初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 3.2用关系式表示的变量间关系）
一、选择题
1．（2023八上·龙岗期中）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则与之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．下表列出了一项试验的统计数据，表示皮球从高处落下时，其弹跳高度b与下落高度d的关系．下面选项中能表示这种关系的是（ ）
d(cm) 50 80 100 150
b(cm) 25 40 50 75
A．b=d2 B．b=2d C．b=0.5d D．b=d+25
3．（2023八上·蜀山期中）在圆周长的计算公式中，变量有（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2023七下·历下期末）下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（ ）
红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7
白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14
A． B． C． D．
5．（【初数北师七下补题】第三章 变量之间的关系03）一个长方形的周长为30，则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为（ ）
A．y=x(15-x) B．y=x(30-x) C．y=x(30-2x) D．y=x(15+x)
6．（【初数北师七下补题】第三章 变量之间的关系03）已知圆柱的高为3 cm，当圆柱的底面半径r(cm)由小变大时，圆柱的体积V(cm3)随之变化，则V与r的关系式是 （ ）
A．V=πr2 B．V=9πr2 C．V= πr2 D．V=3πr2
7．（2022七下·）一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为（ ）.
A． B． C． D．
8．（2022七下·）在烧开水时，水温达到 水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的变量时间 和温度 的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前（即 ），温度 与时间 的关系式及因变量分别为（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
二、填空题
9．（2023九上·修水期中）已知，若，则 ．
10．（2023七下·榕城期末）某地高山上温度从山脚起每升高100米降低，已知山脚下温度是，则温度与上升高度x（米）之间关系式为 ．
11．（2022·叶县期末）为了解某品牌汽车的耗油量，人们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记下来，制成下表：
汽车行驶时间
邮箱剩余油量
根据上表的数据，写出与的关系式： ．
12．（2023八下·朝阳期中）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系的一些数据如下表：下列说法：①空气的温度越高声音传播的速度越快；②声音速度与温度关系式可以是；③温度每升高，声音速度增加，其中正确的有 ．
温度（） -20 -10 0 10 20 30
声速（） 318 324 330 336 342 348
三、综合题
13．（2022七下·成都期末）“五一”小长假期间，小天和父母一起开车到距家220千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶了180千米时，发现油箱余油量为27升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）写出油箱余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前沿原路返回到家？请说明理由．
14．（2022七下·新城期末）如图，在梯形中，，，高，点为边上任意一点，连接，当的长度由小到大变化时，四边形的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量分别是什么？
（2）若设，四边形的面积为，求与之间的关系式；
（3）当时，求四边形的面积．
15．（2023七下·深圳期中）如图1，有足够多的1号大正方形，2号小正方形、3号长方形的卡片，某数学课后活动小组的两名成员，分别选取了1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，拼成了如图2的一个不重叠无缝障长方形．
（1）【观察推理】观察图2，小军、小芳分别用长方形面积公式，拼图所用三种卡片数量得出了图2的面积的表示方法，因此得出了含有、的一个等式： ．
（2）【尝试探究】小军想设计一个长为，宽为的长方形，小芳很快告知了小军所需的1号、2号、3号卡片的张数，请你用所学知识推算出1号、2号、3号卡片的数量．
（3）【综合应用】小芳提议：在1号卡片的四个角上各裁去一个小正方形卡片（剪去部分不再使用）．再沿虚线折叠、粘合（如图3），能制作出一个无盖长方体盒子．若分米，小正方形的边长记为分米（的值可变化），无盖长方体的体积记为（），
①无盖长方体的体积 （用含的代数式表示）；
②两人把的多种情况代入上式，发现当时， ，当时， ；他们找老师帮绘制出了与的关系图像（如图4），最终证实了当时，最大，最大值= ；
③借助以上信息，可得随着的变化而变化的情况是： ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，
∴2（x+y)=50，
∴y=25-x，
故答案为：C.
【分析】根据长方形的周长公式得出2（x+y)=50，得出y=25-x，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由统计数据可得：d=2b，
∴b=0.5d.
故答案为：C.
【分析】根据统计数据可得：d=2b，转化下即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意得在圆周长的计算公式中，变量有，，
故答案为：B
【分析】根据变量和常量的关系结合即可求解。
4．【答案】B
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格中的数据可得白色瓷砖数量（w）是红色瓷砖数量（r）的2倍，
∴w =2r
故选：B
【分析】分析表格中的数据可得白色瓷砖数量（w）是红色瓷砖数量（r）的2倍，由此可写出w与r之间的关系式。
5．【答案】A
【知识点】矩形的性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为30，其中一边长为
，
∴该长方形的另一边长为：
，
∴该长方形的面积：
.
