课时1 基本计数原理
学习目标 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
学习活动
导入：本节我们开始学习新的一章内容，请同学们自行阅读本章导语，尝试回答下列问题： (1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集？ (2)由3个数字组成的密码锁，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？ (3)有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，则有多少种不同的站法？
目标一：通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 任务1：了解分类加法计数原理，知道能用其解决的问题所具有的特点. 问题1：已知某天从北京到上海的高铁有43班，动车有2班，其他列车有3班，小张想在这一天坐火车从北京到上海旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？ 问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车每日有1班，汽车每日有3班，轮船每日有2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢？ 思考：上述问题具有哪些共同的特点？ 【概念讲解】 分类加法计数原理： 任务2：应用分类加法计数原理解决问题，掌握利用分类加法计数原理计数时的解题步骤. 例1 在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子(如图所示)，要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？ 提示： （1）怎样用符号表示填涂结果？ （2）可以将填涂结果分类吗？ 【归纳总结】 利用分类加法计数原理计数时的解题步骤： 练一练： 某学生去书店,发现两本好书,决定至少买其中一本,其购买方法共有多少种？ 任务3：通过情境，了解分步乘法计数原理，知道能用其解决的问题所具有的特点. 情境：已知某公园的示意图如图所示，其中从西门到景点A共有3条不同的路，从景点A到东门共有2条不同的路.若某人从公园的西门进入公园后，想先去A景点游玩，然后从东门出公园. 只考虑路的选择，则有多少种不同的走法？ 问题：（1）上述问题是否可以利用分类加法计数原理计算？ （2）不同的走法如何表示比较简便？试用列举法和树状图法表示所有情况. 思考：情境中的问题具有什么特点？ 【归纳总结】 【概念讲解】 分步乘法计数原理： 任务4：应用分步乘法计数原理解决问题，掌握利用分类加法计数原理计数时的解题步骤. 例2 用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数？ 【归纳总结】 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 练一练： 一个袋子里装有7张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有8张不同的中国联通手机卡,某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后使用,则有多少种不同的取法？
目标二：能利用两个原理解决一些简单的实际问题 任务：知道分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系，会综合应用两种方法解决实际问题. 思考：分类加法计数原理和分步乘法计数原理有什么区别和联系？ 【归纳总结】 例3 某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从中选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？ 【归纳总结】 练一练： 如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “分类加法计数原理”、“分步乘法计数原理”
2课时1 基本计数原理
学习目标 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
学习活动
导入：本节我们开始学习新的一章内容，请同学们自行阅读本章导语，尝试回答下列问题： (1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集？ (2)由3个数字组成的密码锁，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？ (3)有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，则有多少种不同的站法？
目标一：通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 任务1：了解分类加法计数原理，知道能用其解决的问题所具有的特点. 问题1：已知某天从北京到上海的高铁有43班，动车有2班，其他列车有3班，小张想在这一天坐火车从北京到上海旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？ 参考答案：小张乘坐的列车可以分为3类，即高铁、动车或其他列车，其中任何一类的任何一辆车都可以让小张从北京到达上海，因此不同的选择有43+2+3=48种. 问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车每日有1班，汽车每日有3班，轮船每日有2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢？ 参考答案：从甲地到乙地可乘坐三类交通工具：火车、汽车或轮船，每类交通工具又各有若干班次，选择其中任何一类的任何一个班次都可以从甲地到达乙地，因此一天中不同的走法有1+3+2=6种. 思考：上述问题具有哪些共同的特点？ 参考答案： (1)完成一项任务有n类方案，这n类方案彼此之间是相互独立的； (2)每一类方案中的每一种方法都能单独完成这项任务； (3)把各类方案的方法数相加就可以得到完成这件事的所有方 法数. 【概念讲解】 分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法. 任务2：应用分类加法计数原理解决问题，掌握利用分类加法计数原理计数时的解题步骤. 例1 在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子(如图所示)，要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？ 提示： （1）怎样用符号表示填涂结果？ （2）可以将填涂结果分类吗？ 参考答案：用R表示红色，用B表示蓝色，RBRB表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色. 因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻. 涂红色的格子相邻的方法有：RRBB,BRRB,BBRR,共3种； 涂红色的格子不相邻的方法有：RBRB,BRBR,RBBR,共3种. 依据分类加法计数原理，李明共有3+3=6种不同的涂法. 【归纳总结】 利用分类加法计数原理计数时的解题步骤： 注意：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事 练一练： 某学生去书店,发现两本好书,决定至少买其中一本,其购买方法共有多少种？ 参考答案： 有两类不同的办法:买一本或两本,各类购买方法依次有2种或1种,故购买方法共有2+1=3种. 任务3：通过情境，了解分步乘法计数原理，知道能用其解决的问题所具有的特点. 情境：已知某公园的示意图如图所示，其中从西门到景点A共有3条不同的路，从景点A到东门共有2条不同的路.若某人从公园的西门进入公园后，想先去A景点游玩，然后从东门出公园. 只考虑路的选择，则有多少种不同的走法？ 问题：（1）上述问题是否可以利用分类加法计数原理计算？ （2）不同的走法如何表示比较简便？试用列举法和树状图法表示所有情况. 参考答案： 如果把从西门到景点A的三条路分别记为a1,a2,a3,把从景点A到东门的路记为b1,b2,用a1b1表示王瑞经a1到景点A，然后经b1到东门，因此不同的走法为a1b1，a1b1，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2.共有6种，即3×2=6. 思考：情境中的问题具有什么特点？ 【归纳总结】 上述问题具有的特点： (1)完成这件事需要若干个步骤，完成每个步骤又有若干种方法； (2)只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，每个步骤缺一不可； (3)把完成每个步骤的方法数相乘就可以得到完成这件事的所有方法数. 【概念讲解】 分步乘法计数原理： 完成一件事情，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同方法……做第n步有m种不同方法，那么完成这件事共有 种不同方法. 任务4：应用分步乘法计数原理解决问题，掌握利用分类加法计数原理计数时的解题步骤. 例2 用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数？ 参考答案： 排成一个三位数，可以分三步： 第一步：确定百位上的数字，共5种方法； 第二步：确定十位上的数字，共4种方法； 第三步：确定个位上的数字，共3种方法； 根据分步乘法计数原理：共有5×4×3=60个三位数. 【归纳总结】 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事． 练一练： 一个袋子里装有7张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有8张不同的中国联通手机卡,某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后使用,则有多少种不同的取法？ 参考答案： 由分步乘法计数原理知,有7×8=56种不同的取法.
目标二：能利用两个原理解决一些简单的实际问题 任务：知道分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系，会综合应用两种方法解决实际问题. 思考：分类加法计数原理和分步乘法计数原理有什么区别和联系？ 【归纳总结】 例3 某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从中选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？ 参考答案：按照选择的女同学人数分为两类情况： 第一类：2位都是女同学，只有1种选法； 第二类：只有1位女同学，可以分为两步完成： 第一步，先从2位女同学中选出1人，共2种选法； 第二步，再从3位男同学中选出1人，共3种选法. 根据分步乘法计数原理：共有2×3=6种方法. 综上，根据分类加法计数原理：不同的选法共有1+6=7种. 【归纳总结】 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰,也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题. 练一练： 如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 参考答案： 要从甲地到丙地共有两类不同的方案： 第一类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成： 第一步，从甲地到乙地，有3条公路可走； 第二步，从乙地到丙地，有2条公路可走． 根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6(种)不同的走法． 第二类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法． 由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8(种)不同的走法．
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “分类加法计数原理”、“分步乘法计数原理”
2
