23.1 图形的旋转
教学目标
1. 通过观察具体实例认识旋转，归纳旋转、旋转中心、旋转角和对应点的概念，并应用它们解决一些实际问题．
2. 探索旋转的性质，会画出旋转后的图形．
3. 理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．
4. 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．应用已学的知识作图，设计出美丽的图案．
教学重点
1. 旋转、对应点的有关概念及其应用．
2. 用旋转的有关知识画图．
教学难点
发现“对应角到旋转中心的夹角相等”的性质．
课时安排
2课时.
教案A
第1课时
教学内容
23.1 图形的旋转（1）．
教学目标
1．通过观察具体实例认识旋转，归纳旋转、旋转中心、旋转角和对应点的概念，并应用它们解决一些实际问题．
2．探索旋转的性质，会画出旋转后的图形．
教学重点
旋转、对应点的有关概念及其应用．
教学难点
发现“对应角到旋转中心的夹角相等”的性质．
教学过程
一、导入新课
教师指导学生复习平移、轴对图形的概念及有关性质，导入新课的教学．
二、新课教学
1．观察实例得出旋转概念．
我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．
（1）请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？
学生口答，教师点评：时针、分针、 ( http: / / www.21cnjy.com )秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度．
（2）再看自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？
思考：这些现象有什么共同特点？
共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．
归纳：像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
2．通过类比试验探究旋转的性质
探究：如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再 ( http: / / www.21cnjy.com )另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC )，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′ )移开硬纸板．
△A'B'C'是由△ABC绕点O旋转得到的．线段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与
∠BOB′有什么关系？△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
教师让学生思考这些问题．必要时，可引导学生从以下问题中进行思考：
（1）轴对称的性质中对应点之间有怎样的位置关系和数量关系？旋转呢？
（2）旋转是一个图形围绕旋转中心旋转一定的角度，此时，图形上的点发生旋转了吗？它是如何旋转的？哪个角表示了旋转的角度？
通过思考、讨论，归纳出旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等．
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
旋转前、后的图形全等．
3．通过实例画出旋转后的图形．
例 如下图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：关键是确定△ADE三个顶点的对应点，即它们旋转后的位置．
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身．
正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB =90°，所以旋转后点D与点B重合．
设点E的对应点为点E′．因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以
∠ABE′=∠ADE=90°，BE′=DE．
因此，在CB的延长线上取点E'，使BE′=DE，则△ABE′为旋转后的图形(下图)．
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三、巩固练习
教材第59、61页练习．
四、课堂小结
本节课要掌握：
1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．
2．旋转的对应点及其它们的应用．
3．对应点到旋转中心的距离相等．
4．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
5．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．
五、布置作业
习题23.1 第1、2、3、4题．
第2课时
教学内容
23.1 图形的旋转（2）．
教学目标
1．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．
2．掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．应用已学的知识作图，设计出美丽的图案．
3．复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案．
教学重点
用旋转的有关知识画图．
教学难点
根据需要设计美丽图案．
教学过程
一、导入新课
1．学生活动：老师口问，学生口答．
（1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？
（2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？
（3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？
2．请同学独立完成下面的作图题．
如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：要作出△AOB旋转后的三角形，应找出三方面：第一，旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG；第三，A点旋转后的对应点：A′．
二、新课教学
1．在作图时，旋转中心、旋转角固定下来，对 ( http: / / www.21cnjy.com )应点就自然而然地固定下来．因此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果．下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．
（1）旋转中心不变，改变旋转角，会出现不同的效果．
上图的两个旋转中，旋转中心不变．旋转角改变了，产生了不同的旋转效果．
（2）旋转角不变，改变旋转中心，会出现不同的效果．
( http: / / www.21cnjy.com )
上图的两个旋转中，旋转角不变．旋转中心改变了，产生了不同的旋转效果．
2．设计美丽图案
从以上的画图中，我们可以得 ( http: / / www.21cnjy.com )到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案（下图）．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、巩固练习
1．例 如下图是菊花一叶和中心与圆圈， ( http: / / www.21cnjy.com )现以O为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案．
分析：只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，旋转长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可．
解：（1）连结OA．
（2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°，得A．
（3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270°、315°的A点．
（4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶．
那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形．
2．教材第62页练习．
四、归纳小结
本节课应掌握：
1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案．
