2022-2023学年湖南省岳阳市九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省岳阳市九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数，，，中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：，，，，单位：分，这五个有效评分的平均数和众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
6.下列命题是假命题的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 同角或等角的余角相等
C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D. 正方形既是矩形又是菱形
7.孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸提示：丈尺，尺寸，则竹竿的长为( )
A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺
8.二次函数的图象如图，给出下列四个结论：；；；，其中正确结论的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.要使分式有意义，则的取值范围为_________．
10.关于的分式方程的解为，则常数的值为______．
11.如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为______．
12.关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则______．
13.下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第是整数，且行从左向右数第个数是______用含的代数式表示
14.在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球个，黄球个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为______个．
15.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度______
16.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点．
若，则的长为______；
若，则 ______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
如图，已知平行四边形．
若，是上两点，且，，求证：四边形是矩形；
若，，，求平行四边形的面积．
20.本小题分
第届冬季奥林匹克运动会，即年北京冬季奥运会，于年月日开幕，共设个大项，个分项，个小项．学校从七年级同学中随机抽取若干名，组织了奥运知识竞答活动，将他们的成绩进行整理，得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图与扇形统计图．满分为分，将抽取的成绩分成，，，四组，每组含最大值不含最小值
分组 频数
：
：
：
：
本次知识竞答共抽取七年级同学______名，组成绩在扇形统计图中对应的圆心角为______；
请将频数分布直方图与扇形统计图补充完整；
学校将此次竞答活动的组成绩记为优秀，已知该校初、高中共有学生名，小敏想根据七年级竞答活动的结果，估计全校学生中奥运知识掌握情况达到优秀等级的人数．请你判断她这样估计是否合理并说明理由．
21.本小题分
如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
求直线与轴的交点的坐标及的面积；
求不等式的解集请直接写出答案．
22.本小题分
火炬村街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，购买个垃圾箱和个温馨提示牌花费元，购买个垃圾箱和个温馨提示牌花费元．
求垃圾箱和温馨提示牌的单价各多少元？
购买垃圾箱和温馨提示牌共个，如果垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的倍，请你写出总费用元与垃圾箱个数个之间的关系式，并说明采用怎样的方案可以使总费用最低，最低为多少？
23.本小题分
【证明体验】如图，正方形中，、分别是边和对角线上的点，．
求证：；
______；
【思考探究】如图，矩形中，，，、分别是边和对角线上的点，，，求的长；
【拓展延伸】如图，菱形中，，对角线，交的延长线于点，、分别是线段和上的点，，，求的长．
24.本小题分
如图，直线：与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点．
求该抛物线的函数表达式；
已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值；
在的条件下，当取得最大值时，动点相应的位置记为点．
写出点的坐标；
将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点、到直线的距离分别为、，当最大时，求直线旋转的角度即的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：实数，，，按照从小到大排列是：，
最小的数是，
故选：．
根据正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，比较各数大小即可．
本题考查实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，可以将题目中的数据按照从小到大排列．
2.【答案】
【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3.【答案】
【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则判断，根据同底数幂的除法的运算法则判断，根据完全平方公式判断，根据积的乘方的运算法则判断．
本题主要考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的除法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则．
4.【答案】
【解析】解：，
该组数众数为：，
这五个有效评分的平均数和众数分别为，，
故选：．
根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以即可，众数即出现次数最多的数，便可选出正确答案．
本题考查算术平均数以及众数，熟练掌握平均数的求法以及众数的求法是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
则，
故选：．
根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意；
B.同角或等角的余角相等，故原命题正确，是真命题，不符合题意；
C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故原命题正确，是真命题，不符合题意；
D.正方形既是矩形又是菱形，故原命题正确，是真命题，不符合题意，
故选：．
根据垂直的定义、余角的概念、线段垂直平分线的性质及正方形的性质和真假命题的定义进行判断即可．
本题考查垂直的定义、余角的概念、线段垂直平分线的性质、正方形的性质及真假命题的定义，熟练掌握相关性质和真假命题的定义是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行投影设竹竿的长度为尺，根据物体的高度与影长成正比即可得到，即可得到答案．
【解答】
解：设竹竿的长度为尺，
竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，解得，即竹竿的长为四丈五尺．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：由图象可知：，
，
，故正确；
当时，，
，
，故错误；
由对称轴可知：，
，故正确；
由图象可知：，，
对称轴可知：，
，
，故正确；
故选：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
9.【答案】
【解析】先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
解：分式有意义，
，解得．
故答案为：．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：原方程变形，得，
