21.3 实际问题与一元二次方程
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
1. 掌握用“倍数关系”、“面积法”等建立数学模型，并利用它解决实际问题．
2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
3. 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
教学重点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
教学难点
根据“倍数关系”、“面积法”等之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
课时安排
3课时.
教案A
第1课时
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
教学重点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学难点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学过程
一、导入新课
师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．
试：同一元一次方程、二元一次方程（组） ( http: / / www.21cnjy.com )等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．
二、新课教学
探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
教师引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个 ( http: / / www.21cnjy.com )人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有 个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有 个人患了流感．
列方程
1＋x＋x(x＋1)＝121，
整理，得
x2＋2x－120＝0．
解方程，得
x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
121＋121×10＝1331（人）
通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗
后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．
三、巩固练习
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则
1＋x＋xx＝91，
即
x2＋x－90＝0．
解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）
答：每个支干长出9个小分支．
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．
2．解一元二次方程的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五验（检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去）、六答．
五、布置作业
习题21.3 第6题．
第2课时
教学内容
21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．
教学目标
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
教学重点
如何解决增长率与降低率问题．
教学难点
解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x是增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量．
教学过程
一、导入新课
同学们好，我们上节课学习了探究1关于“倍数”的问题，知道了解一元二次方程的一般步骤．今天，我们就学习如何解决“增长率”与“降低率”的问题．
二、新课教学
探究2：两年前生产1 t甲种药 ( http: / / www.21cnjy.com )品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：根据题意，很容易知道甲种药品 ( http: / / www.21cnjy.com )成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200（元）．
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1－x)2 元，于是有
5 000(1－x)2＝3 000．
解方程，得
x 1≈0.225，x2≈1.775．
根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率．
解：设乙种药品成本的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为6 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为6 000(1－x)2元，于是有
6 000(1－x)2＝3 600．
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775．
同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%．
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？
经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．
小结：类似地，这种增长率的问 ( http: / / www.21cnjy.com )题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．
三、巩固练习
某人将2 000元人民币按一年定期存入银行， ( http: / / www.21cnjy.com )到期后支取1 000元用于购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1 320元，求这种存款方式的年利率．
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存 ( http: / / www.21cnjy.com )2 000元取1 000元，剩下的本金和利息是1 000＋2 000x×80%；第二次存，本金就变为1 000＋2000x×80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x，则
1 000＋2 000x×80%＋(1 000＋2 000x×8%)x×80%＝1 320．
整理，得
1 280x2＋800x＋1 600x＝320，
即
8x2＋15x－2＝0．
解得
x1＝－2（不合题意，舍去），x2＝＝0.125＝12.5%．
答：所求的年利率是12.5%．
四、课堂小结
本节应掌握：增长率与降低率问题．
五、布置作业
习题21.3 第7题．
第3课时
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（3）：根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．
教学目标
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
教学重点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
教学难点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
教学过程
一、导入新课
1．通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？
2．上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”．
（1）直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
（2）正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
（3）梯形的面积公式是什么？
（4）菱形的面积公式是什么？
（5）平行四边形的面积公式是什么？
（6）圆的面积公式是什么？
学生口答，教师点评．
二、新课教学
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
思考：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
分析：依据题意可知，封面的长宽 ( http: / / www.21cnjy.com )之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
(27－9a)∶(21－7a)
＝9(3－a)∶7(3－a)
＝9∶7．
设上、下边衬的宽均为9x cm，则左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为(27－18x) cm，宽为(21－14x) cm．
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程
(27－18x)(21－14x)＝×27×21．
整理，得
16x2－48x＋9＝0
解方程，得
x＝，
即
x1≈2.8，x2≈0.2．
所以，9x1＝25.2 cm（不合题意，舍去），9x2＝1.8cm，7x2＝1.4cm．
因此，上、下边衬的宽均为1.8 cm，左、右边衬的宽均为1.4 cm．
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
三、巩固练习
如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上， ( http: / / www.21cnjy.com )修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
解法一：设道路的宽为x，我 ( http: / / www.21cnjy.com )们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）则可列方程
(20－x)(32－2x)＝500，
整理，得
x2－36x＋70＝0．
解法二：20×32－2×20x－32x＋2x2＝500．
四、课堂小结
本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
五、布置作业
习题21.3 第8、9题．
教案B
第1课时
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
教学重点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学难点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学过程
一、导入新课
问题1：列方程解应用题
下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：
星期 一 二 三 四 五
甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元
乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元
某人在这周内持有若干甲、乙 ( http: / / www.21cnjy.com )两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？
分析：一般用直接设元，即问什么就设什 ( http: / / www.21cnjy.com )么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．
解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．
则 解得
答：（略）
二、新课教学
上面这道题是一种利用二元一次方程组的数量 ( http: / / www.21cnjy.com )关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．
问题2：某工厂第一季度的一 ( http: / / www.21cnjy.com )月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
分析：直接假设二月份、三月 ( http: / / www.21cnjy.com )份生产电视机平均增长率为x．因为一月份是1万台，那么二月份应是（1＋x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1＋x）＋（1＋x）x＝（1＋x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝3.31.
