高考数学专题五概率与统计　微专题34　概率与统计的创新题型 课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
微专题34
概率与统计的创新题型
专题五　概率与统计
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
典例1　(2023·新高考全国Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
考点一　概率与数列的综合
记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，
所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，
则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)
＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2，
构造等比数列{pi＋λ}，
跟踪训练1　(2023·烟台模拟)现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的2个黑球和1个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出1个球互相交换后放入袋子中，重复进行n(n∈N*)次此操作.记第n次操作后，甲袋子中红球的个数为Xn.
(1)求X1的分布列和数学期望；
由题知，X1的所有可能取值为0,1,2，
所以X1的分布列为
(2)求第n次操作后，甲袋子中恰有1个红球的概率Pn.
由题知，
又P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＝1，
典例2　(2023·济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩
(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如
图所示.
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的
估计值；
考点二　概率与函数的综合
则 ＝10×(40×0.01＋50×0.02＋60
×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90
×0.004)＝62.
所以样本平均数的估计值为62.
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ≈14.
所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90.
所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈ ×(1－0.954 5)＝0.022 75.
所以估计能参加复试的人数为0.022 75×8 000＝182.
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为 设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值.
跟踪训练2　(2023·苏州模拟)某小区有居民2 000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2 000次.为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若a＝0.2，n＝20，试估算该小区化验的总次数；
设每位居民需化验的次数为X，
所以2 000名居民总化验次数约为2 000×0.09＝180.
(2)若a＝0.9，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费n＋9元.求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.
注：当p<0.01时，(1－p)n≈1－np.
设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则Y＝n＋9，若混合血样呈阳性，
则Y＝11n＋9，
所以P(Y＝n＋9)＝0.991n，P(Y＝11n＋9)＝1－0.991n，
所以E(Y)＝(n＋9)×0.991n＋(11n＋9)(1－0.991n)＝11n－10n×0.991n＋9，
故n＝10时，每位居民化验费用的期望最小.
总结提升
随着概率与统计内容在高考考查中难度增大、分值增加，同时概率与统计又与社会、经济、科技发展密切联系，概率与统计内容在高考考查中逐步呈现出综合性、应用性和创新性等特点，成为当下高考备考的热点问题和难点问题.概率统计一般和数列、函数综合考查，要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系找到数列的递推关系，或函数模型，进一步求解.
1.(2023·张家口模拟)甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3，乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和均值；
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X的所有可能取值为2,3,4，
P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝0.5，P(X＝4)＝0.3，
则X的分布列为
X 2 3 4
P 0.2 0.5 0.3
E(X)＝2×0.2＋3×0.5＋4×0.3＝3.1.
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(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1平，
其概率为 ×0.32×0.5×0.3＝0.040 5.
当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1平，
其概率为 ×0.22×0.5×0.2＝0.012，
所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.040 5＋0.012＝0.052 5.
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(3)若Pi(i＝0,1，…，6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1.证明：{Pi＋1－Pi}(i＝0,1,2，…，5)为等比数列.
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因为Pi(i＝0,1,2,3,4,5,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，P0＝0，
在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3P2，
在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.5P1，
在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为0.2P0，
根据全概率公式得P1＝0.3P2＋0.5P1＋0.2P0，
变形得0.3(P2－P1)＝0.2(P1－P0)，
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因为P1－P0>0，
所以{Pi＋1－Pi}(i＝0,1,2，…，5)为等比数列.
2.(2023·大连模拟)根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，并把钢管内径在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为一等品，钢管内径在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收.现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图.
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(1)通过检测得样本数据的标准差s＝0.3，用样本平均数 作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率P1(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
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由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数为
＝0.2×(36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1)＝185×0.2＝37，
所以μ＝37，σ＝s＝0.3，
则μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝
37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6
＝37.6，
则一等品内径在(μ－σ，μ＋σ)内，
即(36.7,37.3)，
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二等品内径在(μ＋σ，μ＋2σ)内，
即(37.3,37.6)，
所以该企业生产的产品为正品的
概率为
P1＝P(36.70.8＋0.65)×0.2＋0.4×0.1＝0.71.
(2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(n≥2，n∈N)个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B，
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
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②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值.
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由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，
则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
f(p)＝ ＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)，0f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，
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