4.2随机变量 同步练习（含解析）2023——2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.2随机变量 同步练习（含解析）2023——2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 759.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-09 07:25:48 | ||
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文档简介
4.2随机变量同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（ ）
参考：
A．456 B．558 C．584 D．651
2．对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（ ）
A．14.4 B．9.6 C．24 D．48
4．下列命题正确的是（ ）
A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，，则
5．已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ）
A．1600 B．1400 C．800 D．20
6．一个质地均匀的正方体的六个面分别标有数字，现连续抛掷该正方体次，发现落地后向上数字大于4的平均次数不小于3，则抛掷次数的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（ ）
A．150人 B．300人 C．600人 D．900人
8．在足球比赛中，扑点球的难度--般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．数据4，3，2，5，6的分位数为4
B．若，，，则
C．若事件A与事件互斥，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78
B．若一组数据的方差为0.2，则的方差为1
C．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性
D．若变量，则
11．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，则）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
12．坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A．配重的平均数为
B．
C．
D．1000个使用该器材的人中，配重超过的有135人
三、填空题
13．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 .（若，则，，）
14．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ．
15．口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则 .
16．中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的期望与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 ．（保留小数点后四位）附：若随机变量服从正态分布，则，，．
四、解答题
17．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．
(1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；
(2)任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．
18．近年来，“盲盒”在许多年轻人中开始流行．小红最近喜欢上了一款单价1元的盲盒．已知盲盒全套共有款玩偶，小红喜欢其中的一款玩偶．已知小红手里有元零花钱（，），小红每次开一个盲盒，若开出自己喜欢的玩偶则停止，否则再开一个盲盒，直到开出自己喜欢的玩偶或者花完零花钱为止．设小红停止开盲盒时剩余零花钱为，小红每次开盲盒的结果互不影响．
(1)若，，求的分布列和数学期望；
(2)证明：．
19．在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下70摄氏度到零上80摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术支撑．中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色．已知某锂电池生产商对一批锂电池最低正常使用零下温度进行了检测，得到如下频率分布直方图．
(1)求最低正常使用零下温度的第60百分位数；
(2)若以抽样检测的频率作为实际情况的概率．
①若随机抽取3块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在的数量为，求的分布列；
②若锂电池最低正常使用零下温度在之间，则为类锂电池．若以抽样检测的频率作为实际情况的概率，从这批锂电池中随机抽取10块，抽到块为“类锂电池”的可能性最大，试求的值．
20．一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分.已知某同学连续摸奖次，总得分为，每次中奖的概率为，且每次摸奖相互独立.
(1)当时，求的概率；
(2)当时，求的概率分布列和数学期望；
(3)当时，判断的数学期望与10的大小，并说明理由.
21．一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑球）.
(1)若从袋子中随机抽取小球3次，记为抽到白球的次数，求的分布列和数学期望；
(2)记第（且）次恰好抽到第二个白球的概率为，求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据正态分布的概率分布即可求解.
【详解】抽测结果在及格线与优秀线之间的学生所占的比例为，
故人数为，
故选：B.
2．B
【分析】由两个正态曲线的对称轴位置和集中分散程度判断结果.
【详解】由，故曲线的对称轴在曲线的左侧，排除C、D；
由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除A.
故选：B．
3．A
【分析】由题意根据正态分布的对称性求出的值，确定质量在的盘锦大米的袋数，根据二项分布的方差公式，即可求得答案.
【详解】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，
且，故，
从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数
故，
故选：A
4．D
【分析】根据百分位数、随机变量的方差的性质、二项分布的数学期望的性质、正态分布的对称性，逐项判断即可得结论.
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，因为，则，故C错误；
对于选项D，因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：，
则，所以，故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】根据条件，利用正态分布的对称性，求出合格品的概率，即可求出结果.
【详解】解法一 因为服从正态分布，且，所以该企业生产的该种零件合格的概率，
所以估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为，
故选：A．
解法二 因为服从正态分布，且，所以，所以该企业生产的该种零件不合格的概率为，
所以估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为，
故选：A．
6．C
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望公式列式求解作答.