去括号，得
1＋1＋x＋1＋2x＋x2＝3.31．
整理，得
x2＋3x－0.31＝0．
解得：x＝10%
答：（略）
以上这一道题与我们以 ( http: / / www.21cnjy.com )前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．
例 某电脑公司2001年 ( http: / / www.21cnjy.com )的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．
解：设平均增长率为x，则
200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝950．
整理，得
x2＋3x－1.75＝0．
解得：x＝50%
答：所求的增长率为50%．
三、巩固练习
1．填空题．
（1）某农户的粮食产量，平均每年的增 ( http: / / www.21cnjy.com )长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
（2）某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
（3）我国政府为了解决老百姓看病难的 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，决定下调药品价格，某种药品在2009年涨价30%后，2011年降价70%至a元，则这种药品在2009年涨价前价格是__________．
参考答案（1）6(1＋x) 6(1＋x)2 6＋6(1＋x)＋6(1＋x)2
（2）A(1＋x)2t
（3）
2．某人将2000元人民币按一年定 ( http: / / www.21cnjy.com )期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
分析：设这种存款方式的年利率 ( http: / / www.21cnjy.com )为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·8%)x·80%＝1320
整理，得：1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0
解得：x1＝－2（不符，舍去），x2＝＝0.125＝12.5%
答：所求的年利率是12.5%．
四、课堂小结
本节课应掌握：
利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．
五、布置作业
习题21.3 第6题．
第2课时
教学内容
21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．
教学目标
1．掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
2．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.
3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
教学重点
如何解决增长率与降低率问题．
教学难点
某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
教学过程
一、导入新课
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大 ( http: / / www.21cnjy.com )量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
分析：总利润＝每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500＋×100）．
解：设每张贺年卡应降价x元，则
(0.3－x)(500＋)＝120.
解得：x＝0.1.
答：每张贺年卡应降价0.1元．
我们分析了一种贺年卡原来 ( http: / / www.21cnjy.com )平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元？如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢 即绝对量与相对量之间的关系．
二、新课教学
例1 某商场礼品柜 ( http: / / www.21cnjy.com )台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．
解：（1）从上面可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．
（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，
则：（0.75－y）（200＋×34）＝120．
即（－y）（200＋136y）＝120
整理：得68y2＋49y-15＝0
y＝
∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）
y≈0.23元
答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．
因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．
例2 两年前生产1 t甲种药品的 ( http: / / www.21cnjy.com )成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析和解答见教材第20页．
三、巩固练习
1．填空．
（1）一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．
（2）甲用1000元人民币购买了一 ( http: / / www.21cnjy.com )手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．
（3）一个容器盛满纯药液63L，第一 ( http: / / www.21cnjy.com )次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．
参考答案：（1）2 （2）1 （3）(1－)2＝
2．某商店经销一种销售成本为每千克 ( http: / / www.21cnjy.com )40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少
分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．
（2）销售利润y＝(销售单价x－销售成本40)×销售量[500－10(x－50)]
（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过＝250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量：500－5×10＝450（kg）；销售利润：450×(55－40)＝450×15＝6 750元．
（2）y＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10x2＋1 400x－40 000
（3）由于水产品不超过10 000÷40＝250kg，定价为x元，则(x－400)[500－10(x－50)]＝8 000．
解得：x1＝80，x2＝60．
当x1＝80时，进货500－10(80－50)＝200kg<250kg，满足题意．
当x2＝60时，进货500－10(60－50)＝400kg>250kg，（舍去）．
四、课堂小结
本节课应掌握：
建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
五、布置作业
习题21.3 第7题．
第3课时
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（3）：根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．
教学目标
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
3．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．
教学重点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
教学难点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
教学过程
一、导入新课
教师引导学生复习三角形、正方形、长方形、梯形、菱形、平行四边形和圆的面积公式，导入新课的教学．
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
二、新课教学
例 某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x＋2，渠底为x＋0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为x m，则渠底为（x＋0.4）m，上口宽为（x＋2）m．
依题意，得
(x＋2＋x＋0.4)x＝1.6．
整理，得
5x2＋6x－8＝0．
解得：x1＝＝0.8m，x2＝－2（不合题意，舍去）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）＝25天．
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
三、巩固练习
1．矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．
2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边 ( http: / / www.21cnjy.com )靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案：1．2＋ 2－
2．32cm
3．20m和7.5m或15m和10m
四、课堂小结
本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
五、布置作业
习题21.3 第8、9题．21.1 一元二次方程
教学目标
1．了解一元二次方程的概念；一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
2．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
3．一元二次方程的一般形式及其有关概念，判定一个数是否是方程的根．
4．解决一些概念性的题目．
5．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
教学难点
1. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
2. 判定一个数是否是方程的根．
课时安排
1课时．
教案A
教学过程
一、导入新课
黄金分割：
在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这就是黄金分割．
按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高？
如右图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC．
设雕像下部高x m，可得方程x2＝2(2―x)，整理得
x2＋2x―4＝0．
这个方程中有一个未知数x，x的最高次数是2．
二、新课教学
问题：如下图，有一块矩形铁皮．长100 ( http: / / www.21cnjy.com )cm．宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
( http: / / www.21cnjy.com )
设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100―2x) cm，宽为(50―2x) cm．根据方盒的底面积为3 600 cm2，得
(100―2x)(50―2x)＝3 600．
整理，得
4x2―300x＋1 400＝0.
