和对立事件概率公式结合（1）中结论求解即可.
【详解】（1）由题意可得，
所以只需证明即可，
上式左边，
右边，
左边右边，故.
（2）由调查数据可知，，，，
所以，，
所以，，
所以.
21．(1)3；
(2)；
(3)
【分析】
（1）设袋中原有个白球，利用古典概型得到关于的方程，解之即可得解.
（2）根据题意得到甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，再计算即可.
（3）分两种情况，从黄袋中取出的是白球和从黄袋中取出的是黑球，再求解即可.
【详解】（1）
设袋中原有个白球，由题意知，
则得或（舍去），
所以袋中原有3个白球．
（2）
因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，
记甲取到白球为事件，
由题意可得：或或.
因为事件或或两两互斥，
所以.
（3）
若从黄袋中取出的是白球，再从红袋中取出1球，
则取出的球为白球的概率为；
若从黄袋中取出的是黑球，再从红袋中取出1球，
则取出的球为白球的概率为；
则所求概率为.
答案第1页，共2页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（ ）
A． B． C． D．
5．纸箱内有除颜色外完全相同的4个白球、3个绿球，纸箱内有除颜色外完全相同的3个白球、3个绿球，先从纸箱中随机摸出一个球放入纸箱中，然后从纸箱中随机摸出一个球.事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，则（ ）
A． B． C． D．
6．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A表示“乙获得比赛胜利”，事件B表示“比赛进行了七局”，则（ ）
A． B． C． D．
7．某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以获胜的概率可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（ ）
A． B．
C． D．事件A，B相互独立
10．小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．（） D．小华一共前进2步的概率最大
11．已知定义在上的函数，，其中，分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函数的值域为”为事件A，“函数为偶函数”为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为，记，事件为“”，事件为“”，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．事件与事件互为独立事件
三、填空题
13．已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为 .
14．某食品加工厂生产一种食品的生产线有甲、乙、丙三个，其次品率分别为，假设这三个生产线的产量之比为，则从这三个生产线生产的食品中随机抽取1件食品为次品的概率为 ．
15．2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为 .
16．已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ．
四、解答题
17．年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．
18．学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
(1)求首次摸球就试验结束的概率；
(2)在首次摸球摸出红球的条件下．
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
19．冗余系统是指为增加系统的可靠性，而采取两套或两套以上相同 相对独立配置的设计.冗余系统因为前期投入巨大，后期的维护成本高，所以只有在高风险行业应用比较广泛，如：金融领域 核安全领域 航空领域 煤矿等领域.某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，升级后的设备控制系统由偶数个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于一半的元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行.记有个元件组成时设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由4个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由6个元件组成时设备正常运行的概率）.
(1)若，求；
(2)已知升级后的设备控制系统原有个元件，现再增加2个相同的元件，若对都有，求的取值范围.
20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.
(1)证明；
(2)利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（1）的结果给出的估计值.
21．红袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，此时取到白球的人胜利，每个球在每一次被取出的机会是等可能的
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求甲取得胜利的概率
(3)另有一黄袋中有2个白球2个黑球，从黄袋中取出1球放入红袋，再从红袋中取出1球，求取出的球为白球的概率
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据条件概率的概率公式计算可得.
【详解】因为，即，
又，，
所以，故A错误；
又，故B正确；
，故D错误；
，故C错误.
故选：B
2．B
【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.
【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，
因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件.
其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为.
同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为.
所以每一轮甲得分低于3分的概率为．
设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.
则，.
事件可分三类情形：
①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为；
②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为；
③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为.
所以，
所以.
故选：B．
3．B
【分析】先设事件，再求出甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的概率，然后利用条件概率公式求解.
【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，
则，且，，相互独立，
设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，
则，
设乙没有达优秀等级为事件，则，
所以.
故选：B.
4．B
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.
【详解】由题意可得：，，所以；
故选：B
5．C
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为纸箱内有4个白球、3个绿球，所以.
若从纸箱中摸出的绿球放入纸箱中，此时纸箱中有3个白球、4个绿球，
因此.
所以，
故选：C.
6．B
【分析】根据条件概率计算公式求解.
【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率
，
乙获胜并且比赛进行了七局的概率，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】依据题意根据全概率公式计算即可.
【详解】设“任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”．
由题可知：
，，，，， ，
.
故选：D
8．C
【分析】根据甲队以获胜,得出4局比赛的胜负情况，求出概率即可.
【详解】甲队以获胜,则两队共比赛了4局，且第4局一定是甲获胜，前3局里甲获胜了2局，故概率为，即.
