初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.1认识三角形）
一、选择题
1．（2023七下·江岸期末）如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·拜泉期末）如图，下列命题：
①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；
②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；
③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；
④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；
⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2.
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023七下·建邺期末）下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
4．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
5．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022七下·崇川期末）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
7．（2022·河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）
A．1 B．2 C．7 D．8
8．（2021七下·肇庆月考）将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则
∠4=∠C.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
9．（2023七下·曲阳期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．
10．（2023七下·越秀期末）如图，在四边形中，如果，，P是边上一点，平分交边于点E，平分交边于点F．以下四个结论：①；②；③若，则；④若平分，则．其中正确的是 （填写正确的序号）．
11．（2023七下·余姚期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．
12．（2023七下·温州期末）图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆.调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ；现将支撑杆AB调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板DE至，使得，则 .
三、作图题
13．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册2.4 用尺规作角 同步练习）仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.
（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；
（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）. 试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON.
四、综合题
14．（2024八上·揭阳期末）
（1）已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，请你说明：.
（2）如图(2)，AP，CP分别平分，若，求的度数；
（3）如图(3)，直线AP平分平分的外角，猜想与、的数量关系并证明.
15．（2020七下·江阴期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°.判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B.若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 如图，延长AB交EF于G，延长CD交EF的延长线于H，
∵∠ABE=150°，∠ABE+∠EBG=180°，
∴150°+∠EBG=180°，
解得∠EBG=30°，
∵BE⊥EF，
∴∠EBG+∠EGB=90°，
∴30°+∠EGB=90°，
解得∠EGB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠EGB=60°，
∵∠CDF=2∠DFE，
∴∠DFH=180°-∠DFE，∠FDH=180°-∠CDF=180°-2∠DFE，
∵∠DFH+∠FDH+∠H=180°，
∴180°-∠DFE+180°-2∠DFE+∠H=180°，
解得∠DFN=80°．
故答案为：B.
【分析】延长AB交EF于G，延长CD交EF的延长线于H，利用平角的意义、直角三角形角的性质、三角形的内角和求解.
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①、若∠1＝∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴DB∥EC，
∴∠D＝∠4，故①正确；
②、若∠C＝∠D，不能推出∠4＝∠C，故②错误；
③、若∠A＝∠F，则DF∥AC，不能推出∠1＝∠2，故③错误；
④、若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，
∴∠4=∠D，
∴∠C=∠4.
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F，故④正确；
⑤、若∠C＝∠D，∠A＝∠F，
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3，
∴∠1＝∠2，故⑤正确.
综上可得：①④⑤正确.
故答案为：C.
【分析】若∠1＝∠2，则∠2=∠3，推出DB∥EC，根据平行线的性质可判断①；同理判断②③；若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，由平行线的性质可得∠4=∠D，推出∠C=∠4，进而推出DF∥AC，得∠A=∠F，即可判断④；根据内角和定理结合⑤中的条件可得∠2=∠3，由对顶角的性质可得∠1=∠3，进而可判断⑤.
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；三角形的角平分线、中线和高；多边形的对角线
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，
∵将含45°角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动 (转动角度小于180°），
∴0°＜∠ABE＜180°，
当DE∥AC时，
∴∠C=∠BOE=90°，
∴∠EBO=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBO=60°-45°=15°；
当DE∥AB时，
∠E=∠ABE=45°；
当DE∥BC时，
∴∠E=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°；
∴∠ABE的度数为15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】利用已知可得到∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，0°＜∠ABE＜180°；再分情况讨论：当DE∥AC时，利用平行线的性质可证得∠EOB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠EBO的度数，即可求出∠ABE的度数；当DE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠ABE的度数；当DE∥BC时，利用平行线的性质可求出∠CBE的度数，根据∠ABE=∠ABC+∠CBE，代入计算求出∠ABE的度数；综上所述可得到符合题意的∠ABE的度数.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质得，再根据三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，求得∠M-∠N=22°，结合∠M的度数，即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，设这个凸五边形为 ，连接 ，并设 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
所以 ， ，
在 中， ，
所以 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系分析求解即可。
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°
∴∠1=60°
∵∠E=60°
∴∠1=∠E
∴AC∥DE，即①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，即②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°
∴∠3=∠B=45°
∵∠2+∠3=∠DAE=90°
∴∠2=45°，即③错误
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°
∴∠BAE=30°
∵∠E=60°
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°
∴∠4+∠B=90°
∵∠B=45°
∴∠4=45°
∵∠C=45°
∴∠4=∠C，即④正确
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质和判定、三角形的内角和定理逐个判断得到答案即可。
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：
∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA1=∠A1BC=∠ABC，∠ACA1=∠A1CD=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
即∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC=∠ACD-∠ABC
∴，
同理可得，
，
∴，
∴.