化简，得
x2―75x＋350＝0．
由这个方程可以得出所切正方形的具体尺寸．
学生活动：口答下面问题．
（1）上面这两个方程含有几个未知数？
（2）它们的最高次数是几？
（3）式子中有等号吗？还是与多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过 ( http: / / www.21cnjy.com )整理，都能化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
三、巩固练习
1．将方程3x(x―1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋c＝0（a≠0）．因此，方程3x(x―1)＝5(x＋2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：略．
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号．
2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
―4，―3，―2，―1，0，1，2，3，4．
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有―2和―3满足方程的等式，所以x＝―2或x＝―3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
四、课堂小结
本节课要掌握：
1．一元二次方程的概念．
2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
3．一元二次方程的根．
五、布置作业
习题21.1第1、2、3题．
教案B
教学过程
一、导入新课
问题1《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”
大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的宽为x尺，那么，这个门的高为_______尺，根据题意，得________．
整理、化简，得：__________．
问题2 有一面积为54 m2的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．
整理，得：________．
点评：分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、新课教学
在问题1中，设宽为x尺，则高为x＋6.8尺，可列方程
x2＋(x＋6.8)2＝100（一丈等于10尺）．
整理、化简得
x2＋6.8 x―26.88＝0．
在问题2中，如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是x＋5，宽是x＋2，根据题意，得
(x＋5) (x＋2)＝54．
整理，得
x2＋7 x―44＝0．
问题3 要组织一次排球邀请 ( http: / / www.21cnjy.com )赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
全部比赛的场数为4×7＝28．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x (x－1)场．
列方程
x (x－1)＝28．
整理，得
x2－x＝28．
化简，得
x2－x＝56．
由这个方程可以得出参赛队数．
思考：方程x2＋6.8 x―26.88＝0、x2＋7 x―44＝0和x2－x＝56有什么共同点？
教师引导学生思考、讨论．经过思考、讨论可以发现，这两个方程的两边都是整式，方程中只含一个未知数x；未知数的最高次数都是2．
归纳：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式是
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
据此，在问题1中，可解方程得x1＝2.8，x2＝―9.6（不合题意，舍去）．
在问题2中，可解方程得x1＝4，x2＝―11（不合题意，舍去）．
在问题3中，可解方程得x1＝8，x2＝―7（不合题意，舍去）．
三、巩固练习
1．教材第4页练习第1、2题．
2．求证：关于x的方程(m2―8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2―8m＋17≠0即可．
证明：m2―8m＋17＝(m―4)2＋1
∵(m―4)2≥0
∴(m―4)2＋1＞0，即(m―4)2＋1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2―64＝0 （2）3x2―6＝0 （3）x2―3x＝0
分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．
解：略．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有哪些收获？
五、布置作业
习题21.1第1、2、3题．21.2 解一元二次方程
教学目标
1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程．
2. 了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．
3. 了解一元二次方程的根与系数的关系．
4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
教学重点
1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程，明确各种解法的来源和特点．
2. 一元二次方程求根公式的推导过程．
教学难点
1. 在具体问题时，如何根据方程的特点恰当选择解方程的基本方法．
2. 一元二次方程求根公式的推导过程．
课时安排
7课时．
教案A
第1课时
教学内容
21.2.1 配方法（1）．
教学目标
1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤．
3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想．
教学难点
通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．
教学过程
一、导入新课
问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
通过问题，导入新课的教学．
二、新课教学
1．解决问题．
学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤．
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2＝1 500．
整理，得
x2＝25．
根据平方根的意义，得
x＝±5，
即
x1＝5，x2＝―5
可以验证，5和―5是方程10×6x2＝1 500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．
强调：用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．
根据解题过程，类似地，解下列方程：
x2＝5，x2＝0，x2＝―5．
2．归纳总结．
教师引导学生总结上述方程的共同点，归纳出一般形式x2＝p，并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况．
一般地，对于方程
x2＝p，
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不等的实数根
x1＝―，x2＝；
（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．
3．巩固拓展．
思考：如果把上面的方程稍作变形，如(x＋3)2＝5你还会解吗？
学生独立思考，并给出解法．引导学生先把(x＋3)看看成一个数，对方程两边开平方，得x＋3＝±，把它转化成两个一元一次方程x＋3＝和x＋3＝―．
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝―3＋和x2＝―3―．这种解法实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个我们会解的一元一次方程．
