高中数学人教A版（2019）必修2 8.6.1 直线与直线垂直（23页ppt）

(共23张PPT)
第七章
8.6.1 直线与直线垂直
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角； 1.数学抽象素养和空间想象素养.
2.掌握证明两条异面直线垂直的方法； 2.空间想象素养和逻辑推理素养.
温故知新
直线与直线的位置关系有几种，分别是什么？
文字语言 交点个数 图形语言 符号语言
平行直线
相交直线
异面直线
没有交点
没有交点
有1个交点
a
b
a
A
b
a//b
a
b
P
a∩b=P
a与b异面
知新引入
如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线 与直线AB，
直线A'C' 与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线
A'C' 与A'D' 相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何描
述这种差异呢？
A
B
C
D
空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线．在初中我们已经研究了平行直线和相交直线．本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系．
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），他刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜程度．类似的，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系．
知新探究
研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题．
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b所成的角(或夹角).
a
b
O
知新探究
如果两条异面直线所成的角是直角，那我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
当两条直线a、b互相平行时，规定它们所成角为0°.所以空间两条直线所成的角的取值范围为0°≤α≤90°.
直线a,b所成的角的大小与点O的位置有关吗？
知新探究
a
a″
b
∠2
b ′
a′
O
∠1
如图，设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
同理 b′∥b″,
∵ a′∥a , a″ ∥a，
∴ a′∥ a″ (基本事实4),
∴ ∠1 = ∠2 (等角定理).
由此可得，直线a,b所成的角的大小与点O的位置无关.
知新探究
思考：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗？
a
b
c
d
如图，在空间中，直线b⊥a,c⊥a,d⊥a,虽然c∥d,但c与b相交，d与b异面.
因此，在空间中，垂直于同一条直线的两直线不一定平行，它们也可能相交或异面.
知新探究
思考：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？
垂直分为两种：
相交直线的垂直
异面直线的垂直
如图可得，如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那么另一条也与这条直线垂直.
知新探究
【例1】如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中.
⑴哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？
⑵直线BA'和CC'所成的角是多少？
⑶直线BA'和AC所成的角是多少？
解：
⑴棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直线分别与AA'垂直.
∴直线BA'和CC'所成的角是45°.
⑵∵ABCD－A'B'C'D' 是正方体.
∴BB'∥CC'，
因此∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角.
又∵∠A'BB'=45°,
知新探究
【例1】如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中.
⑴哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？
⑵直线BA'和CC'所成的角是多少？
⑶直线BA'和AC所成的角是多少？
解：
⑶连接A'C'.∵ABCD－A'B'C'D' 是正方体.
∴AC∥A'C'.
连接,易知△A'BC'是等边三角形，即∠AA'C'=60°.
∴AA'∥CC'，且AA'=CC'.
∴四边形AA'C'C是平行四边形.
∴∠AA'C'为异面直线BA'和AC所成的角.
则异面直线BA'和AC所成的角等于60°.
初试身手
平面与平面平行的判定定理
1.（P148练习第3题）如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB=AD=, AE=2.
⑴求BC和EG所成的角是多少度
⑵求AE和BG所成的角是多少度
解：
⑴∵GF∥BC，
∴∠EGF（或其补角）为所求的角.
∴∠FBG（或其补角）为所求的角,
∴BC和EG所成的角等于45°.
在Rt△EFG中，可求得∠EGF = 45°.
⑵∵BF∥AE.
∴AE和BG所成的角等于60°.
A
B
G
F
H
E
D
C
2
在Rt△BFG中，可求得∠FBG = 60°.
知新探究
【例2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1 的中心．
求证：AO1⊥BD.
∴直线AO1与B1D1所成角即为直线AO1与BD所成角.
证明：
如图，连接B1D1,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体.
∴B1D1∥BD，
连接直线AB1，AD1，易证AB1=AD1.
∴四边形BB1D1D是平行四边形.
∴O1为B1D1的中点，
∴BB1 DD1，
又O1为底面A1B1C1D1 的中心，
∴AO1⊥B1D1，
∴AO1⊥BD.
知新探究
从例1与例2的解答可以看到，为了简便，求异面直线a,b所成角时，点O常取在两条异面直线的一条上.例如取在直线b上，然后经过点O作直线a′∥a ，那么直线a′与b所成的角就是异面直线a与b所成的角.
a
b
知新探究
求两条异面直线所成的角的大小的一般步骤
初试身手
2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.
解：
方法1：如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
O
G
∴GO⊥A1C1.
初试身手
2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.
解：
方法2：如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE=DB1.
于是∠HEF（或其补角）为异面直线DB1与EF所成的角.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
I
H
∴HI⊥IF.
连接HF,设AA1=1,则EF=,HE=,取A1D1的中点I,连接IF,IH,则
∴HF2=HI2+IF2=,
∴HF2=EF2+HE2,
∴∠HEF=90°,
初试身手
3.空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为50°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为 .
解：
如图，取BD中点G，连接EG，FG，
∵AB与CD所成的角为50°，
∴EG=FG，EF与AB所成角为∠EFG，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴∠EGF=50°或∠EGF=130°，
∴EF与AB所成角的大小为25°或65°.
则由三角形中位线定理得EG∥CD，EG=CD，FG∥AB，FG=AB，
25°或65°
课堂小结
1.异面直线所成的角（定义，角的范围）；
2.两条异面直线互相垂直；
3.求异面直线所成的角（步骤，方法）.
作业布置
作业： P148 练习 第1，2, 4题
补充：
如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1 中, AB =AD =, AA 1=2.
⑴求BC和A1C1所成的角是多少度
⑵求AA1和BC1所成的角是多少度
A
B
C1
B1
D1
A1
D
C
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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