高考数学专题四立体几何　微专题27　空间角的计算 课件(共84张PPT)

(共84张PPT)
专题四　立体几何
微专题27
空间角的计算
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
典例1　(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为
考点一　异面直线所成的角
√
方法一　如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，
又C1P⊥BB1，
B1D1∩BB1＝B1，
所以C1P⊥平面B1BP.
又BP 平面B1BP，所以C1P⊥BP.
连接BC1，则AD1∥BC1，
所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
方法三　如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角.根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点.
易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝
跟踪训练1　(2023·许昌模拟)已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝4，AC＝4，BC＝ PA＝6，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所
成角的余弦值为
√
如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，
则DE∥PC，∠ADE(或其补角)即为异面直线AD与PC所成的角.
由AB＝4，AC＝4，BC＝ 得AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC，
又E为BC的中点，则AE＝ PA⊥平面ABC，
在△ADE中，根据余弦定理可得
典例2　(2023·潍坊模拟)如图，圆台O1O2的上底面半径为1，下底面半径为 AB为圆台下底面的一条直径，圆O2上点C满足AC＝BC，PO1是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面ABO1的同侧，且PO1∥BC.
(1)证明：O1O2∥平面PAC；
考点二　直线与平面所成的角
取AC的中点M，连接O2M，PM，如图，
故PO1∥O2M，PO1＝O2M，
所以四边形PO1O2M为平行四边形，
则PM∥O1O2，又PM 平面PAC，O1O2 平面PAC，
故O1O2∥平面PAC.
(2)从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线AO1与平面PBC所成角的正弦值.
条件①：三棱锥O1－ABC的体积为
条件②：AO1与圆台底面所成角的正切值为
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
又O1O2⊥平面ABC，
所以O1O2＝2.
以O2为坐标原点，O2B，O2C，O2O1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
设所求角的大小为θ，
选条件②：因为O1O2⊥平面ABC，
所以∠O1AO2为AO1与圆台底面所成的角，
下同条件①.
跟踪训练2　(2022·全国乙卷)4如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点.
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE.
在△ADB和△CDB中，
因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC.
因为E为AC的中点，所以AC⊥BE.
又BE∩DE＝E，BE，DE 平面BED，
所以AC⊥平面BED，
又AC 平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD.
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
由(1)可知AB＝BC，
又∠ACB＝60°，AB＝2，
所以△ABC为边长为2的正三角形，
则AC＝2，BE＝ AE＝1.
因为AD＝CD，AD⊥CD，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以DE＝1.
所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE.
由(1)可知，AC⊥平面BED.
连接EF，因为EF 平面BED，
所以AC⊥EF，
当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，
即EF的长度最小.
在Rt△BED中，当EF的长度最小时，
方法一　由(1)可知，DE⊥AC，BE⊥AC，
所以EA，EB，ED两两垂直，
以E为坐标原点，EA，EB，ED所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0， 0)，D(0,0,1)，C(－1,0,0)，
设平面ABD的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
记CF与平面ABD所成的角为α，
方法二　因为E为AC的中点，所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的2倍.
因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
因为VD－AEB＝VE－ADB，
因为AC⊥平面BED，EF 平面BED，
所以AC⊥EF，
记CF与平面ABD所成的角为α，
方法三　如图，过点E作EM⊥AB交AB于点M，连接DM，过点E作EG⊥DM交DM于点G.
因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，
AC，BE 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以DE⊥AB，
又EM∩DE＝E，EM，DE 平面DEM，所以AB⊥平面DEM，
又EG 平面DEM，所以AB⊥EG，
又AB∩DM＝M，AB，DM 平面ABD，
所以EG⊥平面ABD，则EG的长度等于点E到平面ABD的距离.
因为E为AC的中点，所以EG的长度等于点C到平面ABD的距离的
记CF与平面ABD所成的角为α，
典例3　(2023·新高考全国Ⅰ)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
(1)证明：B2C2∥A2D2；
考点三　平面与平面的夹角
以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)，
又B2C2，A2D2不在同一条直线上，∴B2C2∥A2D2.
(2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P.
设P(0,2，λ)(0≤λ≤4)，
设平面PA2C2的法向量为n＝(x，y，z)，
令 z＝2，得y＝3－λ，x＝λ－1，
∴n＝(λ－1,3－λ，2)，
设平面A2C2D2的法向量为m＝(a，b，c)，
令a＝1，得b＝1，c＝2，
∴m＝(1,1,2)，
化简可得，λ2－4λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝3，
∴P(0,2,3)或P(0,2,1)，∴B2P＝1.