2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、角的顶点、圆的圆心等．
五、布置作业
习题23.1 第5、6题．
教案B
第1课时
教学内容
23.1 图形的旋转（1）．
教学目标
1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．
2．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．
教学重点
旋转及对应点的有关概念及其应用．
教学难点
从活生生的数学中抽出概念．
教具准备
小黑板、三角尺．
教学过程
一、导入新课
学生活动：请同学们完成下面各题．
1．将左图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．如右图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l对称图形△A′B′C′．
教师指导学生复习平移的概念及有关性质．如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形和它既有的一些性质．导入新课的教学．
二、新课教学
思考：如左图，钟表的指针在不停地转动，从3时到0时，时针转动了多少度
( http: / / www.21cnjy.com )
如右图，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置．以上这些现象有什么共同特点呢
我们可以把上面问题中的指针、叶片等 ( http: / / www.21cnjy.com )看作平面图形．像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
例如，做左图中，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，时针的端点在3时的位置P与在5时的位置P′是对应点．
下面我们来运用这些概念来解决一些问题．
例1 如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．
（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．
例2 如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．
（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
（2）请画出旋转中心和旋转角．
（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？
教师点评：
（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）画图略．（3）点A、B、C、D移到的位置是点E、F、G、H．
强调：这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的．
三、巩固练习
教材第59页练习1、2、3．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题23.1 第1、2、3题．
第2课时
教学内容
23.1 图形的旋转（2）．
教学目标
1．理解对应点到旋转中心的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用．
2．用操作几何、实验，探究图形的旋转的基本性质．
3．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度， ( http: / / www.21cnjy.com )会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．应用已学的知识作图，设计出美丽的图案．
教学重点
图形的旋转的基本性质及其应用．
教学难点
运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质．
教学过程
一、导入新课
学生活动：老师口问，学生口答．
1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？
2．什么叫旋转的对应点？
3．如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？
分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的．
二、新课教学
1．上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：
（1）A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？
（3）旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗？
点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验．
2．探究：
如图，在硬纸板上，挖一个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC )，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′ )移开硬纸板．
△A'B'C'是由△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C绕点O旋转得到的．线段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与∠BOB′有什么关系？△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
教师引导学生归纳旋转的性质：
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3．实例分析．
例 如右下图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点， ( http: / / www.21cnjy.com )那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置，如图所示．
解：（1）连结CD，
（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD，
（3）在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点．
（4）连结DB′．则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
4．旋转图形．
在作图时，旋转中心、旋转角固定下来，对 ( http: / / www.21cnjy.com )应点就自然而然地固定下来．因此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果．下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．
（1）旋转中心不变，改变旋转角．
画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）旋转角不变，改变旋转中心．
画出以下图，四边形ABCD分别为O1、O2为中心，旋转角都为30°的旋转图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
因此，从以上的画图中，我们可以得到 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．
三、巩固练习
1．教材第61页练习1、2．
2．教材第62页练习．
四、归纳小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题23.1 第5、6题．23.3 课题学习 图案设计
教学目标
1. 利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．
2. 通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案．
教学重点
设计图案．
教学难点
如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．
课时安排
1课时．
教案A
教学过程
一、导入新课
学生活动：请同学们独立完成下列额各题．
1．如左图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段AB，并回答，AB与CD有什么位置关系．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．如中图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴L的对称线段C′D′，并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？