故答案为：A.
【分析】根据长方形的周长可得另一边的长为（15-x），然后根据矩形的面积=长×宽可得y与x的关系式.
6．【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵圆柱的底面积是一个圆，
∴底面积S=πr2，
根据圆柱体积=底面积×高可得：V=3πr2．
故答案为：D.
【分析】根据圆柱的体积公式：V=πr2h进行计算.
7．【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得：
.
故答案为：A.
【分析】根据总费用=学生票的价格×人数+成人票的价格×人数就可得到y与x的关系式.
8．【答案】A
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵开始时温度为 ，每增加1分钟，温度增加
∴温度 与时间 的关系式为：
∵温度 随时间 的变化而变化
∴因变量为
故答案为：A .
【分析】根据表格中的数据可知，开始计时的时候，水的温度是30℃，每增加1分钟，温度增加7℃，据此可得T与t的关系式，然后结合因变量的概念进行判断.
9．【答案】20
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：因为，所以
，，，所以
故答案为：20.
【分析】根据等式分别求出a、c、e与b、d、f的关系，得出结论。
10．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：上升高度x米，则温度降低，
故函数关系式为.
故答案为：.
【分析】根据从山脚起每升高100米降低可知上升高度x米，则温度降低，而山脚下温度是，故温度与上升高度x（米）之间关系式为.
11．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得Q与t满足一次函数关系，设Q=kt+b，将（0，100）、（1，94）代入可得，
解得
∴Q=-6t+100.
故答案为：Q=-6t+100.
【分析】由题意可得Q与t满足一次函数关系，设Q=kt+b，将（0，100）、（1，94）代入求出k、b的值，据此可得对应的函数关系式.
12．【答案】①③
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】
根据表中数据中可以看出温度越高声音传播的速度越快，温度每增加10℃，声音的传播速度就提高6m/s，所以关系式为y=330+0.6x，所以①③是正确的，②是错误的。
故答案为：①③
【分析】
根据表中温度和速度的数据增减情况找出规律，从而得出结果。
13．【答案】（1）解：由题意得
（45-27）÷180=0.1升/千米.
答：每千米的耗油0.1升.
（2）解：由题意得
Q=45-0.1x(0≤x≤450).
（3）答：不能.
理由：来回的路程为220×2=440，
耗油量为440×0.1=44升；
∴余油量为45-44=1＜3，
∴如果往返途中不加油，他们不能在汽车报警前沿原路返回到家.
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）利用耗油量除以行驶的路程，列式计算，可求出该车每千米的耗油量.
（2）利用油箱余油量Q（升）=汽车油箱内储油量-用去的油量，列式计算即可.
（3）先求出来回的路程，再求出其耗油量；然后求出余油量，根据油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，可作出判断.
14．【答案】（1）解：在这个变化过程中，长度的变化引起四边形面积的变化，因此自变量为的长、因变量是四边形的面积；
（2）解：由于，
所以，
即与之间的关系式为；
（3）解：当时，即，
所以，
答：四边形的面积为16．
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）在这个变化过程中，BP长度的变化引起四边形APCD面积的变化，然后根据自变量、因变量的概念进行解答；
（2）根据面积间的和差关系可得S四边形APCD=S梯形ABCD-S△ABP，然后结合梯形、三角形的面积公式进行解答；
（3）当BP=AD时，BP=x=4，然后将x=4代入（2）的关系式中进行计算即可.
15．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴需要1号3张、2号卡片3张、3号卡片10张；
（3）；1.936；1；2；当由0增大到时，由0增大到2；当由增大到时，由2减小到0
【知识点】整式的混合运算；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：大矩形的长为a+2b，宽为a+b，则面积S=(2a+b)(a+b)；根据面积间的和差关系可得S=a2+3ab+2b2，
故(2a+b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
（3）①由题意可得：无盖长方体的长为3-2c，宽为3-2c，高为c，则V=c(3-2c)2；
②当c=0.4时，V=0.4×(3-2×0.4)2=1.936；
当c=1时，V=1×(3-2×1)2=1；
当V=a=时，V=×(3-2×)2=2.
【分析】（1）由图形可得：大矩形的长为a+2b，宽为a+b，根据矩形的面积公式可得S，由面积间的和差关系表示出S，据此可得等式；
（2）根据多项式与多项式的乘法法则可得(3a+b)(a+3b)=3a2+10ab+3b2，据此可得1号、2号、3号卡片的张数；
（3）①由题意可得：无盖长方体的长为3-2c，宽为3-2c，高为c，根据长方体的体积=长×宽×高可得V；
②将c=0.4、1、代入①的关系式中进行计算；
③根据c=时，V取得最大值可得V随着c的变化情况.
