一元线性回归模型
学习目标 1.结合直线方程的性质，了解回归直线方程的性质及模型参数的统计意义，会用回归模型对实际问题进行预测. 2.结合具体实例，了解样本相关系数的统计含义，会通过相关系数判断样本数据的相关性.
学习活动
目标一：结合直线方程的性质，了解回归直线方程的性质及模型参数的统计意义，会用回归模型对实际问题进行预测. 任务1：能结合直线方程的性质分析回归直线方程的性质. 假设y与x具有相关关系，而且回归直线方程为， 问题： (1)将代入回归直线方程，当时，的值为多少？ 参考答案： 将代入后，整理可得 当时， 这说明回归直线一定过点. (2)一次函数的单调性由谁决定？此函数的单调性与正相关、负相关之间有怎样的联系？ 参考答案： 一次函数的单调性由 的符号决定，函数递增的充要条件是，这说明：y与x正相关的充要条件是;y与x负相关的充要条件是. (3)通过计算说明，当x每增大一个单位时，将如何变化？ 参考答案： 如果和都是回归直线上的点，则 可得，这就说明，若x2-x1=1,则 即：当x增大一个单位时，增大个单位. 练一练 已知x，y的几组对应数据如下表： x4567y344.55.5
且这组数据具有线性相关关系，通过线性回归分析求得其回归直线的斜率为0.8，则这组数据的回归直线方程是( ) A. B. C. D. 参考答案： 设回归直线方程为，由题意得，代入回归直线方程可得，则.故选D. 任务2：会用回归模型对实际问题进行统计推断或结果解释. 例1 如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示. 已知y与x线性相关： (1)判断正相关还是负相关； (2)求出y关于x的回归直线方程； (3)该同学的数学成绩每提高3分，物理成绩估计能提高多少分？ 参考答案： (1)根据数据可作出散点图，如图所示. 从图上可以直观地看出，y与x正相关. (2)将每个x的值都减去80可得-4，2，-8，7，13，-2，9，-14，1，-4.这些数字的平均数为0，因此 将每个y的值都减去80可得0，7，-5，6，20，-1，13，-12，5，-3.这些数字的平均数为3，因此 通过列表计算可得 因此 回归直线方程为 (3)由回归系数可知，x每增大1个单位时， 增大1.1个单位.因此，数学成绩每提高3分，物理成绩估计能提高的分值为 1.1×3=3.3. 【归纳总结】 求线性回归方程的步骤： (1)画出散点图．从直观上分析数据间是否存在线性相关关系． (2)计算等相关数据． (3)代入公式求出中参数的值． (4)写出回归方程并对实际问题作出估计． 练一练 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据： x681012y2356
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； (3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力． 参考答案： (1)把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．如图所示： 故线性回归方程为 (3)由回归直线方程，当x=9时，， 所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4．
目标二：结合具体实例，了解样本相关系数的统计含义，会通过相关系数判断样本数据的相关性. 任务1：结合具体实例，了解样本相关系数的统计含义. 如下是某班级学生数学成绩与英语成绩的对应表. 问题： (1)根据以上数据作出散点图，如图1，与图2对比，相较这个班级的数学和物理成绩而言，哪两个变量的线性相关关系更强呢？ 图1 图2 参考答案： 直观上可以看出，相对于数学成绩与物理成绩来说，数学成绩与英语成绩之间线性相关关系要弱一些； (2)通过散点图可以直观判断两个变量的相关程度，但是无法量化两个变量之间相关程度的大小.那该怎样来刻画两个变量之间线性相关关系的强弱呢？ 提示：以为原点，建立新的平面直角坐标系x O y ，若如果y与x正相关，则回归直线经过哪几个象限？此时点的分布有何特点？ 参考答案： 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，作出成对数据的散点图以及回归直线，并且标出点，以为原点，建立新的平面直角坐标系x O y ，则回归直线在x O y 中是过原点的，而且： 如果y与x正相关，则回归直线过x O y 的一、三象限； 如果y与x负相关，则回归直线过x O y 的二、四象限. 因此，从直观上可知，如果y与x正相关(或负相关)，那么成对数据中，在x O y 的一、三象限(或二、四象限)内的点越多，y与x的线性相关关系可能会越强. (xi，yi)在x O y 中的坐标为， 若点在一、三象限，则 若点在二、四象限，则 因此可用含有的量来判定y与x的线性相关性强弱. 思考：分别计算出两组成对数据所对应的量的结果，作出两组成对数据对应的散点图，由此你能得出什么结论？ 参考答案： 两者数据相差较大； 根据上述两组成对数据得散点图及回归直线方程如下， (1) (2) 由图可知，它们的线性相关程度差不多. 因此直接用来衡量y与x的线性相关性强弱并不合适. 【概念讲解】 相关系数 注意到现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用 来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数). 问题2：结合散点图，相关系数r的大小与两个变量的线性相关程度有什么关系呢？相关系数r具有哪些性质？ r1≈0.21 r2≈0.73 r3≈-0.97 【归纳总结】 可以证明，相关系数r具有以下性质： (1)y与x正相关的充要条件是r>0； y与x负相关的充要条件是r<0 (2)|r|≤1 当|r|越接近1时成对数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时成对数据的线性相关程度越弱. (3)当|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 在统计学中，通常认为当0.75≤|r|≤1时，两个变量有较强的线性相关关系. 任务2：结合具体实例，会通过相关系数判断样本数据的相关性. 例1 某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示. (1)计算出y与x之间的相关系数(精确到0.01)，并求出y关于x的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第8年和第9年的利润. 