3．如右图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，并说明这两条线段之间有什么关系？
分析：（1）AB与CD平行且相等；
（2）过D点作DE⊥L，垂足为E并 ( http: / / www.21cnjy.com )延长，使ED′＝ED，同理作出C′点，连结C′D′，则CD′就是所求的．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在L上并且CD＝C′D′．
（3）以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D′，垂足为D，并且CD＝C′D．
二、新课教学
我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用它们的组合进行图案设计．
例1 由经过旋转、轴对称和平移得到的图案．
( http: / / www.21cnjy.com )
以点O为旋转中心将逆时针旋转90°三次作出下左图，然后以l为对称轴作出下右图．平移下右图就可以作出上图中的图案．
( http: / / www.21cnjy.com )
例2 请学生利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形，绘制一幅反映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示．
教师让学生自由联想，或者在黑板上设计一、二个图案．
三、巩固练习
教材第78页活动1．
四、归纳小结
本节课应掌握：利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．
五、布置作业
教材第78页活动2 ．
教案B
教学过程
一、复习引入
复习平移、轴对称、旋转等知识，导入新课的教学．
二、新课教学
请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图案设计．
学生活动：按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案．
（1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图a）
（2）把纸片任意撕成两部分（如图b，如图c）
（3）将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形．
（4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图（d）（如图c）保持不动）
（5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e）
（6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的图案．
老师必要时可以给予一定的指导．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、巩固练习
教材第78页活动1．
四、归纳小结
今天学习了什么？有哪些收获？
五、布置作业
教材第78页活动2 ．23.2 中心对称
教学目标
1. 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．
2. 理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（―x，―y）的运用．
3. 通过操作、观察、归纳中心对称的性质，经历由具体到抽象认识问题的过程，会画一个简单几何图形关于某一点对称的图形，提高画图能力．
教学重点
1. 利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．
2. 中心对称的两条基本性质及其运用．
3. 关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．
教学难点
中心对称的两条基本性质及其运用．
课时安排
3课时
教案A
第1课时
教学内容
23.2.1 中心对称．
教学目标
1．从旋转的角度观察两个图形之间的关系，类比旋转得出中心对称的定义，渗透从一般到特殊的研究问题的方法．
2．通过操作、观察、归纳中心对称的性质，经历由具体到抽象认识问题的过程，会画一个简单几何图形关于某一点对称的图形，提高画图能力．
教学重点
1．利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．
2．中心对称的两条基本性质及其运用．
教学难点
中心对称的两条基本性质及其运用．
教学过程
一、导入新课
请同学们独立完成下题．
如右上图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法．
分析：本题已知旋转后点A的对应点是点D ( http: / / www.21cnjy.com )，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可．
作法：（1）连结OA、OB、OC、OD；
（2）分别以OB、OB为边作∠BOM＝∠CON＝∠AOD；
（3）分别截取OE＝OB，OF＝OC；
（4）依次连结DE、EF、FD；
即：△DEF就是所求作的三角形，如上右图所示．
二、新课教学
1．中心对称．
思考：（1）如左图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）如右图，线段AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？
可以发现，左图中的一 ( http: / / www.21cnjy.com )个图案旋转后两个图案互相重合；右图中，旋转后△OCD也与△OAB重合．像这样，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．例如，右图中△OCD和△OAB关于点O对称，点C与点A是关于点O的对称点．
2．中心对称的性质．
如下图，三角尺的一个顶点是O，以点O为中心旋转三角尺，可以画出关于点O中心对称的两个三角形：
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角尺的一个顶点O为中心，把三角尺旋转180°，画出△A′B′C′；
第三步，移开三角尺．
因为中心对称的两个三角形可以互相重合，所以△ABC与△A′B′C′是全等三角形．
因为点A′是点A绕点O旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )180°后得到的，线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA = OA′，即点O是线段AA′的中点．同样地，点O也是线段BB′和CC′的中点．
( http: / / www.21cnjy.com )
中心对称的性质：
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
中心对称的两个图形是全等图形．
3．实例探究．
例1 （1）如下左图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′；
（2）如下右图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）如下左图，连接AO，在AO的延长线上截取OA′＝OA，即可以求得点A关于点O的对称点A′．
（2）如下右图，作出A，B，C三点关于点O ( http: / / www.21cnjy.com )的对称点A′，B′，C′，依次连接A′B′， B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、巩固练习
教材第74页练习1、2．
四、归纳小结
本节课应掌握：
1．中心对称及对称中心的概念．
2．关于中心的对称点的概念及其运用．
3．中心对称的两条基本性质：中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形．
五、布置作业
习题23.2 第1、2题．
第2课时
教学内容
23.2.2 中心对称图形．
教学目标
1．了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．
2．复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用．
教学重点
中心对称图形的有关概念及其它们的运用．
教学难点
区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．
