2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（下）期中数学试卷（文科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为人，人，人现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为人，则该样本中高中学生人数为( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
2.已知复数为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若椭圆的焦距为，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. ， B.
C. D. ，
5.执行如图所示的程序框图，输出的( )
A. B. C. D.
6.如表是某工厂月份用电量单位：万度的一组数据：
月份
用电量
由散点图可知，用电量与月份间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则( )
A. B. C. D.
7.已知命题：若函数的定义域为，则实数；命题：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把名使用血清的人与另外名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用列联表计算的，经查临界值表知则下列表述中正确的是( )
A. 有的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B. 若有人未使用该血清，那么他一年中有的可能性得感冒
C. 这种血清预防感冒的有效率为
D. 这种血清预防感冒的有效率为
9.已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯衰变过程中，其含量单位：太贝克与时间单位：年满足函数关系：，则铯含量在时的瞬间变化率为( )
A. 太贝克年 B. 太贝克年
C. 太贝克年 D. 太贝克年
11.在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
12.设函数，若不等式仅有个正整数解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若命题：，，则命题：______．
14.若，，，的平均数是，而，，，，的平均数是，则，，，，的方差是______．
15.已知直线与函数的图象相切于，则直线的方程是______．
16.已知过点作抛物线：的两条切线，切点分别为、，直线经过抛物线的焦点，则______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数其中．
求函数的极值点；
若函数有三个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下图，记成绩不低于分者为“成绩优良”．
分别计算甲、乙两班个样本中，化学成绩前十的平均分，并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳；
由以上统计数据填写下面列联表，是否有的把握认为“成绩优良与教学方式关”？
甲班 乙班 总计
成绩优良 _____ _____ _____
成绩不优良 _____ _____ _____
总计 _____ _____ _____
19.本小题分
如图，在三棱柱中，，，．
证明：平面平面；
求四棱锥的体积．
20.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点当为椭圆的上顶点时，．
求椭圆的标准方程；
当时，试判断以为直径的圆是否经过点，并说明理由．
21.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若，是函数的两个极值点，且，，求证：．
22.本小题分
已知曲线的方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
求曲线的极坐标方程；
过作直线交曲线于，两点，且：：，求直线的斜率．
23.本小题分
设函数．
解不等式；
若，成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设高中抽取人数为，
则，得，
故选：．
设高中抽取人数为，根据条件，建立比例关系进行求解即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
2.【答案】
【解析】解：，
的虚部为．
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算和虚部的概念，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：椭圆的焦距为，
可能有两种情况
由知，
解得．
由知，
无解
故选：．
利用椭圆的性质求解．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质的合理运用．
4.【答案】
【解析】解：命题“，”是假命题，
则它的否定命题“，”是真命题，
时，不等式为，显然成立；
时，应满足，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围．
本题考查了命题与它的否定命题应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由程序框图知，第一次循环，判断不成立，，；
第二次循环，判断不成立，，；
第三次循环，判断不成立，，；
第四次循环，判断成立，，；
第五次循环，判断成立，，；
第六次循环，判断成立，，，跳出循环，输出．
故选：．
根据给定的程序框图，依次计算直到条件被满足即可作答．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
又线性回归直线方程是，
，
．
故选：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：若命题：若函数的定义域为，为真命题，
则有恒成立，即，解得，
故命题为假命题；
因为，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故命题为假命题，
所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题．
故选：．
先利用对数函数的性质判断命题的真假，再利用充分条件与必要条件的定义判断命题的真假，最后利用复合命题的真假判断即可．
本题考查了复合命题及其真假的判断，涉及了对数函数性质的应用、充分条件与必要条件的判断，解题的关键是判断出命题和的真假．
8.【答案】
【解析】解：根据查对临界值表知，故有的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，即A正确；
仅是指“血清与预防感冒”可信程度，但也有“在个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，即，，不正确．
故选A．
根据查对临界值表知，故有的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故可得结论．
独立性检验中研究两个量是否有关，这是一种统计关系，不能认为是因果关系．利用独立性检验不仅能考查两个变量是否有关系，而且能较精确地给出这种判断的可靠性程度．因此，在生物统计、医学统计、处理社会调查问题数据等方面都有广泛的应用．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查利用导函数的正负判断原函数的单调性，考查函数的恒成立，转化思想的应用，属于基础题．
由函数在内单调递减转化成在内恒成立，得到关于的关系式组，即可求出的范围．
【解答】
解：函数在上单调递减，
在上恒成立．
故 ，即成立．
解得：，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复合函数的导数的计算，对数函数的导数，导数与瞬时变化率，属于基础题．
