安徽省蚌埠市禹泽汉兴友谊联考2023-2024学年高一下学期4月月考试题 数学（含解析）

绝密★启用前
五河致远、怀远禹泽、固镇汉兴学校高一年级2023-2024学年度
第二学期第一次月考
数 学 试 题
本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式
本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
考生必须保证答题卡的整洁。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列变化中，不是周期现象的是(　　)
A．“春去春又回”
B．钟表的分针的运行
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
2．下列说法中，正确的是(　　)
A．长为1的弧所对的圆心角是1弧度的角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．－830°是第二象限角
D．－124°与236°是终边相同的角
3．当为第二象限角时，的值是(　　)
A．1 B．0
C．2 D．－2
4．若sin(＋)＋cos(＋)＝－m，则cos(－)＋2sin(2－)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
5．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为(　　)
A． B．
C． D．
6.函数的单调递增区间为(　　)
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
7．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在上为单调增函数的是(　　)
A． B．
C． D．
10．函数的图象为C，下列结论中正确的是( )．
A．图象C关于直线对称；
B．图象C关于点对称；
C．函数在区间内是增函数；
D．由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
11．关于函数，下列说法正确的是(　　)
A．该函数是以为最小正周期的周期函数
B．当且仅当(k∈Z)时，该函数取得最小值－1
C．该函数的图象关于(k∈Z)对称
D．当且仅当(k∈Z)时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数是________.
13.已知角的终边过点，则＝________.
14.函数的值域为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知，且有意义．
(1)试判断角所在的象限；
(2)若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值．
16.（15分）已知函数，为常数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若时，的最大值为3，求的值．
17．（15分）化简：．
18.（17分）已知函数的一段图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数在上的递增区间．
19.（17分）如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
1．下列变化中，不是周期现象的是(　　)
A．“春去春又回”
B．钟表的分针的运行
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
D　[由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D．]
2．下列说法中，正确的是(　　)
A．长为1的弧所对的圆心角是1弧度的角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．－830°是第二象限角
D．－124°与236°是终边相同的角
D　[因为236°＝－124°＋360°，所以－124°与236°是终边相同的角，故选D．]
3．当α为第二象限角时，－的值是(　　)
A．1 B．0
C．2 D．－2
C　[∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.]
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
C　[∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝.
故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.]
5．将函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
A　[将y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin的图象．]
6.函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)
A．，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
C　[由kπ－7．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当为偶数时，，所以；
当为奇数时，，所以，
所以的值域为.故选：C.
8．函数f＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　　)
A． B．
C． D．
A　[由函数y＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1知，f在区间上单调递减，且T＝－＝，
则T＝π，ω＝＝＝2，即f＝sin(2x＋φ)，
又f＝sin(ωx＋φ)的图象过点，代入可得φ＝，
因此f＝sin，
令x＝0，可得y＝，故选A．]
9．下列函数中，在上为单调增函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin 2x D．y＝tan x
[答案]　BD
10．函数f(x)＝3sin的图象为C，下列结论中正确的是( )．
A．图象C关于直线x＝对称；
B．图象C关于点对称；
C．函数f(x)在区间x∈内是增函数；
D．由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
ABC [由于2× －＝，故A正确；
由于2× －＝π，故B正确；
由x∈得2x－∈，故函数f(x)为增函数，故C正确；
将函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可得函数y＝3sin 2＝3sin的图象，故D不正确．]
11．关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　)
A．该函数是以π为最小正周期的周期函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1
C．该函数的图象关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称
D．当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤
CD　[画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．
由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故AB错误，由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤.故CD正确．]
12．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数是________.
[解]　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
13.已知角α的终边过点P，则2sin α＋cos α＝________.
[解]　r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
14函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．
[－4,4]　[∵－ ≤x≤ ，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．]
15．已知＝－sin α，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
[解]　(1)∵＝－sinα，∴sin α＜0.①
∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.②
由①②得角α的终边在第四象限．
(2)∵点M在单位圆上，
∴＋m2＝1，解得m＝±，又α是第四象限角，
∴m＜0，∴m＝－.
则sin α＝－.
16.已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈时，|f(x)|的最大值为3，求a的值．
[解]　(1)f(x)＝2sin＋a.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当x∈时，2x－∈，f(x)∈[－1＋a,2＋a]，故a＝－2或1.
17．化简：(k∈Z)．
[解]　当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
18.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数在[－2π，2π]上的递增区间．
[解]　(1)由函数的图象知，A＝2，＝6－(－2)＝8，∴周期T＝16，
∵T＝＝16，∴ω＝＝，
∴y＝2sin，
∵函数图象经过点(2，－2)，
∴×2＋φ＝2kπ－，
即φ＝2kπ－，又|φ|<π，
∴φ＝－，
∴函数的解析式为y＝2sin.
(2)由已知得2kπ－≤x－≤2kπ＋，
即16k＋2≤x≤16k＋10，
即函数的单调递增区间为
，k∈Z，
当k＝－1时，为[－14，－6]，
当k＝0时，为[2,10]，∵x∈[－2π，2π]，
∴函数在[－2π，2π]上的递增区间为[－2π，－6]和[2,2π]．
19.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
[解]　(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝.
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.