，代入得，，解得；
故答案为：．
分式方程化为整式方程，将已知解代入，求待定参数．
本题考查分式方程的求解，将分式方程化为整式方程是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，，推出点在上时，取得最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，，
，，
，
解得．
是线段的垂直平分线，
，
，
当点在上时，取得最小值，此时，
的周长最短．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
，
，
，
，，
，
或，
不合题意，
故答案为：．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前行的数据的个数是解题的关键．
观察不难发现，被开方数是从开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
【解答】
解：前行的数据的个数为，
所以，第是整数，且行从左到右数第个数的被开方数是，
所以，第是整数，且行从左到右数第个数是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设袋中白球的个数为个，
根据题意得：，
解得：．
经检验：是原分式方程的解．
袋中白球的个数为个．
故答案为：．
首先设袋中白球的个数为个，然后根据概率公式，可得：，解此分式方程即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
，，，
解得：，
故答案为：．
由两角对应相等可得∽，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离．
此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
16.【答案】
【解析】解：连接，
为的外接圆，，
是的直径，
，
，
，
，
的长为，
故答案为：；
是的切线，
，
垂直平分，
，
，
又，
∽，
：：：，
设，则，则，
在中，由勾股定理可得，，
即，
解得，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理求出，是的直径，根据弧长公式求解即可；
根据切线的性质求出，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出，即可判定∽，根据相似三角形的性质求出：：：，设，则，则，根据勾股定理求解即可．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质及定理是解题关键．
17.【答案】解：原式．
【解析】根据特殊角的函数值，零指数幂，算术平方根计算即可．
本题考查了特殊角的函数值，零指数幂，算术平方根，熟练掌握公式和函数值是解题的关键．
18.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
对角线上的两点、满足，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积．
【解析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形；
根据平行四边形的性质得到，，求得，勾股定理即可求出，可得到结论．
本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：本次知识竞答共抽取七年级同学名，
则组的人数为名，
组成绩在扇形统计图中对应的圆心角为，
故答案为：、；
组人数所占百分比为，组人数所占百分比为，
补全图形如下：
不合理，
因为初、高中学生对奥运知识的掌握程度不同，该校七年级学生对奥运知识掌握的程度不能代表全校学生，
所以根据七年级竞答活动的结果，估计全校学生中奥运知识掌握情况达到优秀等级的人数不合理．
【解析】由组人数及其所占百分比可得七年级学生的总人数，根据四个分组人数之和等于总人数求出组人数，用乘以组人数所占比例即可；
先求出、组人数占被调查的学生人数所占比例即可；
根据样本估计总体时样本需要具有代表性求解即可．
本题主要考查了统计数据的处理，计算时注意，扇形圆心角的度数部分占总体的百分比一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
21.【答案】解：点在上，
，
反比例函数的解析式为，
点在上，
，
点坐标为，
经过，，
，
解得，
一次函数的解析式为；
是直线与轴的交点，
当时，，
点坐标为，
，
；
由图可得，不等式的解集为或．
【解析】把的坐标代入反比例函数解析式求得的值，从而求得反比例函数解析式，然后把的坐标代入求得的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
求得与轴的交点，然后根据三角形的面积公式求解即可；
一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围就是一次函数的图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围，由图象即可得．
本题考查一次函数与反比例函数综合．
22.【答案】解：设垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是元与元，
，
解得：，
答：垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是元与元；
由题意得：，
垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的倍，
，
解得，，
，
随着的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，，
答：购买垃圾箱个，温馨提示牌共个，可以使总费用最低，最低为元．
【解析】设垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是元与元，根据题意列出方程即可求出答案．
先根据垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的倍，求出的范围，然后列出与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
23.【答案】
【解析】证明：，
，
，
，
四边形为正方形，，为对角线，
，
；
解：四边形为正方形，，为对角线，
，
，
，
∽，
，
故答案为：；
解：连接交于点，
在矩形中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
；
解：在菱形中，，
连接交于点，
，且与互相平分，
，，
在中，，
，
为菱形对角线，
，
，，
，
∽，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
∽，
，
．
说明，，即可证明；
由∽得，；
连接交于点，通过计算，得出，再由同理可得∽，则；
连接交于点，同理得，则∽，得，求出的长，再利用∽，得，从而结论问题．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明∽是解题的关键，注意解题方法的延续性．
24.【答案】解：令代入，
，
，
把代入，
，
，
二次函数解析式为：；
令代入，
，
或，
抛物线与轴的交点横坐标为和，
在抛物线上，且在第一象限内，
，
令代入，
，
的坐标为，
由题意知：的坐标为，
，
当时，取得最大值．
由可知：的坐标为，
当时，，
的坐标为；
过点作垂直于于点，过点作垂直于于点，则，，
，且是定值，
当取得最大值时，应该取得最小值，当时取得最小值．
根据和可得，
，
，
当时，，
．
【解析】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数求二次函数解析式，求三角形面积等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目，化动为静去解决问题．
利用直线的解析式求出点坐标，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值，进而得出抛物线的函数表达式；
设的坐标为，然后根据面积关系由，即可列出与的函数表达式，并根据二次函数的性质求出的最大值；
由可知，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
由，且是定值，当取得最大值时，应该取得最小值，当时取得最小值．求出的最小值，根据锐角三角函数定义即可求解．
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