22.2《相似三角形的判定》课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
A
A
B
D
D
C
1﹒下列说法中，不正确的是（ ）
A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似
B.底角为40°的两个等腰三角形相似
C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似
D.有个角为30°的两个等腰三角形相似
解答：A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似，因为两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个直角三角形相似，故A正确；21·cn·jy·com
B.底角为40°的两个等腰三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故B正确；
C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故C正确；
D.有个角为30°的两个等腰三角形相似，因为可能一个角为顶点，另一个为底角，所以这两个等腰三角形不相似，故D错误， 21*cnjy*com
故选：D.
2﹒如图，点P是平行四边形ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对【来源：21cnj*y.co*m】
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选：D．
3﹒如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）www.21-cn-jy.com
A.∠AED＝∠B B.∠ADE＝∠C C.＝ D.＝
解答：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△ADE，
当＝时，△ABC∽△ADE，
故选：C.
4﹒如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是（ ）21教育名师原创作品
① ② ③ ④
A.①与② B.①与③ C.②与③ D.②与④
解答：由勾股定理可求出图①中三角形的各边长分别为2，，，
图③中三角形的各边长分别为2，2，2，
∵＝＝，
∴图①中三角形与图③中三角形相似，
故选：B.
5﹒如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4，则BC的长为（ ）
A.12 B.11 C.10 D.8
解答：∵＝，AD+DB＝AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：BC＝12.
故选：A.
6﹒在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）【出处：21教育名师】
A. B. C. D.21*cnjy*com
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ED∥BC，BC＝AD，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
设ED＝k，则AE＝2k，BC＝3k，
∴，
故选：A.
7﹒如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交BD于点F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为（ ）【版权所有：21教育】
A.4 B.7 C.3 D.12
解答：∵DE：EA＝3：4，
∴DE：DA＝3：7，
∵EF∥AB，
∴，
∵EF＝3，
∴，
解得：AB＝7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝7，
故选：B.
8﹒如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC.已知BP＝PC，则下列结论错误的是（ ）
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠E C.△PFC∽△PCE D.△EFC∽△ECB
解答：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABC－∠PBC＝∠DCB－∠PCB，
∴∠1＝∠2，故A正确，
∵CE∥AB，
∴∠1＝∠E，
∴∠2＝∠E，故B正确；
∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PFC∽△PCE，故C正确；
由已知条件不能证明△EFC∽△ECB，
故选：D.
9﹒如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE＝2cm，则AC的长为（ ）
A.3cm B.4cm C.2cm D.2cm
解答：∵E是AAC的中点，∴，
∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥BC，
∴，∴，
∴BC＝4cm，
∵AB＝AC，且四边形DEFG是正方形，
∴FC＝(4－2)＝1cm，
由勾股定理得：EC＝＝cm，
∴AC＝2EC＝2cm，
故选D.
10.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点，给出下列结论：①CE∥AD；②AC2＝ABAD；③△CDF∽△BCE；④AC：AF＝DE：DF，其中正确的有（ ）
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
解答：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，
∴AE＝CE＝BE，
∴∠ACE＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴CE∥AD，故①正确；
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即AC2＝ABAD，故②正确；
∵CE∥AD，
∴，∴，
∴，故④正确，
∵△CDF与△BCE不具备相似的条件，∴③不正确，
故选：C.
二、细心填一填
11. 4，①②④⑤； 12. △APB∽△CPA； 13. ；
14. ； 15. ； 16. ；
11.如图，有下列条件：①∠B＝∠C；②∠ADB＝∠AEC；③；④；
⑤，其中一个条件就能使△BPE∽△CPD的条件有___________个，它们分别是__________________.（只填写序号）2·1·c·n·j·y
解答：使△BPE∽△CPD的条件有4个，
∵∠CPD＝∠BPE，∠B＝∠C，∴△BPE∽△CPD，故①符合；
∵∠ADB＝∠AEC，∴∠CDP＝∠BEP，
∵∠CPD＝∠BPE，∴△BPE∽△CPD，故②符合
∵∠A＝∠A，，
∴△ACE∽△ABD，
∴∠ADB＝∠AEC，∴∠CDP＝∠BEP，
∵∠CPD＝∠BPE，∴△BPE∽△CPD，故④符合；
∵∠CPD＝∠BPE，，
∴△BPE∽△CPD，故⑤符合，
故答案为：4，①②④⑤.
12.如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________.21cnjy.com
解答：∵AP＝，PB＝1，PC＝5，
∴，，
∵∠APB＝∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA.
13.如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则线段AD的长为__________.21世纪教育网版权所有
解答：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∵AB＝5，AC＝3，
∴，∴AD＝，
故答案为：．
14. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于________.
解答：∵∠AEC＝∠BED，
∴当时，△BDE∽△ACE，
即，
∴CE＝，
故答案为：．
15.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于__________.
