2022-2023学年山东省烟台市栖霞市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市栖霞市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 的相反数是 B. 的绝对值是 C. 的倒数是 D. 的平方根是
2.下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是( )
A. B. C. D.
6.物理某一实验的电路图如图所示，其中，， 为电路开关，，为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，是北偏东方向的一条射线，将射线绕点逆时针旋转得到射线，则的方位角是( )
A. 北偏西
B. 北偏西
C. 北偏西
D. 北偏西
8.如图，用正方形按规律依次拼成下列图案由图知，第个图案中有个正方形；第个图案中有个正方形；第个图案中有个正方形按此规律，第个图案中有个正方形．( )
A. B. C. D.
9.如图，二次函数的图象经过点，点，点，其中，下列结论：，，方程有两个不相等的实数根，不等式的解集为，其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
10.如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，它沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能大致反映变量与变量的关系图象的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. ______．
12.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它渊远流长，趣味浓厚．如图，在某平面直角坐标系中，如果
所在位置的坐标为，
所在位置的坐标为，那么
所在位置的坐标为______．
13.如图，在由相同的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点称为格点，已知点、、、、都在格点上，连结交于点则的值为______．
14.如图，的半径为，圆心，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线的顶点，若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为______．
16.如图，用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于、的二元一次方程组为实数，若方程组的解始终满足，化简并求的值．
18.本小题分
已知：如图，，，，，垂足为点，点为的中点连接，试判断与的位置关系，并证明．
19.本小题分
为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的实心球，立定跳远，跑步，跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图，图的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
请计算学生总人数；
请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
随机抽取了名喜欢“跑步”的学生，其中有名女生，名男生，现从这名学生中任意抽取名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
20.本小题分
如图，是一座人行天桥示意图，天桥离地面的高是，坡面的倾斜角，在距离点处有一建筑物为方便行人过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处需留至少人行道，则该建筑物是否需要拆除？请通过计算说明理由．参考数据：，，
21.本小题分
某地区为筹备一项庆典，计划搭配，两种园艺造型共个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆；搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆，且搭配一个种造型的花卉成本是元，搭配一个种造型的花卉成本是元．
试求甲、乙两种花卉每盆各多少元？
若利用现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉进行搭配，则有哪几种搭配方案？
22.本小题分
如图，在中，，是的角平分线，以上一点为圆心，为弦作．
尺规作图：作出不写作法与证明，保留作图痕迹；
求证：为的切线．
23.本小题分
在矩形中，，，
【问题发现】
如图，为边上的一个点，连接，过点作的垂线交于点，试猜想与的数量关系并说明理由．
【类比探究】
如图，为边上的一个点，为边延长线上的一个点，连接交于点，过点作的垂线交于点，试猜想与的数量关系并说明理由．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，且．
求、的值；
在抛物线上求一点，使得四边形是以为对角线的菱形；
在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、的相反数是，错误；
B、的绝对值是，正确；
C、的倒数是，错误；
D、的平方根是，错误；
故选：．
根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可．
此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答．
2.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3.【答案】
【解析】解：，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C.，故选项错误，不符合题意；
D.，故选项正确，符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法法则分别计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法法则，熟记相关运算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：用平面取截圆锥，如图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条直线，所以截面的形状应该是．
故选：．
用平面取截圆锥，如图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条直线，据此从四个选项中选择即可．
本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线．
5.【答案】
【解析】解：设多边形的边数为，
则，
解得：，
故选：．
设多边形的边数为，根据多边形的内角和及外角和列得方程，解得的值即可．
本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有种情况，
能让两盏灯泡同时发光的概率为：．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比
7.【答案】
【解析】解：，
故选：．
先求角的差，再根据方位求解．
本题考查了旋转，角的计算是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：第个图案中有个正方形，
第个图案中有个正方形，
第个图案中有个正方形，
第个图案中有个正方形，
，
按此规律排列下去，则第个图案中黑色三角形的个数为，
第个图案中黑色三角形的个数为，
故选：．
观察发现每一个图形中正方形个数，总结出个数规律为，利用此规律求解即可．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第个图案中正方形的个数为．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数与不等式组，根的判别式，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用点，点求出对称轴，然后利用判断即可；
把点代入中可得，再结合中的结论即可解答；
利用直线与二次函数的图象的交点个数判断即可；
先求出函数的对称轴，再求出与轴的两个交点坐标即可解答．
【解答】
解：二次函数的图象经过点，点，
二次函数的图象的对称轴是直线：，
，
，
，
，
，，
，
故正确；
把点代入中可得：，
，
由得：，
，
，
，
，
故正确；
由图可知：
直线与二次函数的图象抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