教学过程
一、导入新课
口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？
中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形．
二、新课教学
1．中心对称图形的概念．
思考：（1）如左图，将线段AB绕它的中点旋转180°，你有什么发现？
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）如右图，将□ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？
可以发现，线段AB绕它的中点旋转180°后与 ( http: / / www.21cnjy.com )它本身重合．□ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°后与它本身重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．中心对称图形具有匀称美观、平稳．线段、平行四边形都是中心对称图形．
2．实例探究．
例 求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．
证明：如图，O是四边形ABCD的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )中心，根据中心对称性质，线段AC、BD必过点O，且AO＝CO，BO＝DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形．
3．中心对称图形在实际生活中的应用．
中心对称图形的形状通常匀称美 ( http: / / www.21cnjy.com )观，我们在自然界中可以看到许多美丽的中心对称图形（教材图23.2-10（1）），在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作装饰图案（教材图23.2-10（2））．另外，由于具有中心对称图形形状的物体，能够在所在的平面内绕对称中心平稳地旋转，所以在各种机器中要旋转的零部件的形状常设计成中心对称图形，如水泵叶轮等（教材图23.2-10（3））．
三、巩固练习
教材第67页练习．
四、归纳小结
本节课应掌握：
1．中心对称图形的有关概念；
2．应用中心对称图形解决有关问题．
五、布置作业
习题23.2 第5题．
第3课时
教学内容
23.2.3 关于原点对称的点的坐标．
教学目标
1．理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y）的运用．
2．关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．
教学重点
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（－x，－y）及其运用．
教学难点
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
教学过程
一、导入新课
学生活动：请同学们完成下题．
如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．
教师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．
二、新课教学
探究：如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它
们的坐标．这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
A(4，0)，B(0，－3)，C(2，1)，D(－1， 2)，E(－3，－4)．
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归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．
例1如左图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形．
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解：点P(x，y)关于原点的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )点为P′(－x，－y)，因此△ABC的三个顶点A(－4，1)，B(－1，－1)， C(－3，2)关于原点的对称点分别为A′(4，－1)， B′(1，1)，C′(3，－2)，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′（右图）．
例2 已知△ABC，A（1，2），B（―1，3），C（―2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．
分析：先在直角坐标系中画出A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．
三、巩固练习
教材第69页练习1、2、3．
四、归纳小结
本节课应掌握：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，及其利用这些特点解决一些实际问题．
五、布置作业
习题23.2 第3、4题．
教案B
第1课时
教学内容
23.2.1 中心对称．
教学目标
1．从旋转的角度观察两个图形之间的关系，类比旋转得出中心对称的定义，渗透从一般到特殊的研究问题的方法．
2．通过操作、观察、归纳中心对称的性质，经历由具体到抽象认识问题的过程，会画一个简单几何图形关于某一点对称的图形，提高画图能力．
教学重点
1．利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．
2．中心对称的两条基本性质及其运用．
教学难点
中心对称的两条基本性质及其运用．
教学过程
一、导入新课
复习上节内容，导入新课的教学．
二、新课教学
1．中心对称．
作出如下图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：
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（1）以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？
（2）各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？
分析：可以发现，如下图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．
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像这样，把一个图形绕着某一个点 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
例 如下左图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．
（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．
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分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心．
（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．
解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′＝AD．
（2）同样可得：BD＝B′D，CD＝C′D．
（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如上右图所示．
答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．
（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．
2．中心对称的性质．
请同学随便画一个三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．
每组推荐一人上台陈述，教师点评，在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形．
（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；
（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．
第一步，画出△ABC．
