随机变量的数字特征
学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握二项分布的方差. 2.能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题.
学习活动
目标一：通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，能掌握其性质. 任务1：类比样本方差，理解离散型随机变量的方差和标准差. 情境：某省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加全国运动会(简称“全运会”)，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下 甲的环数X18910P0.20.60.2
乙的环数X28910P0.40.20.4
1.试根据分布列求出X1、X2的均值，由此可以决定选谁参加全运会吗？ 2.由(1)可知，仅从平均水平的角度考虑，是不能决定选谁参加，怎样来衡量它们的稳定性呢？ 提示：设甲、乙两人每人都重复设计足够多次(设为n次)，求两组数的方差. 【概念讲解】 离散型随机变量X的方差： 离散型随机变量X的标准差： 例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小质地相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差. 【归纳总结】 练一练 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列、均值和方差. 任务2：小组讨论，推导具有线性关系的两个随机变量方差之间的关系 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b. (1)D(X),D(Y)如何表示？ (2)D(Y)与D(X)之间有什么联系？ 思考：(1)若Y=aX，D(Y)与D(X)有什么关系？ (2)若Y=X+b，D(Y)与D(X)有什么关系？ 【归纳总结】 离散型随机变量的方差的性质： 练一练 已知随机变量X满足E(1-X)=5，D(1-X)=5，则下列说法正确的是( ) A.E(X)=-5,D(X)=5 B.E(X)=-4,D(X)=-4 C.E(X)=-5,D(X)=-5 D.E(X)=-4,D(X)=5 任务3：掌握两点分布和二项分布的方差. 例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求D(X). 【归纳总结】 两点分布与二项分布的方差 例2 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数. (1)求D(X)； (2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y). 【归纳总结】 练一练 某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．
目标二：能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题. 任务：利用离散型随机变量的方差解决一些实际问题 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好). 【归纳总结】
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “随机变量的方差与标准差”“方差的性质” “两点分布和二项分布的方差”
2随机变量的数字特征
学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握二项分布的方差. 2.能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题.
学习活动
目标一：通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，能掌握其性质. 任务1：类比样本方差，理解离散型随机变量的方差和标准差. 情境：某省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加全国运动会(简称“全运会”)，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下 甲的环数X18910P0.20.60.2
乙的环数X28910P0.40.20.4
1.试根据分布列求出X1、X2的均值，由此可以决定选谁参加全运会吗？ 参考答案： E(X1)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9， E(X2)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9， 所以E(X1)=E(X2)， 即从平均水平的角度，是不能决定选谁参加的. 2.由(1)可知，仅从平均水平的角度考虑，是不能决定选谁参加，怎样来衡量它们的稳定性呢？ 提示：设甲、乙两人每人都重复设计足够多次(设为n次)，求两组数的方差. 参考答案： 设甲、乙两人每人都重复设计足够多次(设为n次)， 甲所得环数可估计为 乙所得环数可估计为 两组数据的平均数均为9，则甲这组数据的方差为 类似地，乙这组数的方差为 由于0.4<0.8,因此可以认为甲的发挥更稳定，从这一角度来说，应该排甲参加全运会. 【概念讲解】 如果设离散型随机变量X的分布列如下表所示: Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
因为X的均值为E(X)，所以 能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差. 离散型随机变量X的方差D(X)也可以用DX表示.一般地，称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小). 例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小质地相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差. 参考答案: X可能取值为1，2，3，4，5. 所以X的分布列为 X012345P0.20.20.20.20.20.2
由定义知，E(X)=0.2×(1+2+3+4+5)=3. D(X)=0.2×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2. 【归纳总结】 求离散型随机变量X的方差的一般步骤： (1)确定随机变量的所有可能的取值； (2)求出随机变量各个取值对应的概率； (3)利用公式求出方差. 练一练 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列、均值和方差. 参考答案： ξ可能取值为0，1，2，3，4. ξ的分布列为 ξ01234P
则 任务2：小组讨论，推导具有线性关系的两个随机变量方差之间的关系 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b. (1)D(X),D(Y)如何表示？ (2)D(Y)与D(X)之间有什么联系？ 参考答案： , 思考：(1)若Y=aX，D(Y)与D(X)有什么关系？ (2)若Y=X+b，D(Y)与D(X)有什么关系？ 参考答案： (1) (2) 【归纳总结】 离散型随机变量的方差的性质： 特别的 (1)当a=1，D(X+b)=D(X); (2)当b=0，D(aX)=a2D(X); (3)当a，b均为非零常数时，随机变量Y=aX+b，则D(aX+b)=a2D(X). 练一练 已知随机变量X满足E(1-X)=5，D(1-X)=5，则下列说法正确的是( ) A.E(X)=-5,D(X)=5 B.E(X)=-4,D(X)=-4 C.E(X)=-5,D(X)=-5 D.E(X)=-4,D(X)=5 参考答案： 已知E(1-X)=5，D(1-X)=5，根据均值和方差的性质可得1-E(X)=5，D(X)=5，解得E(X)=-4，D(X)=5. 故选D. 任务3：掌握两点分布和二项分布的方差. 例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求D(X). 参考答案： 因为X只能取1,0这两个值，而且 P(X=1)=p，P(X=0)=1-p， 其分布列如下 X10Pp1-p
所以E(X)=p，D(X)=(1-p)2×p+(0-p)2×(1-p)=p(1-p). 【归纳总结】 两点分布与二项分布的方差 XX服从两点分布X～B(n，p)D(X)p(1－p) (其中p为成功概率)np(1－p)
例2 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数. (1)求D(X)； (2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y). 参考答案： (1) 因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即 X~B(50，0.02)， 所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98. (2) D(Y) =D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98. 【归纳总结】 两点分布与二项分布方差的计算步骤 (1)判断：判断随机变量服从什么分布. (2)计算：直接代入相应的公式求解方差. 练一练 某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差． 参考答案： (1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1. ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98， 所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196. (2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)， 所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196， 标准差为
目标二：能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题. 任务：利用离散型随机变量的方差解决一些实际问题 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好). 参考答案： E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125. E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125. D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50. D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165. 由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “随机变量的方差与标准差”“方差的性质” “两点分布和二项分布的方差”
2
