2022-2023学年江西省赣州市经开区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省赣州市经开区九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.在水平的桌台上放置着一个如图所示的笔筒，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，的顶点在量角器外圈的刻度处时，点，所在位置对应的刻度分别为外圈和，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.漏刻是我国古代的一种计时工具如图甲，图乙是其简单示意图经实验记录，得到水位与时间的部分对应关系如表所示．
根据以上信息，可以得到与之间的关系式为( )
A. B. C. D.
6.如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，已知，正方形的面积为，则图中阴影部分的面积之和为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.因式分解：______．
8.过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把数用科学记数法表示为______．
9.如图，已知，请再添加一个条件，使∽，你添加的条件是______写出一个即可．
10.某校组织英语听力比赛，该年级个参赛班级的平均成绩分别为，，，，，，则这个班平均成绩的中位数为 ．
11.如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为，，与的面积之和为，则的值为______．
12.在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接若是直角三角形，点的横坐标为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
计算：．
如图，在中，，若，，求的长．
14.本小题分
把下列解题过程补充完整．
解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
解：由得______．
把去分母得______．
解得______．
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：______．
15.本小题分
从年起，我省高考采用“”模式：“”是指语文、数学、外语科为必选科目，“”是指在物理、历史科中任选科，“”是指在化学、生物、政治、地理科中任选科，共科．
若小丽选择了历史和地理，则她选择生物的概率是______；
若小明选择了物理，用画树状图的方法求他选择化学、生物的概率．
16.本小题分
如图，在的正方形网格中，点、、均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
在图中过点作，垂足为；
在图中过点画线段，使，且．
17.本小题分
如图，直线：与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，轴若沿翻折后的直线交反比例函数于点．
求的值；
求直线的解析式．
18.本小题分
已知关于的方程有两个实数根．
求的取值范围；
当时，原方程有两个实数根，，求的值．
19.本小题分
【课本再现】我们知道，要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上如图，是的直径，为上的点作交于点，垂足为请在图中补全图形，并证明：；
【知识应用】如图，是的直径，弦，垂足为，连接，，若，，求的度数和的半径．
20.本小题分
星海湾大桥是大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道如图，图是其两座主塔，图是两座主塔与的示意图已知主桥面与水面平行，，且，，若小明站在点眼睛处距离桥面望该桥的主塔，此时测得点关于点的俯角为，关于点的俯角为，已知为该桥的主缆，视线恰好经过的中点参考数据：，，，，，
若关于所对应圆的半径为，用含有，的代数式表示的长______；
求星海湾大桥两座主塔之间的距离的长结果取整数．
21.本小题分
近年来，人口老龄化现象日益严峻，引起全社会的广泛关注某校为引导学生关注社会生活，关爱老年人，开展了“当地老年人生活状况调查”为主题的项目学习．
“爱心少年”小组的同学们对某社区部分老年人的生活状况之处理生病问题的方式进行了调查，调查问卷如表所示，并收回问卷后绘制了两幅不完整的统计图：
处理生病问题方式的调查问卷
您好这是一份关于处理生病问题方式的调查问卷，请选择一项您最常使用的方式只选一项，在其后的括号内打“”，非常感谢您的配合
A.子女险同去医院就诊______
B.独自去医院就诊______
C.自己在家里服用备用药______
D.请人帮忙购药______
E.雇佣他人陪同去医院就诊______
请根据以上调查报告，解答下列问题：
这次活动共调查了______人；
在扇形统计图中，“”所占的百分比为______，“”所在扇形的圆心角度数为______度；
请补全条形统计图；
根据调查结果，估计该社区名老年人中感觉身体不适时，选择独自去医院就诊的人数．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”．
小清认为所有的“相反点”都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式：______．
小芳在研究抛物线：时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”请你帮她求出，的值．
在的条件下将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，其中，且求此时的值．
23.本小题分
综合与实践
老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动如图，和都是等腰直角三角形，，点，分别在边，上，连接，点，，分别为，，的中点试判断线段与的数量关系和位置关系．
甲小组发现：，并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程片段前后证明过程已省略：