三、巩固练习
1．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一 ( http: / / www.21cnjy.com )年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2．
解：设每年人均住房面积增长率为x，则
10(1＋x)2＝14.4，
化简得
(1＋x)2＝1.44．
直接开平方，得
1＋x＝±1.2，
即
1＋x＝1.2，1＋x＝―1.2．
所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝―2.2．
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝―2.2应舍去．
答：每年人均住房面积增长率应为20%．
2．教材第6页“练习”．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有哪些收获？
五、布置作业
习题21.2第1题（1）（2）（3）．
第2课时
教学内容
21.2.1 配方法（2）．
教学目标
1．了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．
2．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
用配方法解题的基本步骤．
教学难点
二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．
教学过程
一、导入新课
让学生复述将次解一元二次方程的步骤，导入新课的教学．
二、新课教学
1．用配方法解方程．
探究：怎样解方程x2＋6x＋4＝0？
我们已经会解方程(x＋3)2＝5．因为 ( http: / / www.21cnjy.com )它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数．所以可以直接降次解方程．那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
教师先让学生观察、尝试，引导学生运用学过的知识解方程．
学生在教师的引导下解方程x2＋6x＋4＝0．解题过程和步骤如下：
x2＋6x＋4＝0→x2＋6x＝－4→x2＋6x＋9＝－4＋9→(x＋3)2＝5，通过降次可得x＋3＝±，即x＋3＝，或x＋3＝－．
解一次方程得
x1＝－3＋，x2＝－3－．
通过验证，可知－3±是方程x2＋6x＋4＝0的两个根．
教师引导学生总结解方程的基本步骤，让学生了解关键是把方程的左边配成完全平方式的形式，然后解方程．
归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来 ( http: / / www.21cnjy.com )解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．
2．实例详解
例 解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0； （2）2x2＋1＝3x； （3）3x2－6x ＋4＝0．
分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运用 ( http: / / www.21cnjy.com )配方法．（2）先把方程化成2x2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．
解：略．
3．总结解一元二次方程x2＋p x＋q＝0的基本思路和具体步骤．
结合这几个方程的求解，让学生总结解一元二次方程x2＋p x＋q＝0的基本思路和具体步骤．要注意什么问题？
学生独立思考、讨论、总结．最后师生共同归纳．
基本思路是将含有未知数的项配成完全平方式．
具体步骤：（1）将q 移到方程右边；（2）在方程两边加上一次项系数p的一半的平方；（3）根据－q的取值讨论解的情况．
在此过程中要注意保证变形的过程是恒等变形．
4．总结一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p时，方程的实数根情况．
教师引导学生总结p＞0，p＝0，p＜0时，方程根的情况．
（1）当p＞0时，方程(x＋n)2＝p有两个不等的实数根．
x1＝－n－，x2＝－n＋；
（2）当p＝0时，方程(x＋n)2＝p有两个相等的实数根．
x1＝x2＝－n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x都有(x＋n)2≥0，所以方程(x＋n)2＝p无实数根．
三、巩固练习
教材第9页“练习”第1、2题．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题第21.2第3题．
第3课时
教学内容
21.2.2 公式法（1）．
教学目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．了解公式法的概念．
教学重点
一元二次方程求根公式的推导．
教学难点
一元二次方程求根公式的推导．
教学过程
一、导入新课
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
1．移项；
2．化二次项系数为1；
3．方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
4．原方程变形为(x＋n)2＝p的形式；
5．如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、新课教学
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），能否也用配方法的步骤求出方程的解呢？
教师引导学生分析、讨论，然后师生共同推导一元二次方程的求根公式．
已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0），移项，得
ax2＋bx＝－c．
二次项系数化为1，得
x2＋x＝－．
配方，得
x2＋x＋＝－＋，
即
＝．
因为a≠0，所以4a2＞0，式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）b2－4ac＞0
这时＞0，由＝得
x2＋＝±．
方程有两个不等的实数根
x1＝，x2＝．
（2）b2－4ac＝0
这时＝0，由＝可知，方程有两个不等的实数根
x1＝x2＝．
（3）b2－4ac＜0
这时＜0，由＝可知＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根．
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．
归纳：由上可知，当Δ＞0时，方程ax ( http: / / www.21cnjy.com )2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写为
x＝
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
三、巩固练习
教材第12页练习1第（1）（2）题．
四、课堂小结
这节课你学习了什么？有什么收获？还有哪些问题？
五、布置作业
习题第21.2第4题．
第4课时
教学内容
21.2.2 公式法（2）．
教学目标
1．进一步认识一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法．
2．能熟练运用公式法解一元二次方程．
教学重点
用公式法解一元二次方程．
教学难点
用公式法解一元二次方程．
教学过程
一、导入新课
复习一元二次方程求根公式的推导过程，导入新课的教学．
二、新课教学
1．用公式法解决实际问题．
教师引导学生阅读教材本章引言中的问题，用公式法解一元二次方程．
设雕像下部高x m，得方程
x2＋2x―4＝0．
用公式法解这个方程得
x＝＝＝－1±．
即
x1＝―1＋，x2＝―1―．
如果结果保留小数点后两位，那么，x1≈1.24，x2≈―3.24．
这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部的高度应设计为约1.24 m．