参考答案： (1)可求得列表计算得 因此 回归直线方程为 (2)在回归方程中令x=8得， . 所以预测第8年的利润为6.3亿元. 类似地，可预测第9年的利润为6.8亿元. 【归纳总结】 利用线性回归分析方法解决实际问题的基本步骤是： (1) 判断变量y与x之间是否具有线性相关关系； (2) 若可能具有线性相关关系，则计算相关系数，衡量其线性相关关系的强弱； (3) 根据公式求出y关于x的回归直线方程； (4) 依据回归直线方程做出统计推断或结果解释. 练一练 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2018年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据： 月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型y与x的关系，请用相关系数r加以说明(系数精确到0.001)； (2)建立y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001)；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入费用多少万元(结果精确到0.01) 参考数据：，，，，， 其中xi、yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i=1，2，3，...，8． 参考答案： (1)根据数据绘制散点图如下， 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系； 计算， ， ∴相关系数， 由相关系数的值接近于1，说明变量y与x的线性相关性很强； (2)计算， ， ∴y关于x的回归方程为； 令，解得； 即实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用24.70万元．
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “回归直线方程的性质”“相关系数”
2一元线性回归模型
学习目标 1.结合直线方程的性质，了解回归直线方程的性质及模型参数的统计意义，会用回归模型对实际问题进行预测. 2.结合具体实例，了解样本相关系数的统计含义，会通过相关系数判断样本数据的相关性.
学习活动
目标一：结合直线方程的性质，了解回归直线方程的性质及模型参数的统计意义，会用回归模型对实际问题进行预测. 任务1：能结合直线方程的性质分析回归直线方程的性质. 假设y与x具有相关关系，而且回归直线方程为， 问题： (1)将代入回归直线方程，当时，的值为多少？ (2)一次函数的单调性由谁决定？此函数的单调性与正相关、负相关之间有怎样的联系？ (3)通过计算说明，当x每增大一个单位时，将如何变化？ 练一练 已知x，y的几组对应数据如下表： x4567y344.55.5
且这组数据具有线性相关关系，通过线性回归分析求得其回归直线的斜率为0.8，则这组数据的回归直线方程是( ) A. B. C. D. 任务2：会用回归模型对实际问题进行统计推断或结果解释. 例1 如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示. 已知y与x线性相关： (1)判断正相关还是负相关； (2)求出y关于x的回归直线方程； (3)该同学的数学成绩每提高3分，物理成绩估计能提高多少分？ 【归纳总结】 求线性回归方程的步骤： 练一练 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据： x681012y2356
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； (3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
目标二：结合具体实例，了解样本相关系数的统计含义，会通过相关系数判断样本数据的相关性. 任务1：结合具体实例，了解样本相关系数的统计含义. 如下是某班级学生数学成绩与英语成绩的对应表. 问题： (1)根据以上数据作出散点图，如图1，与图2对比，相较这个班级的数学和物理成绩而言，哪两个变量的线性相关关系更强呢？ 图1 图2 (2)通过散点图可以直观判断两个变量的相关程度，但是无法量化两个变量之间相关程度的大小.那该怎样来刻画两个变量之间线性相关关系的强弱呢？ 提示：以为原点，建立新的平面直角坐标系x O y ，若如果y与x正相关，则回归直线经过哪几个象限？此时点的分布有何特点？ 思考：分别计算出两组成对数据所对应的量的结果，作出两组成对数据对应的散点图，由此你能得出什么结论？ 【概念讲解】 相关系数 问题2：结合散点图，相关系数r的大小与两个变量的线性相关程度有什么关系呢？相关系数r具有哪些性质？ r1≈0.21 r2≈0.73 r3≈-0.97 【归纳总结】 任务2：结合具体实例，会通过相关系数判断样本数据的相关性. 例1 某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示. (1)计算出y与x之间的相关系数(精确到0.01)，并求出y关于x的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第8年和第9年的利润. 【归纳总结】 练一练 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2018年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据： 月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型y与x的关系，请用相关系数r加以说明(系数精确到0.001)； (2)建立y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001)；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入费用多少万元(结果精确到0.01) 参考数据：，，，，， 其中xi、yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i=1，2，3，...，8．
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “回归直线方程的性质”“相关系数”
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