解答：∵∠ADO＝∠ADO，∠DOA＝∠DAE＝90°，
∴△AOD∽△EAD，
∴，
故答案为：.
16.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O，则线段OM＝________.21教育网
解答：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，∴OC＝5，
∵A与C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN，∴∠COM＝90°，
∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠COM＝∠B＝90°，
又∵∠MCO＝∠ACB，
∴△COM∽△CBA，
∴，
∴OM＝，
故答案为：.
三、解答题
17.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.21·世纪*教育网
解答：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°－∠B＝135°，
∵∠2+∠ADE+∠3＝180°，∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝180°－∠ADE＝135°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABD∽△DCE.
18.在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE.
（1）若AB＝AE，求证：∠DAE＝∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值.
解答：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE＝AB，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠DAE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DAE＝∠D；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△BEF∽△AFD，
∴，
∵E为BC的中点，
∴BE＝BC＝AD，即，
∴EF：FA＝1：2．
19.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，
∠F＝∠C.
（1）若BC＝8，求FD的长；
（2）若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE.
解答：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝4，DE∥BC．
∴∠AED＝∠C．
∵∠F＝∠C，
∴∠AED＝∠F，
∴FD＝DE＝4；
（2）∵AB＝AC，DE∥BC．
∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE，
∵∠AED＝∠F，
∴∠ADE＝∠F，
又∵∠AED＝∠AED，
∴△ADE∽△DFE．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.
（1）求证：ACCD＝CPBP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长.
解答：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴ABCD＝CPBP，
∵AB＝AC，
∴ACCD＝CPBP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP．
∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C．
∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，∴．
∵AB＝10，BC＝12，∴，
∴BP＝．
21.已知：如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H.www-2-1-cnjy-com
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并加以证明；
（3）若E是BC的中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长.
解答：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝∠ECF＝90°，
∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM，
∵BG⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠ABH+∠BAG＝90°，∠ECM+∠BAG＝90°，
∴∠ABH＝∠ECM，
又∠BAH＝∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；
（3）作MN⊥BC于点N，
∵AB＝BE＝EC＝2，MN∥AB，
∴，∠AEB＝45°，
∴∠MEN＝45°，NC＝2MN，
∴MN＝EN＝NC，
∵NC+EN＝EC＝2，∴MN＝EN＝2×＝，
∴EM2＝MN2+EN2＝()2+()2，
∴EM＝.
22.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.2-1-c-n-j-y
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长.
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，∴，即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE－AD＝4.9．
23.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动.如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？
解答：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴，即，
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴，即，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．
2015～2016学年度九年级上学期数学课时练习题
22.2 相似三角形的判定
一、精心选一选
1﹒下列说法中，不正确的是（ ）
A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似
B.底角为40°的两个等腰三角形相似
C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似
D.有个角为30°的两个等腰三角形相似
2﹒如图，点P是平行四边形ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）21·cn·jy·com
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
第2题图 第3题图 第5题图 第6题图
3﹒如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）www.21-cn-jy.com
A.∠AED＝∠B B.∠ADE＝∠C C.＝ D.＝
4﹒如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
① ② ③ ④
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
5﹒如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4，则BC的长为（ ）
A.12 B.11 C.10 D.8
6﹒如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）21·世纪*教育网
A. B. C. D.
7﹒如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交BD于点F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A.4 B.7 C.3 D.12
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8﹒如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC.已知BP＝PC，则下列结论错误的是（ ）2-1-c-n-j-y
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠E C.△PFC∽△PCE D.△EFC∽△ECB
9﹒如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE＝2cm，则AC的长为（ ） 21*cnjy*com
A.3cm B.4cm C.2cm D.2cm
10.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点，给出下列结论：①CE∥AD；②AC2＝ABAD；③△CDF∽△BCE；④AC：AF＝DE：DF，其中正确的有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
二、细心填一填
11.如图，有下列条件：①∠B＝∠C；②∠ADB＝∠AEC；③；④；
⑤，其中一个条件就能使△BPE∽△CPD的条件有___________个，它们分别是__________________.（只填写序号）【出处：21教育名师】
第11题图 第12题图 第13题图
12.如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________.21cnjy.com
13.如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则线段AD的长为__________.21世纪教育网版权所有
14. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于________.
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于__________.
16.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O，则线段OM＝________.【版权所有：21教育】
三、解答题
17.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.21教育名师原创作品
18.在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE.
（1）若AB＝AE，求证：∠DAE＝∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值.
19.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，
∠F＝∠C.
（1）若BC＝8，求FD的长；
（2）若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE.
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.
（1）求证：ACCD＝CPBP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长.
21.已知：如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H.21教育网
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并加以证明；
（3）若E是BC的中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长.
22.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.2·1·c·n·j·y
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长.
23.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动.如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？