【片段】点，分别是，的中点，
理由
【片段】，理由
反思交流
填空：理由：______；理由：______；
图中，与的位置关系是______．
乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图的位置，请判断的形状并证明；
丙小组的同学继续探究：把绕点在平面内自由旋转，当，时，直接写出线段长度的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义进行判断即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提．
2.【答案】
【解析】解：如图所示几何体的左视图是．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
3.【答案】
【解析】解：与无法合并，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则逐项判断即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
点，所在位置对应的刻度分别为外圈和，
，
．
故选：．
连接、，根据角之间的数量关系，得出，再根据同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理、量角器，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．
5.【答案】
【解析】解：根据表格中的数据可知，每增加，水位均上升，
是的一次函数．
设与之间的关系式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，解得，
与之间的关系式为．
故选：．
根据表格中的数据可知，每增加，水位均上升，故是的一次函数，从而利用待定系数法求出与之间的关系式即可．
本题考查函数的表示方法和函数关系式，根据数据判定变量之间是一次函数并掌握待定系数法求函数表达式是本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，
，
，
，
阴影部分的面积之和为：
．
故选：．
根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．
7.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
9.【答案】或
【解析】解：添加，
，
∽；
添加，
，，
∽；
故答案为：或．
根据相似三角形的判定定理即可进行解答．
本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似．
10.【答案】
【解析】解：该年级个参赛班级的平均成绩分别为，，，，，，
中位数为，
故答案为：．
排序后找到中间位置的两数，求的两个数的平均数即为中位数．
本题考查了中位数及加权平均数的知识，解题的关键是了解中位数的定义，难度较小．
11.【答案】
【解析】解：点，在反比例函数的图象上，点，的横坐标分别为，，
点的坐标为，点的坐标为，
轴，
点，的横坐标分别为，，
点，在反比例函数的图象上，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
与的面积之和为，
，
解得：．
故答案为：．
先求出点和点的坐标，再根据轴，确定点和点的坐标，求出，，最后根据与的面积之和为，即可解答．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是求出与的底边，的长．
12.【答案】或或
【解析】解：，，
，，
设点，
当时，点在直线上且不与点重合，
点不能为直角顶点，
如图，当点在轴的正半轴上，且时，
由旋转可知，，，
，，
，
≌，
，，
，
，即点的横坐标为；
如图，当点在轴的正半轴上，且时，
过点作于点，则，
由旋转可知，，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，，，
，
，
，即，
解得：或不合题意，舍去，
点的横坐标为；
如图，当点在轴的负半轴上，且时，
过点作于点，则，
同理可得≌，
，，
，，
同理可得，
，
，即，
解得：或不合题意，舍去，
点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或或，
故答案为：或或．
分情况讨论：当点在轴的正半轴上，且时，当点在轴的正半轴上，且时，当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可．
考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用是解题的关键．
13.【答案】解：原式
；
，
，
，
解得：．
【解析】根据分式四则运算法则进行运算求解；
根据平行线分线段成比例计算求解．
本题考查分式运算及平行线分线段成比例，熟练掌握分式运算法则与平行线分线段成比例是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由得：，
把去分母得：，
解得：，
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：，
故答案为：；；；．
按照解一元一次不等式组的步骤解不等式组，再按要求进行作答即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于正确的运算，会在数轴上表示解集．
15.【答案】
【解析】解：若小丽选择了历史和地理，则她选择生物的概率是，
故答案为：；
化学、生物、政治、地理科分别记作：、、、，
列表如下：
共有个等可能的结果，其中选化学、生物的方案有个，
她在“”中选化学、生物的概率为．
由概率公式即可得出答案；
先列表，共有个等可能的结果，其中选化学、生物的方案有个，然后由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】解：如图，即为所求．
如图，线段即为所求．

【解析】根据垂线的定义，借助网格画图即可．
根据平行线的判定，借助网格画图即可．
本题考查作图应用与设计作图、平行线的判定、垂线的定义，掌握平行线的判定、垂线的定义是解答本题的关键．
17.【答案】解：设反比例函数解析式为，
点 、在反比例函数 的图象上，