第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′C和△A′B′C′，如图（1）和（2）所示．
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从图（1）中可以得出△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C与△A′B′C是全等三角形；
分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．
下面，我们就以图（2）为例来证明这两个结论．
证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，
OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，
∴△AOB≌△A′OB′．
∴AB＝A′B′．
同理可证：AC＝A′C′，BC＝B′C′．
∴△ABC≌△A′B′C′．
（2）点A′是点A绕点O旋转18 ( http: / / www.21cnjy.com )0°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的中点．
同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB＝OB′，OC＝OC′，即点O是BB′和CC′的中点．
因此，我们就得到中心对称的性质：
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
中心对称的两个图形是全等图形．
3．实例探究．
例 如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．
分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．
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解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．
（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．
（3）顺次连结DE、EF、FD．
则△DEF即为所求的三角形．
三、巩固练习
教材第74页练习1、2．
四、归纳小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题23.2 第1、2题．
第2课时
教学内容
23.2.2 中心对称图形．
教学目标
1．了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．
2．复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用．
教学重点
中心对称图形的有关概念及其它们的运用．
教学难点
区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．
教学过程
一、复习引入
学生活动：作图．
1．作出线段AO关于O点的对称图形，如下图(1)所示．
2．作出三角形AOB关于O点的对称图形，如下图(2)所示．
3．延长AO使OC＝AO，延长BO使OD＝BO，连结CD，则△COD为所求的图形，如下图(3)所示．
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(1) (2) (3)
二、新课教学
从另一个角度看，上面第1题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA＝OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．
上面第2题中，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．
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∵AO＝OC，BO＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD．
∴AB＝CD．
也就是，四边形ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．
因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋 ( http: / / www.21cnjy.com )转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
学生活动：
1．从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．
教师边提问学生边解答．
2．请说出中心对称图形具有什么特点？
点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳．
3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．
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分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．
证明：如图，O是四边形ABCD的对 ( http: / / www.21cnjy.com )称中心，根据中心对称性质，线段AC、BD必过点O，且AO＝CO，BO＝DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形．
三、巩固练习
教材第67页练习．
四、归纳小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题23.2 第5题．
第3课时
教学内容
23.2.3 关于原点对称的点的坐标．
教学目标
1．理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y）的运用．
2．关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．
教学重点
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（－x，－y）及其运用．
教学难点
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
教学过程
一、导入新课
复习上节内容，导入新课的教学．
二、新课教学
学生活动：如图，在直角坐标系中，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )A（－3，1）、B（－4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，－3）、F（－2，－2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
画法：（1）连结AO并延长AO，
（2）在射线AO上截取OA′＝OA，
（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″．
∵△AD′O与△A′D″O全等．
∴AD′＝A′D″，OA＝OA′．
∴A′（3，－1）．
同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．
学生活动（分组讨论）：关于原点作中心对 ( http: / / www.21cnjy.com )称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题．
分析：（1）从上可知，横 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．
归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．
例1如左图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：点P(x，y)关于原点的对称点 ( http: / / www.21cnjy.com )为P′(－x，－y)，因此△ABC的三个顶点A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－3，2)关于原点的对称点分别为A′(4，－1)，B′(1，1)，C′(3，－2)，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′（右图）．
三、巩固练习
教材第69页练习1、2、3．
四、归纳小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题23.2 第3、4题．