跟踪训练3　(2023·唐山模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1B1BA和侧面A1ACC1均为正方形，D为棱BC的中点.
(1)证明：平面ADC1⊥平面B1BCC1；
因为侧面A1B1BA和侧面A1ACC1均为正方形，
所以A1A⊥AB，A1A⊥AC，又AB∩AC＝A，AB，
AC 平面ABC，
所以A1A⊥平面ABC，又A1A∥C1C，所以C1C⊥
平面ABC，
又AD 平面ABC，所以C1C⊥AD.
由AB＝AC，D为棱BC的中点，所以AD⊥BC，
又BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面B1BCC1，
因此AD⊥平面B1BCC1，又AD 平面ADC1，
故平面ADC1⊥平面B1BCC1.
(2)若直线AC1与平面B1BCC1所成角为30°，求平面A1B1BA与平面ADC1夹角的余弦值.
由(1)得∠AC1D是AC1与平面B1BCC1所成角，即∠AC1D＝30°，
则∠DAC＝45°，∠BAC＝90°.
以A为原点，以 的方向分别为x轴，
y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设m＝(x，y，z)是平面ADC1的法向量，
易知n＝(0,1,0)是平面A1B1BA的一个法向量，
总结提升
1.(2023·丹东质检)设C′与C分别为圆柱上、下底面圆周上的点，且位于该圆柱轴截面ABB′A′同侧，下底面圆心O在AB上，若 ＝ ，
，cos∠C′CO＝ 则直线CC′与AB所成角的余弦值为
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设圆柱的底面半径为r，高为h，过C′作C′D∥B′B，连接C′O，OD，CD，
由题设弧长的数量关系知，△OCD为边长为r的正三角形且CD∥AB，C′D垂直于圆柱底面，
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因为CD∥AB，所以∠C′CD即为异面直线CC′
与AB所成的角(或其补角).
2.(2023·合肥模拟)米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，如图为一倒正四棱台形米斗，高为40 cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为
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由题意，作出正四棱台的对角面，如图，
AD为正四棱台上底面正方形对角线，BC为正四
棱台下底面正方形对角线，
O为外接球球心，为线段BC的中点，则OD＝OA＝OB＝OC＝50，
过点D作DE⊥BC，垂足为E，则∠DCE即为所求角.
因为OD＝50，DE＝40，所以OE＝30，EC＝20，
3.在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为
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方法一　如图，取BC的中点O，连接OP，OA.
因为△ABC和△PBC均为等边三角形，
所以AO⊥BC，PO⊥BC，
所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.
所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，
建立空间直角坐标系，如图所示.
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方法二　如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA.
因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形，
所以AO⊥BC，PO⊥BC，
所以∠POA就是二面角的平面角.
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4.(2023·莆田模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1C，BD上的动点，当线段MN的长最小时，直线MN与平面BCC1B1所成角的正弦值为
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以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以AA1⊥BD，
因为在正方形ABCD中，AC ⊥ BD，且AC∩AA1
＝A，AC，AA1 平面A1AC，
所以BD⊥平面A1AC，
因为点M，N分别是A1C，BD上的动点，
当点N为AC，BD的交点时，MN⊥BD，过点N作NM⊥ A1C于点M，
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此时MN为A1C，BD的公垂线，即线段MN的长最小，
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设MN与平面BCC1B1所成角的大小为θ，
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5.(多选)(2023·潍坊模拟)如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则
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将该几何体还原为原正四面体Q－MNS，棱长为3，
设△MNS的中心为O，连接OQ，ON，
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对于C，该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积，易得小正
四面体的体积为
对于D，二面角A－BC－D的平面角与A－BC－Q的平面角互补，显然二面角A－BC－Q为锐角，所以二面角A－BC－D一定为钝角，其余弦值为负数，故D错误.
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以O为原点，分别以OA，OS所在直线为x，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则S(0,0， )，A(1,0,0)，
设B(m，n,0)，且m2＋n2＝3，
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得m2＝9>3，不符合题意，故B错误；
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则p·q＝0，
又m2＋n2＝3，得m＝3，m2＝9>3，不符合题意，故D错误.