故答案为： .
【分析】利用三角形外角关系，易推导出，同理得出，进而得出，总结出规律，得出答案.
10．【答案】②③
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，但AD和BC不平行，
∴四边形ABCD不是平行四边形，
∴∠C≠∠A=60°，故①错误；
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°.
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠EDP=∠ADP，∠FDP=∠CDP，
∴∠EDP+∠FDP=(∠ADP+∠CDP)，
∴∠EDF=∠ADC=60°，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE.
∵∠AED=∠ADF，
∴∠CDE=∠ADF，∠ADE=∠CDF.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=60°，
∴∠APD=∠CDP=60°，故③正确；
∵DP平分∠EDF，
∴∠EDP=∠FDP.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠ADE=∠EDP=∠FDP=∠CDF=30°.
∵∠A=60°，
∴∠AED=90°，
∴∠DEB=90°.
∵∠C≠60°，
∴∠CFD≠90°，
∴∠DEB≠DFB，故④错误.
故答案为：②③.
【分析】由题意可得四边形ABCD不是平行四边形，据此判断①；由平行线的性质可得∠A+∠ADC=180°，结合∠A的度数可得∠ADC的度数，由角平分线的概念可得∠EDP+∠FDP=(∠ADP+∠CDP)，据此判断②；由平行线的性质可得∠AED=∠CDE，结合∠AED=∠ADF可得∠CDE=∠ADF，∠ADE=∠CDF，由角平分线的概念可得∠ADP=∠CDP=∠ADC=60°，据此判断③；由角平分线的概念可得∠EDP=∠FDP，∠ADE=∠EDP=∠FDP=∠CDF=30°，由内角和定理可得∠AED=90°，则∠DEB=90°，易得∠CFD≠90°，据此判断④.
11．【答案】15，60，105或150
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图3，当点E在MN上方且DE∥BC时，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，当点F在MN上方且DF∥BC时，
，
，
，
，
；
如图5，当点E在MN下方且DE∥BC时，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图6，当点F在MN下方且DF∥BC时，
，
，
，
，
15，60，105或150，
故答案为：15，60，105或150.
【分析】分类讨论：①当点E在MN上方且DE∥BC时，②当点F在MN上方且DF∥BC时，③当点E在MN下方且DE∥BC时，④当点F在MN下方且DF∥BC时，根据4种不同的情况分别画出图形，利用平行线的性质得到DF旋转的角度进而解得t值.
12．【答案】42；84°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图2，过点B作BG∥AF，
∵ED∥AF，
∴AF∥BG∥DE，
∴∠A+∠ABG=∠CBG+∠BCE=180°，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，
∵BG∥DE，
∴∠GBC=∠BCD=42°；
如图3，延长FA交BC于点G，
∵∠BAF=146°，
∴∠BAG=180°-∠BAF=180°-146°=34°，
又∵∠B=84°，
∴∠BGA=180°-∠B-∠BAG=180°-84°-34°=62°，
∵FG∥D'E'，
∴∠BCE'=∠BGA=62°，
∵∠BCE=∠BAF=146°，
∴∠ECE'=∠BCE-∠BCE'=146°-62°=84°，
∴∠DCD'=∠ECE'=84°.
故答案为：42，84°.
【分析】如图2，过点B作BG∥AF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AF∥BG∥DE，由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等可得∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，进而根据二直线平行，内错角相等可得∠BCD的度数；如图3，延长FA交BC于点G，先由邻补角定义算出∠BAG的度数，再根据三角形的内角和定理算出∠BGA的度数，接着由二直线平行，同位角相等，求出∠BCE'的度数，进而根据角的和差及对顶角相等可求出∠DCD'的度数.
13．【答案】（1）解：首先根据题意画出图形，然后再利用SSS定理证明△ACO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，进而得到射线OC就是∠MON的平分线
（2）解：．由（1）可知OM、ON分别是∠POQ、∠QOG的平分线，则∠MON=90°。
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意可知，连接AF、BE，交于点C，过点C作射线OM即可。
（2）利用同样的方法作射线ON平分∠QOG，OM平分∠POQ，利用角平分线的定义及平角的定义，可证得∠MON=90°，再利用垂直的定义，可证得结论。
14．【答案】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴2∠P＝36°+16°＝52°，
∴∠P＝26°．
答：∠P的度数为26°．
（3）解：，理由如下：
∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，
即，
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理及对顶角相等可证结论.
（2）由角平分线的定义可得∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，把①+②得2∠P＝∠ABC+∠ADC，据此即可求解；
（3）由角平分线的定义可得∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，再利用（1）结论列出等式并整理即可.
15．【答案】（1）36°或18°
（2）解：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”.
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°.
故答案为：18°或36°.