1 / 1初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 3.2用关系式表示的变量间关系）
一、选择题
1．（2023八上·龙岗期中）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则与之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，
∴2（x+y)=50，
∴y=25-x，
故答案为：C.
【分析】根据长方形的周长公式得出2（x+y)=50，得出y=25-x，即可得出答案.
2．下表列出了一项试验的统计数据，表示皮球从高处落下时，其弹跳高度b与下落高度d的关系．下面选项中能表示这种关系的是（ ）
d(cm) 50 80 100 150
b(cm) 25 40 50 75
A．b=d2 B．b=2d C．b=0.5d D．b=d+25
【答案】C
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由统计数据可得：d=2b，
∴b=0.5d.
故答案为：C.
【分析】根据统计数据可得：d=2b，转化下即可得出答案。
3．（2023八上·蜀山期中）在圆周长的计算公式中，变量有（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意得在圆周长的计算公式中，变量有，，
故答案为：B
【分析】根据变量和常量的关系结合即可求解。
4．（2023七下·历下期末）下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（ ）
红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7
白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格中的数据可得白色瓷砖数量（w）是红色瓷砖数量（r）的2倍，
∴w =2r
故选：B
【分析】分析表格中的数据可得白色瓷砖数量（w）是红色瓷砖数量（r）的2倍，由此可写出w与r之间的关系式。
5．（【初数北师七下补题】第三章 变量之间的关系03）一个长方形的周长为30，则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为（ ）
A．y=x(15-x) B．y=x(30-x) C．y=x(30-2x) D．y=x(15+x)
【答案】A
【知识点】矩形的性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为30，其中一边长为
，
∴该长方形的另一边长为：
，
∴该长方形的面积：
.
故答案为：A.
【分析】根据长方形的周长可得另一边的长为（15-x），然后根据矩形的面积=长×宽可得y与x的关系式.
6．（【初数北师七下补题】第三章 变量之间的关系03）已知圆柱的高为3 cm，当圆柱的底面半径r(cm)由小变大时，圆柱的体积V(cm3)随之变化，则V与r的关系式是 （ ）
A．V=πr2 B．V=9πr2 C．V= πr2 D．V=3πr2
【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵圆柱的底面积是一个圆，
∴底面积S=πr2，
根据圆柱体积=底面积×高可得：V=3πr2．
故答案为：D.
【分析】根据圆柱的体积公式：V=πr2h进行计算.
7．（2022七下·）一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得：
.
故答案为：A.
【分析】根据总费用=学生票的价格×人数+成人票的价格×人数就可得到y与x的关系式.
8．（2022七下·）在烧开水时，水温达到 水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的变量时间 和温度 的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前（即 ），温度 与时间 的关系式及因变量分别为（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】A
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵开始时温度为 ，每增加1分钟，温度增加
∴温度 与时间 的关系式为：
∵温度 随时间 的变化而变化
∴因变量为
故答案为：A .
【分析】根据表格中的数据可知，开始计时的时候，水的温度是30℃，每增加1分钟，温度增加7℃，据此可得T与t的关系式，然后结合因变量的概念进行判断.
二、填空题
9．（2023九上·修水期中）已知，若，则 ．
【答案】20
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：因为，所以
，，，所以
故答案为：20.
【分析】根据等式分别求出a、c、e与b、d、f的关系，得出结论。
10．（2023七下·榕城期末）某地高山上温度从山脚起每升高100米降低，已知山脚下温度是，则温度与上升高度x（米）之间关系式为 ．
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：上升高度x米，则温度降低，
故函数关系式为.
故答案为：.
【分析】根据从山脚起每升高100米降低可知上升高度x米，则温度降低，而山脚下温度是，故温度与上升高度x（米）之间关系式为.
11．（2022·叶县期末）为了解某品牌汽车的耗油量，人们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记下来，制成下表：
汽车行驶时间
邮箱剩余油量
根据上表的数据，写出与的关系式： ．
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得Q与t满足一次函数关系，设Q=kt+b，将（0，100）、（1，94）代入可得，
解得
∴Q=-6t+100.
故答案为：Q=-6t+100.
【分析】由题意可得Q与t满足一次函数关系，设Q=kt+b，将（0，100）、（1，94）代入求出k、b的值，据此可得对应的函数关系式.