2．用公式法解下列方程．
（1）x2－4x―7＝0； （2）2x2－2x＋1＝0；
（3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x．
解：（1）根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0可知，在方程x2－4x―7＝0中a＝1，b＝－4，c＝－7．
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0．
方程有两个不等的实数根
x＝＝＝2±，
即
x1＝2＋，x2＝2―．
（2）（3）解题步骤见教材第11、12页．
（4）方程化为x2－8x＋17＝0．
a＝1，b＝－8，c＝17．
Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0．
方程无实数根．
三、巩固练习
教材第12页练习1第（3）～（6）题．
四、课堂小结
这节课你学习了什么？有什么收获？还有哪些问题？
五、布置作业
习题第21.2第5题．
第5课时
教学内容
21.2.3 因式分解法．
教学目标
1．掌握用因式分解法解一元二次方程．
2．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
教学重点
用因式分解法解一元二次方程．
教学难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
教学过程
一、导入新课
分别用配方法和公式法解下列方程．
（1）2x2＋x＝0； （2）3x2＋6x＝0
教师引导学生分别用配方法和公式法进行解方程，复习用配方法和公式法解方程的基本步骤，导入新课的教学．
二、新课教学
1．提出问题
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2．
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？
2．分析解答
教师引导学生审题，找出已知条件或所求问题，根据等量关系列出方程求解．
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即
10x－4.9x2＝0．
在列出方程后，教师引导学生思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解这个方程？
学生思考、讨论，寻找其他方法．
教师在学生充分思考的基础上用因式分解的方式解这个方程．
方程10x－4.9x2＝0的右边是0，左边可以因式分解，得
x(10－4.9x)＝0．
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右 ( http: / / www.21cnjy.com )边是0．我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．所以
x＝0或10－4.9x＝0．
所以，方程x(10－4.9x)＝0的两个根是
x1＝0，x2＝≈2.04．
这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2 ( http: / / www.21cnjy.com ).04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被抛离开地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．
3．概括总结．
思考：解方程x(10－4.9x)＝0时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，上述解法中，由x(10－ ( http: / / www.21cnjy.com )4.9x)＝0到x＝0或10－4.9x＝0的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解．使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
三、巩固练习
1．用因式分解法解下列方程．
（1）x(x－2)＋x－2＝0； （2）5x2－2x－＝x2－2x＋．
教师引导学生掌握用因式分解法解方程的关键，要先将方程化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
学生掌握这个方法后，再解这两个方程就比较简单了．
2．教材第14页练习．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
归纳：配方法要先配方，再降次；通过配 ( http: / / www.21cnjy.com )方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．
总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
五、布置作业
习题21.2第6题．
第6课时
教学内容
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系．
教学目标
1．了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用．
2．掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法．
3．了解根与系数系关系的推导过程，在元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律．
教学重点
应用根与系数关系解决问题．
教学难点
根系关系的推导过程．
教学过程
一、导入新课
师：一元二次方程的一般形式是什么？
生：方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
师：你知道它的求根公式吗？
生：求根公式是x＝．
过渡：方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式x＝，不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，那么一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，从而导入新课的教学．
二、新课教学
1．思考1．
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x ( http: / / www.21cnjy.com )－x2)＝0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2＋p x＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
教师引导学生进行思考、讨论，明晰解题思路和过程．
把方程(x－x1)(x－x2)＝0的左边展开，化成一般形式，得方程
x2－(x1＋x2) x＋x1x2＝0．
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p＝－(x1＋x2)，常数项q＝x1x2．
于是，上述方程的两个根的和、积与系数分别有如下关系：
(x1＋x2)＝－p，x1x2＝q．
2．思考2．
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
三、巩固练习
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
（1）x2－6x－15＝0； （2）3x2＋7x－9＝0；
（3）5x－1＝4x2．
教师让学生独立计算．
教师在学生计算时要让学生注意 ( http: / / www.21cnjy.com )以下问题：一是可能会出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况；二是要把方程化为一元二次方程的一般形式再求两根和与积．三是不要把两根之和与积的关系搞混．
四、课堂小结
今天你学习了什么，有什么收获？
五、布置作业
习题21.2 第7题．
第7课时
教学内容
解一元二次方程复习课．
教学目标