【详解】依题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为，
设表示抛掷次，落地向上数字大于4的次数，则，
因此，解得，
所以抛掷次数n的最小值为9，
故答案为：9.
7．A
【分析】利用正态分布的性质，计算出和即可求解.
【详解】因为，，所以
则，所以样本中身高不低于的约有人.
故选：A.
8．A
【分析】先判断服从二项分布，再利用二项分布的方差公式计算可得.
【详解】由题意，门将每次扑出点球的概率为：,
若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数服从二项分布，且，
所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为：.
故选：A
9．BD
【分析】先将数据由小到大排列，然后计算，然后可判断A；根据条件概率公式结合已知推导即可判断B；根据互斥事件与对立事件的区别可判断C；由正态分布的对称性求解可判断D.
【详解】A选项：将数据由小到大排列：.
因为，所以第百分位数为，A错误；
B选项：因为，，，
所以，B正确；
C选项：若事件A与事件互斥，但不对立，则，C错误；
D选项：若，则，
所以，D正确.
故选：BD
10．CD
【分析】根据百分位数的定义、方差的性质，结合相关系数的性质、正态分布的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，81，
又，第8位数字是78，第9位数字是81，
故这组数据的第80百分位数是，故A错误；
对于B，的方差为，故B错误；
对于C，样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；
对于D，∵，
∴，
故D正确，
故选：CD
11．ACD
【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D.
【详解】依题意，，A正确；
由，则，
又，
于是，即，
因此，即，则，B错误；
由
又，C正确；
，
设，
由，
解得，即，
由，
解得，即，
所以最大时的估计值为53，D正确.
故选：ACD
12．BC
【分析】根据配重（单位：）符合的正态分布易得配重的平均数为，；利用正态分布图的对称性特征易求得和，计算即可判断B,D两项.
【详解】对于A项，由配重（单位：）符合正态分布可知，配重的平均数为，故A项错误；
对于B项，由配重（单位：）符合正态分布可知，故
,故B项正确；
对于C项，显然正确；
对于D项，因,
故1000个使用该器材的人中，配重超过的约有人，故D项错误.
故选：BC.
13．
【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果.
【详解】技术改造前，易知，
则其优品率为；
技术改造后，其中，
则其优品率为；
所以优品率之差为.
故答案为：
14．
【分析】列出分布列，根据均值公式得到，再利用乘“1”法即可求出最值.
【详解】设得分为，则
0 1 3
c b a
由均值为，且，
则，
当且仅当时等号成立．
故答案为：.
15．/
【分析】根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望即可.
【详解】取得红球数为可能为0，1，2，
则，，，
则随机变量的分布列为
0 1 2
所以.
故答案为：
16．
【分析】利用二项分布的期望和方差公式及正态分布的可求答案.
【详解】由题意,随机变量，其中
所以，
又因为且，由中心极限定理可知服从正态分布，
故答案为:.
17．(1)；
(2)分布列见解析，期望值为.
【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.
（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.
【详解】（1）令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是A，B都不达标的事件，
因此，
所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为.
（2）依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然，
因此，，，
，，
所以的概率分布为：
0 1 2 3 4
P
数学期望.
18．(1)，分布列见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先设小红共开了次盲盒，由，结合独立重复事件概率公式，即可求解概率，列出分布列和数学期望；
（2）根据（1）的结果求，并根据错位相减法求和，再根据求，即可证明不等式.
【详解】（1）设小红共开了次盲盒，由题意得小红开一次盲盒得到自己喜欢玩偶的概率，
记，，显然（题眼）．
当时，；
当时，．
因为，，所以，故的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
则的分布列如表所示：
0 1 2 3 4
．
（2）证明：由题知，
记，
则．
故
，
故，
故，
故．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，由的概率公式，得到的概率以及期望.
