课时7 二项式定理和杨辉三角
学习目标 1.掌握二项式系数的性质，会进行应用. 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明. 3.掌握二项式定理的应用.
学习活动
目标一：掌握二项式系数的性质，会进行应用 任务：完成下列问题，掌握二项式系数的性质 问题1：在二项式定理中， (1)令a=b=1； (2)令a=1,b=-1. 写出所得等式，你能得到什么结论？ 【归纳总结】 二项式系数的性质： 例1 已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求： (1)n的值； (2)展开式中含有x6的项和该项的二次项系数. 练一练： 已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8
目标二：了解杨辉三角，并能结合二项式系数的性质加以说明. 任务：观察杨辉三角，总结其规律. 当n依次取0,1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示： 这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”. 问题1：观察杨辉三角中的数，你能发现它们有哪些规律吗？试用组合数知识加以说明. 问题2：还可以发现，对于给定n，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.这一结论是否具有普遍性呢？试证明. 例2 已知展开式的二项式系数之和为128． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 【归纳总结】 练一练： 已知的展开式中，所有奇数项的系数和等于1024，求展开式中二项式系数最大的项.
目标三：掌握二项式定理的应用. 任务：请尝试完成下列问题，并归纳解决此类题的方法. 例3求证：9998-1能被100整除. 【归纳总结】 例4 当n是正整数且x>0时，求证：(1+x)n≥1+nx. 练一练： 1.用二项式定理证明10110-1能被10整除. 2.假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口大约为多少？
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “二项式系数的性质”“杨辉三角”
2二项式定理和杨辉三角
学习目标 1.掌握二项式系数的性质，会进行应用. 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明. 3.掌握二项式定理的应用.
学习活动
目标一：掌握二项式系数的性质，会进行应用 任务：完成下列问题，掌握二项式系数的性质 问题1：在二项式定理中， (1)令a=b=1； (2)令a=1,b=-1. 写出所得等式，你能得到什么结论？ 参考答案： (1)二项式定理中中，如果令a=b=1，则有 . (2)令a=1,b=-1，则有 得 【归纳总结】 二项式系数的性质： (1)二项展开式的二项式系数和为2n.即 . (2)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n-1.即 例1 已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求： (1)n的值； (2)展开式中含有x6的项和该项的二次项系数. 参考答案： （1）依题意可知2n=1024，因此n=10. （2）展开式的通项为 要使此项含有x6，必须有20–2k = 6，从而k=7， 因此含有x6的项为 该项的二项式系数是120. 练一练： 已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 参考答案： ∵(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为32， ∴ 解得n=5.故选A.
目标二：了解杨辉三角，并能结合二项式系数的性质加以说明. 任务：观察杨辉三角，总结其规律. 当n依次取0,1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示： 这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”. 问题1：观察杨辉三角中的数，你能发现它们有哪些规律吗？试用组合数知识加以说明. 参考答案： 杨辉三角至少具有以下性质： (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； 说明：由组合数性质可知， ,所以每一行的数都是对称的，两端的数分别是，显然二者均为1. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 说明：由组合数性质可知. 问题2：还可以发现，对于给定n，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.这一结论是否具有普遍性呢？试证明. 参考答案： 假设，则 ， 化简可得，从而有. 所以利用二项式系数的对称性可知，二项式系数 是先逐渐变大，再逐渐变小的.当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 例2 已知展开式的二项式系数之和为128． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 参考答案： (1)由已知可得2n=128，解得n=7； (2)因为n=7，所以展开式中的二项式系数最大项为： 【归纳总结】 求二项式系数的最大项的方法： (1)当n为偶数时,中间一项，即项的二项式系数最大. (2)当n为奇数时,中间两项，即项，第项的二项式系数相等且最大. 练一练： 已知的展开式中，所有奇数项的系数和等于1024，求展开式中二项式系数最大的项. 参考答案： 展开式的所有奇数项的系数和等于，， 故展开式中二项式系数最大项为第6项或第7项， 即，．
目标三：掌握二项式定理的应用. 任务：请尝试完成下列问题，并归纳解决此类题的方法. 例3求证：9998-1能被100整除. 参考答案： 证明：因为9998-1=(100-1)98-1，由二项式定理可知 上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，由此可知，9998-1能被100整除. 【归纳总结】 利用二项式定理解决整除问题的基本做法：进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可. 因此，一般要将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用配凑法、消去法等. 注意：(1)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开； (2)要注意余数的范围，a=c· r+b，r是除数，b为余数，b∈[0，r)，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化. 例4 当n是正整数且x>0时，求证：(1+x)n≥1+nx. 参考答案： 证明：由二项式定理可知 因为x > 0，所以上式右边的项都是正数， 从而可知 练一练： 1.用二项式定理证明10110-1能被10整除. 参考答案： 证明：因为10110-1=(100+1)10-1，由二项式定理可知. ， 在右边的展开式中，前面10项都是10的倍数，最后一项为1,此可知10110-1能被10整除. 2.假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口大约为多少？ 参考答案： 由题意得6年后人口为 100(1+1.2%)6≥100(1+6×1.2%)=107.2， 因为(1.2)n在n≥2时都是很小的数， 因此100(1+1.2%)6≈107.2.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “二项式系数的性质”“杨辉三角”
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