复习课 概率与统计
学习目标 1.查阅教材，建构单元知识体系. 2.能利用相关概率公式，解决相关概率问题. 3.会求离散型随机变量的分布列、期望与方差. 4.会利用正态分布解决相关问题. 5.会利用统计模型对两个随机变量相关性和独立性进行研究.
学习活动
目标一：完成本单元知识体系构建. 任务：思考下列问题，构建知识框图. 1.事件的独立性与条件概率有怎样的关系？ 2.二项分布和超几何分布有何特征？其概率公式分别是什么？ 3.离散型随机变量的数学期望(均值)和方差有什么性质？ 4.两点分布、二项分布的数学期望(均值)和方差分别如何表示？超几何分布的数学期望如何表示？ 5.正态分布密度曲线有哪些性质？什么是“3σ”原则？ 6.如何判断两个变量是否相关及相关程度如何？ 7.独立性检验的基本思想是什么？ 【归纳总结】
目标二：能利用相关概率公式，解决相关概率问题. 条件概率公式：； 乘法公式：P(BA)=P(A)P(B|A)； 全概率公式： 任务：求解下列问题，并简要说说解题方法. 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求: (1)第1次抽到理科题的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率. 参考答案： 设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB. (1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的样本点数为. 又 . 于是 (2)因为 所以 (3)法一:由(1)(2)可知, 法二:因为n(AB)=6,n(A)=12, 所以 【归纳总结】 求条件概率的的方法： (1)定义法:计算P(A),P(AB),利用求解. (2)直接法:利用求解. 其中方法(2)常用于古典概型的概率计算问题. 练一练： 抛掷5枚硬币,在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下,求正面朝上数恰好是3枚的概率. 参考答案： 记：“至少出现2枚正面朝上”为事件A，“恰好出现3枚正面朝上”为事件B，事件A包含的样本点的个数为 ， 事件B包含的样本点的个数为 法二： 故
目标三：会求离散型随机变量的分布列、均值与方差. 离散型随机变量X的分布列如下表所示： 则 随机变量X均值方差服从参数为p的两点分布E(X)=pp(1－p)二项分布X~N(n,p)E(X)=npnp(1－p)超几何分布X~H(N,n,M)
任务：完成下列问题，归纳求均值与方差的步骤. 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字). (1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列； (2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ). 参考答案： 由已知，随机变量η的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0，则η0的分布列为 η0123P
所以 故η的分布列为 η23456P
(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p，由(1)知，p＝. 因为随机变量 所以E(ξ)＝np＝10×＝，D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝. 【归纳总结】 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)由分布列和均值、方差的定义求出E(X)、D(X)； 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 练一练： 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？ 参考答案： 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)， 由已知 ∵E(2X1)>E(3X2)， ∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大.
目标四：会利用正态分布解决相关问题. X的概率密度函数：. 正态分布函数：X~N(μ，σ2). 任务：根据正态分布在三个特殊区间上的概率及对称性，解决相关问题. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上的学生有12人. (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？ (2)若成绩在80分以上为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 参考答案： (1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)， 所以μ＝70，σ＝10. 12÷0.023≈522(人). 因此，此次参赛学生的总数约为522人. (2) 522×0.158 5≈83(人). 因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人. 【归纳总结】 正态分布的概率求法 (1)利用“3σ”原则,记住正态总体在三个区间内取值的概率. (2)利用数形结合.由于正态分布密度曲线具有对称性,因此常结合图象,利用对称性,解决某一区间内的概率. (3)①P(X
μ+a)； ③若b<μ，则P(X<μ-b)=(1-P(μ-b目标五：会利用统计模型对两个随机变量相关性和独立性进行研究. 回归直线方程：，其中 相关系数： 任务1：会用一元线性回归分析的方法对实际问题做出预测和分析. 一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格： 人数xi10152025303540件数yi471215202327
其中i＝1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天进店人数为横坐标，每天商品销售件数为纵坐标，画出散点图； (2)求回归直线方程(结果保留到小数点后两位)； (3)预测进店人数为80时商品销售的件数(结果保留整数). 参考答案： (1)由表中数据，画出7个数据点， 可得散点图如图所示. (2) ∴回归直线方程是 (3)进店人数为80时，商品销售的件数＝0.78×80－4.02≈58(件). 【归纳总结】 解决回归分析问题的一般步骤： 练一练： 某地搜集到的新房屋的销售价格(单位：万元)和房屋面积(单位：m2)的数据如下表： (1)画出数据对应的散点图； (2)求回归直线方程； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格(精确到0.1万元) 参考答案： (1)设x轴表示房屋的面积，y轴表示销售价格，数据对应的散点图如图. (2)由(1)知y与x具有线性相关关系，可设其回归直线方程为 ，依据题中的数据，可得出 (3)由(2)知当x＝150时，销售价格的估计值为＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442 ≈31.2(万元). 故当房屋面积为150 m2时，估计销售价格是31.2万元. 任务2：能运用2×2列联表解决独立性检验的简单实际问题. 应用独立性检验解题的原理： (1)独立性检验和反证法都是先假设结论不成立，然后根据是否能推出“矛盾”来判断结论是否成立. (2)要判断“两个分类变量有关”这一结论的可信程度，首先假设结论不成立，即假设“两个分类变量无关”成立，在该假设下构造的统计量χ2应该很小.若由样本数据计算得到的χ2值很大，则在一定程度上说明假设不合理，即认为“两个分类变量有关”；或者χ2值很小，则说明在样本数据中有发现足够证据拒绝假设. 2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举．某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40人，其他的不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其他的不喜欢数学． (1)请完成下面2×2列联表； 喜欢数学不喜欢数学合计男生女生合计