1. 能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点．
2. 会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法．
教学重点
会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理．
教学难点
通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想．
教学过程
一、导入新课
师：同学们好，我们学习了第21章第2节解一元二次方程，今天就对这一及的内容进行梳理与复习．
二、新课教学
师：一元二次方程有哪些解法？
生：有配方法、公式法和因式分解法．
师：这些解法分别在什么情况下适用？
生：方程左边可以写成完全平方式的情况下适用配方法；公式法适用方程的一般式；方程的左边能化为两个乘积等于0的情况可用因式分解法解方程．
师：什么是“降次”？
生：在解方程的过程中，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程的方法就叫做“降次”．
师：在什么情况下一元二次方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
生：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
师：一元二次方程的判别式和求根公式分别是什么？
生1：式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即△＝b2－4ac．
生2：当△≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写为
x＝
的形式，这个式子叫做叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．
师：一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
生：方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1 x2＝．
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
三、课堂小结
通过对这一节的整理和复习，你有什么收获？还有什么问题吗？
四、布置作业
习题21.2 第8、9、12题．
教案B
第1课时
教学内容
21.2.1 配方法（1）．
教学目标
1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤．
3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想．
教学难点
通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．
教学过程
一、导入新课
师：同学们好，我们上节学习了一元二次方程，你能说出什么是一元二次方程吗？
生：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
师：很好．一元二次方程的一般形式是什么？
生：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
师：我们今天就学习解一元二次方程．
二、新课教学
问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
教师引导学生审题，然后找出等量关系，列方程求解．
学生思考、讨论．最后师生合作，共同完成解方程．
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2＝1 500．
整理，得
x2＝25．
讲到这里后，教师引导学生：什么数的平方等于25？
学生回答：5或者－5的平方都等于25．所以x＝±5，即x1＝5，x2＝―5．
方程解后应该怎么办？教师引导学生解方程后要进行检验．用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．
最后验证，5和―5是方程10×6x2＝1500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．
解决这个问题后，教师让学生解方程x2＝0和x2＝―25．
学生很容易得出方程x2＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝0；方程x2＝―25无解．
通过这三个方程，教师引导学生对它们进行过归纳总结．
一般地，对于方程
x2＝p，
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不等的实数根
x1＝―，x2＝；
（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．
探究：解方程(x＋3)2＝5．
由方程x2＝25得x＝±5可知，方程(x＋3)2＝5可以化为
x＋3＝±，
即
x＋3＝，或x＋3＝―．
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为
x1＝―3＋，x2＝―3―．
上面的解法中，由方程(x＋3)2＝5得到x＋3＝，或x＋3＝―，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程(x＋3)2＝5转化为我们会解的方程了．
三、巩固练习
教材第6页练习．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有哪些收获？
五、布置作业
习题21.2第1题（1）（2）（3）．
第2课时
教学内容
21.2.1 配方法（2）．
教学目标
1．了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．
2．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
用配方法解题的基本步骤．
教学难点
二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．
教学过程
一、导入新课
解下列方程：
（1）3x2－1＝5 （2）4(x＋1)2－16＝0
点评：上面的方程都能化成x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的的形式，那么可得
x＝±或x＋n＝(p≥0)．
你能解方程x2＋6x＋4＝0吗？
二、新课教学
1．配方法．
教师引导学生思考、讨论，明确解题思路与过程．
由方程(x＋3)2＝5可直接降次解方程想到把x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解．
x2＋6x＋4＝0
↓移项
x2＋6x＝－4
↓两边加9，是左边配成x2＋2bx＋b2的形式
x2＋6x＋9＝－4＋9
↓左边写成完全平方形式
(x＋3)2＝5
↓降次
x＋3＝±
↓
x＋3＝，或x＋3＝－
↓解一次方程得
x1＝－3＋，x2＝－3－
可以验证，－3±是方程x2＋6x＋4＝0的两个根．
归纳：像上面那样，通过配成 ( http: / / www.21cnjy.com )完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．
2．解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0； （2）2x2＋1＝3x； （3）3x2－6x ＋4＝0．
分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运 ( http: / / www.21cnjy.com )用配方法．（2）先把方程化成2x2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．
解：（1）移项，得
x2－8x＝－1．
配方，得
x2－8x＋42＝－1＋42．
(x－4)2＝15．
由此可得
x－4＝±，
x1＝4＋，x2＝4－．
（2）略．
（3）移项，得
3x2－6x＝－4．
二次项系数化为1，得
x2－2x＝－．
配方，得
x2－2x＋12＝－＋12，
(x－1)2＝－．
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
