2022-2023学年吉林省松原市前郭县三校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省松原市前郭县三校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，比小的数是( )
A. B. C. D.
2.如图是由个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列各式中计算结果为的是( )
A. B. C. D.
4.某工程队承接了万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则下面所列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，射线，分别与直线交于点，现将射线沿直线向右平移过点，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，与切于点，，是上一点，连接并延长与交于点，连接，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.年初新冠肺炎疫情发生以来，近名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线．将数据用科学记数法表示为______．
8.因式分解：______．
9.若式子有意义，则的取值范围为______．
10.计算：______．
11.在平面直角坐标系中，若抛物线与轴只有一个交点，则 ______．
12.如图，在矩形中，是对角线，延长到，使，连接若，则______度．
13.如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点坐标为______．
14.如图，在中，直线是边的垂直平分线，与边交于点是边上一点，把沿折叠，点落在点处，过点，且若，则的度数为______度
三、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
16.本小题分
今年是农历辛丑年，即牛年，如图，现有三张正面印有不同牛图案的不透明卡片、、，卡片除正面图案不同外其余均相同将三张卡片正面向下洗匀，小宇从中随机抽取两张卡片，请用画树形图或列表的方法，求小宇抽出的两张卡片中必有一张卡片的概率．
17.本小题分
如图，已知是上一点，，，，，求的度数．
18.本小题分
如图，在网格中，每个小正方形的边长都是，每个顶点称为格点线段的端点都在格点上按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
如图，画一个以为一边的三角形，是轴对称图形；
如图，画一个以为一边，面积为，且是中心对称的四边形；
如图，画一个以为一边的菱形不是正方形．
19.本小题分
如图，海上，两岛分别位于岛的正东和正北方向，一艘船从岛出发，以海里时的速度向正北方向航行小时到达岛，此时测得岛在岛的南偏东，求，两岛之间的距离结果精确到个位【参考数据：，，】
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中有，已知，，，．
点的坐标是______；
将沿轴正方向平移得到，且，两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．
21.本小题分
校学生处为了了解全校名学生每天在上学路上所用的时间，随机调查了名学生下面是某一天这名学生上学所用时间单位：分钟：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
通过整理和分析数据，得到如下不完全的统计图．
根据所给信息，解答下列问题：
补全条形统计图；
这名学生上学所用时间的中位数为______分钟，众数为______分钟；
若随机问这名同学中其中一名学生的时间，最有可能得到的回答是______分钟；
估计全校学生上学所用时间在分钟及以下的人数．
22.本小题分
甲车从地出发向地匀速行驶，甲出发小时后，乙车从地出发沿同一条路向地匀速行驶两车相遇后乙车立即以原来速度返回地，甲车继续以原来速度行驶到地甲、乙两车之间的距离与甲车的行驶时间之间的函数图象如图所示．
甲车的速度是______；
乙车出发后，甲、乙两车相遇之前，求出与之间的函数关系式，并写出自变的取值范围；
直接写出的值．
23.本小题分
在矩形纸片中，点，分别为边，的中点，点，分别在边，上，且将沿折叠，点的对应点为点，将沿折叠，点的对应点为点．
如图，若点，分别落在边，上，则四边形的形状是______；
如图，若点，均落在矩形内部，直线与直线交于点，其它条件不变，则第小题的结论是否仍然成立？说明其理由；
如图，若，，当四边形为菱形时，直接写出的长度．
24.本小题分
如图，在中，，，，是中线．点从点出发以速度沿折线匀速运动，到点停止运动．过点作，垂足为点，以为一边作矩形，且点，始终位于的异侧，矩形与的重叠部分面积为，点的运动时间为．
当点在边上时，______
求与之间的函数关系式．
当矩形与的重叠部分为轴对称图形时，直接写出的取值范围．
25.本小题分
如图，点，点，点、关于原点的对称点分别为点、线段沿轴向下平移个单位长度，得到线段，抛物线过点，．
当时，______；
求与之间的关系式；
线段沿轴向下平移个单位长度，得到线段，抛物线过点，．
______；用含的式子来表示与之间的关系式为______．
点在轴上，当为等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据负数的绝对值越大负数反而小，可得答案．
本题考查了有理数大小比较，利用负数的绝对值越大负数反而小是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：从上面看：有三行，每行的个数分别为，，，
符合要求的图形为：
故选：．
根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．
3.【答案】
【解析】解：与不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此选项不符合题意；
同理选项B不符合题意；
，因此选项C符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．
4.【答案】
【解析】解：设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，
则原计划每天绿化的面积为万平方米，
依题意，得：，
即．
故选：．
设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前天完成了这一任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，，
，
，，
，
故选：．
利用平行线的性质求出，这两天平角的定义求出即可．
本题考查平移的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：与切于点，
，
，
，
，
，
，
的长，
故选：．
根据切线的性质得到，根据三角形的内角和得到，根据弧长的计算公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：将数据用科学记数法表示为，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
8.【答案】
【解析】解：原式．
故答案是：．
利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查了运用公式法因式分解，解题的关键是能够灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可．
本题考查了分式的乘除法则，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得，
故答案为．
由题意得：，即可求解．
本题考查的是抛物线和轴的交点，时，抛物线与轴有个交点，时，抛物线与轴有个交点，时，抛物线与轴没有交点．
