随机变量的数字特征
学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 2.能利用随机变量的均值解决一些简单的实际问题.
学习活动
目标一：通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 任务1：类比样本均值，理解离散型随机变量的均值. 一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元. 设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么 问题： 1.如果重复这个创业项目n次，那么成功和失败的次数分别是多少？平均收益是多少？此时p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？ 参考答案： 项目成功的概率为p，则成功次数估计为np，失败次数估计为n-np=n(1-p). 因此在这n次试验中，投资方收益(单位：万元)的n个数据可以估计为 这一组数的平均数为 因为上述平均数体现的是平均收益，所以当 5000p+(-3000)(1-p)>0， 即p>0.375时，就应该对创业项目进行资助. 2.设投资公司的收益为X，试列出随机变量X的分布列.你有什么发现？ 参考答案： 随机变量X的分布列如下 X5000-3000Pp1-p
由上面的分析可知，式子5000p+(-3000)(1-p)刻画了X取值的平均水平. 【概念讲解】 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
则称 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). 离散型随机变量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻画了X的平均取值. 例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望. 参考答案： 取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为 随机变量ξ的分布列为 所以 【归纳总结】 求离散型随机变量X的均值的步骤： (1)确定随机变量X的所有可能的取值； (2)求出随机变量取各个值时对应的概率； (3)利用公式求出均值. 练一练 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值. 参考答案： (1)X的所有可能取值为1，2，3，则 抽取次数X的分布列为 所以 任务2：小组讨论，推导具有线性关系的两个随机变量均值之间的关系 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量. (1)列出Y的分布列，那么E(Y)如何表示？ (2)E(Y)与E(X)有什么联系？ 参考答案： (1)随机变量Y的分布列为 (2)若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b(a≠0),则由X与Y之间分布列的关系可知 练一练 设ξ的分布列为 ξ1234P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( ) A. B. C. D. 参考答案： E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝. 故选D. 任务3：掌握二项分布的均值，了解超几何分布的均值. 例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X). 参考答案： 随机变量X服从参数为p的两点分布，其分布列如下 X10Pp1-p
所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p. 【归纳总结】 随机变量X均值公式服从参数为p的两点分布E(X)=p二项分布X~N(n，p)E(X)=np超几何分布X~H(N，n，M)
练一练 某运动员投篮命中率为p＝0.6. ①求投篮1次时命中次数X的均值； ②求重复5次投篮时，命中次数Y的均值． 参考答案： ①投篮1次，命中次数X的分布列如下表： X01P0.40.6
则E(X)＝0.6. ②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即 Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
目标二：能利用随机变量的均值解决一些简单的实际问题. 任务:完成下列例题，会用数学期望(均值)解决一些简单的实际问题. 例3 体检时，为了确定体检人员是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. 问题： (1)若选择方案乙中，化验次数的可能取值为多少？ (2)哪种化验方案更好？如何比较？ (3)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用. 参考答案： (1)方案甲中，化验的次数一定为5次. 方案乙中，若化验次数为X，则X的取值范围是{1，6}， (2)方案乙中，因为5人都不患病的概率为(1-0.1)5=0.59049， 所以 P(X=1)=0.59049，P(X=6)=1-0.59049=0.40951， 从而 E(X)=1×0.59049+6×0.40951=3.04755. 方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好. (3)若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y=100X，则 E(Y)=100E(X)=304.755. 即方案乙的平均化验费用为304.755元. 【归纳总结】 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化. (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值. (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “随机变量的均值”“常见分布的均值”“均值的性质”
2随机变量的数字特征
学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 2.能利用随机变量的均值解决一些简单的实际问题.
学习活动
目标一：通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 任务1：类比样本均值，理解离散型随机变量的均值. 一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元. 设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么 问题： 1.如果重复这个创业项目n次，那么成功和失败的次数分别是多少？平均收益是多少？此时p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？ 2.设投资公司的收益为X，试列出随机变量X的分布列.你有什么发现？ 【概念讲解】 离散型随机变量X的均值或数学期望 例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望. 【归纳总结】 练一练 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值. 任务2：小组讨论，推导具有线性关系的两个随机变量均值之间的关系 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量. (1)列出Y的分布列，那么E(Y)如何表示？ (2)E(Y)与E(X)有什么联系？ 练一练 设ξ的分布列为 ξ1234P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( ) A. B. C. D. 任务3：掌握二项分布的均值，了解超几何分布的均值. 例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X). 【归纳总结】 练一练 某运动员投篮命中率为p＝0.6. ①求投篮1次时命中次数X的均值； ②求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．
目标二：能利用随机变量的均值解决一些简单的实际问题. 任务:完成下列例题，会用数学期望(均值)解决一些简单的实际问题. 例3 体检时，为了确定体检人员是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. 问题： (1)若选择方案乙中，化验次数的可能取值为多少？ (2)哪种化验方案更好？如何比较？ (3)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用. 【归纳总结】
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “随机变量的均值”“常见分布的均值”“均值的性质”
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