【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可.
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.1认识三角形）
一、选择题
1．（2023七下·江岸期末）如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 如图，延长AB交EF于G，延长CD交EF的延长线于H，
∵∠ABE=150°，∠ABE+∠EBG=180°，
∴150°+∠EBG=180°，
解得∠EBG=30°，
∵BE⊥EF，
∴∠EBG+∠EGB=90°，
∴30°+∠EGB=90°，
解得∠EGB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠EGB=60°，
∵∠CDF=2∠DFE，
∴∠DFH=180°-∠DFE，∠FDH=180°-∠CDF=180°-2∠DFE，
∵∠DFH+∠FDH+∠H=180°，
∴180°-∠DFE+180°-2∠DFE+∠H=180°，
解得∠DFN=80°．
故答案为：B.
【分析】延长AB交EF于G，延长CD交EF的延长线于H，利用平角的意义、直角三角形角的性质、三角形的内角和求解.
2．（2023七下·拜泉期末）如图，下列命题：
①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；
②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；
③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；
④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；
⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2.
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①、若∠1＝∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴DB∥EC，
∴∠D＝∠4，故①正确；
②、若∠C＝∠D，不能推出∠4＝∠C，故②错误；
③、若∠A＝∠F，则DF∥AC，不能推出∠1＝∠2，故③错误；
④、若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，
∴∠4=∠D，
∴∠C=∠4.
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F，故④正确；
⑤、若∠C＝∠D，∠A＝∠F，
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3，
∴∠1＝∠2，故⑤正确.
综上可得：①④⑤正确.
故答案为：C.
【分析】若∠1＝∠2，则∠2=∠3，推出DB∥EC，根据平行线的性质可判断①；同理判断②③；若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，由平行线的性质可得∠4=∠D，推出∠C=∠4，进而推出DF∥AC，得∠A=∠F，即可判断④；根据内角和定理结合⑤中的条件可得∠2=∠3，由对顶角的性质可得∠1=∠3，进而可判断⑤.
3．（2023七下·建邺期末）下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；三角形的角平分线、中线和高；多边形的对角线
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
4．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，
∵将含45°角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动 (转动角度小于180°），
∴0°＜∠ABE＜180°，
当DE∥AC时，
∴∠C=∠BOE=90°，
∴∠EBO=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBO=60°-45°=15°；
当DE∥AB时，
∠E=∠ABE=45°；
当DE∥BC时，
∴∠E=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°；
∴∠ABE的度数为15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】利用已知可得到∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，0°＜∠ABE＜180°；再分情况讨论：当DE∥AC时，利用平行线的性质可证得∠EOB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠EBO的度数，即可求出∠ABE的度数；当DE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠ABE的度数；当DE∥BC时，利用平行线的性质可求出∠CBE的度数，根据∠ABE=∠ABC+∠CBE，代入计算求出∠ABE的度数；综上所述可得到符合题意的∠ABE的度数.
5．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
6．（2022七下·崇川期末）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质得，再根据三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，求得∠M-∠N=22°，结合∠M的度数，即可得到答案.
7．（2022·河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，设这个凸五边形为 ，连接 ，并设 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
所以 ， ，
在 中， ，
所以 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系分析求解即可。
8．（2021七下·肇庆月考）将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则
∠4=∠C.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°
∴∠1=60°
∵∠E=60°
∴∠1=∠E
∴AC∥DE，即①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，即②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°
∴∠3=∠B=45°
∵∠2+∠3=∠DAE=90°
∴∠2=45°，即③错误
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°
∴∠BAE=30°
∵∠E=60°
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°
∴∠4+∠B=90°
∵∠B=45°
∴∠4=45°
∵∠C=45°
∴∠4=∠C，即④正确
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质和判定、三角形的内角和定理逐个判断得到答案即可。
二、填空题
9．（2023七下·曲阳期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：
∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA1=∠A1BC=∠ABC，∠ACA1=∠A1CD=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
即∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC=∠ACD-∠ABC
∴，
同理可得，
，
∴，
∴.
故答案为： .
【分析】利用三角形外角关系，易推导出，同理得出，进而得出，总结出规律，得出答案.
10．（2023七下·越秀期末）如图，在四边形中，如果，，P是边上一点，平分交边于点E，平分交边于点F．以下四个结论：①；②；③若，则；④若平分，则．其中正确的是 （填写正确的序号）．
【答案】②③
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，但AD和BC不平行，
∴四边形ABCD不是平行四边形，
∴∠C≠∠A=60°，故①错误；
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°.
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠EDP=∠ADP，∠FDP=∠CDP，
∴∠EDP+∠FDP=(∠ADP+∠CDP)，
∴∠EDF=∠ADC=60°，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE.