19．(1)28℃
(2)① 答案见解析；②
【分析】（1）根据频率分布直方图确定第60百分位数在内，再列式得解．
（2）①求出的可能值，由求出对应的概率，列出分布列．
②由求出，列出不等式组，求解即得．
【详解】（1）（1）设最低正常使用零下温度的第60百分位数为，
由直方图可知最低正常使用零下温度在的频率为0.4，
在的频率为0.65，因此最低正常使用零下温度的第60百分位数一定在内，
则有，解得，
所以最低正常使用零下温度的第60百分位数为28℃．
（2）①由题意可知的可能值是0,1,2,3，，
；
；
；
，
所以的分布列为
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
②由题意可知，设抽到类锂电池的数量为，则，
若抽到块的可能性最大，
则，，
即
即解得，
由于，故．
20．(1)
(2)分布列见解析，
(3)，理由见解析
【分析】（1）将的所有可能情况进行分类讨论，即可求得的表达式．
（2）易知X的可能取值为0，1，2，3，7，求出对应概率可得分布列和期望；
（3）依题意可知，若每次投进都得1分，利用二项分布可知，再结合比赛规则可得.
【详解】（1）摸奖5次得分为3分，有如下两种情形：
情形一，恰好两次中奖，且两次相邻；
情形二，恰好三次中奖，且任意两次都不相邻.
情形一发生的概率为.
情形二发生概率为，
所以；
（2）的可能取值为0，1，2，3，7，其中
，，
，，
所以的概率分布列为
X 0 1 2 3 7
P
所以.
（3）.理由如下：
记该同学摸奖30次中奖次数为，则.
若每次中奖都得1分，则得分的期望为.
由题中比赛规则可知连续中奖时，得分翻倍，
故实际总得分的期望必大于每次都得1分的数学期望.
所以.
21．(1)分布列见解析，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望即得.
（2）利用独立重复事件求出第次抽到第一个白球，第次抽到第二个白球的概率，再利用互斥事件的概率公式，结合等比数列前项和公式求出.
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
数学期望.
（2）设第次抽到第一个白球，则第次抽到第二个白球的概率为：
.
所以.
【点睛】思路点睛：求解应用问题思路：①认真审题，厘清已知条件中的信息；②分清所求与已知之间的关系；③注重对基本概念的理解，并加强知识间的整合能力，特别是加强对知识点交汇问题的求解能力，提升阅读理解能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（ ）
参考：
A．456 B．558 C．584 D．651
2．对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（ ）
A．14.4 B．9.6 C．24 D．48
4．下列命题正确的是（ ）
A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，，则
5．已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ）
A．1600 B．1400 C．800 D．20
6．一个质地均匀的正方体的六个面分别标有数字，现连续抛掷该正方体次，发现落地后向上数字大于4的平均次数不小于3，则抛掷次数的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（ ）
A．150人 B．300人 C．600人 D．900人
8．在足球比赛中，扑点球的难度--般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．数据4，3，2，5，6的分位数为4
B．若，，，则
C．若事件A与事件互斥，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78
B．若一组数据的方差为0.2，则的方差为1
C．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性
D．若变量，则
11．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，则）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
12．坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A．配重的平均数为
B．
C．
D．1000个使用该器材的人中，配重超过的有135人
三、填空题
13．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 .（若，则，，）
14．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ．
15．口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则 .
16．中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的期望与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 ．（保留小数点后四位）附：若随机变量服从正态分布，则，，．
四、解答题
17．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．
(1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；
(2)任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．
18．近年来，“盲盒”在许多年轻人中开始流行．小红最近喜欢上了一款单价1元的盲盒．已知盲盒全套共有款玩偶，小红喜欢其中的一款玩偶．已知小红手里有元零花钱（，），小红每次开一个盲盒，若开出自己喜欢的玩偶则停止，否则再开一个盲盒，直到开出自己喜欢的玩偶或者花完零花钱为止．设小红停止开盲盒时剩余零花钱为，小红每次开盲盒的结果互不影响．
(1)若，，求的分布列和数学期望；
(2)证明：．
19．在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下70摄氏度到零上80摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术支撑．中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色．已知某锂电池生产商对一批锂电池最低正常使用零下温度进行了检测，得到如下频率分布直方图．
(1)求最低正常使用零下温度的第60百分位数；
(2)若以抽样检测的频率作为实际情况的概率．
①若随机抽取3块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在的数量为，求的分布列；
②若锂电池最低正常使用零下温度在之间，则为类锂电池．若以抽样检测的频率作为实际情况的概率，从这批锂电池中随机抽取10块，抽到块为“类锂电池”的可能性最大，试求的值．
20．一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分.已知某同学连续摸奖次，总得分为，每次中奖的概率为，且每次摸奖相互独立.