，解得 ，
的值为；
如图，过点 作 ，垂足为 ，并延 长 交 与点 ，
由可得，，
由题意翻折可得，
在 和中
，
≌，
，
，
将点 ，代入直线，
得：，
解得，
一次函数 的表达式为 ．
【解析】把 、 的坐标代入反比例函数解析式，可得到关于 、 的方程组，可求得的值；
过点 作 ，垂足为 ，并延长 交 于点 ，可证明≌，则可求 得 的坐标，由 、的坐标，利用待定系数法可求得直线 的解析式．
本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数图象上的点与函数解析式的关系、待定系数法、全等三角形的判定和性质及数形结合思想等知识；在中由、的坐标得到、的方程是解题的关键，在中构造全等三角形，求得的坐标是解题的关键；本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
18.【答案】解：关于的方程有两个实数根，
，即，
解得，
的取值范围为；
方程有两个实数根，，
，，
，
，，
．
【解析】根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围；
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，当时则，，然后由得答案．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
19.【答案】解：补全图形如图所示，
证明：连接，，在中，
，
是等腰三角形．
又，
．
，
，
在中，，
，
是直径，
，
，
则，，
连接，在中，
根据勾股定理得：，
，
解得：．
所以，的度数为，的半径为．
【解析】根据题意做出图形即可，证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求证；
根据，得出，再求出，，即可得出，分别去除，，根据，列出方程求解即可．
本题主要考查了垂径定理的证明和应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形那个的性质，勾股定理，以及含的直角三角形角所对的边是斜边的一半．
20.【答案】
【解析】解：作，的垂直平分线，相交于点，做出以为圆心，为半径的圆，连接，
连接 、，由作图知直线 也是 的中垂线，
，
，
，
，
的长；
故答案为：；
过点 向 、 作垂线分别交于点 、，
，
又，
四边形 为矩形，
，，
在 中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
答：星海湾大桥两座主塔之间的距离约为 ．
连接 ，，推出直线 也是 的中垂线，利用圆周角定理得到，推出，再根据弧长公式即可求解；
过点向、作垂分别交于点 ，，求得，在 和 中，利用三角函数的定义分别求得 、 的长，据此求解即可．
本题考查了确定圆心的位置，解直角三角形的应用，弧长公式的应用，掌握弧长公式以及锐角三角函数的意义是解决问题的关键．
21.【答案】
【解析】解：这次活动共调查了人．
故答案为：；
在扇形统计图中，“”所占的百分比为，
“”所在扇形的圆心角度数为：，
故答案为：，；
项的人数：人，
如图所示：
解：人．
答：根据调查结果，估计该社区名老年人中感觉身体不适时，选择独自去医院就诊的有人．
根据题意用项人数除以所占总数的百分比，可以求得调查的总人数；
根据项的人数，可得在扇形统计图中，“”所占的百分比，根据条形统计图的数据即可得“”所在扇形的圆心角度数；
求出项的人数，可以将条形统计图补充完整；
利用样本估计总体的方法即可求解．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22.【答案】
【解析】解：因为“相反点”的横坐标和纵坐标互为相反数，即，
直线的解析式为．
故答案为：；
点在抛物线上，
，
，即，
抛物线的图象上有且只有一个“相反点”，即抛物线与直线只有一个交点，
有两个相等的实数根，方程化简为，
，
解得，
；
由可知，抛物线的解析式为，则平移后的解析式为，
，是方程的两个实数根，方程化简为
，，
，
即，解得．
关键“相反点”的横坐标和纵坐标互为相反数，可得出直线的解析式；
由点在抛物线上，可得，可知，即由，根据抛物线的图象上有且只有一个“相反点”，结合一元二次方程的根的判别式求解即可；
根据题意可知平移后的解析式为，易得，是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求得的值．
本题主要考查了相反数、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数平移问题、二次函数与一元二次方程综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
23.【答案】三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 直角三角形的两锐角互余 或垂直平分
【解析】解：片段：点，分别是，的中点，
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
片段：，
直角三角形的两锐角互余．
故答案为：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；直角三角形的两锐角互余；
，，
，
，
，
由可知是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：或垂直平分；
是等腰直角三角形．
如图中，连接，，由旋转知，
，，
≌，
，．
点，，分别是，，的中点，
，，
．
又，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形．
由知，是等腰直角三角形，，，
点在的延长线上时，有最大值，
，
，
．
利用三角形中位线定理，直角三角形的性质解决问题即可；
结论：或垂直平分利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质证明即可；
根据证明≌推出，，再利用三角形的中位线定理，平行线的性质证明即可；
由知，是等腰直角三角形，，，推出点在的延长线上时，有最大值．此时，由此即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
第1页，共1页