3．总结．
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p的形式，那么就有：
（1）当p＞0时，方程(x＋n)2＝p有两个不等的实数根
x1＝－n－，x2＝－n＋；
（2）当p＝0时，方程(x＋n)2＝p有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x都有(x＋n)2≥0，所以方程(x＋n)2＝p无实数根．
三、巩固练习
1．解方程x2＋2x－35＝0
分析：显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．
解：移项，得
x2－2x＝35．
配方，得
x2－2x＋12＝35＋1．
(x－1)2＝36．
由此可得
x－1＝±6
x1＝7，x2＝－5
可以验证x1＝7，x2＝－5都是x2＋2x－35＝0的根．
2．教材第9页“练习”第1、2题．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题第21.2第3题．
第3课时
教学内容
21.2.2 公式法（1）．
教学目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．了解公式法的概念．
教学重点
一元二次方程求根公式的推导．
教学难点
一元二次方程求根公式的推导．
教学过程
一、导入新课
教师引导学生复习上节内容，导入新课的教学．
二、新课教学
探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
能否也用配方法的出这个方程的解呢？
教师引导学生思考、讨论，然后共同探究解题过程．
我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题．
移项，得
ax2＋bx＝－c．
二次项系数化为1，得
x2＋x＝－．
配方，得
x2＋x＋＝－＋，
即
＝．
因为a≠0，所以4a2＞0，式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）b2－4ac＞0
这时＞0，由＝得
x2＋＝±．
方程有两个不等的实数根
x1＝，x2＝．
（2）b2－4ac＝0时，方程有两个不等的实数根x1＝x2＝．
（3）b2－4ac＜0时，方程无实数根．
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．
归纳：由上可知，当Δ＞0时，方程ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋c＝0（a≠0）有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写为
x＝
是形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
三、巩固练习
1．用公式法解下列方程．
（1）2x2－4x－1＝0 （2）5x＋2＝3x2
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：（1）a＝2，b＝－4，c＝－1
b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24＞0
x＝
∴x1＝，x2＝
（2）将方程化为一般形式
3x2－5x－2＝0
a＝3，b＝－5，c＝－2
b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－2)＝49＞0
x＝
x1＝2，x2＝－
2．教材第12页练习1第（1）（2）题．
四、课堂小结
本节课应掌握
1．求根公式的概念及其推导过程．
2．公式法的概念．
五、布置作业
习题第21.2第4题．
第4课时
教学内容
21.2.2 公式法（2）．
教学目标
1．进一步认识一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法．
2．能熟练运用公式法解一元二次方程．
教学重点
用公式法解一元二次方程．
教学难点
用公式法解一元二次方程．
教学过程
一、导入新课
复习一元二次方程求根公式的推导过程，导入新课的教学．
二、新课教学
1．用公式法解下列方程．
（1）x2－4x―7＝0； （2）2x2－2x＋1＝0；
（3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x．
解：（1）根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0可知，在方程x2－4x―7＝0中a＝1，b＝－4，c＝－7．
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0．
方程有两个不等的实数根
x＝＝＝2±，
即
x1＝2＋，x2＝2―．
（2）a＝2，b＝－2，c＝1．
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝0．
方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝＝―＝．
（3）方程化为5x2－4x－1＝0．
a＝5，b＝－4，c＝－1．
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0．
方程有两个不等的实数根
x＝＝＝，
x1＝1，x2＝－．
（4）方程化为x2－8x＋17＝0．
a＝1，b＝－8，c＝17．
Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0．
方程无实数根．
2．用公式法解决实际问题．
教师引导学生阅读教材本章引言中的问题，用公式法解一元二次方程．
设雕像下部高x m，得方程
x2＋2x―4＝0．
用公式法解这个方程得
x1≈1.24，x2≈―3.24．（结果保留小数点后两位）
这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部的高度应设计为约1.24 m．
三、巩固练习
1．用公式法解关于x的方程：x2－2ax－b2＋a2＝0．
x＝＝a±│b│．
2．教材第12页练习1第（3）～（6）题．
四、课堂小结
本课应掌握：
1．应用公式法解一元二次方程．
2．初步了解一元二次方程根的情况．
五、布置作业
习题第21.2第5题．
第5课时
教学内容
21.2.3 因式分解法．
教学目标
1．掌握用因式分解法解一元二次方程．
2．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
教学重点
用因式分解法解一元二次方程．
教学难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
教学过程
一、导入新课
我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法——因式分解法．
二、新课教学
1．因式分解．
（1）x2－5x； （2）2x(x－3)－5(x－3)； （3）25 x 2－16；
（4）x2＋12x＋36； （5）4x2＋4x＋1
分析：复习因式分解知识，为学习本节新知识作铺垫．
2．若ab＝0，则可以得到什么结论？
分析：由积为0，得到a或b为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫．
3．试求下列方程的根：
（1）x(x－5)＝0； （2）(x－1)(x＋1)＝0； （3）(2x－1)(2x＋1)＝0；
（4）(x＋1)2 ＝0； （5）(2x－3)2＝0．
分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
4．试求下列方程的根．
①4x2－11x＝0；x(x－2)＋(x－2)＝0；(x－2)2－(2x－4)＝0．
②25y2－16＝0；(3x＋1)2－(2x－1)2＝0；(2x－1)2＝(2－x)2．
③x2＋10x＋25＝0；9x2－24x＋16＝0．
④5x2－2x－＝x2－2x＋；2x2＋12x＋18＝0．
分析：观察①②③三组方程的结 ( http: / / www.21cnjy.com )构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.