(1)当时，求的概率；
(2)当时，求的概率分布列和数学期望；
(3)当时，判断的数学期望与10的大小，并说明理由.
21．一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑球）.
(1)若从袋子中随机抽取小球3次，记为抽到白球的次数，求的分布列和数学期望；
(2)记第（且）次恰好抽到第二个白球的概率为，求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据正态分布的概率分布即可求解.
【详解】抽测结果在及格线与优秀线之间的学生所占的比例为，
故人数为，
故选：B.
2．B
【分析】由两个正态曲线的对称轴位置和集中分散程度判断结果.
【详解】由，故曲线的对称轴在曲线的左侧，排除C、D；
由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除A.
故选：B．
3．A
【分析】由题意根据正态分布的对称性求出的值，确定质量在的盘锦大米的袋数，根据二项分布的方差公式，即可求得答案.
【详解】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，
且，故，
从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数
故，
故选：A
4．D
【分析】根据百分位数、随机变量的方差的性质、二项分布的数学期望的性质、正态分布的对称性，逐项判断即可得结论.
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，因为，则，故C错误；
对于选项D，因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：，
则，所以，故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】根据条件，利用正态分布的对称性，求出合格品的概率，即可求出结果.
【详解】解法一 因为服从正态分布，且，所以该企业生产的该种零件合格的概率，
所以估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为，
故选：A．
解法二 因为服从正态分布，且，所以，所以该企业生产的该种零件不合格的概率为，
所以估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为，
故选：A．
6．C
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望公式列式求解作答.
【详解】依题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为，
设表示抛掷次，落地向上数字大于4的次数，则，
因此，解得，
所以抛掷次数n的最小值为9，
故答案为：9.
7．A
【分析】利用正态分布的性质，计算出和即可求解.
【详解】因为，，所以
则，所以样本中身高不低于的约有人.
故选：A.
8．A
【分析】先判断服从二项分布，再利用二项分布的方差公式计算可得.
【详解】由题意，门将每次扑出点球的概率为：,
若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数服从二项分布，且，
所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为：.
故选：A
9．BD
【分析】先将数据由小到大排列，然后计算，然后可判断A；根据条件概率公式结合已知推导即可判断B；根据互斥事件与对立事件的区别可判断C；由正态分布的对称性求解可判断D.
【详解】A选项：将数据由小到大排列：.
因为，所以第百分位数为，A错误；
B选项：因为，，，
所以，B正确；
C选项：若事件A与事件互斥，但不对立，则，C错误；
D选项：若，则，
所以，D正确.
故选：BD
10．CD
【分析】根据百分位数的定义、方差的性质，结合相关系数的性质、正态分布的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，81，
又，第8位数字是78，第9位数字是81，
故这组数据的第80百分位数是，故A错误；
对于B，的方差为，故B错误；
对于C，样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；
对于D，∵，
∴，
故D正确，
故选：CD
11．ACD
【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D.
【详解】依题意，，A正确；
由，则，
又，
于是，即，
因此，即，则，B错误；
由
又，C正确；
，
设，
由，
解得，即，
由，
解得，即，
所以最大时的估计值为53，D正确.
故选：ACD
12．BC
【分析】根据配重（单位：）符合的正态分布易得配重的平均数为，；利用正态分布图的对称性特征易求得和，计算即可判断B,D两项.
【详解】对于A项，由配重（单位：）符合正态分布可知，配重的平均数为，故A项错误；
对于B项，由配重（单位：）符合正态分布可知，故
,故B项正确；
对于C项，显然正确；
对于D项，因,
故1000个使用该器材的人中，配重超过的约有人，故D项错误.
故选：BC.
