【同步备课参考】人教版八年级数学上册：13.3 等腰三角形 教学设计（4课时）

13.3.1　等腰三角形
第1课时
【教学目标】
教学知识点
1.等腰三角形的概念.
2.等腰三角形的性质.
3.等腰三角形的概念及性质的应用.
能力训练要求
1.经历作(画)出等腰三角形的过程,从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点.
2.探索并掌握等腰三角形的性质.
情感与价值观要求
通过学生的操作和思考,使学生掌握等腰三角形的相关概念,并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.
【教学重难点】
重点:
1.等腰三角形的概念及性质.
2.等腰三角形性质的应用.
难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
师:在前面的学习中,我们认识了轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com ),探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗 ②什么样的三角形是轴对称图形
[生]有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.
师:那什么样的三角形是轴对称图形
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.
师:很好,我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.
二、导入新课
师:同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.
( http: / / www.21cnjy.com )
作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连接AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.
[生乙]在甲同学的做法中,A点可以取直线L上的任意一点.
师:对,按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀,按自己设计的方法,剪出一个等腰三角形.
……
师:按照我们的做法,可以得到等腰三角形的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.
师:有了上述概念,同学们来想一想.
1.等腰三角形是轴对称图形吗 请找出它的对称轴.
2.等腰三角形的两底角有什么关系
3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗
4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗 底边上的高所在的直线呢
[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴 ( http: / / www.21cnjy.com )是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
师:同学们把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后,发现等腰三角形的两个底角相等.
[生丙]我把等腰三角形折叠,使两腰重合,这样顶角平分线两旁的部分就可以重合,所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折,可以看到它两旁的部分互相重合,说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.
[生戊]老师,我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.
师:你们说的是同一条直线吗 大家来动手折叠、观察.
[生齐声]它们是同一条直线.
师:很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.
[生]我沿等腰三角形的顶角 ( http: / / www.21cnjy.com )的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.
师:很好,我们来总结等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).
师:由上面折叠的过程获得启发,我们可以 ( http: / / www.21cnjy.com )通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).
( http: / / www.21cnjy.com )
[生甲]如右图,在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,因为
所以△BAD≌△CAD(SSS).
所以∠B=∠C.
( http: / / www.21cnjy.com )
[生乙]如右图,在△ABC中,AB=AC,作顶角∠BAC的角平分线AD,因为
所以△BAD≌△CAD(SAS),
所以BD=CD,∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°.
师:很好,甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明,过程也写得很条理、很规范.下面我们来看例题.
例:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
师:同学们先思考一下,我们再来分析这个题.
[生]根据等边对等角的性质,我们可 ( http: / / www.21cnjy.com )以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角.
师:这位同学分析得很好,对我们以前 ( http: / / www.21cnjy.com )学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.
解:因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°.
在△ABC中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.
师:下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.
三、随堂练习
课本P56练习1、2、3题.
四、课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性 ( http: / / www.21cnjy.com )质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角),等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高.
我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们.
五、课后作业
课本77页练习.
第2课时
【教学目标】
知识与技能
探索等腰三角形的判定定理.
过程与方法
探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
情感、态度与价值观
通过对等腰三角形的判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com )的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.
【教学重难点】
重点:等腰三角形的判定定理及其应用.
难点:探索等腰三角形的判定定理.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
师:上节课我们学习了等腰三角形的性质,现在大家来回忆一下,等腰三角形有些什么性质呢
[生甲]等腰三角形的两底角相等.
[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
师:同学们回答得很好,我们已经知道了等腰三角形的性质,那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢 这就是我们这节课要研究的问题.
二、导入新课
( http: / / www.21cnjy.com )
师:同学们看下面的问题并 ( http: / / www.21cnjy.com )讨论、思考:如图,位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系
[生甲]应该能同时赶到出事地点.因为两 ( http: / / www.21cnjy.com )艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.
[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要,也就是∠A如果不等于∠B,那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点.
师:现在我们把这个问题一般化,在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系
[生丙]我想它们所对的边应该相等.
师:为什么它们所对的边相等呢 同学们思考一下,给出一个简单的证明.
[生丁]我是运用三角形全等来证明的.
例1:已知:在△ABC中,∠B=∠C(如图).
求证:AB=AC.