12.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：点，的坐标分别为，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
点的坐标为，
故答案为：，
求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可．
本题考查了勾股定理，解此题的关键是求出的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
14.【答案】
【解析】解：由折叠的性质可得：，，
设，则，
，
，
，
，
解得：，
，
，
直线是边的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由折叠的性质可得，，设，则，由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理求出，从而得出，再由线段垂直平分线的性质可得推出，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
15.【答案】解：原式
．
当时，
原式．
【解析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
本题考查了整式的乘法运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、单项式乘以多项式的运算法则．
16.【答案】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中含的情况有种，
两张卡片中必有一张卡片．
【解析】根据题干画树形图，得出所有含卡片的情况，然后根据概率公式求解．
本题考查用列表法或画树状图法求概率，解题关键是掌握两种求概率的方法．
17.【答案】解：，
，
在和中，
≌，
，
，
．
【解析】根据，可以得到，然后根据即可证明≌，从而可以得到，再根据的度数，即可得到的度数．
本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：如图所示，即为所求．
如图所示，四边形即为所求．
如图所示，菱形即为所求．
【解析】以为腰画等腰三角形即可；
以为一边，画面积为的平行四边形即可；
根据菱形的定义画图即可．
本题考查了作图设计与应用，解题的关键是掌握轴对称图形，中心对称图形以及菱形的判定．
19.【答案】解：由题可知，海里，
，，
在中，，
海里．
答：，两岛之间的距离约为海里．
【解析】根据路程速度时间，可得海里，在中，利用正切函数的定义可得，将数值代入计算即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正切函数的定义，路程、速度与时间自己的关系，难度一般．理解方向角的定义，将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
20.【答案】解：
设沿轴的正方向平移个单位，
则，则
又点和在该比例函数图象上，
，
即，
解得，
即反比例函数解析式为．
【解析】解：作轴于点，
．
，，
在和，
，
≌，
，，，
又点在第二象限，
；
故答案为；
见答案
【分析】作轴于点，根据证明≌，求出的长度，进而求出点的坐标；
设沿轴的正方向平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，求出的值，进而求出的值，即可求出反比例函数的解析式．
本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识，解决第问关键求出的值，此题难度不是很大．
21.【答案】
【解析】解：补全条形统计图如图所示．
这名学生用时数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是分钟，
因此中位数是，即，
这名学生用时数据出现次数最多的是分钟，
因此众数是，即，
故答案为：，；
由于众数是分钟，
因此用时为分钟的学生最多，
所以最有可能得到的回答是分钟；
故答案为：；
人，
答：估计全校学生上学时间在分钟及以下的人数约为人．
根据频数统计的方法可得“分钟”和“分钟”的频数，进而补全条形统计图；
根据众数的意义，找出出现次数最多的数即可，根据中位数的意义，求出排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可；
根据众数和可能性的大小即可得出答案；
用乘以样本中“分钟及以下”的学生所占比例即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图，中位数、众数，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
22.【答案】
【解析】解：根据题意可得甲车的速度为：，
故答案为：；
设解析式为，
图象过点，，
则，
解得，
；
乙车的速度为：，
相遇后甲车到达地的时间为：小时，
．
根据题意结合图象即可得出甲车的速度；
利用待定系数法解答即可；
根据两车的速度与相遇时离地的距离解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】平行四边形
【解析】解：结论：四边形是平行四边形．
理由：如图中，
四边形是矩形，
，，，
点，分别是，的中点，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
故答案为平行四边形．
仍然成立．
理由：
四边形是矩形，
，
，，
，
又，，
≌，
，
由折叠得，，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
．
连接，交于点，延长交于，延长交于点，
四边形是菱形，
，
，分别是，的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
为的中点，
，
由折叠的性质可知，
，
，
设，则，
，
，
解得，
．
结论：四边形是平行四边形．想办法证明，即可．
成立．想办法证明，即可．
如图中，连接，交于点，延长交于，延长交于根据勾股定理求出即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24.【答案】
【解析】解：如图中，
在中，，，，
，，
，
，
，
，
，
解得，
故答案为．
如图，当时，重叠部分是矩形，
，
，
，
．
如图，当时，重叠部分是五边形，
，
， ，， ，
．
如图，当时，重叠部分是五边形．
，
，，，
．
观察图象可知当时，满足条件，
如图中，当时，也满足条件，可得
解得，
综上所述，满足条件的的值为或．
由，推出，由此构建方程求解即可．
分三种情形：如图，当时，重叠部分是矩形如图，当时，重叠部分是五边形如图，当时，重叠部分是五边形分别求解即可．
根据轴对称图形的定义，分两种情形求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，解直角三角形，轴对称图形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】
【解析】解：点、关于原点的对称点分别为点、，则点、的坐标分别为、，
则平移后、的坐标分别为、，则，
，
，
当时，，
故答案为；
由得：，
平移后点、的坐标分别为、，则，
解得：，而，
故，
故答案为：；；
平移后点的坐标为，即，而点，
Ⅰ当为直角时，如图，
连接、，
，，
，
而，，
≌，
，，
即且，解得：，
故点的坐标为；
Ⅱ当为直角时，过作，过点作交的延长线于点，
同理可得：≌，
且，
即且，解得：；
Ⅲ当为直角时，简图如图，
过点作轴，过点作轴的平行线交的延长线于点，
同理可得：≌，
，，
即，，
解得：，故点；
综上，点的坐标为或或．
平移后、的坐标分别为、，则，即可求解；
平移后点、的坐标分别为、，则，即可求解；
分为直角、为直角、为直角三种情况，利用三角形全等求解即可．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
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