13．
【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果.
【详解】技术改造前，易知，
则其优品率为；
技术改造后，其中，
则其优品率为；
所以优品率之差为.
故答案为：
14．
【分析】列出分布列，根据均值公式得到，再利用乘“1”法即可求出最值.
【详解】设得分为，则
0 1 3
c b a
由均值为，且，
则，
当且仅当时等号成立．
故答案为：.
15．/
【分析】根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望即可.
【详解】取得红球数为可能为0，1，2，
则，，，
则随机变量的分布列为
0 1 2
所以.
故答案为：
16．
【分析】利用二项分布的期望和方差公式及正态分布的可求答案.
【详解】由题意,随机变量，其中
所以，
又因为且，由中心极限定理可知服从正态分布，
故答案为:.
17．(1)；
(2)分布列见解析，期望值为.
【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.
（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.
【详解】（1）令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是A，B都不达标的事件，
因此，
所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为.
（2）依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然，
因此，，，
，，
所以的概率分布为：
0 1 2 3 4
P
数学期望.
18．(1)，分布列见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先设小红共开了次盲盒，由，结合独立重复事件概率公式，即可求解概率，列出分布列和数学期望；
（2）根据（1）的结果求，并根据错位相减法求和，再根据求，即可证明不等式.
【详解】（1）设小红共开了次盲盒，由题意得小红开一次盲盒得到自己喜欢玩偶的概率，
记，，显然（题眼）．
当时，；
当时，．
因为，，所以，故的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
则的分布列如表所示：
0 1 2 3 4
．
（2）证明：由题知，
记，
则．
故
，
故，
故，
故．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，由的概率公式，得到的概率以及期望.
19．(1)28℃
(2)① 答案见解析；②
【分析】（1）根据频率分布直方图确定第60百分位数在内，再列式得解．
（2）①求出的可能值，由求出对应的概率，列出分布列．
②由求出，列出不等式组，求解即得．
【详解】（1）（1）设最低正常使用零下温度的第60百分位数为，
由直方图可知最低正常使用零下温度在的频率为0.4，
在的频率为0.65，因此最低正常使用零下温度的第60百分位数一定在内，
则有，解得，
所以最低正常使用零下温度的第60百分位数为28℃．
（2）①由题意可知的可能值是0,1,2,3，，
；
；
；
，
所以的分布列为
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
②由题意可知，设抽到类锂电池的数量为，则，
若抽到块的可能性最大，
则，，
即
即解得，
由于，故．
20．(1)
(2)分布列见解析，
(3)，理由见解析
【分析】（1）将的所有可能情况进行分类讨论，即可求得的表达式．
（2）易知X的可能取值为0，1，2，3，7，求出对应概率可得分布列和期望；
（3）依题意可知，若每次投进都得1分，利用二项分布可知，再结合比赛规则可得.
【详解】（1）摸奖5次得分为3分，有如下两种情形：
情形一，恰好两次中奖，且两次相邻；
情形二，恰好三次中奖，且任意两次都不相邻.
情形一发生的概率为.
情形二发生概率为，
所以；
（2）的可能取值为0，1，2，3，7，其中
，，
，，
所以的概率分布列为
X 0 1 2 3 7
P
所以.
（3）.理由如下：
记该同学摸奖30次中奖次数为，则.
若每次中奖都得1分，则得分的期望为.
由题中比赛规则可知连续中奖时，得分翻倍，
故实际总得分的期望必大于每次都得1分的数学期望.
所以.
21．(1)分布列见解析，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望即得.
（2）利用独立重复事件求出第次抽到第一个白球，第次抽到第二个白球的概率，再利用互斥事件的概率公式，结合等比数列前项和公式求出.
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
数学期望.
（2）设第次抽到第一个白球，则第次抽到第二个白球的概率为：
.
所以.
【点睛】思路点睛：求解应用问题思路：①认真审题，厘清已知条件中的信息；②分清所求与已知之间的关系；③注重对基本概念的理解，并加强知识间的整合能力，特别是加强对知识点交汇问题的求解能力，提升阅读理解能力.
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