证明:作∠BAC的平分线AD.
在△BAD和△CAD中
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∴AB=AC.
师:太好了.从丁同学的证明结论来看,在 ( http: / / www.21cnjy.com )一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等,也就说这个三角形就是等腰三角形.这个结论也回答了我们一开始提出的问题.也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形.
等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
师:下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用.
例2:求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
【分析】这个题是文字叙述的证明题,我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.
已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图).
求证:AB=AC.
师:同学们先思考,再分析.
[生]要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.
师:这位同学首先想到我们这节课的重点内容,很好!
[生]接下来,可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系.
师:我们共同证明,注意每一步证明的理论根据.
证明:∵AD∥BC,
∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
又∵∠1=∠2,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
师:看小黑板,同学们试着完成这个题.
( http: / / www.21cnjy.com )
已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.
求证:AB=AD.
证明:∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC(两直线平行,内错角相等).
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD(等角对等边).
师:下面来看另一个例题.
例3:如图(1),标杆AB的高为5 ( http: / / www.21cnjy.com )米,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子,使得D、B、E在一条直线上,量得DE=4米,绳子CD和CE要多长
( http: / / www.21cnjy.com )(1)　 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
【分析】这是一个与实际生活相关的问题,解 ( http: / / www.21cnjy.com )决这类型问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.
解:选取比例尺为1∶100(即为1 cm代表1 m).
(1)作线段DE=4 cm;
(2)作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B;
(3)在MN上截取BC=2.5 cm;
(4)连接CD、CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以算出要求的绳长.
师:同学们按以上步骤来做一做,看结果是多少.
三、随堂练习
课本79页第1、2、3题
四、课时小结
本节课我们主要探究了等腰三角形判定定 ( http: / / www.21cnjy.com )理,并对判定定理的简单应用作了一定的了解.在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力.
五、课后作业
课本91页第3、6题.
六、活动与探究
[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等.
过程:利用等腰三角形的性质即等边对等角、全等三角形的判定及性质.
结果:
( http: / / www.21cnjy.com )
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的平分线.
求证:BD=CE.
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
[探究2]等腰三角形两腰上的高相等.
过程:同探究1.
( http: / / www.21cnjy.com )
结果:
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BE、CF分别是△ABC的高.
求证:BE=CF.
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵BE、CF分别是△ABC的高,
∴∠BFC=∠CEB=90°.
在△BFC和△CEB中,
∵∠ABC=∠ACB,∠BFC=∠CEB,BC=CB,
∴△BFC≌△CEB(AAS).
∴BE=CF.
[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等.
( http: / / www.21cnjy.com )
过程:同探究1.
结果:
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两腰上的中线.
求证:BD=CE.
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CD=AC,BE=AB,
∴CD=BE.
在△BEC和△CDB中,
∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,
∴△BEC≌△CDB(SAS).
∴BD=CE.
13.3.2　等边三角形
第1课时
【教学目标】
知识与技能
经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.
过程与方法
1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.
2.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
情感、态度与价值观
1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
【教学重难点】
重点:等边三角形判定定理的发现与证明.
难点:
1.等边三角形判定定理的发现与证明.
2.引导学生全面、周到地思考问题.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
师:我们在前两节课研究证明了等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质和判定定理,我们知道,在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形,叫等边三角形.回答下面的三个问题.
1.把等腰三角形的性质用到等边三角形,能得到什么结论
2.一个三角形满足什么条件就是等边三角形
3.你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗 你能证明你的结论吗 把你的证明思路与同伴交流.
(教师应给学生自主探索、思考的时间)
[生甲]由等边对等角的性质可知,等边三角形的三个角相等,又由三角形三内角和定理可知,等边三角形的三个角相等,并且都等于60°.
[生乙]等腰三角形已有两边分别相等,所以我认为只要腰和底边相等,等腰三角形就是等边三角形了.
[生丙]等边三角形的三个内角都相等,且分别都等于60°,我认为等腰三角形的三个内角都等于60°,也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了.
(此时,部分同学同意上面的看法,部分同学不同意上面的看法,引起激烈的争论,教师可让同学代表发表自己的看法)
[生丁]我不同意这个同学的看法 ( http: / / www.21cnjy.com ),因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根据等角对等边,三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等,但这一问题中“已知是等腰三角形,满足什么条件时便是等边三角形”,我觉得他给的条件太多,浪费!