求出函数的导函数，令即可得到含量在时的瞬间变化率．
【解答】
解：依题意，，
所以铯含量在时的瞬间变化率为：太贝克年，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：如图，设为三棱锥外接球的球心，
为外接圆的圆心，连接，，．
在中，，
则由余弦定理可得，
从而，故的外接圆半径．
因为，所以，
所以外接球半径，
故三棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
画出图形，设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，连接，，转化求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积．
本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，判断球心的位置，求解外接球的半径是解题的关键，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
不等式，即，两边除以，则，
注意到直线：恒过定点，不等式仅有个正整数解，
即函数图象上仅有个横坐标为整数的点落在直线：的下方，
由图象可知，这个点为可得，，即．
故选：．
求出函数的定义域，化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得的范围．
本小题主要考查导数及其应用等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想．
13.【答案】，
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：，，则：，，
故答案为：，
直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题得，，
所以，，
所以，，，，的平均数为，
所以，，，，的方差为．
故答案为：．
先求出和，再求出，，，，的方差．
本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，求导得：，
则，直线的斜率为，
所以直线的方程是：．
故答案为：．
求出函数的导数，借助导数的几何意义即可求出直线的方程．
本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，在抛物线：，过切点与抛物线相切的直线斜率为，
则以为切点的切线方程为，
与抛物线：联立方程直线方程与抛物线方程得，
由，整理得，
所以，解得，
所以以为切点的切线方程为，整理得，
同理，设，在抛物线：，过切点与抛物线相切的直线方程为，
又因为在切线和，
所以，，
所以直线的方程，
又因为直线经过抛物线的焦点，
所以令得，即，
所以抛物线方程为，直线的方程，
联立方程直线方程与抛物线方程得，
所以，，，
，即可得，
所以．
故答案为：．
设出点的坐标，与抛物线方程联立，结合题意和韦达定理整理计算即可求得结果．
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，考查了计算能力，属于难题．
17.【答案】解：因为函数，则定义域为，
且，令，解得或，
当变化时，，变化情况如下表：
极大值 极小值
因此函数在处取得极大值；在处取得极小值，
所以函数的极大值点为，极小值点为．
函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，
由可知，在处取得极大值；
在处取得极小值，
因为的图象与轴有三个交点，
则，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查函数零点个数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
对求导，利用导数求出函数的单调性，进而求得极值点；
函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，求出函数的极值，列不等式即可求得的范围．
18.【答案】解：甲班化学成绩前名学生的平均分为：
，
乙班化学成绩前名学生的平均分为
，
由于，
所以可判断使用“高效教学法”的乙班教学效果更佳．
根据茎叶图中的数据，列出列联表如下：
甲班 乙班 总计
成绩优良
成绩不优良
总 计
由表中的数据可得，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下，即有的把握认为“成绩优良”与“教学方式”有关．
【解析】先求出甲班、乙班的平均分，然后再作出判断．
根据列联表中的数据求出，再结合临界值表得到结论．
本题考查平均数的应用，独立性检验原理的应用，属中档题．
19.【答案】证明：取的中点，连接，，
，，
，，
，，，
，即，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面，
平面平面，
平面平面．
解：由知，平面，
三棱柱的高为，
而，
，
，
四棱锥的体积．
【解析】本题考查空间中线与面的位置关系，棱锥体积的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
取的中点，连接，，先证明为等边三角形，知，再由勾股定理证明，从而知平面，然后由面面垂直的判定定理即可得证；
由知，平面，即三棱柱的高为，再由，即可得解．
20.【答案】解：由题意，得椭圆的半焦距，
当为椭圆的上顶点时，，设，
则，．
由，得，，
，
将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得．
又，
，
椭圆的标准方程是．
以为直径的圆不经过点，理由如下：
依题意，知直线的方程为．
联立，消去，并整理得．
设，，则由根与系数的关系，得，．
易知，直线，的斜率都存在且不为．
若以为直径的圆经过点，则，
所以直线，的斜率之积为，即，
而，
所以以为直径的圆不经过点．
【解析】将直线方程求出来，再带入向量等式即可求出椭圆方程；
联立计算出的值，即可判断是否经过．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由，得．
当时，，
由，解得或，由，得．
的单调增区间为，；单调减区间为．
证明：由于函数有两个极值点，，则，是的两个不等实根，
，，则，．
．
设．
则，
在上单调递减，则．
【解析】求出原函数的导函数，把代入，由，，可得函数的单调区间；
由于函数有两个极值点，，则，是的两个不等实根，利用根与系数的关系把与用含有的代数式表示，可得设利用导数求其最小值即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属难题．
22.【答案】解：因为曲线的方程为为参数，
所以曲线的直角坐标方程为，即，
又因为，，
所以曲线的极坐标方程为；
设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为，
代入得，，
设点对应的参数为，点对应的参数为，
则，
因为：：，所以，
因为，异号，所以，代入式，整理得，
解得，
所以直线的斜率为或．
【解析】先消去参数得到曲线的直角坐标方程，再利用公式，求出曲线的极坐标方程即可；
设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为，代入曲线的直角坐标方程，再结合的几何意义求出即可．
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线的参数方程，属于中档题．
23.【答案】解：（1）f（x）＜4，
即,或,或；
解得-＜x＜.
f（x）＜4的解集为（-，）；
（2）f（x）=，
∴f（x）max=6，
∴ x∈[-1，2]，f（x）+t2＜7t成立，
即6+t2＜7t，
解得1＜t＜6，
实数t的取值范围是（1，6）．
【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．
（1）分3种情况去绝对值解不等式，再相并；
（2）求出f（x）在[-1，2]上的最大值6代入不等式解得即可．
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