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7.过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面PCD夹角的大小为________.
45°
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如图，建立空间直角坐标系，
设AB＝PA＝1，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，
由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，
连接AE，则AE⊥PD，
又CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE，又PD∩CD＝D，从而AE⊥平面PCD.
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故平面PAB与平面PCD夹角的大小为45°.
8.(2023·湖北黄冈中学模拟)在空间四面体ABCD中，∠ACD＝60°，二面角A－CD－B的大小为45°，在平面ABC内过点B作AC的垂线l，则l与平
面BCD所成的最大角的正弦值为______.
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如图，记过点B作AC的垂线l，垂足为E，
过点E作BC的垂线EH，垂足为H，
过点H作CD的垂线HG，垂足为G，连接EG.
过点E作垂直于直线CE的平面α，α交平面BCD于直线BF，F在CD上，
则当BF⊥平面ABC时，l与平面BCD所成的角最大，且与∠ECH互余.
因为BF⊥平面ABC，EH 平面ABC，
所以BF⊥EH，
又EH⊥BC，BC∩BF＝B，BC，BF 平面BCD，
所以EH⊥平面BCD，
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所以l与平面BCD所成的角即为∠EBH.
因为CD⊥GH，CD⊥EH，GH∩EH＝H，GH，EH 平面EHG，
所以CD⊥平面EHG，
又EG 平面EHG，
所以CD⊥EG，
所以∠EGH即为二面角A－CD－B的平面角，即∠EGH＝45°，
设GH＝m，
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又∠ACG＝60°，
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记此时l与平面BCD所成角为θ，
9.(2023·宣城模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA＝PD，PB＝PC＝BC＝2，二面角P－BC－A的大小为30°.
(1)证明：平面PAD⊥平面PBC；
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设AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，
因为底面ABCD是正方形，PB＝PC，
所以EF⊥BC，PF⊥BC，
又EF∩PF＝F，EF，PF 平面PEF，
所以BC⊥平面PEF，
又PE 平面PEF，
所以BC⊥PE.
由题意知∠PFE是二面角P－BC－A的平面角，
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所以PE2＋PF2＝EF2，
所以PF⊥PE，
又PF∩BC＝F，PF，BC 平面PBC，
所以PE⊥平面PBC，
因为PE 平面PAD，
所以平面PAD⊥平面PBC.
(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.
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由(1)知平面PEF⊥平面PAD，以E为坐标原点，EA所在直线为x轴，EF所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(－1,2,0)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则
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设PC与平面PAB所成的角为θ，则
10.(2023·武汉调研) 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝ AB＝1，E，F分别为A1C，BB1的中点，且EF⊥平面AA1C1C.
(1)求棱BC的长度；
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如图，取AC的中点D，连接ED，BD，
∵D，E分别为AC，A1C的中点，则DE∥AA1且
DE＝
又∵F为BB1的中点，则BF∥AA1且BF＝
可得DE∥BF且DE＝BF，即四边形DEFB为平行四边形，故EF∥DB，
∵EF⊥平面AA1C1C，∴DB⊥平面AA1C1C，
又AC 平面AA1C1C，可得DB⊥AC，
又∵D为AC的中点，则△ABC为等腰三角形，
∴BC＝AB＝1.
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(2)若BB1⊥A1B1，且△A1FC的面积 ＝
求二面角B1－A1F－C的正弦值.
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由(1)可知，BC＝AB＝1，且AC＝
即AB2＋BC2＝AC2，
∴AB⊥BC，
∵EF⊥平面AA1C1C，A1C 平面AA1C1C，则EF⊥A1C，
由(1)知DB⊥平面AA1C1C，AA1 平面AA1C1C，则DB⊥AA1，
又∵AA1∥BB1，则DB⊥BB1，
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∵BB1⊥A1B1，AB∥A1B1，则BB1⊥AB，
又AB∩DB＝B，AB，DB 平面ABC，
∴BB1⊥平面ABC，
AC 平面ABC，则BB1⊥AC，
∵AA1∥BB1，∴AA1⊥AC，
∴△AA1C为直角三角形，
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设平面A1FC的法向量为n1＝(x，y，z)，
由题意知，平面B1A1F的一个法向量为n2＝(1,0,0)，
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设二面角B1－A1F－C的平面角为θ∈(0，π)，