故选：C.
9．ABC
【分析】对于A，由古典概型概率计算公式验算即可；对于B，由条件概率公式即可验算；对于C，由全概率公式即可验算；对于D，由独立乘法公式即可验算.
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，因为，，所以事件A，B不相互独立，故D错误．
故选：ABC．
10．ACD
【分析】综合应用概率和数列的知识即可解决.
【详解】对于A，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，其前进步是由两部分组成：第一部分先前进步，再前进1步，其概率为；第二部分先前进步，再前进2步，其概率为，所以，故C正确；
对于D，因为，可得，
即，因为，
所以，即，
可得，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，可得.
当为奇数时，为偶数，则，即，
此时数列单调递增，所以；
当为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减，
所以，
综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故D正确.
故选：ACD.
11．BC
【分析】根据给定条件，求出事件的所有可能结果，并求出概率，再结合事件的和与积、条件概率逐项分析即可.
【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次出现的点数共有种情况，
函数的值域为，即函数的最小值为1，则，
满足的有，，共2种情况，则，，
由函数为偶函数，得，
满足的有，，，，，，共6种情况， ，
对于A，满足事件A，B同时发生的有，，A错误；
对于B，事件包含的有，，，，，，，共7种情况，
因此，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，满足事件，B同时发生的有，，，，，共5种情况，
因此，则，D错误．
故选：BC
12．ABD
【分析】由条件概率的公式、古典概率的公式和独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，
所以，A正确；，B正确；
，C错误；，D正确．
故选：ABD.
13．
【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件与事件的概率，从而利用条件概率公式即可得解.
【详解】依题意，设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，
事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，
则，
所以.
故答案为：.
14．0.047/
【分析】根据全概率公式可得结果.
【详解】记事件“B=选取的食品为次品”，记事件“=此件次品来自甲生产线”，
记事件“=此件次品来自乙生产线”，记事件“=此件次品来自丙生产线”，
由题意可得，，，
，，，由全概率的公式可得:
，
所以从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为0.047．
故答案为：0.047.
15．/
【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可.
【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区，
则由已知得，
，
所以由全概率公式得
,
故答案为：
16．
【分析】
确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.
【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，
第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
此时盒中恰有7个球的概率为；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，
第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
此时盒中恰有7个球的概率为；
所以盒中恰有7个球的概率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果.
17．(1)“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为；
(2)“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；
（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.
【详解】（1）记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，“页楼哥回答正确第个问题”，.
根据题意得，所以；
，所以；
故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和.
（2）由题意知，
“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
18．(1)；
(2)①；②选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
【分析】（1）利用全概率公式计算可得；
（2）①利用条件概率概率公式计算可得；②分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可.
【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．
所以．
所以摸球一次就试验结束的概率为．
（2）①因为，是对立事件，．
所以，
所以选到的袋子为乙袋的概率为．
②由①，得，
所以方案一中取到白球的概率为．
方案二中取到白球的概率为，
因为．
所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
19．(1)
(2)
【分析】(1)正常工作的元件个数X服从于二项分布，利用概率公式求；
(2)分情况讨论原系统中正常工作的元件个数，计算，由求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3，4，
因为各元件之间相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
（2）若控制系统增加2个元件，则现在有个元件，至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为，
第二类：原系统中恰好有n个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为，
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为，
所以
因为对，都有，所以对恒成立，
即对恒成立.
由，当时，所以，所以p的取值范围是.
20．(1)证明见解析
(2)，，
【分析】（1）利用条件概率公式证明即可；
（2）由条件概率公式和对立事件概率公式结合（1）中结论求解即可.
【详解】（1）由题意可得，
所以只需证明即可，
上式左边，
右边，
左边右边，故.
（2）由调查数据可知，，，，
所以，，
所以，，
所以.
21．(1)3；
(2)；
(3)
【分析】
（1）设袋中原有个白球，利用古典概型得到关于的方程，解之即可得解.
（2）根据题意得到甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，再计算即可.
（3）分两种情况，从黄袋中取出的是白球和从黄袋中取出的是黑球，再求解即可.
【详解】（1）
设袋中原有个白球，由题意知，
则得或（舍去），
所以袋中原有3个白球．
（2）
因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，
记甲取到白球为事件，
由题意可得：或或.
因为事件或或两两互斥，
所以.
（3）
若从黄袋中取出的是白球，再从红袋中取出1球，
则取出的球为白球的概率为；
若从黄袋中取出的是黑球，再从红袋中取出1球，
则取出的球为白球的概率为；
则所求概率为.
答案第1页，共2页
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