④中的方程结构较复杂，需要先整理.
5．选用合适方法解方程．
x2＋x＋＝0；x2＋x－2＝0；(x－2)2 ＝2－x；2x2－3＝0．
分析：四个方程最适合的解法依次是利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.
归纳：配方法要先配方，再降次；通 ( http: / / www.21cnjy.com )过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
三、巩固练习
1．用因式分解法解下列方程．
（1）x(x－2)＋x－2＝0； （2）5x2－2x－＝x2－2x＋．
教师引导学生掌握用因式分解法解方程的关键，要先将方程化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
学生掌握这个方法后，再解这两个方程就比较简单了．
2．教材第14页练习．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．用因式分解法解一元二次方程．
2．归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程．
五、布置作业
习题21.2第6题．
第6课时
教学内容
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系．
教学目标
1．了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用．
2．掌握不解方程，应用根系关系解题的方法．
3．了解根系关系的推导过程，在元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律．
教学重点
应用根系关系解决问题．
教学难点
根系关系的推导过程．
教学过程
一、导入新课
前2天悄悄地听到咱班的小明和张力的一段对话，内容如下：
张力：我说小明，我有一个秘密，你想听吗？
小明：什么秘密？
张力：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？
小明：哦？
张力：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x2－12x＋35＝0的两根的积，回去你把2根求出来就知道了．
小明：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x2－35x－200＝0的2根的和呢．
张力：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄.
设计意图：创设一个情境：学生自我娱乐的同时 ( http: / / www.21cnjy.com )自我探讨数学知识，本班学生活跃，他们自己在平时也会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣.
二、新课教学
1．求出下列方程的2根，计算2根和与2根积的值，并猜想2根和、2根积与一元二次方程各项系数之间的关系．
序号 一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1 x2
（1） x2–5x＋6＝0 2 3 5 6
（2） 2x2 –3x－4＝0
（3） 3x2＋x－2＝0
设计意图：二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题，系数性质符号各有不同．让学生尽量体会与猜想2根和、2根积与系数之间的关系．
2．引导学生利用求根公式证明根与系数的其他关系．
（1）如果方程(x－x1)(x－x2) ( http: / / www.21cnjy.com )＝0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2＋p x＋q＝0的形式后，方程的两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
（2）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a不是1时，它的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
设计意图：学生在已有公式法解一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式x1＋x2 和x1x2 得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的．
3．巩固练习．
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
（1）x2－6x－15＝0； （1）3x2＋7x－9＝0； （1）5x－1＝4x2．
设计意图：新知产生后，直接应用新 ( http: / / www.21cnjy.com )知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆．预防学生出现以下两种情况：一是先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积；二是没有把方程化为一元二次方程的一般形式就直接求两根的和与积．
三、巩固练习
教材第16页练习．
四、课堂小结
今天你学习了什么，有什么收获？
五、布置作业
习题21.2 第7题．
第7课时
教学内容
解一元二次方程复习课．
教学目标
1．能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点．
2．会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法．
教学重点
会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理．
教学难点
通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想．
教学过程
一、导入新课
复习配方法，公式法，因式分解法的解题关键和基本步骤，导入新课的教学．
二、新课教学
1．分别用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程3 x2－5x－2＝0．
三种不同的解法体现了同样的解题思路——把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求解．
2．把下列方程的最简洁法选填在括号内．
（1）7x－3＝2 x2 ( ) （2）4(9x－1) 2＝25 ( )
（3）(x＋2)(x－1)＝20 ( ) （4）4x2＋7x＝2 ( )
（5）2(0.2t＋3) 2－12.5＝0 ( ) （6）x2＋2x－4＝0 ( )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
说明：一元二次方程解法的选择顺序一般为 ( http: / / www.21cnjy.com )因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法．其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便．
3．将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解．
（1）3x2＝x＋4 （2）(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1) 2＋2
（3）(x＋3)(x－4)＝－6 （4）(x＋1) 2－2(x－1) 2＝6x－5
说明：将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而技能为解法的选择提供基础．
4．小结．
（1）说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识．
消元、降次、化归的思想．
（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别．
联系：①降次，即它的解题的基本思想 ( http: / / www.21cnjy.com )是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：①配方法要先配方，再开方求根． ( http: / / www.21cnjy.com )②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
三、布置作业
习题21.2第8、9、12题．