故正确；
二次函数的图象经过点，点，
，
二次函数的图象经过点，
，
，
二次函数的对称轴为直线：，
把代入二次函数中可得：，
二次函数的图象与轴的一个交点为：，
设二次函数的图象与轴的另一个交点为，
，
，
不等式的解集为，
不等式的解集为，
二次函数的图象的对称轴是直线：，
，
，
不等式的解集为，
故正确，
所以：正确结论的个数有个，
故选D．
10.【答案】
【解析】解：由点运动状态可知，当时，点在上运动，的面积为
当时，点在上运动，的面积
当时，点在上运动，的面积
当时，点在上运动，的面积
故选B．
根据动点在正方形各边上的运动状态分类讨论的面积即可．
本题为动点问题的函数图象探究题，考查了当动点到达临界点前后的图象变化，解答时根据临界点画出一般图形分段讨论即可．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质和绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图所示：所在位置的坐标为：．
故答案为：．
直接利用已知点坐标进而得出原点位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，交于则，
根据题意得：，
∽，
：：：，
；
同理：：：：，
，
，
，
在中，，
故答案是：．
首先连接，交于则，由题意得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，得：：，即可得，同理得，从而得，进而即可求解．
此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
【解答】
解：，
，
点、点关于原点对称，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
圆心，
则，，
由勾股定理得：，
又，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：抛物线与轴交于点，
，抛物线的对称轴为，
顶点坐标为，点坐标为，
点为线段的中点，
点坐标为，
设直线解析式为为常数，且，
将点代入得，
，
将点代入得，
解得，
故答案为：．
先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．
本题综合考查了如何求抛物线与轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以及利用对称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等．
16.【答案】
【解析】解：如图，阴影部分面积是正方形的面积减去，，，部分的面积，
与的和是正方形的面积的一半，的面积是正方形的，
所以，阴影部分面积．
故答案为：．
看图发现阴影部分面积是正方形的面积减去，，，部分的面积，从而分别求得，，的面积即可．
本题利用了正方形的性质求解．七巧板中的每个板的面积都可以利用正方形的性质求出来的．
17.【答案】解：原式
，
对于方程组，得，
，
，
解得：，
则原式．
【解析】根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，解二元一次方程组求出，代入计算得到答案．
本题考查的是分式的化简求值、二元一次方程组的解法，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：，理由如下：
．
．
．
．
．
．
．
在和中．
．
≌．
，．
垂直平分．
．
又，点为的中点．
．
．
【解析】由，可证，再加，，可证明≌，进而得出，，利用垂直平分线的性质可得，最后结合等腰三角形三线合一的性质可得，从而证明．
本题主要考查平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定是解决问题的关键．
19.【答案】解：被调查的学生总人数为人；
本次调查中喜欢“跑步”的学生人数为人，所占百分比为，
补全图形如下：
画树状图得：
共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的有种情况，
刚好抽到同性别学生的概率为．
【解析】用的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；
用抽查的总人数减去、、的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数，再根据四个项目的百分比之和为求出对应的百分比，再画图即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到同性别学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：由题意知，，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
建筑物不需要拆除．
【解析】在、中，利用锐角三角函数分别计算、，然后计算的长，根据与的关系，得结论．
本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大．利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键．
21.【答案】解：设甲种花卉每盆元，乙种花卉每盆元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种花卉每盆元，乙种花卉每盆元．
设搭配个种造型，则搭配个种造型，
依题意得：，
解得：，
为正整数，
可以为，，，
共有种搭配方案，
方案：搭配个种造型，个种造型；
方案：搭配个种造型，个种造型；
方案：搭配个种造型，个种造型．
【解析】设甲种花卉每盆元，乙种花卉每盆元，利用总价单价数量，结合“搭配一个种造型的花卉成本是元，搭配一个种造型的花卉成本是元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种花卉的单价；
设搭配个种造型，则搭配个种造型，根据“搭配个造型所需甲种花卉不超过盆，乙种花卉不超过盆”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各搭配方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】解：如图所示，即为所求；
证明：连接．
，
，
是的角平分线，
，
，
．
又，
，
是的切线．
【解析】因为是弦，所以圆心既在上，也在的垂直平分线上，作的垂直平分线，与的交点即为所求；
因为在圆上，所以只要能证明就说明为的切线．
本题主要考查了复杂作图，切线的判定，角平分线的定义以及平行线的性质，掌握切线的判定方法是解题的关键．
23.【答案】解：，理由如下：
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
；
，理由如下：
过点作的垂线交于点，如图所示：
则四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．

【解析】证明∽，即可得解；
过点作的垂线交于点，证明∽，即可得解
本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
24.【答案】解：解法一：抛物线经过点，
又由题意可知，、是方程的两个根，
，
由已知得
又
解得
当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．
．
解法二：、是方程的两个根，
即方程的两个根．
，
，
解得
当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．
．
四边形是以为对角线的菱形，根据菱形的性质，点必在抛物线的对称轴上，
又
抛物线的顶点即为所求的点．
四边形是以为对角线的菱形，点的坐标为，根据菱形的性质，点必是直线与
抛物线的交点，
当时，，
在抛物线上存在一点，使得四边形为菱形．
四边形不能成为正方形，因为如果四边形为正方形，点的坐标只能是，但这一点不在抛物线上．
【解析】把代入可求，运用两根关系及，对式子合理变形，求；
因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的点，就是抛物线的顶点；
四边形是以为对角线的菱形，垂直平分，求出的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段的长度关系，判断是否为正方形．
本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法．
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