第18章 勾股定理单元测试题（基础卷 含解析）

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2023-2024学年数学八年级勾股定理（沪科版）
单元测试 基础卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（ ）米
A．3 B．4 C．5 D．
2．（本题3分）在直角二角形中，两直角边的长度分别为和．则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（本题3分）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（ ）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
5．（本题3分）如图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形，若，则点到的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．（本题3分）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（　　）
A． B． C． D．
7．（本题3分）一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．5 B．13 C．10 D．14
8．（本题3分）若一个直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A． B．13或 C．13或15 D．15
9．（本题3分）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在中，则（　　）
A． B． C． D．4
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）直角的一条边长为3，另一条边长为4，则第三条边的长为 ．
12．（本题3分）我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“1”的线段作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点”，如图线段的长度是 ．

13．（本题3分）如图，由三个正方形拼成的图形中，字母B所代表的正方形面积是 ．
14．（本题3分）如图，在直角三角形中，，则 ．
15．（本题3分）在中，已知的度数之比是，求 ．
16．（本题3分）如图，南北方向的海岸线上有一港口P，甲乙两艘轮船同时离开港口P，甲船以12海里/时的速度沿南偏东的方向航行；乙船以16海里/时的速度沿一固定方向航行，1.5小时后，它们分别位于点Q，R处，此时它们相距30海里，则乙船的航行方向是 ．
17．（本题3分）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ．
18．（本题3分）如图，在锐角中，，，点，分别在边，上，，沿将翻折到，则的最小值为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线的解析式为．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线被直线和y轴所截线段的长．
20．（本题8分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点D坐标为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．

(1)如图①，当点P经过点C时，的长为______．
(2)如图②，把长方形沿着直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，求点P的坐标．
(3)在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形 若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本题10分）如图，在中，点D在边上，连接，过点D作于点E，试说明．

22．（本题10分）如图四边形中，，求四边形的面积．
23．（本题10分）如图在四边形中，，，，且，求的度数．
24．（本题10分）阅读下列一段文字，回答问题．
[材料阅读]平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如图1，，，则＝
[直接应用]
(1)已知，，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．
①求点B的坐标；
②试判断的形状．
25．（本题10分）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当秒时，求的长．
(2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形．
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度，是解答本题的关键．
【详解】如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接，
此时所需彩带最短，最短长度为，
，由题意得米. 米，
由勾股定理得，即 ，
解得米(负值已舍).
故选D.
2．A
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可．
【详解】解；∵在直角二角形中，两直角边的长度分别为和，
∴斜边的长为，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.
【详解】解：斜边为，
故选D.
4．D
【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可．
【详解】解：如图，，，，，
在中，
∵，
∴，
∴
∴，即小巷的宽度为2.7米．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
过点B作与点D，
∵，
∴，
则，
解得：，
即点到的距离为，
故选：B．
6．C
【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【详解】解：在中，（米，
故可得地毯长度（米，
故选：．
7．C
【分析】本题主要考查勾股定理．根据勾股定理计算即可求解．
【详解】解：由勾股定理可得，
斜边长为：，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可．
【详解】解：当12是斜边时，第三边是；
当12是直角边时，第三边是．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
如图，过点作交于．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了直角三角形的特征量，勾股定理，根据题意，，得到，根据勾股定理，得，选择即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选B．
11．5或
【分析】本题考查了勾股定理，已知直角三角形的两边长分别为3和4，则有两种情况，一种是这两边都是直角边，则第三边是斜边；另一种是已知的两边一条是直角边，另一条是斜边，则第三边是直角边，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当3和4都是直角边时，第三条边的长为；
当4为斜边，3为直角边时，第三条边的长为，
∴第三条边的长为5或 ．
故选：5或 ．
12．
【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，勾股定理， 利用勾股定理求得对角线的长度再结合图形即可求解．
【详解】解：根据题意知，
，
故答案为：
13．
【分析】
本题主要考查勾股定理，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积．
【详解】解：由勾股定理得，字母B所代表的正方形面积．
故答案为：．
14．8
【分析】根据勾股定理进行求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】∵，
∴．
故答案为：8
15．
【分析】本题考查了三角形的内角和，含30度角直角三角形的特征，勾股定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．先求出的度数，则，得出，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵的度数之比是，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
故答案为：．
16．北偏东
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是直角三角形是解题关键．
直接利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而得出方向角．
【详解】解：由题意可得：，，，，
在中，，
，
，
是直角三角形，且，
∴
∴乙船的航行方向是北偏东．
故答案为：北偏东．
17．6
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键．
【详解】解：∵折叠，
∴，
设，
∵在长方形中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
18．/
【分析】连接、，作于点，则，，求得，，则，即可根据勾股定理求得，由翻折得，因为，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、，作于点，则，
，，，
，，
，，
，
，
由翻折得，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题重点考查轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与一次函数的交点以及勾股定理．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）先求出两条之间的交点C，过点C作轴于点D，求得和，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：由题意，设为，
再将A、B两点代入得∶
，
解得：，
∴直线的解析式为：
（2）设直线和直线的交点为C，
联立两方程：，
解得：，
∴，
过点C作轴于点D，如图，
则，，，
在中，，
故直线被直线和y轴所截线段的长为．
20．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）分别求得，的长度，然后利用勾股定理解答即可；
（2）根据翻折的性质，可知，由勾股定理可以求出的长，从而求出的长，在根据勾股定理求出的长即可．
（3）根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论：；；，结合等腰直角三角形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图1，

，，
；
故答案为：10；
（2）解：由折叠的性质可知，，，
在中，由勾股定理可得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
（3）解：存在，
，
，
①当时，
，
在上，
由勾股定理可得：，
，
②当时，在的垂直平分线，
在上，
，
③当时，在上，
由①可知，，
，
的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标、勾股定理及等腰三角形的性质，合理运用勾股定理及等腰三角形的性质是本题解题的关键．
21．见详解
【分析】本题考查了勾股逆定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是直角三角形，根据勾股定理列式得，然后算出，即可作答．
【详解】解：∵
∴．
在中，，
∴，
同理，
∴
∵
∴，
∴．
∴是直角三角形，
即
22．36
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．根据勾股定理可求得的长，再根据勾股定理逆定理可求得为直角三角形，，即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
又∵，
∴根据勾股定理得： ，
又∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
即四边形的面积是36．
23．．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形．
由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求．
【详解】解：如图所示，连接，
，
，
又，
，
，
是直角三角形，
，
．
故的度数为．
24．(1)
(2)①②直角三角形
【分析】本题考查了求两点间的距离，勾股定理及其逆定理；
（1）将P、Q的坐标代入距离公式是解题的关键；
（2）①设，由勾股定理得，即可求解；②用两点距离公式，分别求出、、的长，由勾股定理逆定理即可求解；
理解两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
P、Q两点间的距离为；
（2）解：①设，
与轴正半轴的夹角是，
，
，
，
解得：，（舍去），
；
②
，
；
，
；
是直角三角形．
25．(1)
(2)出发时间为秒时，是等腰三角形
(3)当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由题意得出，即，解方程即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图，则，易求得；
②当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出．
【详解】（1），
，
，
；
（2）根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
（3）分两种情况：
当时，如图2所示：
则，
秒．
当时，如图3所示：
过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
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