12．（2023八下·朝阳期中）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系的一些数据如下表：下列说法：①空气的温度越高声音传播的速度越快；②声音速度与温度关系式可以是；③温度每升高，声音速度增加，其中正确的有 ．
温度（） -20 -10 0 10 20 30
声速（） 318 324 330 336 342 348
【答案】①③
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】
根据表中数据中可以看出温度越高声音传播的速度越快，温度每增加10℃，声音的传播速度就提高6m/s，所以关系式为y=330+0.6x，所以①③是正确的，②是错误的。
故答案为：①③
【分析】
根据表中温度和速度的数据增减情况找出规律，从而得出结果。
三、综合题
13．（2022七下·成都期末）“五一”小长假期间，小天和父母一起开车到距家220千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶了180千米时，发现油箱余油量为27升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）写出油箱余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前沿原路返回到家？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得
（45-27）÷180=0.1升/千米.
答：每千米的耗油0.1升.
（2）解：由题意得
Q=45-0.1x(0≤x≤450).
（3）答：不能.
理由：来回的路程为220×2=440，
耗油量为440×0.1=44升；
∴余油量为45-44=1＜3，
∴如果往返途中不加油，他们不能在汽车报警前沿原路返回到家.
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）利用耗油量除以行驶的路程，列式计算，可求出该车每千米的耗油量.
（2）利用油箱余油量Q（升）=汽车油箱内储油量-用去的油量，列式计算即可.
（3）先求出来回的路程，再求出其耗油量；然后求出余油量，根据油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，可作出判断.
14．（2022七下·新城期末）如图，在梯形中，，，高，点为边上任意一点，连接，当的长度由小到大变化时，四边形的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量分别是什么？
（2）若设，四边形的面积为，求与之间的关系式；
（3）当时，求四边形的面积．
【答案】（1）解：在这个变化过程中，长度的变化引起四边形面积的变化，因此自变量为的长、因变量是四边形的面积；
（2）解：由于，
所以，
即与之间的关系式为；
（3）解：当时，即，
所以，
答：四边形的面积为16．
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）在这个变化过程中，BP长度的变化引起四边形APCD面积的变化，然后根据自变量、因变量的概念进行解答；
（2）根据面积间的和差关系可得S四边形APCD=S梯形ABCD-S△ABP，然后结合梯形、三角形的面积公式进行解答；
（3）当BP=AD时，BP=x=4，然后将x=4代入（2）的关系式中进行计算即可.
15．（2023七下·深圳期中）如图1，有足够多的1号大正方形，2号小正方形、3号长方形的卡片，某数学课后活动小组的两名成员，分别选取了1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，拼成了如图2的一个不重叠无缝障长方形．
（1）【观察推理】观察图2，小军、小芳分别用长方形面积公式，拼图所用三种卡片数量得出了图2的面积的表示方法，因此得出了含有、的一个等式： ．
（2）【尝试探究】小军想设计一个长为，宽为的长方形，小芳很快告知了小军所需的1号、2号、3号卡片的张数，请你用所学知识推算出1号、2号、3号卡片的数量．
（3）【综合应用】小芳提议：在1号卡片的四个角上各裁去一个小正方形卡片（剪去部分不再使用）．再沿虚线折叠、粘合（如图3），能制作出一个无盖长方体盒子．若分米，小正方形的边长记为分米（的值可变化），无盖长方体的体积记为（），
①无盖长方体的体积 （用含的代数式表示）；
②两人把的多种情况代入上式，发现当时， ，当时， ；他们找老师帮绘制出了与的关系图像（如图4），最终证实了当时，最大，最大值= ；
③借助以上信息，可得随着的变化而变化的情况是： ．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴需要1号3张、2号卡片3张、3号卡片10张；
（3）；1.936；1；2；当由0增大到时，由0增大到2；当由增大到时，由2减小到0
【知识点】整式的混合运算；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：大矩形的长为a+2b，宽为a+b，则面积S=(2a+b)(a+b)；根据面积间的和差关系可得S=a2+3ab+2b2，
故(2a+b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
（3）①由题意可得：无盖长方体的长为3-2c，宽为3-2c，高为c，则V=c(3-2c)2；
②当c=0.4时，V=0.4×(3-2×0.4)2=1.936；
当c=1时，V=1×(3-2×1)2=1；
当V=a=时，V=×(3-2×)2=2.
【分析】（1）由图形可得：大矩形的长为a+2b，宽为a+b，根据矩形的面积公式可得S，由面积间的和差关系表示出S，据此可得等式；
（2）根据多项式与多项式的乘法法则可得(3a+b)(a+3b)=3a2+10ab+3b2，据此可得1号、2号、3号卡片的张数；
（3）①由题意可得：无盖长方体的长为3-2c，宽为3-2c，高为c，根据长方体的体积=长×宽×高可得V；
②将c=0.4、1、代入①的关系式中进行计算；
③根据c=时，V取得最大值可得V随着c的变化情况.
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