(2)根据2×2列联表，判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？ 参考公式：，其中． 临界值表： 0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828
参考答案： (1)2×2列联表如图所示： 喜欢数学不喜欢数学合计男生401555女生202545合计6040100
(2)由参考公式可得：， 则由临界值表可得：有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关． 【归纳总结】 独立性检验一般步骤 (1)提出假设：两个分类变量之间没有关系； (2)列表求值：根据2×2列联表计算χ2的值； (3)比较判断：比较χ2的值与显著性水平α对应的分位数k的大小关系做统计推断． 练一练： 2022年某公司为了提升产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了创新研发和市场开拓，经过一段时间的运营后，统计得到创新研发和市场开拓的总投入x(单位：百万元)与收益y(单位：百万元)之间的五组数据如下表： 123451011142520
(1)请判断收益y与总投入x的线性相关程度，求相关系数r的大小(精确到0.01)； (2)该公司对该产品的满意度进行了调研，得到部分调查数据如下表： 满意不满意总计男5418女36总计9060150
问：消费者满意程度是否与性别有关？ 临界值表： 0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828
参考数据：． 参考答案： (1)由表中数据可得， ， ， 则 ， 故相关系数r的大小约为0.84． (2)2×2列联表如下： 满意不满意总计男541872女364278总计9060150
， 有99.9%的把握认为消费者满意程度与性别有关．
学习总结
任务：本单元我们收获了什么？还存在哪些疑惑呢？
2复习课 概率与统计
学习目标 1.查阅教材，建构单元知识体系. 2.能利用相关概率公式，解决相关概率问题. 3.会求离散型随机变量的分布列、期望与方差. 4.会利用正态分布解决相关问题. 5.会利用统计模型对两个随机变量相关性和独立性进行研究.
学习活动
目标一：完成本单元知识体系构建. 任务：思考下列问题，构建知识框图. 1.事件的独立性与条件概率有怎样的关系？ 2.二项分布和超几何分布有何特征？其概率公式分别是什么？ 3.离散型随机变量的数学期望(均值)和方差有什么性质？ 4.两点分布、二项分布的数学期望(均值)和方差分别如何表示？超几何分布的数学期望如何表示？ 5.正态分布密度曲线有哪些性质？什么是“3σ”原则？ 6.如何判断两个变量是否相关及相关程度如何？ 7.独立性检验的基本思想是什么？ 【归纳总结】
目标二：能利用相关概率公式，解决相关概率问题. 条件概率公式：； 乘法公式：P(BA)=P(A)P(B|A)； 全概率公式： 任务：求解下列问题，并简要说说解题方法. 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求: (1)第1次抽到理科题的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率. 【归纳总结】 练一练： 抛掷5枚硬币,在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下,求正面朝上数恰好是3枚的概率.
目标三：会求离散型随机变量的分布列、均值与方差. 离散型随机变量X的分布列如下表所示： 则 随机变量X均值方差服从参数为p的两点分布二项分布X~N(n,p)超几何分布X~H(N,n,M)
任务：完成下列问题，归纳求均值与方差的步骤. 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字). (1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列； (2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ). 【归纳总结】 练一练： 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
目标四：会利用正态分布解决相关问题. X的概率密度函数：. 正态分布函数： 任务：根据正态分布在三个特殊区间上的概率及对称性，解决相关问题. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上的学生有12人. (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？ (2)若成绩在80分以上为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 【归纳总结】 练一练： 工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布，则在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？
目标五：会利用统计模型对两个随机变量相关性和独立性进行研究. 回归直线方程： 相关系数： 任务1：会用一元线性回归分析的方法对实际问题做出预测和分析. 一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格： 人数xi10152025303540件数yi471215202327
其中i＝1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天进店人数为横坐标，每天商品销售件数为纵坐标，画出散点图； (2)求回归直线方程(结果保留到小数点后两位)； (3)预测进店人数为80时商品销售的件数(结果保留整数). 【归纳总结】 练一练： 某地搜集到的新房屋的销售价格(单位：万元)和房屋面积(单位：m2)的数据如下表： (1)画出数据对应的散点图； (2)求回归直线方程； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格(精确到0.1万元) 任务2：能运用2×2列联表解决独立性检验的简单实际问题. 应用独立性检验解题的原理： 2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举．某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40人，其他的不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其他的不喜欢数学． (1)请完成下面2×2列联表； 喜欢数学不喜欢数学合计男生女生合计
(2)根据2×2列联表，判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？ 参考公式：，其中． 临界值表： 0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828
【归纳总结】 独立性检验一般步骤 练一练： 2022年某公司为了提升产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了创新研发和市场开拓，经过一段时间的运营后，统计得到创新研发和市场开拓的总投入x(单位：百万元)与收益y(单位：百万元)之间的五组数据如下表： 123451011142520
(1)请判断收益y与总投入x的线性相关程度，求相关系数r的大小(精确到0.01)； (2)该公司对该产品的满意度进行了调研，得到部分调查数据如下表： 满意不满意总计男5418女36总计9060150
问：消费者满意程度是否与性别有关？ 临界值表： 0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828
参考数据：．
学习总结
任务：本单元我们收获了什么？还存在哪些疑惑呢？
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