师:给三个角都是60°,这个条件确实有点浪费,那么给什么条件不浪费呢 下面同学们可以在小组内交流自己的看法.
二、导入新课
探索等腰三角形成等边三角形的条件.
[生]如果等腰三角形的顶角是60°,那么这个三角形是等边三角形.
师:你能给大家陈述一下理由吗
[生]根据三角形的内角和定理,顶角是6 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°,再根据等腰三角形两个底角是相等的,所以每个底角分别是120°÷2=60°,则三个内角分别相等,根据等角对等边,则此时等腰三角形的三条边是相等的,即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形.
[生]等腰三角形的底角是60°,那么这个三角形也是等边三角形,同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质.
师:从同学们自主探索和讨论的结果可以发现: ( http: / / www.21cnjy.com )在等腰三角形中,不论底角是60°,还是顶角是60°,那么这个等腰三角形都是等边三角形.你能用更简洁的语言描述这个结论吗
[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
(这个结论的证明对学生来说可 ( http: / / www.21cnjy.com )能有一定的难点,难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况.这是一种分类讨论的思想,教师要关注学生得出证明思路的过程,引导学生全面、周到地思考问题,并有意识地向学生渗透分类的思想方法)
师:你在与同伴的交流过程中,发现了什么或受到了何种启示
[生]我发现我的证明过程没有意识到“有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个角是60°”,在等腰三角形中有两种情况:(1)这个角是底角;(2)这个角是顶角.也就是说我们思考问题要全面、周到.
师:我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况,我们鼓掌表示对他们的鼓励.
今天,我们探索、发现并证明了等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定定理;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,我们在证明这个定理的过程中,还得出了三角形为等边三角形的条件,是什么呢
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形.
师:下面就请同学们来证明这个结论.
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
( http: / / www.21cnjy.com )
求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵∠A=∠B,
∴BC=AC(等角对等边).
又∵∠A=∠C,
∴BC=AB(等角对等边).
∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形.
师:这样,我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到.
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
师:有了上述结论,我们来学习下面的例题,体会上述定理.
( http: / / www.21cnjy.com )
例:如图,课外兴趣小组在一次测量活动中, ( http: / / www.21cnjy.com )测得∠APB=60°,AP=BP=200 m,他们便得出一个结论:A、B之间距离不少于200 m,他们的结论对吗
【分析】我们从该问题中抽象出△APB,由已知条件∠APB=60°且AP=BP,由本节课探究结论知△APB为等边三角形.
解:在△APB中,AP=BP,∠APB=60°,
所以∠PAB=∠PBA=(180°-∠APB)=(180°-60°)=60°.
于是∠PAB=∠PBA=∠APB.
从而△APB为等边三角形,AB的长是200 m,由此可以得出兴趣小组的结论是正确的.
三、随堂练习
(一)课本80页练习第1、2题.
(二)补充练习
( http: / / www.21cnjy.com )
如图,△ABC是等边三角形,∠B和∠C的平分线相交于D,BD、CD的垂直平分线分别交BC于E、F,求证:BE=CF.
证明:连接DE、DF,则BE=DE,DF=CF.
由△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,得∠1=30°,故∠2=30°,从而∠DEF=60°.
同理∠DFE=60°,
故△DEF是等边三角形.
∴DE=DF,
∴BE=CF.
四、课时小结
这节课,我们自主探索、思考了等腰三角形成为等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的条件,并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法.这节课我们学的定理非常重要,在我们今后的学习中起着非常重要的作用.
五、课后作业
课本83页第12、14题.
六、活动与探究
( http: / / www.21cnjy.com )
探究:如图,在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE.△ADE是等边三角形吗 试说明理由.
过程:通过分析、讨论,让学生进一步了解等边三角形的性质及判定.
结果:
已知:三角形ABC为等边三角形.D、E为边AB、AC上两点,且AD=AE.判断△ADE是否是等边三角形,并说明理由.
解:△ADE是等边三角形,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°.
又∵AD=AE,
∴△ADE是等腰三角形.
∴△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
第2课时
【教学目标】
知识与技能
1.探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质.
2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.
