高考数学专题六解析几何 微专题41 定点、定值问题 课件(共48张PPT)
文档属性
| 名称 | 高考数学专题六解析几何 微专题41 定点、定值问题 课件(共48张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-09 23:56:10 | ||
图片预览
文档简介
(共48张PPT)
专题六 解析几何
微专题41
定点、定值问题
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，定点、定值问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
典例1
考点一 圆锥曲线的定点(定直线)问题
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.
由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
显然直线MN的斜率不为0，
联立直线MA1与直线NA2的方程可得
据此可得点P在定直线x＝－1上运动.
跟踪训练1
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图，
设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，
则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，
解得k<0，
因为A(－2,0)，
所以线段MN的中点是定点(0,3).
典例2 (2023·佛山模拟)已知O为坐标原点，定点F1(－1,0)，F2(1,0)，圆O：x2＋y2＝2，M是圆内或圆上一动点，圆O与以线段F2M为直径的圆O1内切.
(1)求动点M的轨迹方程；
考点二 圆锥曲线的定值问题
依题意知圆O1的半径r＝|O1F2|，
根据椭圆的定义可知动点M是以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆，
(2)设M的轨迹为曲线E，若直线l与曲线E相切，过点F2作直线l的垂线，垂足为N，证明：|ON|为定值.
当直线l的斜率存在且不为零时，设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，
消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
因为直线l与曲线E相切，
所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，
整理得m2＝2k2＋1，
因为NF2与直线l垂直，
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝±1，
过点F2(1,0)作直线l的垂线，
过点F2(1,0)作直线l的垂线，
跟踪训练2 (2023·临沂模拟)已知动点M(x，y)与点F(1,0)的距离和它到直线x＝4的距离之比是 ，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
∴3x0x1＋4y0y1＝0.
同理3x0x2＋4y0y2＝0，
∴A，B都在直线3x0x＋4y0y＝0上.
又∵直线AB过坐标原点，
故S△PAB＝6.∴△PAB的面积为定值.
直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出k和m的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系和恒成立问题来求解，即可得到定点；求解定值问题的关键是引入参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量就是定值.
总结提升
1
2
3
1
2
3
解得a2＝2，b2＝1，
1
2
3
(2)求证：点P在以F1，F2为焦点的定椭圆上.
1
2
3
∴y1>0，y2>0，
设直线F1A的方程为my＝x＋1，则直线F2B的方程为my＝x－1，
1
2
3
1
2
3
又点B在椭圆C上，
1
2
3
∴|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，
∴点P在以F1，F2为焦点的定椭圆上.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
设P(x1，y1)，Q(x2，y2).
1
2
3
等式两边同时除以|OP|4·|OQ|4，
1
2
3
1
2
3
3.(2023·汕头模拟)如图，已知E(m，n)为抛物线x2＝2py(p>0)内一定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线交于A，B，C，D四点，且M，N分别是线段AB，CD的中点.
(1)当m＝0且k1k2＝－1时，求△EMN面积的最小值；
1
2
3
当m＝0时，E(0，n)为y轴上一点，
因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD，
则AB的方程为y＝k1x＋n，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得x2－2pk1x－2pn＝0，
1
2
3
则x1＋x2＝2pk1，x1x2＝－2pn，
因为AB⊥CD，则EM⊥EN，
1
2
3
1
2
3
1
2
3
由题意知AB所在直线的方程为y＝k1(x－m)＋n，代入x2＝2py(p>0)中，
得x2－2pk1x＋2pk1m－2pn＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝2pk1，
从而y1＋y2＝k1(x1＋x2－2m)＋2n＝k1(2pk1－2m)＋2n，
则M(pk1，k1(pk1－m)＋n)；
CD所在直线的方程为y＝k2(x－m)＋n，同理可得N(pk2，k2(pk2－m)＋n)，
1
2
3
1
2
3
专题六 解析几何
微专题41
定点、定值问题
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，定点、定值问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
典例1
考点一 圆锥曲线的定点(定直线)问题
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.
由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
显然直线MN的斜率不为0，
联立直线MA1与直线NA2的方程可得
据此可得点P在定直线x＝－1上运动.
跟踪训练1
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图，
设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，
则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，
解得k<0，
因为A(－2,0)，
所以线段MN的中点是定点(0,3).
典例2 (2023·佛山模拟)已知O为坐标原点，定点F1(－1,0)，F2(1,0)，圆O：x2＋y2＝2，M是圆内或圆上一动点，圆O与以线段F2M为直径的圆O1内切.
(1)求动点M的轨迹方程；
考点二 圆锥曲线的定值问题
依题意知圆O1的半径r＝|O1F2|，
根据椭圆的定义可知动点M是以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆，
(2)设M的轨迹为曲线E，若直线l与曲线E相切，过点F2作直线l的垂线，垂足为N，证明：|ON|为定值.
当直线l的斜率存在且不为零时，设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，
消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
因为直线l与曲线E相切，
所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，
整理得m2＝2k2＋1，
因为NF2与直线l垂直，
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝±1，
过点F2(1,0)作直线l的垂线，
过点F2(1,0)作直线l的垂线，
跟踪训练2 (2023·临沂模拟)已知动点M(x，y)与点F(1,0)的距离和它到直线x＝4的距离之比是 ，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
∴3x0x1＋4y0y1＝0.
同理3x0x2＋4y0y2＝0，
∴A，B都在直线3x0x＋4y0y＝0上.
又∵直线AB过坐标原点，
故S△PAB＝6.∴△PAB的面积为定值.
直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出k和m的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系和恒成立问题来求解，即可得到定点；求解定值问题的关键是引入参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量就是定值.
总结提升
1
2
3
1
2
3
解得a2＝2，b2＝1，
1
2
3
(2)求证：点P在以F1，F2为焦点的定椭圆上.
1
2
3
∴y1>0，y2>0，
设直线F1A的方程为my＝x＋1，则直线F2B的方程为my＝x－1，
1
2
3
1
2
3
又点B在椭圆C上，
1
2
3
∴|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，
∴点P在以F1，F2为焦点的定椭圆上.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
设P(x1，y1)，Q(x2，y2).
1
2
3
等式两边同时除以|OP|4·|OQ|4，
1
2
3
1
2
3
3.(2023·汕头模拟)如图，已知E(m，n)为抛物线x2＝2py(p>0)内一定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线交于A，B，C，D四点，且M，N分别是线段AB，CD的中点.
(1)当m＝0且k1k2＝－1时，求△EMN面积的最小值；
1
2
3
当m＝0时，E(0，n)为y轴上一点，
因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD，
则AB的方程为y＝k1x＋n，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得x2－2pk1x－2pn＝0，
1
2
3
则x1＋x2＝2pk1，x1x2＝－2pn，
因为AB⊥CD，则EM⊥EN，
1
2
3
1
2
3
1
2
3
由题意知AB所在直线的方程为y＝k1(x－m)＋n，代入x2＝2py(p>0)中，
得x2－2pk1x＋2pk1m－2pn＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝2pk1，
从而y1＋y2＝k1(x1＋x2－2m)＋2n＝k1(2pk1－2m)＋2n，
则M(pk1，k1(pk1－m)＋n)；
CD所在直线的方程为y＝k2(x－m)＋n，同理可得N(pk2，k2(pk2－m)＋n)，
1
2
3
1
2
3
同课章节目录