高考数学专题六解析几何　微专题37　离心率的范围问题 课件(共62张PPT)

(共62张PPT)
专题六　解析几何
微专题37
离心率的范围问题
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
典例1　
考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率
√
假设|MF1|>|MF2|，
所以由椭圆、双曲线定义得
所以在△MF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理得
依题意可知，直线l的斜率存在且不为0，不妨设直线l的斜率为正数，如图，
过B作BC与抛物线的准线垂直，垂足为C，
根据抛物线的定义可知|BF|＝|BC|，
所以|AB|＝k|BF|＝k|BC|，
所以tan∠ABC∈[1，＋∞)，即直线l的斜率的取值范围为[1，＋∞)，
跟踪训练1　
√
√
由已知可得|MF2|－|MF1|＝2a，若|MF2|＋|MN|>4b，
即|MF1|＋|MN|＋2a>4b，左支上的点M均满足|MF2|＋|MN|>4b，
如图所示，当点M位于H点时，|MF1|＋|MN|最小，
∴3b2－8ab＋4a2>0，
∴(2a－b)(2a－3b)>0，
∴2a>3b或2a∴4a2>9b2或4a2典例2　(1)已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率范围
[2，＋∞)
依题意，不妨设P点为双曲线的右支上的一点，F1为左焦点，F2为右焦点，
整理得c2－2ac－a2<0，
跟踪训练2　
√
不妨设P(3，t)(t>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
设直线PF1倾斜角为α，直线PF2倾斜角为β，
考点三　利用几何图形的性质求离心率范围
典例3　(1)(2023·重庆模拟)已知P为圆C：x2＋y2－6y＝40上一点，椭圆M：
(a>b>0)的焦距为6，点P关于直线x－y＝0的对称点在椭圆M上，
则椭圆离心率的取值范围为________.
圆C：x2＋(y－3)2＝49关于直线x－y＝0对称的圆为(x－3)2＋y2＝49，
又椭圆的右焦点(3,0)是圆的圆心，
所以a＋c≥7，且a－c≤7，
又c＝3，
√
设以F2(c,0)圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx－ay＝0交于A，B两点，
可得4a2－4b2>c2＝a2＋b2，
即3a2>5b2＝5c2－5a2，可得5c2<8a2，
跟踪训练3　(1)已知椭圆C： (a>b>0)的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若∠AFB≥150°，则C的离心率的取值范围为
________________.
如图，设椭圆的右焦点为F′，连接AF′，BF′，
∵AB，FF′互相平分，
∴四边形AF′BF为平行四边形，
∴∠AFB＋∠FBF′＝180°，
∵∠AFB≥150°，∴∠FBF′≤30°，
由条件知，当B在短轴端点(不妨取上端点B1)时，∠FBF′最大，
此时在Rt△B1OF′中，∠OB1F′＝15°，
(2)已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以原点为圆心，|OF1|为半径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为_____________.
设直线PF1的方程为y＝k(x＋c)，即kx－y＋kc＝0，
化简可得b>2a，即有b2>4a2，
关于圆锥曲线离心率(范围)问题处理的主体思想是：建立一个关于a，b，c的方程(或不等式).一般建立方程有两种方法：(1)利用圆锥曲线的定义解决；(2)利用题中的几何关系来解决问题.另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件.
总结提升
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2.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是
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设B1(0，－b)，B2(0，b)，F2(c,0)，A2(a,0).
即a2－c2－ac>0.
两边同时除以a2并化简得e2＋e－1<0，
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5.(2023·咸宁模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e1e2的取值范围是
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设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，|PF1|＝r1＝24，|PF2|＝r2，
∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，点P在第一象限内，
∴|PF2|＝|F1F2|，|PF1|>|PF2|，|PF2|＋|F1F2|>|PF1|，
即r2＝2c，r1>r2,2r2>r1，
∴2c<24,4c>24，解得6在双曲线中，|PF1|－|PF2|＝2a2，
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在椭圆中，|PF1|＋|PF2|＝2a1，
∵6∴3e1e2的取值范围为(1，＋∞).
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如图，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，焦距为2c，
由椭圆定义可得m＋n＝2a，
由双曲线定义可得m－n＝2a1，
解得m＝a＋a1，n＝a－a1，
当|F1F2|＝2|MO|时，则∠F1MF2＝90°，
所以m2＋n2＝4c2，
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记双曲线C的右焦点为F2，∴|F2B|＝2a＋λb，
∵△OF1A为直角三角形，
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∴a21
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8.如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的
最大值为_____.
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当α与底面趋于平行时，椭圆C几乎成为一个圆，
因此离心率可以充分接近0.
当α与底面的夹角最大时，椭圆C的离心率达到最大，
下面求解这一最大值.
如图，A，B为长轴，F为焦点时，e最大.
a＋c＝|BF|＝|BG|＝8－3＝5，易知b＝3，
又a2－c2＝9，
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