过程与方法
1.经历“探索──发现──猜想──证明”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
情感、态度与价值观
1.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.
2.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.
【教学重难点】
重点:含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
难点:1.含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
2.引导学生全面、周到地思考问题.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
师:我们学习过直角三角形,今天我们先 ( http: / / www.21cnjy.com )来看一个特殊的直角三角形,看它具有什么性质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含30°角的直角三角形,它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢
问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形 能拼出一个等边三角形吗 说说你的理由.
由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系 你能证明你的结论吗
二、导入新课
(让学生经历拼摆三角尺的活动,发现结论,同时引导学生意识到,通过实际操作探索出来的结论,还需要给予证明)
[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.
( http: / / www.21cnjy.com )(1)　 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
其中,图(1)是等边三角形,因为△AB ( http: / / www.21cnjy.com )D≌△ACD,所以AB=AC,又因为Rt△ABD中,∠BAD=60°,所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
[生]图(1)中,∠B=∠C=60°,∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所以∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC是等边三角形.
师:同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形.由此你能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系吗
[生]在直角三角形中,30°角所对直角边是斜边的一半.
师:我们仅凭实际操作得出的结论还需证明,你能证明它吗
[生]可以,在图(1)中,我们已经 ( http: / / www.21cnjy.com )知道它是等边三角形,所以AB=BC=AC.而∠ADB=90°,即AD⊥BC.根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得BD=DC=BC.所以BD=AB,即在Rt△ABD中,∠BAD=30°,它所对的边BD是斜边AB的一半.
[师生共析]这位同学能结合前后知识,把问题思路解释得如此清晰,很了不起.下面我们一同来完成这个定理的证明过程.
定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求证:BC=AB.
①　 ( http: / / www.21cnjy.com )②
分析:从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60°.
延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图2)
∵∠ACB=60°,∴∠ACD=90°.
∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
∴BC=BD=AB.
师:这个定理在我们实际生活中有广泛的应用,因为它由角的特殊性,揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系,下面我们就来看一个例题.
例1:如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°,所以DE=AD,BC=AB,又由D是AB的中点,所以AD=AB.
解:因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,由定理知
BC=AB,DE=AD,
所以BD=×7.4=3.7(m).
又AD=AB,
所以DE=AD=×3.7=1.85(m).
答:立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m.
师:再看下面的例题.
例2:等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高.求CD的长.
【分析】观察图形可以发现,在Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )DC中,AC=2a,而∠DAC是△ABC的一个外角,则∠DAC=15°×2=30°,根据在直角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半,可求出CD.
解:∵∠ABC=∠ACB=15°,
∴∠DAC=∠ABC+∠BCA=30°.
∴CD=AC=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
师:下面我们来做练习.
三、随堂练习
(一)课本81页练习.
(二)补充练习
1.已知:△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.
求证:BD=AB.
证明:在Rt△ABC中,∠A=30°,
∴BC=AB.
在Rt△BCD中,∠B=60°,
∴∠BCD=30°.∴BD=BC.∴BD=AB.
2.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两条线段.
求证:其中一条是另一条的2倍.
已知:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.
求证:CD=2AD.
证明:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,
∴∠ABC=60°,∠C=30°.
又∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC=30°.
∴AD=BD,BD=CD.∴CD=2AD.
四、课时小结
这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系.这个定理是个非常重要的定理,在今后的学习中起着非常重要的作用.
五、课后作业
课本82页第15题.
六、活动与探究
在三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.
过程:可以从证明“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.从辅助线的作法中得到启示.
结果:
已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AB.求证:∠BAC=30°.
证明:延长BC到D,使CD=BC,连接AD.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=90°.
又∵AC=AC,
∴△ACB≌△ACD(SAS).
∴AB=AD.
∵CD=BC,
∴BC=BD.
又∵BC=AB,
∴AB=BD.
∴AB=AD=BD,
即△ABD为等边三角形.
∴∠B=60°.
在Rt△ABC中,∠BAC=30°.
　　参考例题
已知,如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.
求证:AN=BM.
( http: / / www.21cnjy.com )
证明:△ACM与△CBN是等边三角形.
∴∠ACM=∠BCN.
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM,
即∠ACN=∠MCB.
在△ACN和△MCB中,
∴△ACN≌△MCB(SAS).
∴AN=BM.