∵∠AED=∠ADF，
∴∠CDE=∠ADF，∠ADE=∠CDF.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=60°，
∴∠APD=∠CDP=60°，故③正确；
∵DP平分∠EDF，
∴∠EDP=∠FDP.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠ADE=∠EDP=∠FDP=∠CDF=30°.
∵∠A=60°，
∴∠AED=90°，
∴∠DEB=90°.
∵∠C≠60°，
∴∠CFD≠90°，
∴∠DEB≠DFB，故④错误.
故答案为：②③.
【分析】由题意可得四边形ABCD不是平行四边形，据此判断①；由平行线的性质可得∠A+∠ADC=180°，结合∠A的度数可得∠ADC的度数，由角平分线的概念可得∠EDP+∠FDP=(∠ADP+∠CDP)，据此判断②；由平行线的性质可得∠AED=∠CDE，结合∠AED=∠ADF可得∠CDE=∠ADF，∠ADE=∠CDF，由角平分线的概念可得∠ADP=∠CDP=∠ADC=60°，据此判断③；由角平分线的概念可得∠EDP=∠FDP，∠ADE=∠EDP=∠FDP=∠CDF=30°，由内角和定理可得∠AED=90°，则∠DEB=90°，易得∠CFD≠90°，据此判断④.
11．（2023七下·余姚期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．
【答案】15，60，105或150
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图3，当点E在MN上方且DE∥BC时，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，当点F在MN上方且DF∥BC时，
，
，
，
，
；
如图5，当点E在MN下方且DE∥BC时，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图6，当点F在MN下方且DF∥BC时，
，
，
，
，
15，60，105或150，
故答案为：15，60，105或150.
【分析】分类讨论：①当点E在MN上方且DE∥BC时，②当点F在MN上方且DF∥BC时，③当点E在MN下方且DE∥BC时，④当点F在MN下方且DF∥BC时，根据4种不同的情况分别画出图形，利用平行线的性质得到DF旋转的角度进而解得t值.
12．（2023七下·温州期末）图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆.调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ；现将支撑杆AB调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板DE至，使得，则 .
【答案】42；84°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图2，过点B作BG∥AF，
∵ED∥AF，
∴AF∥BG∥DE，
∴∠A+∠ABG=∠CBG+∠BCE=180°，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，
∵BG∥DE，
∴∠GBC=∠BCD=42°；
如图3，延长FA交BC于点G，
∵∠BAF=146°，
∴∠BAG=180°-∠BAF=180°-146°=34°，
又∵∠B=84°，
∴∠BGA=180°-∠B-∠BAG=180°-84°-34°=62°，
∵FG∥D'E'，
∴∠BCE'=∠BGA=62°，
∵∠BCE=∠BAF=146°，
∴∠ECE'=∠BCE-∠BCE'=146°-62°=84°，
∴∠DCD'=∠ECE'=84°.
故答案为：42，84°.
【分析】如图2，过点B作BG∥AF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AF∥BG∥DE，由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等可得∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，进而根据二直线平行，内错角相等可得∠BCD的度数；如图3，延长FA交BC于点G，先由邻补角定义算出∠BAG的度数，再根据三角形的内角和定理算出∠BGA的度数，接着由二直线平行，同位角相等，求出∠BCE'的度数，进而根据角的和差及对顶角相等可求出∠DCD'的度数.
三、作图题
13．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册2.4 用尺规作角 同步练习）仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.
（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；
（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）. 试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON.
【答案】（1）解：首先根据题意画出图形，然后再利用SSS定理证明△ACO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，进而得到射线OC就是∠MON的平分线
（2）解：．由（1）可知OM、ON分别是∠POQ、∠QOG的平分线，则∠MON=90°。
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意可知，连接AF、BE，交于点C，过点C作射线OM即可。
（2）利用同样的方法作射线ON平分∠QOG，OM平分∠POQ，利用角平分线的定义及平角的定义，可证得∠MON=90°，再利用垂直的定义，可证得结论。
四、综合题
14．（2024八上·揭阳期末）
（1）已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，请你说明：.
（2）如图(2)，AP，CP分别平分，若，求的度数；
（3）如图(3)，直线AP平分平分的外角，猜想与、的数量关系并证明.
【答案】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴2∠P＝36°+16°＝52°，
∴∠P＝26°．
答：∠P的度数为26°．
（3）解：，理由如下：
∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，
即，
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理及对顶角相等可证结论.
（2）由角平分线的定义可得∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，把①+②得2∠P＝∠ABC+∠ADC，据此即可求解；
（3）由角平分线的定义可得∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，再利用（1）结论列出等式并整理即可.
15．（2020七下·江阴期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°.判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B.若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数.
【答案】（1）36°或18°
（2）解：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”.
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°.
故答案为：18°或36°.
【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可.
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